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数学甲子園2018予選、解き方と感想2(問題1~5、7~9)

☆追記: 最後の記事もアップ完了。

 

 2018予選3(問題12~20) )

 

 

 

 

 

   ☆    ☆    ☆

 

数学甲子園2018予選の問題が公式

 

サイトで公開されたのは、10月下旬

 

だったと思う。実際の予選は夏だから、

 

2ヶ月遅れ。

 

 

 

前から指摘してるけど、せめて9月16日

 

の本選前に公表すれば注目度が上がる

 

はず。当サイトの関連記事へのアクセス

 

も、本選が終わると急激に減少する。

 

 

 

だから、10月31日に本選結果が訂正

 

されたのもあまり知られてないだろう。

 

7位とされてた開成高1Sチームが

 

4位に浮上。元の4~6位のチームが

 

1つずつ順位を下げてた。

 

 

 

正直に自ら公表したのはいいとして、

 

1ヶ月半後というのは遅すぎるし、数学

 

の大会で入賞者の点数の集計ミスと

 

いうのは残念なこと。単なる2ケタ~

 

3ケタの自然数3つの足し算。実際は、

 

集計というより「採点」ミスなのかも。。

 

 

 

 

 

    ☆    ☆    ☆

 

とにかく今年も予選記事をアップしよう。

 

正答率が低かった3問は、本選ライブ

 

動画で紹介された後、記事をアップして

 

ある。残り17問も過去と比べて難しめ

 

で、平均点の低さは当然だろう。

 

 

 

20点満点平均僅か4.3点本選

 

出場者でさえ11.8点に留まってた。

 

満点はゼロだけど、19点が2人。

 

FRESH LIVE動画より。

 

 

 

181106a

 

 

 

なお、既にアップ済みの今年の記事

 

5本は以下の通り。

 

 

 

 数学甲子園2018予選、

 

  正答率の低い3つの問題

 

 

 

 数学甲子園2018本選Math

 

 Battle(マスバトル)、問題と

 

 解き方1(英語の問題)  

 

 

 

 2018(マスバトル)、解き方2

 

 (問題1~6)

 

 解き方3 (第7問、白黒タイル

 

 解き方4 (問題8~12

 

 

 

 

 

    ☆    ☆    ☆

 

問題1

 

次の式を因数分解しなさい。

 

 36x²+6xy-12y²

 

    +11x+26y-12

 

 

 

解答

 

xで整理して、たすき掛けを利用。

 

 36x²+(6y+11)x

 

   -2(3y-2)(2y-3)

 

(4x-2y+3)(9x+6y-4) 答

 

 

 

感想

 

正答数0問と1問の参加者が大勢いる

 

ということは、因数分解が解けなかった

 

参加者が多いということ。1問3分しか

 

ないし、緊張してるから大変だろう。

 

 

 

最後のたすき掛けを素早く成功させる

 

コツは、1次の項の定数11に着目する

 

こと。奇数だから、2次の係数と定数項

 

の分解は、奇数×奇数の形ができる

 

ように行う。

 

 

 

全体の正答率は48%。通過者は

 

84%。小数点以下は四捨五入した。

 

以下でも同様。

 

 

 

 

 

問題2

 

x についての2次不等式

 

ax²+bx+c≧0の解がx=aで

 

あるとき、a、b、c、の符号をそれぞれ

 

求めなさい。

 

 

 

解答

 

y=左辺のグラフが上に凸の放物線

 

で、頂点が(a,0)であるための条件

 

を求めればよい。

 

まず、a<0 ・・・答

 

また、 -b/2a=a

 

   -(b²-4ac)/4a=0

 

∴ b<0, c<0 ・・・答

 

 

 

感想

 

教科書の章末問題くらいの標準レベル。

 

全体の正答率は意外なことに、27%。

 

平方完成で頂点の座標を求める時に

 

間違えたということか。通過者は76%。

 

 

 

 

 

    ☆    ☆    ☆

 

問題3

 

次の式を簡単にしなさい。

 

181106b

 

 

 

解答

 

4+√15=(8+2√15)/2

 

      =(√5+√3)²/2

 

4-√15=(√5-√3)²/2

 

∴(分子)=(√5+√3)³/2√2

 

    +(√5-√3)³/2√2

 

   =7√10

 

 

 

同様の計算で、

 

(分母)=13√10

 

∴(与式)=7/13 ・・・答

 

 

 

 

 

感想

 

最初、反射的に分母の有理化を行って、

 

上手く行かないから方針変更。与式の

 

カッコ内が2乗の形になることを発見。

 

甲子園の予選としては適度な計算かも。

 

全体正答率7%、通過者33%。

 

 

 

 

 

問題4

 

AB=6、BC=4、CA=5の△ABC

 

があり、∠ABCの二等分線と辺ACの

 

交点をD、∠ACBの二等分線と辺AB

 

の交点をE、線分CEとBDの交点をF

 

とします。

 

△ABCの面積をSとするとき、△DEF

 

の面積をSを用いて表しなさい。

 

 

 

181106c

 

 

 

解答

 

角の二等分線が対辺を分割するときの

 

長さの性質を利用する。

 

△ABD=6/(6+4)S=3S/5

 

△EBD=△ABD×4/(5+4)

 

    =(3S/5)×4/9

 

    =4S/15

 

 

 

CD=AC×4/(6+4)=2

 

∴BF:FD=BC:CD

 

     =4:2

 

     =2:1

 

∴△DEF=△EBD×1/(2+1)

 

      =4S/45 ・・・答

 

 

 

感想

 

標準レベルのサービス問題で、計算

 

も簡単、図も添えてある。予選通過

 

のためには確実に取りたいところ。

 

△EBDを使うか、△ECDを使うか、

 

ハッキリ決めないと途中で混乱する。

 

 

 

 

 

   ☆    ☆    ☆

 

問題5

 

あるスーパーマーケットでは、1パック

 

8個入りの卵が売られています。下の

 

データは、無作為に選んだ2つのパック

 

A、Bに入っていた卵の重さ(単位:g)

 

です。

 

 

 

A 59,62,60,63,62,59,61,62

 

B 62,59,58,61,60,63,58,59

 

 

 

それぞれのデータについて、分散を

 

求めなさい。

 

 

 

 

 

解答

 

(Aの平均)=61

 

(Aの分散)

 

=(2²+1²+1²+2²+1²+2²

 

   +0²+1²)/8

 

2 ・・・答

 

 

 

(Bの平均)=60

 

(Bの分散)

 

=(2²+1²+2²+1²+0²+3²

 

   +2²+1²)/8

 

3 ・・・答

 

 

 

感想

 

統計の基本問題で、計算も簡単。全体

 

の正答率は50%で最高。通過者は

 

87%で、2番目の出来の問題だった。

 

間違えた人は、確率分布の分散と混同

 

して、n=8で割るのを忘れたのかも。

 

 

 

 

 

問題6 正答率が最低だった問題で、

 

    既に別記事でアップ済。

 

 

 

 

 

問題7

 

tan(x/2)=t とするとき、

 

sin x、cos x、tan x を、それぞれ

 

t を用いて表しなさい。

 

 

 

解答

 

1+tan²(x/2)

 

 =1/cos²(x/2)

 

より、cos²(x/2)=1/(1+t²)

 

 

 

sin x=2sin(x/2)cos(x/2)

 

   =2cos²(x/2)・tan(x/2)

 

   =2t/(1+t²) ・・・答

 

 

 

 tan x=2tan(x/2)

 

       /{1-tan²(x/2)}

 

   =2t/(1-t²) ・・・答

 

 

 

 cos x=sin x/tan x

 

   =(1-t²)/(1+t²)・・・答

 

 

 

感想

 

計算のやり方によっては、符号の

 

プラス・マイナスの問題が生じて面倒。

 

ただ、ほとんど公式だし、最後の答

 

には見覚えがある人が多かったはず。

 

全体正答率23%、通過者80%。

 

 

 

 

 

   ☆    ☆    ☆

 

問題8

 

正の整数a、bに対して、a²は9桁、

 

a²b⁴は34桁の数とします。このとき、

 

aとbの桁数をそれぞれ求めなさい。

 

 

 

解答

 

 10⁸≦a²<10⁹ だから、

 

 10⁴≦a<10⁵

 

よって、aの桁数は5桁。 ・・・答

 

 

 

また、10⁸≦a²<10⁹より  

 

∴(1/10⁹)<1/a²≦(1/10⁸)  

 

10³³≦a²b⁴<10³⁴ と掛け合わせて、

 

 10²⁴<b⁴<10²⁶

 

∴ 10⁶<b<10⁷

 

よって、bの桁数は7桁。 ・・・答

 

 

 

感想

 

不等式の正確な扱いが必要。全体の

 

正答率32%、通過者70%。差が

 

小さいのは、答の桁数の候補が3つ

 

くらいしかないからかも♪

 

 

 

 

 

問題9

 

次の式を展開したときの項数を求め、

 

nを用いて表しなさい。

 

{∑a k (k=1~n)}²

 

 =(a1+a2+a3+・・・+a n)²

 

 

 

解答

 

2乗の項がn個。

 

それ以外が、 nC2=n(n-1)/2 個。

 

∴ n+n(n-1)/2

 

   =n(n+1)/2 (個) ・・・答

 

 

 

感想

 

断トツで簡単だし、出題意図も不明で、

 

不安になってしまった。次の2問が難しい

 

から、その前にサービスという意味か♪

 

全体正答率24%、通過者77%。

 

 

 

 

 

    ☆    ☆    ☆

 

次の問題10と問題11は、既に別記事

 

をアップしてある。あと1本書けば、今年

 

の数学甲子園もようやく終了。

 

 

 

今日のところはこの辺で。。☆彡

 

 

 

 

 

 

 

cf. 数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

 19予選、解き方と感想2(問題1~6)

 19予選、解き方と感想3(問題7~12)

   

数学甲子園2017予選、

 

   全20問の問題、解き方、感想

 

  同・本選Math Battle、

 

    問題と解き方(abema動画)

 

  同・問題と解き方2

 

  同・問題と解き方3

 

 

 

 2016本選1st Stage、全問題

 

 16予選、全20問の解き方、感想

 

 16(Abemaライブ)、前半感想

 

 2015準々決勝、全問コメント

 

 15予選、全20問の解き方、感想

 

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 

 13予選ポイント、問題15解説

 

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

 

 

        (計 3138字)

 

  (追記105字 ; 合計3243字)

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コメント

Q7 は

{x^2+y^2=1,y=t (1+x)}を解くのが 
   世界の人々の常套手段

    で 多くの応用∃.

事例達を どうぞ;

投稿: マス | 2019年8月22日 (木) 13時24分

> マス さん
  
はじめまして。コメントどうもです。
xy平面で、単位円の左端の点を通過する傾きtの直線と、
単位円との交点の座標を求める方法ですね。
    
この問題では、角度に文字xが使われてることもあり、
私は三角関数のみの基本変形を書いておきました。
   
「世界」だと、例えば英語版ウィキペディアの三角関数の
項目では、答をそのまま公式として掲載してます。
https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions

投稿: テンメイ | 2019年8月23日 (金) 23時27分

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