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数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

毎年、秋の恒例となった数学甲子園。令和元年(2019年)は、全国で日程をずらして行われた予選問題の一部がSNSで流出してしまったことも影響したのか、ライブ動画の配信はどこにも見当たらず。

   

念のため、ツイッター検索もかけてみたけど、ライブや動画は話題にさえなってない。大会自体は盛大に開催されてるだけに、ちょっと残念な気はする。数学や論理への関心は、少なくとも低くはなってないと思うから、不思議な状況かも。

       

解説記事を書き続けてる私も、今年はあきらめかけたけど、試しに数学検定の公式twitterにアクセスしたら、動画で予選1問だけ紹介されてた(選手の創作問題は別)。正答率が低いし、ちょっと間違えやすい問題でもあるから、記事にしてみよう。私も間違えてる可能性は一応あるので、悪しからず♪

  

  

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予選 問題16。右の図のように、同じ大きさで同じ歯数の歯車4つを組み合わせます。いちばん上以外の3つの歯車を固定し、その周りを上の歯車が一周するとき、動かす歯車自体は何回転するか答えなさい。

  

正答率は、全体14.0%、予選通過者23.9%回答率(全体)15.8%しかないから、多くの参加者が手つかずのまま終えたらしい。「何回転するか」という答だけを問われてるのだから、何か書けば当たるかも知れないのに♪

    

常識的に考えて、整数回転だろうし、イメージ的に3回転~10回転の間だろう。選択肢8つだから、当たる確率は12.5%。サイコロや鉛筆を転がすのと同レベル。3の倍数に絞り込むなら、3回転、6回転、9回転しかない。もちろん、半端な回転数かも知れないけど。

  

  

    ☆     ☆     ☆

予選会場でコインを4枚出すわけにはいかないだろうけど、図は簡単に書ける。といっても、上の図は、無料の数学AIでお馴染み、ウルフラム(Wolfram)の図を借用したもの。円をぴったり詰めたものを、「hexagonal circle packing」(6角形の円の詰め込み)とか言うらしい。 普通は、箱や枠の中への配列。

  

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歯車というのは、受験生にプレッシャーをかけるための設定で、要するに滑らずに転がるという条件。そもそも、下側の3つの歯車は、固定しなくても回らない♪

   

エピサイクロイド(epicycloid)をアレンジした問題で、固定円の半径と動円の半径の比は、1:1。図形全体の対称性を考えると、上図の赤い点線から赤い実線までの動円の回転数を、6倍すればいい。この範囲なら、固定円は1コだけでも同じこと。赤線は動点の軌跡。

   

190918c

   

分かりやすさのために、動円を黄色にして、その中心と動点を青い矢印で結んでみる。元の図は、英語版ウィキペディアにリンクが付いてたドイツの個人サイト(?)からお借りした。ゆっくりした回転速度で、パラメーターの設定も出来るアニメーションが公開中。Danke schon.(ダンケ・シェーン:ありがとうございます)♪

  

  

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上図のように、固定円の周りを動円が45度回転すると、動円そのものは2倍の90度だけ自転(スピン)する。2倍というより、45度+(45度×1)=90度。この「×1」の部分は、動円の半径が1/2なら、「×2」になる。数学Ⅲの媒介変数表示でも一般的に扱われる話で、その説明は色んなサイトにあるのでお任せしよう。

   

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3枚をつなげて考えれば分かるように、上側の固定円の周りを90度回転する時、動円は180度自転する。つまり、半回転。

  

よって、固定円3つの周りを回転する時、動円の自転は、半回転×63回転。 ・・・

   

   

    ☆     ☆     ☆

図も使って論理的に解説しながらも、自分で今一つ確信を持てない♪ そこで、100円ショップで歯車のおもちゃを探してみたけど無かった。10円玉4枚だと、どうしても滑ってしまう。どこかに、問題そのもののアニメーションが無いかな。数年後には、高校の数学でその種のプログラミングも扱うのかも。

  

なお、9月15日の本選の優勝は、栄光学園・朝食会のToastチーム(神奈川県)。おめでとう! 他の皆さんも、どうもお疲れさま♪ それでは今日は、この辺で。。☆彡

   

       (計 1683字)

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