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数学甲子園2018予選、解き方と感想2(問題1~5、7~9)

☆追記: 最後の記事もアップ完了。

 2018予選3(問題12~20) )

 

 

   ☆    ☆    ☆

数学甲子園2018予選の問題が公式

サイトで公開されたのは、10月下旬

だったと思う。実際の予選は夏だから、

2ヶ月遅れ。

 

前から指摘してるけど、せめて9月16日

の本選前に公表すれば注目度が上がる

はず。当サイトの関連記事へのアクセス

も、本選が終わると急激に減少する。

 

だから、10月31日に本選結果が訂正

されたのもあまり知られてないだろう。

7位とされてた開成高1Sチームが

4位に浮上。元の4~6位のチームが

1つずつ順位を下げてた。

 

正直に自ら公表したのはいいとして、

1ヶ月半後というのは遅すぎるし、数学

の大会で入賞者の点数の集計ミスと

いうのは残念なこと。単なる2ケタ~

3ケタの自然数3つの足し算。実際は、

集計というより「採点」ミスなのかも。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

とにかく今年も予選記事をアップしよう。

正答率が低かった3問は、本選ライブ

動画で紹介された後、記事をアップして

ある。残り17問も過去と比べて難しめ

で、平均点の低さは当然だろう。

 

20点満点平均僅か4.3点本選

出場者でさえ11.8点に留まってた。

満点はゼロだけど、19点が2人。

FRESH LIVE動画より。

 

181106a

 

なお、既にアップ済みの今年の記事

5本は以下の通り。

 

 数学甲子園2018予選、

  正答率の低い3つの問題

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題)  

 

 2018(マスバトル)、解き方2

 (問題1~6)

 解き方3 (第7問、白黒タイル

 解き方4 (問題8~12

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題1

次の式を因数分解しなさい。

 36x²+6xy-12y²

    +11x+26y-12

 

解答

xで整理して、たすき掛けを利用。

 36x²+(6y+11)x

   -2(3y-2)(2y-3)

(4x-2y+3)(9x+6y-4) 答

 

感想

正答数0問と1問の参加者が大勢いる

ということは、因数分解が解けなかった

参加者が多いということ。1問3分しか

ないし、緊張してるから大変だろう。

 

最後のたすき掛けを素早く成功させる

コツは、1次の項の定数11に着目する

こと。奇数だから、2次の係数と定数項

の分解は、奇数×奇数の形ができる

ように行う。

 

全体の正答率は48%。通過者は

84%。小数点以下は四捨五入した。

以下でも同様。

 

 

問題2

x についての2次不等式

ax²+bx+c≧0の解がx=aで

あるとき、a、b、c、の符号をそれぞれ

求めなさい。

 

解答

y=左辺のグラフが上に凸の放物線

で、頂点が(a,0)であるための条件

を求めればよい。

まず、a<0 ・・・答

また、 -b/2a=a

   -(b²-4ac)/4a=0

∴ b<0, c<0 ・・・答

 

感想

教科書の章末問題くらいの標準レベル。

全体の正答率は意外なことに、27%。

平方完成で頂点の座標を求める時に

間違えたということか。通過者は76%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題3

次の式を簡単にしなさい。

181106b

 

解答

4+√15=(8+2√15)/2

      =(√5+√3)²/2

4-√15=(√5-√3)²/2

∴(分子)=(√5+√3)³/2√2

    +(√5-√3)³/2√2

   =7√10

 

同様の計算で、

(分母)=13√10

∴(与式)=7/13 ・・・答

 

 

感想

最初、反射的に分母の有理化を行って、

上手く行かないから方針変更。与式の

カッコ内が2乗の形になることを発見。

甲子園の予選としては適度な計算かも。

全体正答率7%、通過者33%。

 

 

問題4

AB=6、BC=4、CA=5の△ABC

があり、∠ABCの二等分線と辺ACの

交点をD、∠ACBの二等分線と辺AB

の交点をE、線分CEとBDの交点をF

とします。

△ABCの面積をSとするとき、△DEF

の面積をSを用いて表しなさい。

 

181106c

 

解答

角の二等分線が対辺を分割するときの

長さの性質を利用する。

△ABD=6/(6+4)S=3S/5

△EBD=△ABD×4/(5+4)

    =(3S/5)×4/9

    =4S/15

 

CD=AC×4/(6+4)=2

∴BF:FD=BC:CD

     =4:2

     =2:1

∴△DEF=△EBD×1/(2+1)

      =4S/45 ・・・答

 

感想

標準レベルのサービス問題で、計算

も簡単、図も添えてある。予選通過

のためには確実に取りたいところ。

△EBDを使うか、△ECDを使うか、

ハッキリ決めないと途中で混乱する。

 

 

   ☆    ☆    ☆

問題5

あるスーパーマーケットでは、1パック

8個入りの卵が売られています。下の

データは、無作為に選んだ2つのパック

A、Bに入っていた卵の重さ(単位:g)

です。

 

A 59,62,60,63,62,59,61,62

B 62,59,58,61,60,63,58,59

 

それぞれのデータについて、分散を

求めなさい。

 

 

解答

(Aの平均)=61

(Aの分散)

=(2²+1²+1²+2²+1²+2²

   +0²+1²)/8

2 ・・・答

 

(Bの平均)=60

(Bの分散)

=(2²+1²+2²+1²+0²+3²

   +2²+1²)/8

3 ・・・答

 

感想

統計の基本問題で、計算も簡単。全体

の正答率は50%で最高。通過者は

87%で、2番目の出来の問題だった。

間違えた人は、確率分布の分散と混同

して、n=8で割るのを忘れたのかも。

 

 

問題6 正答率が最低だった問題で、

    既に別記事でアップ済。

 

 

問題7

tan(x/2)=t とするとき、

sin x、cos x、tan x を、それぞれ

t を用いて表しなさい。

 

解答

1+tan²(x/2)

 =1/cos²(x/2)

より、cos²(x/2)=1/(1+t²)

 

sin x=2sin(x/2)cos(x/2)

   =2cos²(x/2)・tan(x/2)

   =2t/(1+t²) ・・・答

 

 tan x=2tan(x/2)

       /{1-tan²(x/2)}

   =2t/(1-t²) ・・・答

 

 cos x=sin x/tan x

   =(1-t²)/(1+t²)・・・答

 

感想

計算のやり方によっては、符号の

プラス・マイナスの問題が生じて面倒。

ただ、ほとんど公式だし、最後の答

には見覚えがある人が多かったはず。

全体正答率23%、通過者80%。

 

 

   ☆    ☆    ☆

問題8

正の整数a、bに対して、a²は9桁、

a²b⁴は34桁の数とします。このとき、

aとbの桁数をそれぞれ求めなさい。

 

解答

 10⁸≦a²<10⁹ だから、

 10⁴≦a<10⁵

よって、aの桁数は5桁。 ・・・答

 

また、10⁸≦a²<10⁹より  

∴(1/10⁹)<1/a²≦(1/10⁸)  

10³³≦a²b⁴<10³⁴ と掛け合わせて、

 10²⁴<b⁴<10²⁶

∴ 10⁶<b<10⁷

よって、bの桁数は7桁。 ・・・答

 

感想

不等式の正確な扱いが必要。全体の

正答率32%、通過者70%。差が

小さいのは、答の桁数の候補が3つ

くらいしかないからかも♪

 

 

問題9

次の式を展開したときの項数を求め、

nを用いて表しなさい。

{∑a k (k=1~n)}²

 =(a1+a2+a3+・・・+a n)²

 

解答

2乗の項がn個。

それ以外が、 nC2=n(n-1)/2 個。

∴ n+n(n-1)/2

   =n(n+1)/2 (個) ・・・答

 

感想

断トツで簡単だし、出題意図も不明で、

不安になってしまった。次の2問が難しい

から、その前にサービスという意味か♪

全体正答率24%、通過者77%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

次の問題10と問題11は、既に別記事

をアップしてある。あと1本書けば、今年

の数学甲子園もようやく終了。

 

今日のところはこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.数学甲子園2017予選、

   全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

        (計 3138字)

  (追記37字 ; 合計3175字)

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