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正十七角形の作図法2~図形的な長さと角度のcosの数値チェック(手計算とコンピューター半々)

フジのドラマ『やまとなでしこ』特別編(後編)で感動。本気でウルウルした後、私も数学をあきらめずに全部計算しようとしたけど、やっぱり途中で挫けてしまった (^^ゞ やっぱり魚屋を継ぐべきか♪ いずれ、時間と能力の余裕を作って、三度目の正直にチャレンジしたい。

     

さて、当サイトでは先週(20年7月7日)、次の記事をアップした

   

 正十七角形の作図を使った、ケーキの68等分の方法・解説~『やまとなでしこ』(特別編)数学者・欧介

   

68÷4=17。正十七角形の作図だけなら、日英のウィキペディアも含めて、既存のサイトより分かりやすいと思ってる。不要な線を消して、簡単すぎる作図(中学1年レベル)も省略、点にも名前を書いたからだ。実際、納得したというツイートも頂いてる。

     

ただ、その作図でなぜ正しいのか、理論的にも計算的にもチェックしてないと正直に付記しておいた。その後、1回の計算間違い(途中で16分の1にしてた)も含め、ノート5ページ分を計算。わりといい所まで行くけど、あと少しの所で、三重根号その他の面倒すぎる計算に挫けてしまう。「経験したことのない」計算♪ 気象庁発表か!

  

200714a

  

200714b

  

下は、逆にcos360°/17(=cos2π/17)の値から、図形的な長さを出そうとした計算だけど、3倍角の公式でcos3×360°/17を出す時点で挫けてしまった。文字a、bとかで、上手く置き換えないと苦しいかも。

     

200714c

  

  

     ☆     ☆     ☆

というわけで、しばらく忘れようと思ったけど、そう言えば最近、コンピューター計算を使ってない。Wolfram alphaなんて高級なサイトは要らないはずで、カシオの計算サイトで十分だろう(ちょっと失礼かも)と思って挑戦。わりと簡単に成功♪ やっぱりコンピューターを使えないとダメか。数学も、将棋も囲碁も、語学も金融マーケットも。。

   

200707a

   

では本題。前の記事の図をそのまま使って、計算の説明を行う。作図そのものの説明は前の記事で書いたから、ここでは省略。円O(オー)は半径4として、OC=1と設定。するとAC=√17。

   

200707b

   

上図のODを計算するには、角の二等分線の性質を二重に使えばいい(斜辺の比=底辺の分割比)。二等分をくり返すと、角の4等分になる。

  

結局、上図で、OD={√(578-34√17)+√(34-2√17)-4-4√17}/16。ノート1ページ目の下側。

  

200714d

  

これをカシオのサイトで10ケタ計算すると、 OD=0.3441507314

  

     ☆     ☆     ☆

200707c

   

上図で、原点OとEの距離OEは、ODの長さとtan(タンジェント)の加法定理から求められる。

OE=tan(45°-∠OCD)

 =(tan45°-tan∠OCD)/(1+tan45°tan∠OCD)

 =(1-OD)/(1+OD)

 =・・・・・・

 =(√(34-2√17)-√17+1)/4 (ノート2ページ目の下側)

  

200707d

   

よって、EAの中点(作図用の円の中心)をMとすると、

OM=EM-OE

  =(OE+OA)/2-OE

  =(OA-OE)/2

  ={15+√17-√(34-2√17)}/8  (ノート2ページ目の右下)

   

FM=EM=(OE+OA)/2

  =(17-√17+√(34-2√17))/8 (ノート3ページ目の右上)

  

∴ OF²=FM²-OM²

    =・・・・・・

    =1-√17+√(34-2√17)  (ノート3ページ目の一番下)

   

∴ DF²=OD²+OF²

   =・・・・・・

   =(68-12√17+7√(34-2√17)-√17√(34-2√17))/16

    (ノート4ページ目の中段)

   

この√ (三重根号)がDFで、カシオのサイトで計算すると、 1.438802692

   

  

     ☆     ☆     ☆

200707e

   

∴ OG=OD+DF

   =0.3441507314+1.438802692

   =1.782953423

       (有効数字が1つズレるけど、些細な事だから無視)

    

200707f

  

200707g

  

この図形的な長さOGが、4cos3×360°/17の値と一致すれば、作図の正しさが示される。ちなみに4倍するのは、半径4だから。

       

   

     ☆     ☆     ☆

この4cos3×360°/17 の値は、直接、カシオで計算すると、1.782953423。ピッタシ。

  

200714e

  

一方、cos360°/17の小数の値は、ドイツ語版ウィキペディアだと0.9324722294・・と載ってたから、そこから三倍角の公式を使って上の値を求めても、ぴったり合ってた。

  

200714f

  

  

     ☆     ☆     ☆

というわけで、作図は少なくとも、ほとんど合ってそうなのだ。残る問題は、コンピューターなしでcosの値をどうやって求めるのか。そして、手計算だけでOGの長さを求めること。ウィキに載ってる三重根号の値まで、正確に導きたい所だ。

   

まあ、かなり時間も労力も使って疲れたし、ドラマも終わったから、しばらくは休養ということで。『やまとなでしこ』。特別編は省略だらけになってたけど、良質の恋愛コメディだったし、刺激的な数学コネタドラマだった。ひょっとすると、制服姿の美人「スッチー」を前面に押し出した最後のドラマかも♪

  

押し出し過ぎて、航空会社の協力が取れなかったとかウィキに書いてあった(笑)。今だともう、少なくとも地上波ゴールデンタイムでは作れない内容だろうな・・とか、郷愁を覚えつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

    

        (計 2133字)

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コメント

頑張れ!!

投稿: gauss | 2020年7月15日 (水) 00時26分

> gauss さん
    
おぉ、入力できましたか☆ 5文字なら♪
わざわざご声援コメント、どうもです。
複雑な三重根号でも、最後まで計算しろと。
2ヶ月以内には再挑戦します(多分・・笑)☆彡

投稿: テンメイ | 2020年7月16日 (木) 08時15分

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