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灘中学校2020年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

たまたまネットで、灘(なだ)中学校の算数の入試問題(2020年)を見かけたので、解き方をカンタンな記事にしてみます。

    

今まで、開成中や桜蔭中は記事にしてましたが、灘は初めてで、問題を見たのも小学校以来、ひさしぶりのこと。「灘」という漢字は「難しい」という漢字に似てるし、本当にむずかしいですね。

     

毎日新聞HPの記事では、SAPIX(サピックス)が作った「解答」例がついてましたが、最後の答の数字だけでした。ここでは図形の問題について、私が自分で解いた時の考え方、コツ、線の引き方などを紹介します。元の図だけ、引用させて頂きます。

  

灘中は2日続けて試験をするようで、今回見たものは初日(1月18日・土曜)の算数1のようです。翌日の算数2では、もう少し論理的に考えさせるような問題になってました(四谷大塚HPに掲載されてます)。

  

灘中のHPによると、今年の算数1では、受験者の平均点が55点、合格者の平均点が72点でした。去年の平均点が低過ぎたので、問題を簡単にしたようですが、今年も十分ハイレベルです。大学受験生や大学生でも、苦戦する人がほとんどのはず。

   

   

    ☆     ☆     ☆

では、試験を見てみましょう。私が一番むずかしいと感じた問題は、最後の11番でした。

  

200201a

  

展開図が右(ここでは上)の図のような立体の体積は、すべての面が1辺の長さ1cmの正三角形からなる三角すいの体積の    倍です。ただし、印・をつけた角の大きさはすべて60°です。

   

この立体は、1辺6cmの三角すいの一部分が欠けたもので、下の赤線で囲まれた形です。頭の中だけだとイメージしにくいので、欠けてない三角すいを元にして、その内側に書き加えると分かりやすいでしょう。

  

200201b

   

これは、1辺4cmの三角すいを2つ合体させたものと考えられます。ただし、1辺2cmの三角すいの部分が重なります。

   

200201c

  

200201d

  

200201e

   

1辺4cmの三角すいの体積は、1辺1cmの三角すいの4×4×4倍、つまり64倍です。また、1辺2cmの三角すいの体積は、1辺1cmの三角すいの2×2×2倍、つまり8倍です。

  

だから、求める立体の体積は、1辺1cmの三角すいの、「64×2-8」倍、つまり、「120」倍です(答)。

   

2つの図形の形が、拡大・縮小したものになってる時、面積だと、「4×4」倍とか。体積だと、「4×4×4」倍とかになります。

   

これは本当は中学校の「数学」で、図形の「相似」について習う内容ですが、難関中学の入試ではフツーに使うようですね。他の図形の問題も、中学3年生がやるようなレベルになってました。

    

   

    ☆     ☆     ☆

他の図形の問題については、ヒントだけにしておきます。みなさん、自分で挑戦してみてください。

  

7番は普通なので飛ばします。8番三角形ABCの面積と、6個の正方形の面積の和を求める問題でした。図形の拡大・縮小の関係を使います。最後の式と答は一番下にまとめて書きます。

  

200201f

   

9番は、私が二番目にむずかしいと思った問題です。四角形ACDEの面積は、三角形ABCの面積の何倍か? 図形の形の「合同」を使います。補助的(ほじょてき)な線の引き方も迷う所でしょう。

   

200201g
   

10番は、台形ABCD(厚さを無視できる薄い板)を、斜めの辺CDの周りに回転させた時の、通過する部分の体積円周率は3と1/7とします。大学の入試問題みたいに見えますが、線をうまく補(おぎな)うと、大きな直角三角形を回転させた体積から、小さな直角三角形を回転させた体積を引いたものになります。

       

200201h

   

      

    ☆     ☆     ☆

では、最後に答だけ。8番(28/3)×7/2=(32と2/3)。21+21×(3/7)×(3/7)=(24と6/7)。

  

9番。9/5+7/5=3.2

   

10番。(4.8×4.8×22/7×10×1/3)-(4.8×4.8×22/7×10×1/3) × (1/2)×(1/2)×(1/2)=211.2

   

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

      (計 1602字)

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数学」カテゴリの記事

コメント

昨日、コメントしましたが、届かなかったようですね!!

投稿: gauss | 2020年2月 5日 (水) 01時42分

> gauss さん
  
こんばんは。
gauss さんの場合、最近は(?)いつもコメントの
入力に成功してたと思いますが、何度か失敗しましたか。 
それは申し訳ありません。
  
ただ、何度訴えても直らないシステムエラーなんで、
どうしようもないのです。
こちらには全く情報が届かず、どこかに消えるのみ。
   
暖簾に腕押しのココログのサポート体制に、
頑張ってクレームをつけ続ける気にもなれず。
まさか1年近くも不具合が続くとは思いませんでした。
  
まあでも、Yahoo!ブログも昨年末に終了したし、
続いてるだけでもマシかなと思ってます。。☆彡

投稿: テンメイ | 2020年2月 6日 (木) 02時29分

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