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3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中学2019入試・算数問題1,4

2月1日、女子の最難関である桜蔭

(おういん)中学入試が行われました。

6日の朝日新聞・朝刊に算数の問題

が掲載されたので、面白い2問を

解説してみます。

 

問題文が長くて、設定も複雑なので、

SAPIX(サピックス)の広告の縮小

コピペも付けておきます。解答(=

答の説明)は私が作ってるので、

塾や学校とは多少違うでしょう。

 

スマホ向けに1行の文字数を少なく

してるので、PCやタブレットだと少し

読みにくいかも知れません。

 

 

    ☆    ☆    ☆

まずウォーミング・アップとして、

問題1(3)を見ましょう。

 

190213a

 

必ず3人ずつで行って1人の勝者

が決まるゲームを、何回か行う

トーナメント戦を考えます。図1

のように、余った人は自動的に上

のレベル(準決勝とか2回戦)の

ゲームに進めます。

 

 

    ☆    ☆    ☆   

図2のように81人で始めると、

優勝者が1人決まるまでに合計

何回のゲームが行われるか?

 

優勝者が決まるまでに、80人が

負けたことになります。ゲーム1回

で2人負けるので、合計のゲーム

40回です。 ・・空欄アの答

 

また、最初235人だと、優勝者が

決まるまでに234人が負けるので、

ゲームは合計117回です。 ・・

 

式はこうなります。

 (235-1)÷2=117 (回)

 

さらに、計24回ゲームが行われた

のなら、優勝者1人が決まるまでに

48人負けてるので、トーナメント

の参加者は49人です。 ・・

 

式はこう書けます。

 1+24×2=49 (人)

 

解き方、考え方は、ゲーム1回で

何人減るかがポイント。なるべく

図を書かないのがコツです。

図3は、気にしない方が得。

         

数十人、数百人のトーナメント

の図を書くと、時間がかかるし、

むしろ考えにくいでしょう。高校の

算数(=数学)だと、普通の2人

ゲームの問題が時々出てます。

 

 

   ☆    ☆    ☆

つづいて本題の、問題4。意外と

難問で間違えやすいと思います。

 

190213b

 

7から17までの数字と目盛だけ

書かれた、かわった時計を考えます。

図は8時0分。

 

長針は7時から17時までは、

60分で1周。17時から翌日

7時までは、168分で1周。

 

長針が1周する間に短針が回転

する角度は一定のままで、短針は

24時間で1周します。

 

190213c

 

 

   ☆    ☆    ☆

(1) 長針が1周する間に短針が

回転する角度は何度か?

 

長針は、7時から17時までは

10周します。

一方、17時から翌日7時までは

14時間だから840分。

長針は168分に1周するから、

この間に5周します。

 

結局、24時間で長針は15周して、

短針は1周(=360度)回転。

よって、長針が1周する間に短針

が回転する角度は

 360÷15=24度 ・・(1)ア 

 

次に、12時45分だと、長針は

一番上から270度回転してます。

 

一方、短針はまず、一番上の7時

から12時までに、

 5×24=120度

回転します。

 

さらに45分(=4分の3時間)で

 24×3/4=18度

回転します。

 

合わせて、短針は138度回転。

だから、長針と短針のつくる角は

270-138=132度 ・・

 

 

    ☆    ☆    ☆

(2) 10時から11時までに

長針と短針のつくる角が60度に

なる時刻は何時何分か?

 

10時0分には、短針は

 24×3=72度

回転してます。

 

また、短針は1分に0.4度、

長針は1分に6度回転するので、

1分あたり長針の方が5.6度

多く回転します。

 

最初に60度になるまで、長針は

12度(=72度-60度)だけ

追い上げてるので、

 12÷5.6=(2と1/7)分

経ってます。だから答の1つ

 10時(2と1/7)分

 

次に60度になるのは、10時0分

から長針が132度(=72+60)

多く回転した時だから、

132÷5.6=(23と4/7)分

経ってます。だからもう1つの答

 10時(23と4/7)分です。

 

 

   ☆    ☆    ☆

(3) 17時から翌日7時までに

長針と短針が重なる時刻は何時

何分か?

 

長針は168分で1周(=360度)

回転するので、1分で

 360÷168=15/7度

回転します。

 

短針は、長針が1周する168分

で24度回転するから、1分で

 24÷168=1/7度

回転します。

 

よって、1分あたり、長針の方が

 15/7-1/7=2度

多く回転します。

 

17時0分には、一番上から見て、

短針だけ240度回転してるので、

最初に重なるまでに

 240÷2=120分

      =2時間

かかります。

つまりそれは、19時0分です。

 

次に重なるのは、長針が360度

多く回転してる時だから、

 360÷2=180分

      =3時間

経った後。つまり22時0分。

 

さらに翌日の1時0分、4時0分

に重なります。以上よりは、

19時0分、22時0分、1時0分

4時0分

 

 

   ☆    ☆    ☆

なお、17時から翌日7時まで、

短針は1分で1/7度回転する

から、1時間だと60/7度。

つまり(8と4/7)度回転します。

 

だから、時計の図の空欄では、

数字と目盛の間隔が狭まってる

ことになります。

 

190213d

 

この問題、そもそも時刻とは何か。

誤解した受験生もいるでしょう。

 

出題した先生は、どこかに本物の

時刻を示す別の時計を考えてるの

です。その時刻は「絶対時間」とか

「標準時刻」とか呼ばれます。

 

でも普通は、時刻とは身近な時計が

示してるもの。問題図なら8時7分と

読みたくなるはず。ちょっと不親切

な問題にも感じます。

 

 

   ☆    ☆    ☆

ちなみに問題1(3)も、参加者数

がたとえば10人だったら困ること

になります。

   

2で割れる「偶数」は困るのです。

2で割れない「奇数」(11人、

81人、235人など)でないと

ゲームが組めません。ところが

その点は、問題文で説明なし。

 

桜蔭中学校は、その辺りまで柔軟

に問題を理解する思考力を求める

のでしょう。大変ですね。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

cf. 円と正方形、10個重ねて作る

 図形の面積~桜蔭2018入試

 

 5人のカードゲームと背理法に

 よる証明~開成中学2019入試

 

       (計 2337字)

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