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2変数関数z=f(x,y)の最大値と最小値~高校数学の解き方&Wolfram入力と3Dプロット

正直に言うと、本当は無料の数学ソフト2つの比較記事を書く予定

だった。Wolfram Alpha(ウルフラム・アルファ)と、

Maxima(マキシマ、マクシマ)。

 

ところが、4年半ぶりに使ったマキシマに悪戦苦闘。そもそも「2x」

を「2*x」と入力しないとエラーになる事さえ、分からなかった。

・・と言うより、思い出せなかった。なまじ、ウルフラムの普通の入力

方法に馴染んでたのが災いしてしまったのだ。

 

下図は、マキシマで1次方程式2x-6=0を説いた様子。私が

入力したのは結局、式「2*x-6=0」だけなのに、30分以上の

時間を使用(or 浪費)。アステリスクで入力した掛け算記号が

単なる点「・」として表示されるのも、滅多に使わないカギカッコ

の形([ ])が挿入されるのも、どうも馴染めない。

 

181218a

 

 

     ☆       ☆       ☆

言い訳やボヤキはともかく、もう記事の締切時間が迫ってるので、

考えてるヒマはない。普通の手計算とウルフラムだけで軽く1問

解くだけにしよう。過去の経験上、それなりの需要はあると思う。

 

なお、以前書いたウルフラムの紹介・入門記事は以下の通り。

アクセスはわりと多いけど、半分くらいは、単なる公式サイトへの

入り口として通過する読者のようだ♪ 他に、今年(2018年)

の数学甲子園記事2本でも利用した(本選2本選4

 

 Wolfram Alpha(ウルフラム・アルファ)

   日本語版、高校数学の質問にすぐ応答

 

 

     ☆       ☆       ☆

では、高校数学のやや難しい問題を考えてみよう。

 

 z=3x²-2xy-8x+2y (0≦x≦y≦3)

  の最大値、最小値を求めよ。

 

zは単なる値域の変数だから、変数である右辺のxとyの扱いが

ポイント。xについて2次、yについて1次の式だから、セオリー的

には、次数の低いyについて整理することになる。

 

 z=2(1-x)y+3x²-8x ・・・☆

 

式☆は、xを固定して考えると、yの一次関数。グラフは直線

だから、傾きの符号で場合分けして、最大値や最小値を考える。

yの定義域は、x≦y≦3。

 

(1) 1-x>0 [つまりx<1]の場合、直線は右上がり。

  最大値y=3の時で、

  z=3x²-14x+6

   =3(x-7/3)²-31/3

  さらに、0≦x<1の範囲でxを動かすと、

   (zの最大値)=(x=0の時のz)=

 

  最小値y=xの時で、

  z=x²-6x=(x-3)²-9

  さらに0≦x<1の範囲でxを動かすと、zはx=1の時の

  値-5に向かって限りなく減少するが、最小値は存在しない

 

(2) 1-x=0 [つまりx=1]の場合

   (zの最大値)=(zの最小値)=-5 

      (yは1≦y≦3をみたす任意の実数)

 

(3) 1-x<0 [つまりx>1]の場合、直線は右下がり。

  最大値y=xの時で、

   z=x²-6x=(x-3)²-9

   さらに1<x≦3の範囲でxを動かすと、zはx=1の時の

   値-5に向かって限りなく増大するが、最大値は存在しない

 

  最小値y=3の時で、

   z=3x²-14x+6

   =3(x-7/3)²-31/3

   さらに1<x≦3の範囲でxを動かすと、

   (zの最小値)=(x=7/3の時のz)

         =-31/3

 

以上、(1)~(3)の場合分けをまとめると、最終的な答は

(最大値)=6 ((x,y)=(0,3)) 

(最小値)=-31/3 ((x,y)=(7/3,3))

 

 

     ☆       ☆       ☆  

難問というほどではないし目新しくもないが、記述式の問題だと

全体の出来は悪いと思われる。計算は簡単だが、正確な論理と

表現が必要。配点20点、時間20分なら平均5点くらいか。

 

一方、ウルフラムのAIだと、最後の答だけなら1秒で出力。

入力もほぼ普通でOK。「xy」の中央にスペースを入れる

のが基本らしいが、無くても正しく解釈してくれる。

 

181218b 

 

 

     ☆       ☆       ☆      

さらに凄いのが、xyz空間での曲面表示、3Dプロット

 

181218c

 

最大値と最小値を与える赤い点2コは、自動的に表示される。

青い線は私が書き込んだもので、x<1の範囲だとyが増えるに

つれて少し上昇、x>1の範囲だと少し下降するのが感じ取れる。

 

ちなみにこの図を拡大しようとすると有料版のProに誘導される。

あるいは本格版の定番高額ソフト、Mathematica。

 

 

     ☆       ☆       ☆

ちょっと分かりにくいけど、登山用地図みたいな等高線プロット

も表示される。3Dプロットと同じく、色が薄いほど高い場所(z

が大きい)、濃いほど低い場所(zが小さい)。逆の色使いの方が

自然だと思うのは、日本的な感覚だろうか。

 

181218d

 

上図からx=1の箇所を推測すると、等高線は垂直。つまり、

yの値に関わらず、zはほぼ一定だろうと予想される。

 

こういったコンピューター&プログラムの活用は、まだ学校教育や

受験学習では遅れてるようで、今後は授業改革が進むだろう。

私もブログ改革が必要だ♪ それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

           (計 1964字)

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