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数学甲子園2019予選、解き方と感想4(問題13~15,17~20)

今年の数学甲子園・予選記事もようやくラスト。正直、パッと見で、残りの7問は簡単だろうと思ってたけど、問題14と問題19はそれぞれ30分くらいかかってしまった。問題19は、私が解き方を忘れてたのが大きいと思うけど、問題14は記述式で難関大学の入試問題に出してもいいレベルだろう。答は意外と簡単だけど、きっちり説明するのは大変だ。

  

解くだけで手間ひまかかったので、今回の記事はいつも以上に省略しよう。ちなみに過去の3本は以下の通り。これ以外にも、過去の数学甲子園記事だけで多数あって、毎年の全国予選前には大量のアクセスが入ってる。ところが、本選の後のアクセスはわずか♪ まあ、私もテスト前とかにならないとなかなか勉強しないタイプだったから、この状況はよく分かる。

     

 数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

 2019予選、解き方と感想2(問題1~6)

 2019予選、解き方と感想3(問題7~12)

   

   

    ☆     ☆     ☆

問題14 3直線y=(-3/4)x+8、y=(-5/12)x+16、y=(3/4)x+2によって囲まれてできる三角形の内接円の半径を求めなさい。

  

略解 直線の式を一般形に直すと、

 3x+4yー32=0、

 5x+12y-192=0、

 3x-4y+8=0。

  

内接円の中心(a,b)とし、

点と直線の距離の公式を用いて

半径を3通りに表した上で、

a、bの連立方程式を立てて解く。

絶対値記号を外す時には、図形的

考察も利用。a=4、b=10

 

∴(半径)

=|3・4-4・10+8|/√25

4 ・・・答

  

感想 もう少し上手い解き方があるような気もするけど、いずれにせよ実戦で数分で正しく答えるのはラクじゃない。レベル設定としては適度か。

 

    

   ☆    ☆    ☆

問題15 A、B、Cの3人が1対1形式のゲームを次々と行います。1回のゲームでAがBに勝つ確率は2/3、BがCに勝つ確率は2/3、CがAに勝つ確率は1/3で、引き分けはありません。第n戦(nは正の整数)の勝者と残りの人(第n戦に参加しなかった人)が第(n+1)戦で対戦し、2連勝した人を優勝とします。第1戦でAとBが対戦し、誰かが優勝するまでゲームを続けるとき、第3n戦でCが優勝する確率を求めなさい。

  

略解 n=1なら、Cが優勝の確率は

(2/3)・(1/3)・(1/2)+

(1/3)・(1/2)・(1/3)=1/6

  

n≧2の時、第3n戦でCの優勝なら、

第3(n-1)戦までの勝者だけ

並べると、ACBとBCAのいずれか

1種類をn-1コ並べた列になる。

例えば第3×2戦でC優勝なら、

ACB・ACCまたはBCABCC

この場合のC優勝の確率は、

(1/9)・(1/9)+(1/9)・(1/18)

=(1/9)・(1/6)

 

同様に考えて、

(第3n戦でCが優勝する確率)

={(1/9)のn-1乗}/6

3/{2(9のn乗)}

n=1でも成立するのでこれが

   

感想 難しいというより、まとめにくいし実験もやりにくい。ただ、手と頭は動かせるし計算も簡単だから、巧みな問題作成だなと感心。

   

  

   ☆    ☆    ☆

問題15 a>0、b>0とします。次の等式が成り立つとき、a/bのとり得る値をすべて求めなさい。答えが分数になる場合は、分母を有理化して答えなさい。

2log₂(a+b)=log₂a+log₂b+3

  

略解 与式を変形して、

log₂{(a+b)²/ab}=3

∴ (a+b)²/ab=8

∴{(a/b)+1}²=8(a/b)

∴ a/b=3±2√2・・・答

  

感想 これは教科書章末問題レベルのサービス♪ 1~2分か。

   

  

   ☆    ☆    ☆

問題17 次の整式を、係数が整数の範囲で因数分解しなさい。 x⁵+x+1

  

略解 因数定理より、1次式の

因数は持たない。よって与式は

(x²+ax+1)(x³+bx²+cx+1)

または、

(x²+axー1)(x³+bx²+cxー1)

とおける。それぞれ展開して

与式と係数比較。前者の式のみ

成功して、与式は

(x²+x+1)(x³ーx²+1)・・答

  

感想 これも簡単だけど、試験会場の緊張感の中だと動揺してしまうかも。キレイなわりに見慣れない因数分解で、適度な良問だと思う。

   

   

   ☆    ☆    ☆

問題18 aを定数とします。2次方程式x²+ax+a=0が異なる2つの実数解をもち、かつ1より大きくて2より小さい解は1つだけ存在するとき、aのとり得る値の範囲を求めなさい。

   

略解 f(x)=x²+ax+a

とおく。放物線y=f(x)が

1<x<2で重解以外の実数解

を1つだけ持つための条件は、

f(1)・f(2)<0

  

∴ (2a+1)(3a+4)<0

-4/3<a<-1/2 ・・答

   

感想 今回もっとも簡単で、1分以内に解答。チェックも含めて2分か。

  

  

   ☆    ☆    ☆

問題19 2つのベクトル(→a)、(→b)が |2(→a)+3(→b)|=8、|4(→a)+(→b)|=5 を満たすとき、|(→a)+(→b)|の最大値、最小値をそれぞれ求めなさい。

  

略解 |4(→a)+6(→b)|=16

|4(→a)+(→b)|=5

を満たすときの、

|4(→a)+4(→b)|の最大値、

最小値を考える。

つまり、論理的に同じ条件で、

本来の4倍のベクトルの最大・

最小を図形的に考える。

   

絶対値記号の中の3種の

ベクトルは、→b の係数のみ

異なる。2番目のベクトルに

5(→b)を加えたのが1番目で、

3(→b)を加えたのが3番目

  

∴(最大値)

=(→aと→b同じ向きの時)

=5+(16-5)・(3/5)=58/5

  

最小値)

=(→aと→bが逆向きの時)

=(16+5)・(3/5)-5=38/5

  

最後にそれぞれ1/4にして、

最大値29/10、最小値19/10・・答

   

感想 最初、計算で解こうとして行き詰ってしまったから、図形的に解いた。同じ向きと逆向きの時が答になることは、実は図形的にきっちり証明しようとすると、頭を使うことになる。直観的に明らかに近いけど、最大と最小でそれぞれ、向きがズレてる時との比較を行う。補助線を数本引いて角度や長さを考えれば分かるので、お試しあれ。後で計算に再挑戦してみたい。

  

  

   ☆    ☆    ☆

問題20 f(x)=(1/2)x²、g(x)=x²+2xー7とします。曲線y=f(x)上の点(a,f(a))におけるy=f(x)の接線と、曲線y=g(x)上の点(b,g(b))におけるy=g(x)の接線が一致しました。このような接線の方程式をすべて求めなさい。

  

略解 y=f(x)の接線

y=a(x-a)+(1/2)a²

 =ax-a²/2

がy=g(x)と接するため

の条件から、aを求める。

  

ax-a²/2=x²+2xー7

が重解を持つので、判別式は0。

∴ a=-8,4

よって接線は、

y=-8x-32,y=4x-8 ・・答

  

感想 これはサービス問題。私はbを相手にせずに解いたけど、単なる好みの問題かも。

   

  

今、公式HPを見ると、10月31日にYouTubeで本戦の動画が公開されてた。創作問題の様子だけのような気もするけど、いずれ内容をチェックしてみる予定。マスバトルの問題公開を待つ方が得策か。今日のところはこの辺で。。☆彡

    

       (計 2860字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

鮮やかです、このように、数学甲子園を大事にしてくれるのは、とっても嬉しいです。ありがとう!!

投稿: gauss | 2019年11月 9日 (土) 00時58分

> gauss さん
  
毎度ありがとうございます。
  
やっぱりgaussさんのコメントは入るみたいですね。
僕はこの返信コメもダメでした。
何が違うのか、ホントに摩訶不思議です。
     
今、本選ビデオをサラッと流し見したところですが、
マスバトルの映像はわずかで、問題も発見できず。
予選の解説も無くて、ちょっと残念でした。
以前はどちらもありましたよね。
時間的な問題というより、編集方針でしょうか。
   
最後の講評はみんなクセがあって面白かったかも♪
あと、映像と音声が数秒ズレてるあたりも、
手作り感があって楽しめました。
   
超有名校がズラッと上位に並ぶ姿を見てると、
本当は日本のどこかに天才たちがポツンと
一人ずつ隠れてるんじゃないかと思いますね。
   
その意味で、個人部門も欲しいところです。
まあ、そうすると超有名校の一匹狼たちが
ズラッと並ぶのかも知れませんが♪
  
審査員(の有志)がマスバトルに挑戦する
企画なら、絶対ウケるはず(笑)
出来の良し悪しに関わらず。
いずれはAIロボット参加でしょうね☆彡

投稿: テンメイ | 2019年11月10日 (日) 02時23分

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