« 妻、隣人、そして自分・・戦争をはさむ死の影のレール~原民喜の小説『翳』(2020年センター試験・国語) | トップページ | ドリブルデザイナー岡部将和のノット10ゲーム理論とアレンジ&呼吸困難12km走 »

7進法の循環小数と整数問題(不定方程式)~2020年センター試験・数学ⅠA・第4問(選択)

最後のセンター試験、「終わった」という悲鳴がSNSで飛び交ってると、産経新聞HPが報じてた♪ 令和では、最初で最後の実施。

  

200120a

  

センター試験の数学Ⅰ・Aでは、去年の第4問も変わった問題が出題されてたが、今年の第4問もかなり珍しいと思う。7進法の小数と整数問題(不定方程式)の融合。私はたぶん、初めて見た。

  

  

    ☆     ☆     ☆

大手予備校の分析を比較してみよう。まず河合塾。「循環小数とn進法に関する問題であった。『整数の性質』の単元の中でも、n進法は演習量が少なくなりがちで、手が動かなかった受験生も多かったであろう。(2)については、7a+bのとり得る値をすべて書き上げれば考えやすい」。他の問題も含めた全体の難易度は、「やや難化」。

   

駿台、やや難(長いので省略)。代ゼミ、標準(7進法という点に注目してない)。最後に東進ハイスクール。「題意が読み取れれば計算は少ないが、躓く受験生も多かったことだろう」。

  

私自身は一応、悩むことなく一気に最後まで解いたが、経験がないパターンの問題だからちょっと不安だった。計算量は確かに少ないし、わりと丁寧な誘導も付いてるが、何か勘違いや見落としがあるような気がしてしまうのだ。

   

そもそも、等式の右辺の7進数を小さい(7)で表すのなら、左辺も小さい(10)を付けてくれないと、10進法かどうかハッキリしないから、誤解した受験生もいたはず。10進法とか10進数という言葉くらい入れるべきだったと思う。

   

   

     ☆     ☆     ☆

では、第4問(選択問題、配点20)の問題文を見てみよう。元の問題は、pdfファイルで各予備校サイトが配付中。ここでは簡単に書き直しておく。

  

(1) xを循環小数2.363636・・・とする。このとき、

 100x-x=236.36・・ - 2.36・・

であるから、xを分数で表すと、 x = アイ / ウエ である。

  

(解答) 99x=234  

∴ =234/99

 =26/11 ・・(アイ/ウエの答

   

  

    ☆     ☆     ☆

200120b

   

(2) 有理数yは、7進法で表すと、循環小数2.abab・・(7) になる。ただし、a、bは0以上6以下の異なる整数。このとき、

 49y-y=2ab.ab・・-2.ab・・ であるから、

 y=(オカ+7a+b) / キク と表せる。

   

(答) 48y=2×49+7a+b-2

∴ =(96+7a+b)/48 

   ・・(オカ キクの答)

  

注意. 7進法の場合、1ケタ上げて大きくするには7倍。2ケタ上げるには49倍する。)

  

 

(2)(i)yが、分子が奇数で分母が4である分数で表されるとき

y=ケ/4 または y=コサ/4。

y=コサ/4 のときは、7a+b=シス

であるから、a=セ、 b=ソ。

  

(答)分子の7a+bと分母の48が、共に12で割れるのだから、7a+bの値で場合分けして、a、bの不定方程式を解く。

7a+b=0の時、a=b=0となってしまい、不適(aとbは異なる整数という条件だから)。

7a+b=12の時、a=1,b=5

∴ y=/4 ・・(ケの答

7a+b=24の時、a=b=3で不適。

7a+b=36の時、 ・・(シスの答

 a=,b= ・・(セソの答

∴ y=11/4 ・・(コサの答

なお、7a+b=48の時、a=b=6

で不適。7a+b>48にはならない。

  

   

(ii)y-2は、分子が1で分母が2以上の整数である分数で表されるとする。このようなyの個数は、全部で タ 個である。

  

(答)y-2=(7a+b)/48

7a+bは48の約数(符合は正)のはずだから、候補となるのは、7a+b=1,2,3,4,6,8,12,16,24,48。

この内、aとbが異なる整数として求まるのは、1,2,3,4,6,12の時のみ。

よってyの個数は個。 ・・(タの答

   

  

    ☆     ☆     ☆

なお、例えば11/4=2.75を7進法で表すには、次のように計算する。2はそのままで、小数部分のみを変換処理

  

200120c

  

上から順に読んで、0.5151・・。よって、(10進法の11/4)=(7進法の2.5151・・)

  

7倍した時の整数部分が小数第1位。そこを取り除いて、小数部分だけまた7倍した時の整数部分が小数第2位。以下同様。一般に、n進法も同様に計算する。

  

理由は、例えば7進法の0.51とは、5/7+1/49のことだから。

7倍すると、5+1/7になって、整数部分が小数第1位になってる。

さらに、5を取り除いてまた7倍すると、1。この整数が小数第2位になってる。

   

さて、平均点はどうなるのか。今後の発表に注目しつつ、今日はこの辺で。。☆彡

   

       (計 1850字)

|

« 妻、隣人、そして自分・・戦争をはさむ死の影のレール~原民喜の小説『翳』(2020年センター試験・国語) | トップページ | ドリブルデザイナー岡部将和のノット10ゲーム理論とアレンジ&呼吸困難12km走 »

数学」カテゴリの記事

教育」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



« 妻、隣人、そして自分・・戦争をはさむ死の影のレール~原民喜の小説『翳』(2020年センター試験・国語) | トップページ | ドリブルデザイナー岡部将和のノット10ゲーム理論とアレンジ&呼吸困難12km走 »