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開立法、³√(3乗根、立方根)の筆算~海軍兵学校の算術3

100年以上前の海軍兵学校の数学試験(算術)、第3弾。

最後は3乗根、立方根の筆算である開立法となる。珠算(そろばん)

の世界などでは、開立算とも呼ばれる。

 

一つ一つの計算は単純な算数だし、長くもないが、特殊な組合せ

による計算法なので、これだけを読んでもピンと来ないと思う。

平方根の筆算を知らない方は、まずウォーミングアップとして、

前の記事を読むことをお勧めする。

 

 √(ルート)の筆算、開平法~海軍兵学校の数学試験(算術)2

 

根本的には、答を1ケタずつ探していくわけで、別にやり方など

知らなくても、少し頑張って試行錯誤すれば解ける。それを工夫

して、スムーズな流れにするのが以下の方法。

 

ただし、その方法自体がちょっと覚えにくいし、使いにくい。私は

この記事のために1週間ぶりに解いたが、ちょっと忘れてた♪

 

 

    ☆       ☆       ☆

今回は、一般的な説明や試験問題の前に、簡単な実例で解説

しておく。私が作ったもので、一番簡単な部類だろう。

 

(問) 238328の立方根を求めよ。    

190123a

 

まず、1の位から左側に3ケタずつ区切る。そして、先頭(左端)

の3ケタ(以下)に対して、3乗すると同じか少し小さくなる数

を右側に書く。この場合だと、3乗して238より少し小さくなる

のは。そして、6³=216を引いて、次の3ケタを下ろす。

 

190123b

 

左側に、18(=3×)と、10800(3×100ײ)

を書く。これは、答の次のケタを求めるための準備。

 

190123c

 

答の次のケタの数(1ケタ目)は、上のような計算で右下が

22328以下になる数のうち、最大のものとする。

具体的には、右側に残ってる22328に対して、中央の下側は

ほぼ11000くらいだから、倍するのだろうと考える。

 

この時、18×=364

 10800+364=11164

 11164×=22328

ちょうど右側の数と差し引きゼロになって、答は6となる。

 

 

     ☆       ☆       ☆

海軍の問題に移る前に、理屈とか理由を少し考えてみよう。

上で、2を求める計算は何なのか。

 

6の次の数をaとすると、

 (60+a)³≦238328

∴ 60³+3×60²×a

  +3×60×a²+a³≦238328

∴ (3×60²+3×60×a)a

   ≦22328

 

最後の式の左辺で、カッコの中を計算してるのが

筆算の左側。そして筆算の中央下側さらにa倍(=2倍)

して、22328以下にする。この場合はちょうど22328

になって終了。

 

もちろん、ちょうど一致しなければ、次のケタに進んで同様の

計算を繰り返すことになる。

 

なお、最初に3ケタずつ区切るのは、答の数が1ケタ

(=10倍)上がるたびに、3乗すると3ケタ(=10³倍)

上がるため。

 

 

    ☆       ☆       ☆

それではいよいよ海軍兵学校の試験問題のラスト。第7問。

これまでと同様に、当時の解答に合わせて説明する。出典は

上のリンク(国立国会図書館デジタルコレクション)参照。

 

7. 0.028934443 ノ立方根ヲ求ム

   (注. 小数点の直前のゼロは省略してた)

 

190123d_2

 

小数を避けたければ、まず1000³=10億倍して

28934443にして解いた後、答を1/1000する。

ただ、ここではそのまま小数で解く。

まず答の小数第1位はで、28から3³(=27)を引く。

 

190123e

 

右側は次の3ケタを下ろして、1934にする。左側は、

9(=3×)と2700(=3×100ײ)を書く。

 

190123f 

 

2700より少し大きい数とかけ合わせて1934以下になる

数は、0~9の中だとのみ。そこで、答の次のケタ(小数

第2位)にと書き、左端の9の次にと書く(後で補足)。

 

190123g

 

答の3ケタ目(小数第3位)をとすると、上図のように

キレイに差し引きゼロになる。

 907×7=6349

 270000+6349=276349

 276349×7=1934443

 

 

    ☆       ☆       ☆

なお、小数第2位を求めた時の答の書き方は、上では省略

してある(当時の解説書がそうなってるから)。

 

省略せずに書くと、下のようになる。右上の答の所に

「0.」を書き忘れてるので、悪しからず。

 

190123h

 

最後に、答が0を含まない3ケタの場合も示しとこう。

9663597の立方根213の求め方。

左下には、3×21と3×21²を書く。

ちなみに検算は、例えばカシオのサイトが便利だ。

 

190123i

 

190123j

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

          (計 1735字)

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