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正十七角形の作図を使った、ケーキの68等分の方法・解説~『やまとなでしこ』(特別編)数学者・欧介

20年ぶりフジテレビ・月9に再登場した人気ドラマ『やまとなでしこ』。2時間ドラマ、2本に編集した特別編

    

前編の昨日(2020年7月6日)は大幅にカットされてたが、全盛期の松嶋菜々子は輝いてたし、全てが懐かしかった。平成ブロガーにとっては、小学校以来という計算になる♪ 平均視聴率9.7%(ビデオリサーチ調べ、関東地区)。

    

本来なら、本格的なレビューを書くところだけど、残念ながら今は仕事に追われる毎日で、余裕がない。そこでとりあえず、数学的なコネタ記事をアップしとこう。ツイッター検索ではちょっとしか話題になってなかったけど、ドラマ抜きでも、多少の数学的な需要はあると思う。

   

  

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数学者になる夢をあきらめて魚屋の跡継ぎとなった欧介(堤真一)が、数学研究の仲間の結婚披露宴に出席。イチゴの数は68個より多かったから、美術スタッフさんのミスかも♪ 「あなたと2人で浪漫飛行 サイン コサイン 恋サイン♡」

       

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新郎・岡本「おい! そこの誰か! このケーキ、人数分、均等に分けてくれ」、客1「それじゃ、クリームとスポンジの比率が均等になんないだろ」、客2「欧介、お前の意見は?」。

  

欧介「68人分か。17の倍数だから、ガウスの証明した正十七角形の作図の応用をすればいいんじゃないかな?」、客3「おぉ、リッチモンドの方法か」、新郎「おぉ! やっぱり欧介だ♪」

  

   

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上のように、丸いケーキに正十七角形が書ければ、一切れを半分にすれば、34等分になる。さらに半分にすれば、68等分。上図の17コの扇形を、それぞれ4分の1にするということ。

   

実際には、それだと細すぎて切りにくいし、見栄えも良くない。スポンジはともかく、クリームの比率も均等にならないはず。私なら、適当に分ければいいよと言うだろうし、仮に数学を使うとしても、遥かに簡単な64等分を主張する。

   

半分(2分の1)にする簡単なカットを6回続けて、64等分。その内の4コを、男性客8人で半分にして分ける。

(64-4)+8=68

   

ただ、ドラマ的には欧介の数学的才能を見せつける必要があるので、やっぱり正十七角形の作図が必要。ガウスやリッチモンドを知らなくても、ウィキペディアにやり方が載ってるが(gifアニメ画像付)、特に日本版ウィキの説明は非常に分かりにくい。図に点の名前を書き込んでないし、途中で使った線を残してるから、終盤は複雑すぎてゴチャゴチャに見える。

     

英語版ウィキの「Heptadecagonのページの方がシンプルだが、それでも途中の線を少し残してるので、大まかな論理の筋を追いにくい。そこで以下では、使い終わった線は消しながら、分解した図で流れを追ってみる。ただし点の名前は、日本版ウィキの説明に合わせた。

   

    

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かなり面倒な作図なので、中学1年レベルのカンタンな幾何は前提としよう。まず、線分(両端のある直線)の2等分はすぐ出来る。それを連続で行えば、線分の4等分もすぐできる。もちろん、定規(定木)とコンパスのみ使用。分度器はダメ。

        

また、角の二等分線もカンタンに引ける。それを連続で行えば、角の4等分もできる。ということは、直線(180度の角)を2等分すると、垂直の線が引けるし、それをさらに2等分すれば、45度の線も引けることになる。

   

一応、日本版ウィキの「二等分線」の項目にリンクを貼っとこう。正十七角形の作図は、日本版も英語版も、その基礎的操作まで書いてるから、全体が必要以上に複雑に感じられるのだ。

   

    

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① まず、中心O(オー)の円に、直角に交差する半径OA、OBを書き込む。次に、半径OBを四等分して、中心Oに一番近い四等分点をCとする。そして、Aと結ぶ線を引く。

       

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② 上図のように、角OCAの4等分線を引いて、OAとの交点をDとする。

       

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③ 角ECDが45度になるように、ADの延長線上にEを決める。

   

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④ 線分AEを直径とする円を書いて、OBとの交点をFとする。その円は、先にAEを2等分する点を求めて、それを中心として、その点からAまでを半径として、書けばよい。

   

    

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⑤ DFを半径とする円を書き、OAとの交点をGとする。

      

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⑥ Gを通って、OAに垂直な直線を引き、元の円との交点をHとする。

      

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⑦ この点Hが、円の右端の点Aを始点とする正十七角形の頂点の4番目になるらしい(理論的・計算的には未確認)。

角AOH=角GOH=3×(360°/17)

  

   

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⑧ Hから左回りに、3×(360°/17)の角度を取って行く。その角を合計6回取って、1周ちょっと回転した時、上図の角AOMは、360°/17になる。

 6×{3×(360°/17)}-360°=360°/17

これで、線分AMが正十七角形の1辺となった。

         

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⑨ 後はもう、角AOMや辺AMなどを利用すれば、上のような正十七角形が完成。ウィキはこの最後の操作を、コンパスで美しくやってるから、難しく見えてる。1辺が分かれば後はもう、その長さで区切って行くだけでいい。

 

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⑩ 17個の扇形をそれぞれ4等分して、正68角形が完成。ほとんど円に見えるからか、ネットでも(ほとんど)見当たらない。上図は、こちらのサイトのアニメーションから完成図だけお借りして、加工させて頂いた。

   

  

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ちなみにドラマではその後、均等に切り分けられたケーキの映像が登場。見事に、普通の長方形・・じゃなくて「直方体」(笑)。欧介も数学も全く関係もなし♪ ここはコメディの綺麗なオチだったわけか。

   

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なお、理論的・計算的な説明はまたいずれ。かなり面倒な二重根号、三重根号とかの計算が必要になるはず。正17角形の各中心角の角度360°/17(=2π/17)の恋サイン・・じゃなくてコサインの値はこうなるらしい。右端は三重根号になってる。

    

cos360°/17=1/16〔-1+√17+√(34-2√17)+2√{17+3√17-√(170+38√17)}〕

   

この記事、こんなに時間がかかるのなら普通にレビューした方が早かったかも・・とか思いつつ、ではまた。。☆彡

  

  

  

P.S. 翌週のドラマ後編の後、計算チェックの記事も新たにアップした。  

 正十七角形の作図法2~図形的な長さと角度のcosの数値チェック(手計算とコンピューター半々)

       

        (計 2478字)

   (追記80字 ; 合計2558字)

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