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小屋の窓から入る太陽光と展開図~開成中2020年入試・算数・問題4の解き方

今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載(の)ってました(20年2月5日)。SAPIX(サピックス)の広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚HPも同様です。

 

そこで、最後の図形問題だけ解説してみましょう。とても難しくて面倒なので、少しずつじっくり考える必要があります。ちなみに、今年の灘中の図形問題については先日、記事をアップ済み。過去の開成や桜蔭についても記事を書いてます。

  

 5人のカードゲームと背理法~開成2019入試

 三角形の相似から四角形の面積比へ~18問題1

 三角形の相似と比の応用~17入試・算数・問題3

  

 3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中19入試

 円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭18入試

 3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間~16入試

 ランニング(5人のリレー)の距離~15入試

  

  

    ☆     ☆     ☆

では、ちょっと長い問題文を引用しましょう。図は元のものを借ります。

  

問題4 (図1)のように、1辺の長さが5mの立方体の小屋ABCDEFGHがあります。小屋の側面ABFEには[窓穴1]が、小屋の上面EFGHには[窓穴2]があり、外の光が入るようになっています。

 

200206c

  

そして、この小屋の展開図は(図2)のようになっています。

  

200206d

  

晴天の日のある時刻においてこの小屋の床面ABCDで日の当たっている部分は、次の(図3)の斜線部分でした。このとき、小屋の中で他の面の日に当たっている部分を解答用紙の展開図に斜線を用いて示しなさい。

  

200206e

  

 

(解答) 窓の四隅の点をギリギリ通る太陽光が、どの面のどの点に当たるかを考えて、後は線で真っ直ぐつなげばよい窓穴の辺を通る光は、辺と当たる面とが平行な場合、辺と同じ長さの平行線になる。また、辺と当たる面とが垂直な場合、斜めの線になる(左右・前後・上下の方向に対して)。

       

図1の左下の点Aから他の点を見て、右に何マス、奥に何マス、上に何マス進んでるかを考え、(右3,奥5,上4)などと表すことにする。1マスは50cmだが、長さの単位は答に不要だから考えない。

  

200206f

  

まず、与えられた斜線部から、太陽光の性質を考える。窓穴1の左上の点(右2,奥0,上7)を通る光は、床面の点(右9,奥7,上0)に当たっている。また、窓穴1の左下の点(右2,奥0,上3)だと、床面の点(右5,奥3,上0)になっている。

  

つまり、光が右に1進む時、奥に1,下に1、進んでいる。

  

200206g

  

よって、窓穴1の右上の点(右8,奥0,上7)と対応する面BCGFの点をまず(右10,奥  ,上  )と書いて考えると、光の性質からその点は、(右10,奥2,上5)だとわかる。

  

また、窓穴1の右下の点(右8,奥0,上3)と対応する面BCGFの点をまず(右10,奥  ,上  )と書いて考えると、(右10,奥2,上1)だとわかる。

  

さらに、問題で与えられた斜線と合わせると、窓穴1から入る光は結局、下の展開図の斜線部に当たる。

   

200206i

   

   

    ☆     ☆     ☆

200206h

  

次に、上面の窓穴2の点(右2,奥3,上10)だと、奥の面DCGHの点(右  ,奥10,上  )になると書いて考えれば、点(右9,奥10,上3)だと分かる。

  

窓穴2の点(右2,奥7,上10)だと、まず点(右  ,奥10,上  )と書いて考えれば、点(右5,奥10,上7)だと分かる。

  

ただし、窓穴2の右側の2点(右8,奥3,上10)と(右8,奥7,上10)で同じように計算すると、それぞれ(右15,奥10,上3)、(右11,奥10,上7)となってしまい、奥の面の右側にはみ出してしまう。

   

よって、窓穴2の右側の2点(右8,奥3,上10)(右8,奥7,上10) を通る光は、右の面BFGCに当たる。対応する点をそれぞれ(右10,奥  ,上  )、(右10,奥  ,上  )と書いて考えると、それぞれ(右10,奥5,上8)(右10,奥9,上8)だと分かる。

  

最後に、展開図の面DCGHとBFGCにおいて、同じ点がどこかに注意すると、窓穴2から入る光は、下の展開図の斜線部に当たることになる(2ヶ所に離れる)。面DCGHを先に考えた後、面BFGCを考えると分かりやすい。

      

200206j

   

  

    ☆     ☆     ☆

結局、窓穴1と2で考えると、斜線部の全体は下の通り(・・)。

      

200206k

    

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

      (計 1757字)

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