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カプレカ数の求め方と証明~3ケタ495、4ケタ6174(『はじめアルゴリズム』)

たまたま知った数学マンガ『はじめアルゴリズム』の第1巻・無料公開部分(笑)を読んでると、天才少年はじめが自動車2台のナンバープレートの数を引き算し始めた。

 

9541-1459=8082

  

左辺は、1,4,5,9の4つの数を並べて出来る最大の4ケタ数と、最小の4ケタ数との引き算になってる。

  

ちなみに私の母は、走ってる車のナンバープレートを見て、前の2ケタと後ろの2ケタをすぐ足す脳トレを時々やってた。それはさておき、天才少年の操作を、引いた結果の数値の8082で再び行うと、8820-0288=8532

  

もう一度繰り返すと、8532-2358=6174

  

この後は、7641-1467=6174となって、右辺は再び6174になる。計算プロセスに、いわゆるループ(循環)が出来て、変化がなくなるのだ。

  

  

    ☆     ☆     ☆

このループする数を『カプレカ数』と言い『6174』は4ケタでは唯一の数である」という説明を読んで、私は早速、証明開始。考え方は単純で簡単、高校数学レベルだけど、場合分けが非常に面倒で長くて、全部やる気はしない。

  

試しに、日本語版ウィキペディアで紹介されてる数学論文を読んでみると、やっぱり具体的な説明は省略されてた。そこで、4ケタはあきらめて、1ケタ、2ケタ、3ケタのカプレカ数を求めてみよう。

  

1ケタは0のみ、2ケタはなし(00は除く)、3ケタは495のみ(000は除く)であることが証明できる。同じやり方で、4ケタも求めることができるし、6174のみであることが証明できるはず(0000は除く)。

  

ちなみに、日本語版ウィキはカプレカ数の定義を2つ載せてて、2つ目が上で見て来たものになってる。英語版ウィキで「Kaprekar number」を見ると、上で見て来たものとは別の定義のみ扱われてた。フランス語版ウィキの「Nombre de Kaprekar」も同様。

  

上で見て来たような数は、英語だと、「Kaprekar's constant」(カプレカの定数)と呼ばれてる。フランス語も同様の表現。4ケタの場合、最大で7回、最大数ー最小数の操作を繰り返すと、6174になるそうだ。「Kaprekar's routine」(カプレカの操作)という項目で、樹形図の形でまとめられてた。

  

190921a

   

では、順に解説してみよう。私が参考にしたのは、大阪経済大学・西山豊氏の論文「6174の不思議」。試しに、検索してすぐ出るサイトの説明を読むと、西山論文とも私のこの記事とも内容的に違ってた。なお、一応以下では、「カプレカ定数」のことを「カプレカ数」と書く。

 

190921b

  

     

   ☆     ☆     ☆

(1) 1ケタのカプレカ数

   

その数を仮にa(1~9の自然数)と書くと、a-a=a。すなわち、a=0。よって、1ケタのカプレカ数は、0のみ

  

  

(2) 2ケタのカプレカ数

  

その数を仮にab(a,bは1~9)と書く。また、以下、この記事でアルファベットを複数並べて書く時には、かけ算ではなく、2ケタや3ケタの並びを示すものとする。

  

a≧bの場合、ab-ba=ab  ∴ ba=0  ∴ a=b=0

  

b≧aの場合、ba-ab=ab  ∴ ba=2ab  ∴10b+a=2(10a+b)  ∴ 8b=19a

よって、bは19の倍数だから、b=0しかなく、この場合もa=b=0となる。

  

以上より、2ケタのカプレカ数は、00を除くと存在しない

   

  

   ☆     ☆     ☆

(3) 3ケタのカプレカ数

  

① 各ケタの数がすべて同じ場合

  aaa-aaa=aaa となるから、a=0。つまり、その数は、000となる。

 

② 2つのケタだけ同じ数の場合

 まず、aabのタイプについて(a≠b)。a>bなら、aab-baa=aab ∴ baa=0  a>bだから、これをみたすa,bの組はない。

一方、b>aなら、baa-aab=aab ∴ baa=2aab  ∴ 98b=209a これをみたすa,bの組もない。

  

よって、aabのタイプはない。同様に、abaのタイプも、baaのタイプもない。したがって、2つのケタだけ同じ数である、3ケタのカプレカ数は存在しない。

  

③ 3ケタとも異なる数の場合(仮にabcと書く)

  

(ア) a>b>cの場合  abc-cba=abc  ∴ cba=0。左辺は正のはずだから、これはあり得ない。

(イ) a>c>bの場合  acb-bca=abc  これまでと同様の式整理で、a+109b+c=0。左辺は正のはずだから、これもあり得ない。

(ウ) b>a>cの場合  bac-cab=abc  整理して、89b=100(a+c)。左辺は100の倍数にはならないので、これもあり得ない。

  

(エ) b>c>aの場合  bca-acb=abc  筆算で引き算する時の1ケタ目を考えると、a+10-b=c(b>aだから2ケタ目から10借りる)。2ケタ目より、9=b。3ケタ目より、(b-1)-a=a。

  

連立一次方程式を自然な流れで解くと、b=9,a=4,c=5  すなわち、abc=495

  

(オ) c>a>bの場合  (エ)と同様の計算で、解なしとなる。

(カ) c>b>aの場合  (エ)と同様の計算で、解なし。

  

(ア)~(カ)より、3ケタとも異なるカプレカ数は495のみ。

以上、①~③より、3ケタのカプレカ数は、000を除くと、495のみ

   

  

    ☆     ☆     ☆

上の連立方程式を立てる考えは、西山氏の論文に書かれていたもので、参考になった。

   

ただし論文では、4ケタを一般的に扱おうとして、「詳細は省略するが」と書いた後、直ちに唯一の解を求めていた。しかも、方程式を立てる際に必要となる、等号付き不等号と等号なしの区別(≧と>、≦と<)の話も、サラッと省略。細かい話だが、上のケタから10借りるかどうかに関わるので重要。論文はその後、パソコンでしらみつぶしに調べる作業に移ってる。

    

つまり、上で私が3ケタについて行ったような証明をもし4ケタで書いたら、単純な話とはいえ、面倒で長い解答になってしまうのだ。

    

私としては、1ケタ~3ケタについて、この程度示したところで終わりとしとこう。後はコンピューターかAIにお任せ♪ 実は、上手い式変形がないかと色々試してみたけど、平凡な人間の知性では思いつかなかった。今日のところはこの辺で。。☆彡

  

  

cf. 『デート』第9話、「どんな数字も各位の2乗を足すと1か89になる」ことの証明

   

       (計 2551字)

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