« 海軍兵学校の数学試験(算術)~明治36年度(1903年)の問題と解説・解答 | トップページ | 稀勢の里の四股(シコ)の踏み方&初ハーフ、粘りの走り »

√(ルート)の筆算、開平法~海軍兵学校の数学試験(算術)2

今日は、昨日の記事の続きで、明治36年の海軍兵学校の数学

試験を解説する。最近の学校教育ではあまり見かけない特殊な

計算だし、まず前置きから入ることにしよう。不要な方はスクロール

すれば、すぐに問題と解答を読める。

      

自然数の√(ルート)や平方根は、誰でもそれなりには計算した

ことがあるだろう。最初に習うのが、1ケタや2ケタの数の√。

4の平方根は±2、√4=2とか、√49=7とか。

 

これらは九九(くく)を覚えてれば一瞬で解けるけど、元の数が

3ケタ以上になると、多少考えることになる。

 

 

     ☆       ☆       ☆

例えば、263が素数かどうかを考える時、2で割れるか、3で

割れるか・・と考えて行って、√263以下の最大の自然数

(=16)まで試せばいい(正確には素数13まで)。

 

私が√263の近似値を計算するなら、まず15²=225

を思いつく。続いて、16²=256、17²=289。

 ∴ 16²<263<17²

 ∴ 16<√263<17  

こんな感じで数秒ほど暗算。「16.・・」だなと考える。

 

要するに、2乗して、√の中身を超えないような最大の数を

探すのであって、普通は簡単な計算で済む。しかし、√の

中身が大きい数だったり、小数点以下が長い数だったりすると、

ちょっと面倒で、何か工夫をしたくなる。

 

 

     ☆       ☆       ☆

普通は「開平法」と呼ばれ、珠算(そろばん)だと「開平算」とも

呼ばれる方法も、√の計算をちょっと工夫して筆算しやすく

したもの。だから、工夫そのものが難し過ぎるとあまり意味は

ない。それなら普通に手探りで2乗して探してもいいことになる。

 

その意味で、以下に示す明治期の開平法(の一種)は、手頃な

工夫だと思う。ほどよく丁寧で、ほどよく省略されてるのだ。

もっと丁寧な筆算はあちこちで説明されてるし、極端に省略

した筆算は英語版ウィキペディアにあった。

 

最大のポイントだけ、先に数式で示しとこう。√263なら、

十の位が1というのはすぐ分かる。一の位をaとすると、

 (10+a)² ≦ 263

∴ 10²+(2×10+a)a≦263

∴ (2×10+a)a ≦ 263-100

 

最後の式は見慣れないものだけど、最初の式より両辺の値

が小さいし、右辺の263-100という計算は普通の割り算

と似た操作。

 

そこで筆算の左側に(2×10+a)aを書き、ギリギリ

右側の263-100以下になるようにaを決めるのが基本。

ただし、明治の解答では、筆算の左側に 2×10+a 

だけ書いてるのだ。慣れれば効率がいいと思う。

 

より一般的に言うなら、

 (2×「既に求めてる答の部分」+a)a

  ≦ 「残ってる数」

という式を利用して、答の次のケタであるaを決めていく。

 

 

     ☆       ☆       ☆

では、100年以上前の「算術」(算数)の入試問題。当時の

略解が国立国会図書館デジタルコレクションで公開されてる

ので、あえてそれを利用してみる。

 

問題6

 三百坪の正方形の地面あり 其(その)一辺の長さ幾間

 (いくけん)幾尺なるか、但し尺の小数第二位以下

 四捨五入せよ

  (注. 今の言い方なら、小数第三位を四捨五入して

    小数第二位まで求める。)

 

解説込みの解答

 (三百坪)=300×(6尺×6尺)

     =10800 (平方尺)

 よって、√10800を求めればよい。

 (注. 当時の解答に合わせるため60√3には変形しない

 

190116a2

 

10800.0000と書いて、小数点の左右を2ケタずつ

縦線で区切る。その右側に、カギカッコで区切って答を書く。

   

2乗して、左端の1以下になる0以上の整数は、1しかない。

そこで、まず右上に1と書き(答の百の位)、その2乗

(=1)を元の数から引くと、8になる。

 

190116b2

 

答の最初のケタの1を2倍すると、2。

「2a」(つまり20+a)と掛け合わせて8以下になるような

aは、0しかない(0以上の整数では)。

 

そこで、右上に0(答の十の位)を書くと共に、左下は20と

書く。そして、8の右側に上から00を降ろして、800にする。

190116c2

 

さらに、「20b」(つまり200+b)と掛け合わせて

800以下となるような最大のbは、3。

 

190116d2

 

そこで、右上に3(答の一の位)を書き、

203×3(つまり609)を800から引いて191。

左端は、203に3を加えて206。要するにこれは、

既に求めてる答の部分「103」を2倍した数。

 

 

     ☆       ☆       ☆

190116e2

 

さらに同様の操作で、答の小数第一位である9を求め、

2069×9(つまり18621)を19100から引く。

 

190116f2

 

全く同様に、答の小数第2位が2と分かる。第3位は3

になるから、四捨五入によって切り捨てられる。

 

6尺が1間(けん)だから、は、

 103.92尺=17間1尺92

 

190116g2

 

 

     ☆       ☆       ☆

もちろん今なら、

 60√3=60×1.73205・・

と計算する問題だ。明治時代に、上の変形や√3の近似値を

使ってよかったかどうかは不明。

 

上図の下から3行目、「47500」は些細なミスというより

誤植か。正しくはもちろん「47900」で、その後の引き算

と結果は正しい。

 

なぜかこの解答(金刺芳流堂等)だと、小数点は今と同じ「.」

(点)になってるけど、前回の記事の問題文では「,」(コンマ)

だった。両方が混在してたということか? とりあえず保留。

 

ちなみに解答の最後は、「92強」と書いてた。切り捨てた時に

そう書き添えるのが当時の慣例だったのかどうか、これも保留

しとこう。なお、10√108

 

記事をまとめるのにずいぶん手間ヒマかかったので、最後の

問題の開立法(立方根の計算)はしばらく後回し。オマケの

具体例として、√5と√263の計算を付けとこう。   

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

190116g

 

190116h

 

         (計 2250字)

|

« 海軍兵学校の数学試験(算術)~明治36年度(1903年)の問題と解説・解答 | トップページ | 稀勢の里の四股(シコ)の踏み方&初ハーフ、粘りの走り »

数学」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




« 海軍兵学校の数学試験(算術)~明治36年度(1903年)の問題と解説・解答 | トップページ | 稀勢の里の四股(シコ)の踏み方&初ハーフ、粘りの走り »