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数学甲子園2018予選、解き方と感想3(問題12~20)

2018年の数学甲子園記事は、完成まで

時間がかかったけど、今回の記事で

ようやくラストとなった。既にアップ済み

の記事6本は以下の通り。

 

 数学甲子園2018予選、

  正答率の低い3つの問題

 2018予選、解き方と感想2

 (問題1~5、7~9)

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題)  

 

 2018(マスバトル)、解き方2

 (問題1~6)

 解き方3 (第7問、白黒タイル

 解き方4 (問題8~12

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題12

xy平面において、次の連立不等式が

表す図形の面積を求めなさい。

 x²-2|x|+y²-2|y|+1≧0

 |x|+|y|≦1

 

解答

 第1式を変形すると、

 |x|²-2|x|+|y|²-2|y|+1≧0

 

よって、与えられた連立不等式のxとy

にはすべて絶対値記号が付いている

ので、図形はx軸対称かつy軸対称。

 

x≧0、y≧0の範囲に限ると、

 (x-1)²+(y-1)²≧1

 y≦1-x

 

∴(面積全体の4分の1)

  =(辺の長さ1の正方形)

    -(半径1の4分円)

  =1-π/4

∴(面積全体)=4-π ・・・答

 

感想

私が高校1年の頃だと、記述式の問題

ならマジメに4通りの場合分けをして

最後に足し算してたような気がする。

この問題だと答だけだから、第1象限

(+境界)で解いて4倍して終了。

 

参加者全体の正答率19%、通過者

69%。小数点以下は四捨五入。

 

 

問題13

a、b、c、dを正の整数とします。線分

ABをa:bに内分する点をC、c:dに

内分する点をDとするとき、

AC:CD:DBをa、b、c、dを用いた

整数比で表しなさい。ただし、点A、C、

D、Bはこの順に並んでいるものとします。

 

解答

全体の長さを1とすると、

 AC=a/(a+b)

 DB=d/(c+d)

 

∴AC:CD:DB

=a/(a+b):

  1-a/(a+b)-d/(c+d):

  d/(c+d)

=a(c+d):

 (a+b)(c+d)-a(c+d)

   -d(a+b):d(a+b)

a(c+d):bc-ad:d(a+b) 答

 

感想

小学校の算数の発展問題といった感じ。

細かい話だけど、模範解答の中央、

「(bc-ad)」のカッコは要らないと思う。

ただ、採点者の主観的判断が入るから、

実戦だとカッコを付けといた方が無難。

 

あと、小文字のcが整数で、大文字のC

が点という、まぎらわしい設定に注意。

全体正答率26%、通過者77%。後半

の問題だから、時間に追われたのかも。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題14

△ABCの3辺BC、CA、ABの長さを

それぞれa、b、cとします。次の等式が

成り立つとき、△ABCの内角のうち、

最大の角の大きさを求めなさい。

(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6

 

解答

b+c=8,c+a=10,a+b=12

とおくと、

 2(a+b+c)=30

∴ a+b+c=15

∴ a=7,b=5,c=3

 

最大の角は、最大辺と向き合う∠A。

余弦定理より、

cos∠A=(5²+3²-7²)/2×5×3

     =-1/2

∴ ∠A=120° ・・・答

感想

教科書レベルのサービス問題。時間も

稼ぎたいので、比例定数kは省略。

全体正答率42%、通過者91%。

通過者にとっては最も簡単だった問題。

 

 

問題15

kを正の整数とします。

P(k)=(1のk乗)+(2のk乗)+

    (3のk乗)+(4のk乗)+

    (5のk乗)+(6のk乗)

とすると、

P(1)=1+2+3+4+5+6=21

P(2)=1²+2²+3²+4²+5²+6²=91

P(3)=1³+2³+3³+4³+5³+6³=441

であり、P(1)、P(2)、P(3)はすべて

7の倍数となりますが、kの値によって

は7の倍数にならないこともあります。

P(k)が7の倍数にならないkの値を

すべて求めなさい。

 

解答

mod7の合同式を用いてk=6まで

計算すると、k=6ではじめて7の倍数

(=0)にならない。

1⁶+2⁶+3⁶+4⁶+5⁶+6⁶

 ≡1+1+1+1+1+1

 =6

 

上の2番目の式から考えると、

k=7の時はk=1の時と同じ。

一般にk=6m+nの時は、

k=nの時と同じ。

 

よって、求める値は、

 k=6m+6 (mは0以上の整数)

m+1=pと置いて簡単にすると、

 k=6p (pは正の整数) ・・・答

 

 

感想

時間の少ない予選でこの問題は厳しい。

ただ、6の6乗まで試すだけで解けるから、

それほど計算時間がかかるわけでもない。

全体正答率6%、通過者40%で、出来の

差が大きかった問題。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題16

次の等式を満たす整数の組(x,y)を

すべて求めなさい。

 xy³-3y-x=1

 

解答

(y³-1)x-3(y-1)=4

∴ (y-1){(y²+y+1)x-3}=4

掛け合わせて4になる整数の組を考え、

そこから(x、y)を求めると、整数の組は

(1,2),(-1,0),(1,-1) 答

 

感想

パターン化された不定方程式をちょっと

ヒネった形で、これも実力差が出やすい。

次数の低いxで整理するのが基本。

全体正答率9%、通過者44%。

 

 

問題17

連続する5つの正の整数について、

次の法則が成り立ちます。

1×2×3×4×5+5=125=5×5²

2×3×4×5×6+6=726=6×11²

3×4×5×6×7+7=2527=7×19²

  ・・・    ・・・   ・・・

このとき、次の等式を満たす正の整数n

の値を求めなさい。

2016×2017×2018×2019×2020

  +2020=2020×n²

 

解答

n²-1=2016×2017×2018×2019

∴ (n-1)(n+1)

 =(2016×2019)・(2017×2018)

 =4070304×4070306

∴ n=4070305 ・・・答

 

感想

私は「n²-1」の形にして因数分解する

式変形になかなか気づかなかったから、

問題15より面倒だと感じた。受験者には

こちらの方が簡単だったらしい。

全体正答率18%、通過者51%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題18

さいころA、B、C、Dを同時に振り、出た目

をそれぞれa、b、c、dとします。このとき、

放物線y=ax²+bx+cの頂点の座標が

(-1,d)となる確率を求めなさい。

ただし、さいころの目は1から6まであり、

どの目も出る確率は等しいものとします。

 

解答

-b/2a=-1

-(b²-4ac)/4a=d 

∴ b=-2a,d=-a+c

これを満たす(a,b,c,d)の組は

全部で12個。

∴ 12/6⁴=1/108 ・・・答

 

感想

設定にヒネリがあるし、確実に12個

求めるのがちょっと面倒。ただ参加者の

出来は良くて、全体18%、通過者53%。

 

 

問題19

OA=3、OB=4、∠AOB=60°で

ある△OABにおいて、辺OAの中点を

通りOAに垂直な直線と、辺OBの中点

を通りOBに垂直な直線との交点をQと

します。

(→OA)=(→a)、(→OB)=(→b)

とするとき、(→OQ)を(→a)、(→b)

を用いて表しなさい。

 

解答

OAの中点をM、OBの中点をNとし、

(→OQ)=p(→a)+q(→b)とおく。

|→a|=3, |→b|=4

(→a)・(→b)=6

 

(→MQ)・(→a)=0より、

{(p-1/2)(→a)+q(→b)}・(→a)=0

∴ 6p+4q=3

 

(→NQ)・(→b)=0より、

{p(→a)+(q-1/2)(→b)}・(→b)=0

∴ 3p+8q=4

∴ p=2/9, q=5/12

∴ (→OQ)=

 (2/9)(→a)+(5/12)(→b) 答

 

 

感想

パターン化された標準問題だけど・・

と言うか、だからこそ差が付いたのか。

19問目だから時間切れになったのかも。

全体正答率11%、通過者50%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題20

f(x)=∫(4x-2t)f(t)dt+3

(-1≦t≦1) を満たす関数f(x)を

求めなさい。

 

解答

f(x)=4x∫f(t)dt-2∫tf(t)dt+3

 =ax+b とおくと、

ax+b=

4x∫(at+b)dt-2∫t(at+b)dt+3

=8bx-4a/3+3

 

これがxの恒等式だから、

a=8b, b=-4a/3+3

∴ a=72/35, b=9/35

∴ f(x)=(72/35)x+9/35 答

 

感想

これもパターン化された標準問題なのに、

時間切れになった人が多かったのかも。

全体正答率8%、通過者47%。

 

フーッ。。 やっと全て終了♪ 問題を書き

写すだけでも疲れてしまうのだ。来年の

予選はもう少し簡単になると予想する。

ではまた、数学甲子園2019にて。。☆彡

 

         (計 3349字)

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