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連続する3つの自然数の積と倍数、不定方程式の応用~2019センター試験・数学ⅠA・第4問(選択)

河合塾の分析によると、今年の数Ⅰ・

数Aの総合的な難易度は「昨年並み」。

ただし、「必答問題は計算量が少なく

易しいものが多かったが、選択問題は

誘導に気づきにくく難しいものがあった」。

 

以下で解説する選択問題・第4問の

(4)のラストは、確かに誘導に気づき

にくいというか、誘導を使いにくい。

 

これが時間の長い入試なら普通かも

知れないけど、センター試験は4問で

60分だから、1問平均15分。正確

には選択問題は配点20点だから、

単純計算だと12分。それでこの誘導

は不親切だろう。

 

せめて(3)を最初にして、その後で

(1)(2)を続けてれば、自然に(4)

を考えることができた。

 

ところが実際は(3)で不定方程式の

話の流れが一旦途切れるので、誘導

の流れを見失う。(3)の前半と後半

のつながりも分かりにくい。

 

特に、100点満点を取ろうと狙ってた

受験生は焦っただろう。ただし、難しい

のは一番最後だけなので、平均点には

それほど影響しないと思う。河合塾の

数Ⅰ・Aの予想平均点は60点で、去年

より2点弱下がっただけになってた。

 

なお、この記事はスマホで読む人の

割合が多いだろうから、1行の字数を

少なくする。PCやタブレットの方、

悪しからず。ちなみに私の入力はPC。

 

 

    ☆       ☆       ☆

問題はまだ大学入試センターで公開

されてないので、河合塾からコピペ

させて頂く。解答・解説は何も参考に

してない。厳密に書くと長いし、元々

マークシートだから、少し省略した。

 

190121a

 

解答(1)

 49x-23y=1

 49×8-23×17=1

(注. 8と17はアイウの単なる候補)  

辺々引いて、 

 49(x-8)-23(y-17)=0

 ∴ 49(x-8)=23(y-17)

49と23は互いに素だから、

x-8=23kと書ける。

 ∴ x=23k+8

よって最小の自然数xは8 ・・・ア

また、エオ23

 

x=23k+8を元の式に代入して

 49(23k+8)-23y=1

 ∴ y=49k+17

x=8の時、k=0だから、

 y=17 ・・・イウ

また、カキ49

 

 

    ☆    ☆    ☆

190121b

 

解答(2)

 A=49x、B=23yとし、

(1)を参考にして考える。

 

A-B=1の時、

 49x-23y=1

よって(1)より最小のAは49×8。

この時のBは23×17。

 

一方、A-B=-1の時

 49x-23y=-1

 49×8-23×17=1

辺々足して、

 49(x+8)-23(y+17)=0

∴ x=23k-8,y=49k-17

最小のAは49×15(k=1)で、

先ほどの8より大きくなってしまう。

 

以上より、AとBの差の絶対値が1なら 

(A,B)

=(49×,23×17) ・・クケコ

 

またA-B=2の時、上と同様にして

 x=23k+16

最小の自然数xは16だから、

最小の自然数Aは、49×16

 

一方、A-B=-2の時、

 x=23k-16

最小の自然数xは7(k=1)だから

最小の自然数Aは49×7。

これは先ほどの49×16より小さい。

この時、B=A+2=23×15 

 

以上より、差の絶対値が2なら

(A,B)

=(49×,23×15) ・・サシス

 

 

    ☆    ☆    ☆

190121c

 

解答(3)

 aとa+2の最大公約数は、

 aが奇数なら1、偶数なら2。

合わせると、1または2 ・・・セ

 

また、a=1の時を考えると、

 a(a+1)(a+2)=6

これがmの倍数だから、 m≦6

 

逆に、m=6としてみる。

連続する3つの自然数である

a、a+1、a+2の中には2の倍数

と3の倍数は必ず含まれるから、

3つの積は6の倍数。

 

以上より、条件をみたす最大の

mは6 ・・・ソ

 

 

    ☆    ☆    ☆

190121d

 

解答(4)

 6762=2××7²×23 ・・タチツテ

 

まず(3)より、b(b+1)(b+2)は

常に2×3(=6)の倍数。

よって、あと7²(=49)の倍数であって、

かつ、23の倍数であればよい

(正確には、bの必要十分条件)。

 

連続する3つの自然数b、b+1、

b+2のどれか1つが、単独で49の

倍数かつ23の倍数とすると、それは

49×23の倍数だから大きくなって

しまう。

 

そこで、49の倍数と23の倍数が

3つの中の別の数だとしてみる。

 

例えば、b=49x、b+1=23y

なら、49x-23y=-1

また、b=23y、b+2=49xなら、

49x-23y=2

 

結局、49の倍数と23の倍数の差

の絶対値が1か2だから、(2)の答

2種類を合わせて利用できる。

 

よって、49の倍数が最小になる

のは、それが49×7=343の時

((2)後半)。この時、23の倍数は

23×15=345。

 

したがって、345がb+2であり、

 b=343 ・・・トナニ

 

 

    ☆    ☆    ☆

なお、最初や途中の1次不定方程式

(整数解)を解く方法は色々ある。

 

例えば、49x-23y=1なら、

係数の絶対値が大きいxの側に

1,2,3,・・・と代入していく

のがコツで、x=8で成功する。

 

あるいは、まず

 23(2x-y)+3x=1

と変形して、2x-yの所に

1,2・・と代入していくやり方も

ある。2x-y=2ですぐに成功。

 

理論派の人なら、さらに

 3{7(2x-y)+x}

 +2(2x-y)=1

と変形したくなるかも知れない。

 

ただ、変形自体が面倒だし、

7(2x-y)+xの所に整数を

代入して成功しても、そこから

出て来るyが整数とは限らない

ので、あまり上手くはない。

 

最初の式から

 y=(49x-1)/23

  =2x+(3x-1)/23

と変形して行く方法は、さらに

面倒で、受験数学では損だろう。

 

ともあれ、数Ⅰ・Aの約40万人の

受験生の皆さん、お疲れさま♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.妻と再会できた夜、月見草の花畑

 ~上林暁『花の精』(2019国語)

 

二項分布と正規分布、標本による

  母集団の推測、信頼区間

 ~2018センター試験・数学ⅡB    

 

 陸上選手の体格指数BMI(散布図

 と補助線の傾き、箱ひげ図)

 ~2018センター試験・数学ⅠA

 

       (計 2356字)

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