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5人のカードゲームと背理法による証明~開成中学2019入試・算数・問題4

今年も朝日新聞・朝刊(2月5日)で、

開成中学の入試問題と解答例が公表

されたので、面白い問題を解説します。

解き方、考え方、図の変化などです。

 

小学生(5年、6年)でも読めるよう

書いてるつもりですが、解き方は塾

や小学校と少し違ってるかも知れ

ません。また、スマホ用に1行の

字数を少なくしてます。

 

過去2年の記事は下の通りです。  

 三角形の相似から四角形の

  面積比へ~2018問題1

 三角形の相似と比の応用

   ~2017問題3

 

 

   ☆    ☆    ☆

さて、目新しい難問の4番は複雑な

設定なので、朝日新聞のSAPIX

サピックス)の広告からコピペ

させて頂きます(半分ほどです)。

 

190205a

 

A、B、C、D、Eの5人が

10枚のカードでゲームします。

ハート♡1、3、5、7、9と、

スペード♠2、4、6、8、10

10はTと書きます(たぶん、

英語のTenの頭文字)。

 

最初はみんなハート1枚

スペード1枚。その後全員、数の

大きい方の手持ちカードを右どなり

の人にわたします(手順[1])。

 

それで、ハート2枚スペード2枚

になってしまった人は負けで退場

(手順[2])。残った人だけで次の

回に向かいます。

 

問題には具体例が1つあります。

Aが12、Bが67、Cが49、Dが

3T、Eが58から始めると、手順

[1][2]を2回繰返して、Aが

勝ち残ります。

 

190205b

 

 

   ☆    ☆    ☆

長いので、ウォーミングアップ

の問題(1)は省略。問題(2)を

見ましょう。

 

190205c

 

手順[1][2]を2回行った直後

勝ち残ったとします。

このゲームの最初と途中はどう

なってたのでしょう? 

 

問題では、まずDの途中(ケ)に

3があることを説明します。

「もし(ケ)に3がなかったと仮定

すると、おかしなことになる。だから

実際は3があったはず」という流れ。

 

高校で「背理法」(はいりほう)とか

呼ばれる、特別な証明です。背理

とは、おかしな理屈という意味。

「もし、ある事を仮定するとおかしな

事になるから、その仮定は誤り」と

いう形で、論理的思考力が必要です。

 

 

   ☆    ☆    ☆

190205d

 

まず、ケに3がないと仮定します。

 

最後にDが3と8を持っているの

だから、途中のCは3を持ってた

はず。それでCは退場してないから、

だったはず(ク・・(x))。

 

その時、Dはすでに8を持ってた

はずだし、もう1枚は8より大きい

数(次にEにわたすから)。しかも

Dは退場してないから、

だったはず(ケ・・(y))。

 

ということは、最初のCが8か9を

持ってて、Dにわたしたはずです。

 

最初のCが9を持ってたとしたら、

2と9。そこから9をわたして、3

を受け取って、23になったのです。

 

最初のCが8を持ってたとしたら、

3と8。そこから8をわたして、2

を受け取って、23になったのです。

 

結局、最初のCは29か、

・・・(z)。以上のxyzが、問題

(2)の(a)の解答です。

 

 

    ☆    ☆    ☆   

ところが一方、1回目には誰も負け

なかったのだから、全員が同じ

マークのカードをわたしたはず。

 

スペードのT(つまり10)は一番

大きい数で、必ずわたしたはず

だから、1回目は全員スペードを

わたしたことになります。

 

2をわたした人は12だったはず。

すると、4をわたした人は34。

さらに、6をわたした人は56。

8をわたした人は78。

T(=10)をわたした人は9T。

 

つまり、「スペードハートより

1大きい」・・・(2)(b)の答。

 

これは仮定とは関係ない真実

事実です。そして先ほどの(ウ)、

つまり最初のCが29か38だった

ということと話が合わない

 

だから(ケ)に3がなかったと仮定

したのは誤り実際は、(ケ)に

3があったことになります。

 

 

   ☆    ☆    ☆

ということは最初、Bが8を

持ってて、それが2回の操作で

Dまで来たことになります。

 

つまり最初の配置はB

。スペードはハートより

1大きいことを考えてます。

 

190205e

 

ここでCが12だと、1回目に2を

Dにわたしたあと、2回目にDが

3をわたすことになってしまいます。

よって、Cは12ではありません。

 

また、ここでCが9Tだと、1回後に

89となって、2回目にDに9を

わたすことになってしまいます。

よってCは9Tでもありません。

 

だから最初、Cです。

 

190205k

 

もし、AとEが9Tと12だと(下図)、

その後上手くいきません(試して

みてください)。

 

190205g2

 

正しいAとEは最初、

 

190205h

 

以下、2回の操作でDだけが勝ち

残ります。

 

190205i_2

 

190205j

 

 

   ☆   ☆   ☆

なお(2)(c)の答は次の通りです。

 

最初(下から3番目の図)の

A、B、C、D、E。 (ア)12

(イ)78(ウ)56(エ)34(オ)9T

 

1回目の後(下から2番目の図)

のABCDE。(カ)1T (キ)27

(ク)58 (ケ)36 (コ)49

 

これだけハイレベルの論理

パズルをわずかな時間で小学生

に解かせるというのは凄い中学

だと思います。4問で60分、1問

平均15分しかありません。

 

とにかく受験生の皆さん、どうも

お疲れさま。ではまた。。☆彡

 

 

cf. 3人のゲームトーナメント、

変わった時計~桜蔭中19入試

 

 

     (計 2011字)

 (追記30字 ; 合計2041字)

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