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部分分数分解と置換積分、部分積分、鉛直投げ上げ、確率~亀梨ドラマ『手紙』の数学問題と解答

亀梨和也主演、東野圭吾原作のドラマ『手紙』(テレビ東京系)。

普通にレビューしようと思ってたのに、数学にハマってしまった (^^ゞ

・・っていうか、ちょっとした個人的事情もあって、数学Ⅲの計算

練習をしときたかったのだ。

 

まあ、同じ東野原作の大ヒットドラマ『ガリレオ』みたいに、亀梨=

武島直貴が数式を書くシーンもあったし、『ガリレオ』のボケ役・

渡辺いっけいも出てたし、こんなマニアックなドラマ系数学記事も

悪くないと思う。アクセス成績は悪そうだけど(笑)

 

黒板1問と問題集1問くらいしか読み取れないだろうと思ってたら、

問題集は3問読み取れてしまったし、他にノートの問題まで読めて

しまった (^^ゞ こうなると、マニアは解き切るまで落ち着かない♪

ほぼ全部解いてしまったので、簡単に記事にまとめとこう。

 

ちなみに脚本家は美青年ドラマ『アルジャーノンに花束を』も担当

してた池田奈津子。あの時は、山Pが大学レベルの数式を書き

なぐってたけど、今回は受験レベルの高校数学で、標準~やや難

といった程度。

 

181220d

 

東京大学・・じゃなくて京都大学・・でもなくて「帝都大学」の数学科

なら、もっと難解で思考力を要求する問題を出すはず。上は教学社

・・じゃなくて教鞭社?(or教談社とか)の赤本。7年分でこの厚さ

だと、新品なら3000円以上する本だけど、やがて捨てられる

のであった。ヤフオクかメルカリなら1000円くらいで売れたのに♪

 

 

     ☆       ☆       ☆

181220a

 

では、最初のシーン。定時制高校の数学教師・朝美(広瀬アリス)

に、マンガ読んでたでしょ・・とか注意された直貴が取り出したのは、

『徹底攻略 数学Ⅲ ハイレベル問題集』。数研出版・・じゃなくて

数式出版・・でもなくて、「数識」出版♪ 作った美術スタッフさんの

漢字変換ミスかも(笑)

 

181220b

 

この問題集。よく見ると、先生が使うような丁寧言葉が入ってる。

ひょっとすると当初は、朝美が書き込んで個人指導する設定だった

のかも。直貴に、予備校や塾に行く余裕はないはず。ちなみに監督

(演出)は、深川栄洋。

 

181220c

 

画面下を流れるスタッフロールに、数学監修の名前は無かったと

思うけど、私が読み取れた範囲だと、問題も書き込みもノートもほぼ

全て正しい。本物の数学なのだ。

 

 

     ☆       ☆       ☆

直貴がノート3ページ以上を使って解いてたのは、上の403番

問題(細かっ・・♪)。

 

分数関数8/(x²+4)の区間-√2≦x≦√2における定積分

を、誘導にしたがって解く。偶関数だから、0≦x≦√2で求めて

2倍すればいい。分子の8は、計算を簡単にするための配慮。

 

まず部分的な2つの分数に展開するため、次の式が与えられる。

いわゆる部分分数分解のテクニック。

 8/(x²+4)

  =(Ax+B)/(x²+2x+2)

   +(Cx+D)/(x²-2x+2)

 

右辺を通分して分子の式の係数を見比べると、

 A=1,B=2,C=-1,D=2

直貴のノートもそうなってる。ただし彼は、係数比較じゃなくて、

xに4つの簡単な整数を代入して解いてた。記述式テストなら減点

されるかも♪ それだと単なる必要条件を求めたことになるからだ。

 

181220e

 

結局、 8/(x²+4)

  =(x+2)/(x²+2x+2)

   +(-x+2)/(x²-2x+2)

 

ここでまず、(おそらく)

 J=∫(x+2)/(x²+2x+2) dx

  =∫(x+2)/{(x+1)²+1} dx

(0≦x≦√2)とおき、x+1=tanθと置換

(ただし、-π/2<θ<π/2)。

dx=1/(cos²θ) dθ。

 

 J=∫(tanθ+1) dθ

   (π/4≦θ≦3π/8)

  =[-log(cosθ)+θ]

  =log{√2/(√(2-√2))}+π/8

 

181220f

 

ちなみに、置換した時のθ=3π/8を求めさせる誘導が(2)。

tanの倍角公式で先に2θ=3π/4を求める。

 

一方、 K=∫(-x+2)/(x²-2x+2) dx

  =∫(-x+2)/{(x-1)²+1} dx

(0≦x≦√2)とおき、x-1=tanθと置換。

以下、Jの時と同様の計算で、

 K=log√(2+√2)/√2+3π/8

 

∴ (問題の定積分)=2(J+K)

   =π+log(3+2√2) ・・・(3)の答

もちろん、無料AIのWolfram(ウルフラム)で検算済♪

 

 

     ☆       ☆       ☆

ちょっと入力に時間がかかり過ぎてるので、後はもう省略しよう。

 

181220h

 

問題集の右ページ中段、407番は、

a(?)=∫√(x²+1) dx

J=∫1/√(x²+1) dx

を求める(共に、 0≦x≦1)。

 

誘導に従って、

x=(1/2){eのt乗-eの(-t)乗}とおき、

積分区間は0≦t≦log(1+√2)。

a=(1/2)log(1+√2)+√2/2

J=log(1+√2) ・・・答

 

 

    ☆       ☆       ☆

181220g

 

408番は部分積分を利用した積分漸化式の証明と応用。

 I n=∫1/(cos x)ⁿ dx

  (0≦x≦π/4)に対して、

n・I n=(n+1)I n₊₂ -(√2)ⁿ

 

I n₊₂ の式で、

 1/(cos x)ⁿ⁺²

 ={1/(cos x)ⁿ} (tan x)´

と変形して部分積分すれば証明できる。

(3)で証明して、(4)でそれを応用。(1)と(2)はウォーミング・

アップの計算問題になってた。

 

 

     ☆       ☆       ☆

直貴と朝美が2人仲良く黒板で書いてたのは、数学Ⅰの基本問題

で、物理の力学の基本でもある。鉛直投げ上げ or 鉛直投射。

 

ここでは数学の問題だから、物理の公式を与えてくれてるようだ。

重力加速度gは簡単な近似値-10(m/s²)にしてある。上向き

が正だから符号はマイナスで、2次の係数 g/2=-5。

 

181220i

 

弓で矢を上空に飛ばす。鉛直方向(真上)に、秒速30mの初速。

x秒後の高さをy(m)とすると、

 y=-5x²+30x (0≦x≦6)

地上から40m以上の高さにあるのは

打ち上げてから何秒後から何秒後までか?

 

-5x²+30x≧40

∴ x²-6x+8≦0

∴ (x-2)(x-4)≦0

∴ 2≦x≦4

よって2秒後から4秒後まで。 ・・・答

 

181220k

 

 

     ☆       ☆       ☆

最後に、直貴がノートで解いてた確率・場合の数の問題。

 

181220j

 

問題が見えないし、ノートも一部しか見えないけど、左上で開いてる

問題集(たぶん微分の単元)はノートと合ってないと思う♪

 

録画を何度も巻き戻してチェックすると、どうも箱か袋の中に

赤玉4コ、青玉3コ、白玉2コ、合計9コ入ってるらしい。そこから

同時に4コ取り出す時の場合の数と確率を求めてる感じだ。

 

(1)はおそらく、

(白玉が入ってない確率)

 =(白無しの選び方)/(すべての選び方)

 =₇ C ₄ / ₉ C ₄

 =(7・6・5・4/4・3・2・1)

   ÷(9・8・7・6/4・3・2・1)

 =5/18 ・・・答

 

181220l

 

(2)はおそらく、余事象の確率の問題。

 (青玉が入ってる確率)

 =1-(青玉が入ってない確率)

 =1-₆ C ₄ / ₉ C ₄

 =1-5/42

 =37/42 ・・・答

 

(3)はおそらく、

 (赤・青・白すべての色が入ってる確率)

  =(赤2コの確率)+(青2コの確率)+(白2コの確率)

  ={(₄C₂×₃C₁×₂C₁)+(₄C₁×₃C₂×₂C₁)

  +(₄C₁×₃C₁×₂C₂)}/₉ C ₄

 =(36+24+12)/126

 =72/126

 =4/7 ・・・答

 

181220m

 

上で直貴は、英語の頭文字を使って、赤(red)をrコ、青

(blue)をbコ、白(white)をwコとして、

(r,b,w)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)

と3つの場合を書き出してる。すごくマジメな解き方♪

 

フーッ・・やっと終わった。。 入力、検算、キャプチャー画像処理

で大変なのだ。自分へのご褒美はブルボンの名作チョコクッキー、

アルフォート♪ それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

        (計 3057字)

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コメント

自分へのご褒美はブルボンの名作チョコクッキー
→もっともっとご褒美をアップした方が・・・
大活躍ですよ!!

投稿: gauss | 2018年12月22日 (土) 00時54分

> gauss さん
  
こんばんは。毎度どうもです。
自分では満足だし、数学的な中身もある記事だけど、
Googleには今のところ無視されてます♪
   
テレビドラマで、本・ノート・黒板の数式が
ほぼ読み取れて、おまけに正しいのは珍しいこと。
『ハードナッツ』を思い出しました

投稿: テンメイ | 2018年12月23日 (日) 02時36分

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