「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、数学ⅡB・第3問(数列、薬を飲む量と時間間隔)の解説

「大学入学共通テスト」第1回試行調査(プレテスト)については、

既に国語の記事、数学ⅠAの記事を書いた。今日は、数学ⅡB

の記事を書いてみよう。

 

問題・解答その他、情報はすべて大学入試センターHPで公開

されてる。以下で扱う第3問は一応、選択問題だが、実際はほぼ

全員が選択。

 

要するに、これだけ統計とかビッグデータの重要性が強調される

時代になっても、相変わらず大部分の高校生は正規分布などの

統計を避けるわけだ。高校教育のあり方や授業の進め方、大学

入試問題の傾向が問われるべきかも知れない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

この問題には数値記入があるが、文章の記述は入ってない。ただ、

内容的にも難易度的にも良問だと思う。少し難しめといった感じで、

誘導も適切。あえて注文を付けるなら、薬の名前のDという文字は

紛らわしいだけだろう。無い方が親切だ。

 

正答率は、簡単な前半は高いが、難しくなる後半は低い。選択肢

が一部に付いてることなどを考慮すると、後半は実質的に正答者

ゼロに近いが、数ⅠAほど極端な不出来にはなってない。

 

日常的な実用性もある問題で、要するに、薬を毎回飲むのは面倒

だが、まとめ飲みは効率が悪い、ということ。ただし、2回まとめて

飲むくらいなら大丈夫なように、安全性も配慮して作られてるのだ。

 

もちろん、まとめ飲みはしないのが原則なので、念のため。間が

空き過ぎると、途中で薬の効果が不足することになるし、まとめて

飲んだ直後には副作用が強まってしまうから。

 

      ☆        ☆        ☆

171213a

 

171213b

 

171213c

 

(1) a(1)、つまり1回目の服用直後の血中濃度はP。すなわち、5。

    a(1)= ・・・アの答

 

  薬の濃度が1/2になる12時間ごとに、濃度が5増えるのだから、  

  a(n+1) = ()a(n)+ ・・・イ、ウ、エ

 

171213d

 

公式より、各項から引くと等比数列になるような定数は、

 d=(漸化式の定数項)/〔1-{a(n)の係数}〕

  =5/(1-1/2)

  =10 ・・・オ、カ

 

 a(n)-10=(1/2){a(n)-10}

 よって{a(n)-10}は公比の等比数列。 ・・・キ、ク

 

階差数列をとるなら、

 a(n+2)-a(n+1)=(1/2){a(n+1)-a(n)}

  ∴ (公比)=1/2 ・・・ケ、コ

 

考え方1の方を使うと、

 a(n)-10=(1/2)(n-1乗){a(1)-10}

       =(1/2)(n-1乗)(-5)

 ∴ a(n)=10)(n-1乗)

       ・・・サ、シ、ス、セ、ソ

 

 

(2)

171213e

 

(1)で求めた一般項a(n)の式より、a(n)の値は常に10未満。

つまり、常にL=40を下回る。

よって、0番と1番は誤りで、2番は正しい。

 

また、2回目の服用直前、濃度が最も下がってる時でさえ、

 a(2)-5=(10-5×1/2)-5=2.5

よって、常に濃度はM=2を上回るので、

3番は正しくて、4番と5番は誤り。

 

したがって答は、と3番。 ・・・

 

 

(3)

171213f

 

(1)と同様に考えると、24時間ごとに濃度が1/4になるから、

 b(n+1)=(1/4)b(n)+5

 ∴ b(n)-20/3=(1/4){b(n)-20/3}

 ∴ b(n)=(1/4)(n-1乗){b(1)-20/3}+20/3

      =20/3-5/3(1/4)(n-1乗)

 ∴ b(n+1)-P=5/3-5/3(1/4)(n乗)

 

一方、a(2n+1)-5=5-5(1/2)(2n乗)

            =5-5(1/4)(n乗)

 

 ∴ {b(n+1)-P}/{a(2n+1)-P}

     =3 ・・・チ、ツ

 

 

(4)

171213g

 

24時間ごとにk錠飲む場合の、n回目の服用直後の濃度を

c(n)とすると、(1)(3)と同様に考えて、

 c(n+1)=(1/4)c(n)+5k

 ∴ c(n)=

    (1/4)(n-1乗)(-5k/3)+20k/3

 ∴ (24n時間経過後の服用直前の濃度)

   =(n+1回目の服用直前の濃度)

   =c(n+1)-5k

   =5k/3-5k/3(1/4)(n乗)

 

(3)より、これは12時間ごとに1錠飲む場合の(k/3)倍。

 これが1倍になる時、 k= ・・・

 

この時、

 (n回目の服用直後の濃度)

   =c(n)

   =20-5(1/4)(n-1乗)

 

これは常に20未満なので、L=40を超えることはない。

したがって、正しいのは番。 ・・・

 

 

     ☆        ☆        ☆

2回分のまとめ飲みをする場合は、「ある意味」、3倍の量が必要

になるというのは面白い結果だ。

 

ちなみに私は、基本的に2回以上のまとめ飲みはしない。飲み

忘れた時はそのままにするか、次回に1.5回分くらい飲む。

効き目が強い場合は、少し時間を空けて、1回分+0.5回分に

分けて飲むとか。もちろん、お勧めはしないので念のため。

 

最後のテとトは、真面目に計算しなくても、直前の(3)から想像が

つく。元の量のままだと3分の1の濃度になってしまうから、3倍飲む

ということだし、その程度で許容範囲を超えるとは常識的に思えない。

 

もっと言うなら、(3)とも無関係に、単なる勘でも正答できるだろう。

それはそれで、高い評価に値する能力だと思う。  

では、今日のところはこの辺で。。☆彡

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「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、数学ⅠA・第3問(高速道路の確率)の解説

先日は国語について記事を書いたので、今日は数学Ⅰ・数学Aに

ついて書くことにしよう。大学入試センターの公式サイトで公開中

 

私自身の感覚だと、どれも面白くてよく考えられた問題だ。現代性

や日常性も考慮されてて労作だと思う。しかし、全国の普通の高校

2年生、3年生は、難しい、あるいは大変だと感じただろう。

 

まだマークシート部分の採点だけなので、いずれ記述式の設問の

採点が終わると事態はますます明らかになると思う。「共通テスト」

なのに、「上級テスト」のような結果になってる。

 

 

      ☆        ☆        ☆

必答2問、選択2問、合計4問で70分という時間は、あの問題文だと

かなり短い。特に、問題1(10ページ)問題2(8ページ)は文章が

長いから、読むだけでも大変。それぞれ4分の1の時間(17分30秒)

だと、肝心の考える時間が足りなくなってしまう。

 

171209b

 

だから、最初で時間を使ってしまって、後の方の問題にしわ寄せが

来るのではないか。第2問(Tシャツと2次関数、統計・データ分析)

の中盤以降の正答率はかなり低いし(10%前後が4ヶ所)、以下で

扱う第3問(選択率68%)の正答率も、最初以外10~20%(上図)。

 

特に最後の設問は、四択(四者択一)だから、でたらめに選んでも

正答率25%のはずなのに、実際は12%。ということは全滅に近い

わけで、流石に「良問すぎた」ということか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

とにかく、私が一番面白いと思った第3問(場合の数と確率・統計)

を見てみよう。高速道路の渋滞をなるべく少なくする話で、システム

工学とか応用数学の分野だ。似たような話に、道路の信号の制御

などがある。

 

171209a

 

図の下のA地点から上のB地点に向かう高速道路では、中央を

真っ直ぐ行く経路(A→C→D→B)がメインだが、3ヶ所に分岐点

がある。渋滞の表示がなければ、上のような確率で選択される。

 

分岐点で片方の道路だけに渋滞の表示がある時には、そちらを

選択する確率がもとの2/3へと減少する。

 

 

      ☆        ☆        ☆

おそらく、そう書けば多少は正答率が上がると思うが、実際の問題

文はわざと読みにくい表現で書かれてるのだ。もちろん、図に確率

の書き込みはないし、やや凝り過ぎで複雑過ぎる出題かも知れない。

 

例えば、3地点の調査日を別にする必要はないし、書く必要もない。

「いずれにも渋滞中の表示がある場合」という説明も、むしろ無い

方が生徒の誤解が減るかも。

 

171209c

 

171209d

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは、解答と解説、感想を書いていこう。

 

(1)は、渋滞中の表示がない場合に、A地点で道路①を選択する

確率。私が図に書き込んだように、答は12/13。問題文を読み

取って、約分する。

 

(2)は、渋滞中の表示がない場合、D地点を通過する確率。

 (A→C→Dと進む確率)=(12/13)×(7/8)

             = 21/26

 (A→E→Dと進む確率)=(1/13)×(1/2)

             = 1/26

 ∴ (Dを通過する確率)= 21/26 + 1/26

             = 11/13 ・・・答

 

(3)は、渋滞中の表示がない場合、D地点を通過した車がE地点

を通過していた確率。原因の確率の公式(ベイズの定理)より、

 

 (D地点を通過した車が、E地点を通過していた確率)

   = (E→Dと進む確率)

       ÷{(C→Dと進む確率)+(E→Dと進む確率)}

   = (1/26)÷(21/26+1/26)

   = 1/22 ・・・答

 

もちろん、原因の確率の公式は苦手な生徒が多いので、直感的に

 (21/26):(1/26)=21:1  ∴ 1/22

と出す方が実戦的だと思う。

最後に1と21を足すのを忘れて、「1/21」と答えてしまう生徒が

少なくないだろうが。

 

 

      ☆        ☆        ☆

(4)は、道路①のみ渋滞中の表示がある時、D地点を通過する確率。

 

 (道路①を選択する確率)=(12/13)×2/3

              = 8/13

 ∴ (道路④を選択する確率)=1-8/13

              = 5/13

 

 ∴ (Dを通過する確率)

    =(A→C→Dと進む確率)+(A→E→Dと進む確率)

    = (8/13)×(7/8)+(5/13)×(1/2)

    = 7/13 + 5/26

    = 19/26 ・・・答

 

道路①を選択する確率が減る時、道路④を選択する確率が増す

のを忘れないのがポイント。

 

 

      ☆        ☆        ☆

そして最後の(5)、(6)。問題設定が難しくなる。

ある日(5月13日)の車を計1560台と想定。各道路の通過台数

は1000台以下に留めたい。

 

(5)は、まず渋滞中の表示がない場合、道路①を通過する台数。

 1560×12/13 = 1440(台) ・・・答

 

そこで、道路①に渋滞の表示を出すと、①を通過する台数は、

 1440×2/3 = 960(台) ・・・答

 

(6)は、選択肢となる図が4つ与えられてる。

 

171209e

 

直感的に考えると間違えそうなので、真面目にすべて計算する方

がいいだろう。実戦的には、とりあえず勘で何か答えた後、最後に

余った時間で取り組むべき所だ。

 

0番と1番は、道路③で1000台制限を超えるので失敗。

2番と3番を比較すると、答は3番になる。

 

171209f

 

(道路①でA→Cと進む車)=960(台)

(道路②でC→Dと進む車)=960×(7/8)×(2/3)

            = 560(台)

(道路④でA→Eと進む車)=1560-960=600(台)

(道路⑤でE→Bと進む車)=600×(1/2)×2/3

            = 200(台)

(道路⑥でE→Dと進む車)=600-200=400(台)

(道路③でD→Bと進む車)=560+400=960(台)

 

∴ (道路①②③を通過する車の合計)

    = 960+560+960

    = 2480(台)

 

計算自体は小学校レベルだが、問題文を理解して、4つの図で

この計算をするのは面倒。実質的に全滅状態に近くなったのも

うなづける。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171209g

 

念のため、公式サイトの正解も引用。基本的には良問だから、

文章をもう少し簡潔にして、計算量を少し減らせばいい。

 

この問題、よく読むと、本当は渋滞してないのに「渋滞」と表示する

場合があるような内容になってるのが気になる♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 「大学入学共通テスト」試行調査、

      国語・第1問(部活動)の解説・感想

 

               (計 2487字)

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「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、国語・第1問(部活動)の解説・感想

「2020年度から始まる・・・」といった報道を見聞きするたびに、

2020年の秋なのか、2021年の春なのか、分かりにくい表現だと

感じる。実施日程がハッキリしなかったから仕方ない部分もあるが、

昨日(2017年12月5日)の朝日新聞・朝刊は分かりやすかった。

 

1面トップ記事の冒頭に、「21年開始」、「2021年1月から始まる

と書いてる。「年度」ではなく、普通の西暦の年月で書いてるから、

あと3年という計算もすぐ出来るのだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆    

今回、話題となってるのは、17年11月に実施された第1回・試行

調査の問題など。全国で「延べ」約18万人の高校2、3年生が参加、

肝心の記述式の採点はまだこれからで、来年3月までに公表。試行

でこれだけ手間取るのに、本番は間に合うのか、心配になる。

 

朝日の記事の大見出しは、

 脱・暗記 考える大学入試

 複数資料読み解答 ・ 自ら数式組み立て

私が編集者なら、「記述」という大切な言葉も必ず入れたはず。

 

171206a

 

関連情報の多くは、前日の12月4日に大学入試センターがネット

公開しているが、朝日にも2ページ分の問題例が掲載されてた。

昨日、理数系の記事を書いたばかりでもあるし、今日は国語の

注目の問題、第1問を簡単に見てみよう。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 「青原高等学校では、部活動に関する事項は、生徒会部活動

 規約に則って、生徒会部活動委員会で話し合う・・・」。

 

多くの生徒にとって「生徒会」とかいうだけでも縁遠い言葉だろうが、

ここでは全生徒がほぼ自動的に入ってる組織を指してる。それでは

組織が大き過ぎて、なかなか話が進まないので、少人数の代表者

による「委員会」で先に話し合う。

 

 生徒会の委員会 → 生徒総会 → 職員会議

 

こうした学校運営の基本的な手続きやシステムについて、ある程度

の知識やイメージをあらかじめ持ってないと、資料を読みこなすのは

大変だろう。

 

もちろん、国の政治の場合だと、政党、内閣、委員会、両院その他、

遥かに複雑で巨大な仕組みで決定していくことになる。その意味では、

生徒会や部活動についての話は、政治を学ぶ身近な一歩でもある。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171206b

 

171206c

 

171206d

 

上が部活動の規約で、重要なのは第8条、10条、12条、13条

つまり、兼部、終了時間、部の新設。ただ、その4つの条項が重要

だと分かるためには、全体にも素早く目を通す必要がある。

 

今のセンター試験もそうだが、どうも国語の教師や研究者は、大量

の文章を正確に速読させようとする傾向が強い。ツイッターやLINE

など、SNSでごく短い言葉を軽くやり取りするのが主流の現代社会

とあまりにかけ離れた能力を求める姿勢には、やや疑問を感じる。

リアルな日常でも、長くて堅い文章を扱う機会は非常に少ないのだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

171206e

 

問1は、部の新設のための申請条件と手続き50字以内で

書く問題(句読点含む)。第12条と13条を引用して短くまとめる

だけで、内容的には簡単だ。自分自身の表現に悩む必要もない。

 

正解は、3年以上活動している同好会が、4月第2週までに

所定の様式で申請する・・といった記述となる。

 

 

第2問は、兼部の規定について、これまで認められてなかったが

要望があるのは何か25字以内。文脈と、第8条を読めれば簡単。

 

正解は、体育部同士または文化部同士の兼部を認めて欲しい・・

といった記述。うっかり、漢字が「同志」となってると、減点だろう♪

 

 

      ☆        ☆        ☆

さらに、一番大変なのが第3問部活動の終了時間の延長には、

 

どのような課題があるか。80~120字で、ニつの文。一つ目の

文は、「確かに」という書き出しで、根拠を2つ挙げる。二つ目の文は、

「しかし」という書き出しで、具体的に書く。3つの添付資料を利用。

 

171206f

 

171206g

 

 

正解は、まず資料1と2に基づき、「確かに」要望は多いし、市内の

他の4校の内、3校でも延長されてると書く。

 

ちなみに正答例を見ると、「延長を認める高校も多い」と書いてるが、

私が採点者なら少しだけ気になるだろう。というのも、青原高校も

含めて数えると、延長してるのは5校の内の3校。「多い」という表現

が論理的に適切かどうかはやや微妙だからだ。僅か1校が延長を

中止すれば立場が逆転してしまう、その程度の差にすぎない。

 

171206h

 

一方、正解の後半は、資料3の終盤、を引用してまとめるだけ。

わざわざ親切に、解答と同じ接続詞「しかし」を使ってくれてる。

 

要するに、「しかし」通学路の道幅が狭いし、延長すると交通量の

ピーク時間とぶつかってしまうから、安全確保が難しいとか、危険

増すとか、書けばいい。

 

実は、資料3の青原高校新聞の円グラフ2つをよく見ると、部活動

の時間延長を求める人は、全体(総回答数522)の中だと少数派

にすぎない(196)。

 

延長すると、部と関係ない生徒の帰宅も遅くなりがちだろうから、

現実の話ならその辺りにも配慮する必要がある。もちろん、この

問題では、そこまで読むと字数不足になるし、指示に合わない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

ちなみに私の高校の場合、部活動の時間の規則はほとんど話題

になってないし、残りたい人は暗くなるまで勝手に残ってた。自主性

を重んじる学校だったが、自己責任というような話は聞かなかった

気がする。普通は何事もないから、それで大丈夫なのだ。

 

そういえば高校3年の時、陸上部以外に水泳部も兼部してたのを

ふと思い出した。走る以外に、夏は水泳でも心肺を鍛えようという

考えだったが、冷たい水が気持ちいいのはともかく、身体的には

披露が溜まり過ぎてしまった。体育部の兼部では、そういった点も

問題とある。

 

とにかく、国語の第1問に関しては、文章の多さを除くと適度な

難易度だろうと私は思った。さて、実際の高校生の正答率がどう

なるのか、注目しよう。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 「大学入学共通テスト」試行調査、

    数学ⅠA・第3問(高速道路の確率)の解説

 

                (計 2435字)

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新「大学入学共通テスト」数学、マークシート式のモデル問題の解説と感想(図形・円と直線)

2017年(平成29年)7月13日、大学入試センターが、新テスト

マークシート式問題のモデル問題例」及びモニター調査実施結果

発表した。

 

マークシートと言っても、記述式答案を原型にして作った問題だから

簡単ではないし、モニター(大学1年生)の結果を見ると、図形の問題

はあまり理解されてないように思われる。にも関わらず、最終的な答

(選択肢の番号)しか公表されてない。

 

そこで今回は、その問題(モデル問題例4、3つの円と直線の交点)

の解説と感想をごく簡単に書いてみよう。いつものように、何も参考

にせず、自力のみで書く。本試験前にネットで公表した資料なので、

著作権の問題は生じないと考える。

 

ちなみに記述式の問題例については、2ヶ月前に記事を書いてある。

 

 大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説

       ~銅像を見込む角と位置

 

 

     ☆        ☆        ☆

まず、問題文の前半。と言っても、設問と点数の大部分はこの箇所

にある。

 

途中の問題文や選択肢は少し省略したが、要するに、証明の途中の

空欄に語句を記入して完成させる問題であって、選択肢が無くても、

大まかな流れは理解できるし、解答も可能。コンピュータも不要だ。

 

170715c  

 

170715b

 

170715d

 

170715e

 

 

      ☆        ☆        ☆

まず、空欄ア。点CとSを通る直線がAを通ることを証明するには、

直線CSと円O1の交点D(S以外)が、「A」と一致することを示せば

よい。また、他に同等の答の選択肢は無い。   

よって答はA、つまり3。これは86%の大学1年生が正解。

 

次に空欄イ。∠SAQと∠SDQは、円O1において1つの弧に対する

円周角になってるから、等しいのは当たり前。つまり、3点C、S、A

が一直線上にあることの証明には役立たない。よって答は、4

 

続いて空欄ウ。ここからが証明開始で、円O1に内接する四角形の

性質より、∠ASP=∠BQP。答は、2。

 

ここまでは正答率60%以上だが、これ以降は一気に低くなって、

40%~20%まで落ち込む。選択肢の数は5コ前後しかないので、

でたらめに選んでも正答率20%前後になる。ということは、大部分

の学生が理解できなかったということだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

証明の流れをキレイにまとめ直すと、以下のようになる。

 

 ∠ASC=∠ASP+∠CSP

     =∠BQP+∠BRP (円O1とO3に内接する四角形の性質)

     =180°    (円O2に内接する四角形の内対角の和)

 

よって答は、エ(理由)が3オはCSPで、5カはBRPで、1

キ(理由)は2

 

上のように、等式の変形に、一連の流れを持たせれば理解しやすい。

最初の∠ASCを少しずつ書き直して、最後の180°という角度まで

到達させて行く。

 

 

      ☆        ☆        ☆

ところが、実際の設問の証明は、一連の流れを4つの文に分割して、

しかも接続詞も入れてないので、流れや意図、論理が読みにくい。

 

 四角形AQPSは円O1に内接するから、∠ASP=∠BQP

 四角形CSPRは円O3に内接するから、∠CSP=∠BRP

 四角形BRPQは円O2に内接するから、

    ∠BQP+∠BRP=180°

 よって∠ASPは180°なので、3点C、S、Aは一直線上にある。

 

このような分割した証明の書き方は、中学の教科書や参考書などでも

よく見かけるものだから、作成者にとっては普通の書き方なのだろう。

ただ、せめて2行目に「一方」、3行目に「ここで」と接続詞を入れるべき

だと考える。冒頭に、「∠ASC=∠ASP+∠CSP」という前置きを

書いてないのは、意図的に問題を難しくしたのだとしても。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

続いて、正答率わずか20%で、ほとんど出来なかった設問。時間

が無くなることを考えても、直前までの正答率とは極端な差がある。

 

170715f

 

170715g

 

170715h2 

 

 

     ☆        ☆        ☆

以下、以前の証明と同じような書き方で、新たに書き直してみよう。

あえて真似してるだけであって、わかりやすくはないし、滑らかでも

ないので、念のため。修正点はピンク色にした。

 

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠ASP=∠BQP

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠CSP=∠BRP

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠BQP=∠BRP

 よって、∠ASP=∠CSPなので、

 3点C、S、Aは一直線上にある。

 

こう書くと、接続詞がない不自然さが明らかだし、それぞれの弧の

名前(AP、CP、BP)も書いた方がいいはず。

 

いずれにせよ、(a)(c)(e)(f)(g)のみを修正したのだから、

答は3

 

 

      ☆        ☆        ☆  

実戦的には、たとえ証明が分からなくても、次のように考えれば、

答として3番を選択できることになる。

 

(f)、つまり∠BQP+∠BRP=180°は間違いであって、

修正する必要があるから、選択肢の0と1は不適。

 

また、(b)の箇所、つまり∠ASP=∠BQPは正しいから、

修正する必要はない。よって、選択肢の2は不適。

 

以上より、消去法によって、答は残る選択肢。つまり、3。

 

 

     ☆        ☆        ☆

ただし、いずれにせよ、前の設問の証明を理解してる必要はあるし、

選択肢3が本当に正しいのかどうかは示されてない。それを示すのは

非常に難しいことだろう。

 

つまり、それら5つ「のみ修正すれば十分」だと示されただけで、

5つ「のみ修正する必要がある」ことは示されてない

 

この辺りも、中学や高校の数学で省かれてしまってる重要な点だ。

十分条件と必要条件は異なるとか教えつつ、実際の解答の中では

いま一つ活かされてない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

最後に、私自身の証明を添えておこう。∠ASPから∠CSPへと

少しずつ変形していく、一連の流れをつけてる点が最大の違いだが、

最後の一言も重要だ。

 

 ∠ASP=∠AQP   (弧APに対する円周角)

     =∠BQP

     =∠BRP   (弧BPに対する円周角)

     =∠CRP

     =∠CSP   (弧CPに対する円周角)

 

よって、∠ASP=∠CSP。

しかも、直線SPに対して点AとCは同じ側にあるので、

3点C、S、Aは一直線上にある。

             (Q.E.D. 証明終了)

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                    (計 2467字)

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ウン、この漢字ドリルはいい♪&10km走

(18日) RUN 10km,49分19秒,平均心拍 151  

  消費エネルギー  510kcal (脂肪 92kcal)

 

今までブログに「う・こ」なんて3文字を書いたことあったっけ?、と

思ってサイト内検索すると、ゼロ♪ うん、この結果には満足だと

納得したのに、カタカナで検索するといくつかヒットしてしまった (^^ゞ

 

ちょっと驚いたのは、僅か半年ほど前、石原さとみのドラマ『校閲

ガール』で使われてたこと♪ まあ、人気絶頂の可愛い女優だけど、

さばさばキャラだから、なるほどと納得できたりもする。

 

ちなみに、この私の記事のタイトルはすぐ思いついたから、誰かに

先に書かれてそうだよな・・と思って、普通の検索もツイッター検索

もかけたけど、意外と見当たらない。オリジナルのアイデアかね。

自慢になんないけど♪

 

 

      ☆        ☆        ☆

170519a

 

で、僅か2か月で150万部くらいの大ヒットになってるらしい、うん

こう社(笑)・・じゃなくて文響社『う・こ漢字ドリル』。小学1年生向け

と2年生向けは、「漢字」の「漢」という字を使わずに、『う・こかん字

ドリル』。

 

ウン、これは凄くいい♪ テレビで女子アナが連呼する時の恥ずかし

げな表情が(笑)。そこか! 最初にこの本を知ったのは、連休中に

テレビでやってた情報番組で、本当に女子アナが「運呼」してた♪

コラコラ! 連呼だろ!

 

私が小学生だったら、絶対に母親におねだりして、あっさり断られて

るところだ。ちなみに、「し・こ漢字ドリル」は見当たらない(笑)。さら

に「・・こ漢字ドリル」だと、出版界から干されるのであった♪ コラ!

某女性タレントの伝説の放送禁止用語か!

 

このドリル、内容に自信があるようで、アマゾンでも1冊で10枚

の画像を見せてくれてる。

 

1年生向けの例文を2つ引用すると、漢字の「一」については、

 

  このう・こが一番大きい。 (読む練習)

  う・こを一つもって出かけよう。  (書く練習)

 

二番目の例文はシュールで、もはや現代アート♪ 大人が実行す

ると逮捕されるだろう。子どもは実行に移さないのかね?

 

 

      ☆        ☆        ☆

一方、6年生向けだと、「幼」という漢字について、

 

 幼児たちが、先生のくつにう・こを入れて遊んでいる。 (爆) 

 せみの幼虫が、ぼくのう・こにつかまって羽化をした。

 

どちらも書く練習。ちなみに「羽化」はもちろん、「うか」と読むんだ

けど、子供たちは絶対、別の読み方で遊ぶだろう♪

 

私は前から、超久々に漢字の勉強をしたいなと思ってたから、実は

6年生向けのドリルを買おうとしたんだけど(笑)、よく行く2つの書店

は売り切れ。逆にラッキーだったかも。売り場で残念そうにウロウロ

してたら、女性店員にしっかり見られてた (^^ゞ

 

しかし1冊約1000円だから、2ヶ月で15億円☆ しかも、う・こで♪

私もブログのタイトルを変えてみようかな。ココログから何日以内に

叱られるか実験してみるとか(笑)

 

まあ、この後、二匹目のドジョウを狙った企画が出たらどうなるか、

ちょっと楽しみかも。「し・こドリル」の実現にも期待しよう。アレは

流石に無理だろうね。公には。。♪

 

 

      ☆        ☆        ☆

最後に、昨日の走りは単なる10km走。雷雨の後だったから、路面

が滑るし、汚くて走りにくかった。

 

へろへろハーフ走から1日休んで、どの程度回復してるか心配だっ

たけど、足腰は意外と平気。ただ、激しい呼吸で肺が苦しかった。

まあ、今まではずっと心臓がしんどくて、肺はラクしてたから、これ

でバランスがとれるかも。

 

トータルでは1km4分56秒ペース。この程度の速さにしてはやた

らしんどかったけど、序盤が速過ぎたせいだと思っとこう。湿度

100%だけど気温15度だから、蒸し暑くはなかった、風速は1m

 

そろそろ自転車に乗らなきゃなぁ・・とか思いつつ、それでは今日は

この辺で。。☆彡

 

 

        時間  平均心拍  最大

往路(2.4km)  12分32秒 138 152

LAP1(2.1km) 10分11秒 153 157

  2        10分22秒 154 157

復路(3.3km) 16分14秒 155 164

計 10km 49分19秒 心拍平均151(84%) 最大164(91%)

 

                  (計 1661字)

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大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説~銅像を見込む角と位置

センター試験の後継テストについては、今までも色々と情報が伝わっ

てるが、そろそろ方針が固まって来たようなので、記述式のモデル

問題例を見てみよう。

 

2017年5月16日、大学入試センターが公開。国語の方が、問題

も正答例も気になったが、ここでは数学を1問扱う。以下の解説や図

は、いつものように個人的なものであって、他のサイトは参考にして

ない。翌日の朝日新聞・朝刊に掲載された正答例だけはチェックした。

 

なお、今回は事前の問題例公開でもあり、著作権は気にせず、ほぼ

そのまま縮小コピペさせて頂いた。

 

 

      ☆        ☆        ☆

公園整備計画において、広場の大きさを決める前に、銅像の見やす

さを考える。三角比の表は省略。

 

170518a

 

170518b

 

(1) 解答

170518h

 

(見込む角の tan) = 4/12

            =0.33・・・

よって、三角比の表より、

 (見込む角) ≒ 18°

    答. 7 ・・・ 空欄ア

 

170518c

 

(2)(ⅰ) 解答

 余弦定理で、 

  cos∠APB=(AP²+BP²-AB²) / 2AP・BP 

 を計算し、正の値であることを確かめる。

 

170518d

 

 (ⅱ) 解答

  sin∠APB = AB / 2R

    (注. 正弦定理を変形して、Rを変数と見た式。

        別の形で答えても正答扱いのはず。)

 

170518e

 

 (ⅲ)① 解答

170518i

 

  上図より、

  (ベストスポットを与える最小のR)

    = 2+5

    = 7 (m) ・・・ 空欄イ

 

170518f

 

 ② 解答

  sin∠APB = AB / 2R

          = 4 / (2×7)

          = 0.285・・・

  よって三角比の表より、

    ∠APB ≒ 17°

   答. ③ ・・・ 空欄ウ

 

170518g

 

 ③ 解答

170518j

 

 三平方の定理より、

 (求める距離) = √(7×7-2×2)

          = √45

          = 3√5

          ≒ 3×2.24

          ≒ 6.7 (m)

  答. ③ ・・・ 空欄エ

 

 

      ☆        ☆        ☆

(感想・論評)

空欄イの7mを正しく答えた大学生は、僅か9.6%。ということは、

空欄ウやエの正答率20%弱は、単に選択肢から勘で選んだ人が

多かったということを示す数字だろう。

 

大まかな図を書くだけで、選択肢10個は5個くらいまで絞り込めて

しまう。折角、記述式にするのなら、ウやエも選択肢なしで出題する

方が良い。エがイとほとんど同じ値というのも、もう一工夫欲しい所。

 

ただし、(1)と少し設定が違うし、図形的・現実的にややイメージし

にくい問いだったのは事実。他にも、問題文が長いので、後半は

基本的な国語力がないと問い自体が把握できない。

 

もう少し難易度を下げた方が、共通テストとしては適切かも知れな

いが、テスト全体の構成にもよるだろう。他の問題が簡単なら、全体

的には適切なバランスになる。

 

 

      ☆        ☆        ☆

私が一番気になったのは、見込む角というものを上下の方向だけで

考えてる点と、台座が高い点。「左右方向の見込む角」を考えたり、

低い台座を考えたりすると、近づけば近づくほど見やすいという常識

的な答が導かれてしまう。

 

その場合、広場の大きさを決めるのに役立たないし、数学の有用性

も示せないから、この問題のような設定にしてあるわけだ。しかし、

現実社会でこのような議論を示された時、そうした問題点をすぐ見抜

くのは難しいだろう。

 

数学は、正しい誘導にも、間違った誘導にも使えるわけで、その辺り

の難しさに関する教育的配慮も必要なのだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

                    (計 1354字)

 

 

cf. 新「大学入学共通テスト」数学、

     マークシート式のモデル問題の解説と感想(円と直線)

 

        (追記 43字 ; 合計 1397字)

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夏目漱石『夢十夜』の第六夜、問題と正答への疑問~全国学力調査2017中学・国語A

この記事は2500字くらいは書こうと思ってたが、残念ながら仕事

その他に追われて余裕が無い。仕方がないので、ごく簡単に全国

学力調査の「正答」例を批判しとこう。2017年4月18日に実施さ

れたテストで、19日の朝日新聞・朝刊に掲載されてた。

    

当サイトでは5年前、中学数学Bの問題の解答例を批判する記事

をアップ。地味なアクセスが集まり続けてる所を見ると、私と同様の

疑問を感じた人は少なくなさそうだ。

    

 全国学力調査2012・中学数学B、

    スキー・ジャンプの問題(原田vs船木)

  

その時は、大まかに言うと論理的な疑問が生じたわけだが、今回

は半ば、文芸作品鑑賞のセンスに対する疑問だ。ただし、それ以外

にも色々な事がからんでると思う。解釈力、出題の仕方、等々。。

   

    

      ☆        ☆        ☆ 

中学・国語Aの問題6の出典は、一番最後に丸カッコで、(夏目漱

石「夢十夜」による)、とだけ書かれてる。実際は、短い「十夜」の内

第六夜で、ほぼ全文だが、そういった説明は無い。ちなみに『夢

十夜』は、無料の電子図書館「青空文庫」で全文公開中。

    

問題文の第六夜のあらすじは次の通り。主な登場人物は3人で、

1200年ごろに活躍した彫刻の天才・運慶と、見物人の若い男と、

自分」。自分は夢を見ていて、運慶の仕事ぶりを見に行く。非現実

的で幻想的なストーリー。

     

運慶が仁王を彫る様子を、自分が感心しながら見物してると、若い

男が言った。

   

 「あれは眉や鼻を鑿(のみ)で作るんじゃない。あのとおりの

  眉や鼻が木の中に埋まっているのを、鑿と槌(つち)の力で

  掘り出すまでだ。まるで土の中から石を掘り出すようなもの

  だから決して間違うはずはない」。

    

 「自分はこの時はじめて彫刻とはそんなものかと思いだした。

  はたしてそうなら誰にでも出来ることだと思いだした」。

  

だから自分は家へ帰って彫り始めたが、

  

 「不幸にして、仁王は見当(みあた)らなかった。・・・・・・自分

  は積んである薪(まき)を片っ端から彫ってみたが、どれも

 これも仁王を蔵(かく)しているのはなかった。」 

                   (問題冒頭の文章終了)

      

    

      ☆        ☆        ☆

さて、問1は、主な登場人物3人の関係をたずねる簡単な選択肢

付きのもので、異論はない。それに対して、問2はかなり疑問だ。。

  

 「どれもこれも仁王を蔵しているのはなかった」とありますが、

  この部分の意味として最も適切なものを次の1から4までの

  中から一つ選びなさい。

  

 1. 木挽(こびき)が隠した仁王を見付けられなかった。

       (注. 木挽とは薪を切り出した人)

 2. 木が堅くて鑿では仁王を掘り出せなかった。

 3. 薪が小さすぎて仁王が入っていなかった。

 4. 仁王を彫刻することはできなかった。

   

   

    ☆        ☆        ☆

一読してすぐ、出題者が4番を正答と考えてるのは分かる。しかし、

それが正答とか模範解答とはとても思えない。

     

まず、あまりに平凡な解釈で、漱石の短編の内容や言葉遣いの面白

みを消してしまうものになってしまってる。

   

また、これはあくまで夢であって、700年も前の彫刻師を見物しに

行くような物語なのだ。「どれもこれも仁王を蔵しているのはなかっ

た」という言葉も、夢の中の自分の思いを表してる。

  

「自分」が若い男の言葉を、「彫刻は実は簡単だ」といった感じで普

通に解釈した証拠は書かれてないのだから、本気で文字通り、仁王

を探したと考える方が自然。実際、終盤の描写は全てそうなってる。

    

   

      ☆        ☆        ☆

ここでおそらく出題者や解答制作者はこう反論したくなるだろう。選択

肢の他の3つは選べないから、消去法で残るのは4番だけだと。

   

確かに、1番は「木挽が隠した仁王」という文が言い過ぎになってる。

若い男の説明に木挽は出てないし、その後の文章にもその木挽が

隠したと示す部分は無い。2番は「堅くて掘り出せなかった」という

部分がおかしい。自分は勢いよく彫り続けたのだから。

     

ただ、3番はいい線行ってる。出題者の側は、「薪が小さすぎて」とい

う文がおかしいと考えてるのだろうが、この問題には絵が載ってて、

人間の背丈ほどの大きな木を運慶が彫る姿が描かれてるのだ。

   

それに対して、「自分」が彫った木は薪だから、当然小さいはず。さ

らに、問題文の最後に3番を付加すると、夢独特の滑稽さも増す。

    

というわけで、どれか選ぶのなら3番か4番だろうけど、どちらも正答

とか模範解答と呼べるほど明らかではない。それなら根本的に、出

題の仕方がおかしいということだろう。むしろ例えば、簡単な記述問

題にして、答え方にある程度の広がりを持たせる方が良かった。

    

    

      ☆        ☆        ☆

人によって色々な見方があるのは当然として、選択肢から正答を

一つ選ばせるのなら、それなりに飛び抜けた説得力や優越性が必

要だ。義務教育で全員参加のテストなんだから、出題の際はもう

少し熟慮すべきだろう。

  

それでは今日はこの辺で。。☆彡

         

                     (計 1970字)

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米国の大学院入学テスト「GRE」2~言語的推論の問題(読解、数学の応用)

先日、米国の大学院に入るためのテスト「GRE

Graduate Record Examinations

:大学院進学適性試験)について書いた記事は、英語が

読める人にとっては簡単なものだろう。制度変更前のテストに関

する、簡単なサンプル問題を1問解いただけだ。

      

しかし、今日の記事は英語が読める人にとっても、ちょっと考えさ

せられる問題だと思う。

   

レベル的には、日本の大学入試センター試験の現代国語(評論)

や数学と同程度か、ハイレベルな高校の入試問題くらいだから、

英語のネイティブの大卒にとっては普通かも知れない。ただ、英語

を母国語としない人達にとっては、緊張するレベルの問題のはず。

   

それでは、公式サイト一般(General)テストの問題パターン

の1つとして紹介されてる、

verbal reasoning problem

(言語的な推論の問題)を1問だけ解説してみよう。専門テストと

は違って、一般的な教養を見る問題だ。

         

1949年からGREを運営するETS

(Educational Testing Service: 

教育試験サービス)のHPから引用させて頂いた。

国際交流のためにも、悪しからずご了承を。。

   

   

      ☆        ☆        ☆

170403a

   

丁寧な直訳は避けて、やや大まかに翻訳しておく。

   

 「政策作成者はジレンマに直面せざるを得ない。

  化石燃料はまだエネルギー源として不可欠だが、

  二酸化炭素で地球環境に悪影響を与えてしまう。

  現在の科学技術では、二酸化炭素を取り出して

  地底や海底に隔離すると、発電コストが2倍になる。

  しかし、送電コストは変わらないから、結局、

  電気代はせいぜい50%の上昇に留まる。

  より良い技術の研究でコストは更に下がるはずだ。

   

   

      ☆        ☆        ☆

それでは第1問。複数の選択肢から正しい1つを選ばせる問い。

   

170403b

   

上の文章は、現在の発電コストについて、以下のどれ

 意味しているか?」。

   

全部説明すると長くなってしまうので、正解だけを説明しておこう。  

元の発電コストが、電気代の半分を占めるとする。二酸化炭素の

隔離でこの部分が2倍になり、残り半分のコスト(送電)は元のまま

変わらないから、

    

  (0.5×2)+0.5=1.5

  

つまり、元の電気代の1.5倍、すなわち50%増になる。

  

問題文では、電気代はせいぜい50%増と書いてるから、元の発電

コストは電気代の半分以下ということ。よって、答はC

  

不等式できっちり書いて解くのなら、単位あたりの電気代をaとし、

発電コストの割合がx%として、次の通り。

   

 a×(x/100)×2+a×(100-x)/100≦1.5a

 ∴ 2x+(100-x)≦150

 ∴ x≦50 

   

   

      ☆        ☆        ☆

続いて、いくつか(1つ、または複数)の選択肢を選ばせる問い。

   

170403c

  

隔離を拡大すると、やがて次のどの結果になると示唆されてるか?」。

   

選択肢Aは、化石燃料の燃焼が二酸化炭素を出さなくなると書いて

るから、誤り。選択肢Cは、発電設備が次第に化石燃料を消費しなく

なると書いてる。これは引っ掛けで、常識とかイメージ的に正しいと

思ってしまいがちだけど、問題文にそこまで示唆されてないから誤り。

   

一方、選択肢Bは、電気代に占める発電コストの割合が上昇した

後、下降すると書いてある。隔離で短期的に上昇するけど、技術開

発が進んで下降するということで、問題文が示唆してると考えられる。

  

以上より、答はBのみ

   

   

     ☆        ☆        ☆ 

最後は、問題文の段落の中から、一つの文を選ばせる問い。

  

170403d_2

    

隔離の結果として予想されたかも知れない結果は、なぜ

 発生しないのか。それを説明する文を選べ」。

   

分かりにくい書き方だが、要するに、「二酸化炭素を隔離しても

電気代がそれほど上昇しないのはなぜか」を説明する文を選べ

ばよい。

  

よって、4つの文の3番目、「But because ・・・」が答

なぜかを説明する文だから、「because」だけ見ても答え

られるかも♪

    

    

     ☆        ☆        ☆

これ以外にも、まだまだGREの問題はあるし、私が先日の記事

執筆の際に見つけた論文の話はまた別にある。アクセスは少なく

ても、私自身にとって興味深いので、いずれまた記事を追加する

つもりだ。

    

ちなみにこの問題文、トランプ大統領はあまり喜ばない主張かも♪

今日のところはこの辺で。。☆彡

   

   

     

cf. 米国の論理パズル

   ~大学院入学テスト「GRE」のサンプル問題(英語) 

      

                     (計 1766字)

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小学校・道徳の教科書の物語『はしの上のおおかみ』、軽い感想(1・2年、奈街三郎作)

森友・籠池問題と築地・豊洲問題が大揺れになる中、来年(2018

年度)から使われる小学校の道徳の教科書も地味な話題になって

る。文部科学省の検定の指摘を受け、細かい変更が行われたらし

い。パン屋が和菓子屋に、おじさんがおじいさんに、アスレチック

公園が和楽器に、etc。。

   

私はパン屋が和菓子屋になったという話を朝日新聞デジタルで読

んだ時、思わず笑ってしまったけど、文科省の言い分によると、こ

の箇所だけ見た修正ではなく、教科書全体の構成の問題とのこと。

    

そう言われると、教科書全体をチェックしたくなるけど、当然まだ公

開されてないし、「道徳」に反する裏情報を探し出すつもりもない。

   

というわけで、合法的に教科書(教材)の内容を読もうとすると、文

科省がネット公開中の副読本『わたしたちの道徳』が参考になる。

この中に、全社が採用したお話が色々入ってるらしい。

  

170325a

     

とりあえず今日は、1・2年用の副読本の序盤に載ってた読みもの、

『はしの 上の おおかみ』を軽く見ておこう。「橋の上の狼」ではな

く、ひらがなを使ってるし、文節で1マス空けてある。

  

巻末の注によると、著者は児童文学者・奈街(なまち)三郎。出典

は、『読んでおきたい物語 やさしいの話』(ポプラ社)。ウィキペディ

アが正しいのなら、初出は『はしのうえのおおかみ』(鈴木出版、

1991)なのかも。

   

副読本は、以前から全文無料公開されてる公的配布物なので、

縮小画像を2枚入れさせて頂いた。出典、著者名も明記してるし、

著作権の問題は生じないと考える。普通にいいお話なので、基本

的には好意的な引用だ。

   

   

     ☆        ☆        ☆

170325b

  

この読みものが挿入されてるのは、第2章「人と ともに」、第2節

「あたたかい 心で 親切に」。p.70~p.73の4ページ。

  

「おおかみは人ではありません」とか、いきなり先生に突っ込む生

徒もいるだろうけど、なぜか子ども向けのお話では、言動が人間み

たいな動物がよく使われる。擬人法ならぬ、擬獣法。子どもウケが

いいし、人間よりキャラ設定がしやすいからだろうか。たとえば、悪

役にはオオカミ、善玉にはクマさんとか。

  

あらすじを短くまとめると、次の通り。

  

1人しか渡れない山の1本橋で、おおかみが意地悪して遊んでる。

うさぎ、きつね、たぬきなど、他の動物が通れないように通せんぼ

して、いばってると、橋の真ん中で大きなクマとぶつかった。

     

おおかみが慌てて引き返そうとすると、クマはおおかみを抱き上げ

て、後ろへそっとおろした。橋の上で、クマの後ろ姿を見続けたおお

かみは、次の日、クマの真似をして、ウサギを抱き上げて通してあ

げた。おおかみはいい気持ちになった。。

    

    

     ☆        ☆        ☆  

まるで『水戸黄門』型のテレビドラマみたいなお話で、6才~8才

くらいの子どもには分かりやすくて教訓的。ちょうどいいと思う。

   

ただ、ちょっと頭の回る子どもなら、「先生、おおかみはおかしいと

思います」とか発言しても不思議はない。例えば、「おおかみは自

分がいい気持ちになりたいために、わざと橋をふさいだんだと思い

ます。温かい心や親切などではありません」とか。

   

もちろん、元のお話に、「わざと」という話は書かれてない。

 「つぎの日です。1本ばしのまん中で、おおかみは

  うさぎに出会いました」

と書かれてるだけ。だから、たまたま橋で一緒になったということか。

   

  

     ☆        ☆        ☆

あるいは、「おおかみに抱き上げられるとウサギは怖いので、余計

なお世話だと思います。おおかみが本当に優しい気持ちを学んだ

のなら、むしろ引き返してあげるべきだと思います」という意見が出

ることも考えられる。

  

そうすると、別の子どもが、「これは、たとえ話だから、そのまま読む

のはおかしいと思います。他人に良いことをしてもらったら、自分も

すぐ見習おうということを言いたいのです」と反論するとか。

   

「おおかみはちゃんと、クマにありがとうと言うべきだったし、うさぎ

もお礼を言うべきです」。

「先生は、クマさんみたいにお手本を示してください」。

「みんなで橋をもう1本作る方がいいはずです」、etc。

   

おそらく既に大量の授業データが蓄積されてるはず。それほど変

な方向に議論が向かうこともなさそうだから、先生の側も余裕を

持って授業に使えると思う。

    

  

      ☆        ☆        ☆

ちなみに私自身がすぐ思い出すのは、中学のホームルームでの

細かい表現論争。

   

他人に対して、「可哀想(かわいそう)」と言うのは偉そうで失礼だか

ら、「気の毒」という言葉を使うべきだという意見が出て、私は直ち

に反論した気がする。反論内容までは覚えてないけど、この同級

生とは今でも一応、連絡を取り合ってる仲で、関係はわりと良好だ。

     

まあ、教科書や教材よりも、先生や生徒の能力が問われることに

なるわけで、教科書の細かい部分は枝葉の問題にすぎない。小学

校の先生は大変だな・・とか思いつつ、今日はこの辺で。。☆彡

        

                    (計 1995字)

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くじ引きの順序は無関係、条件付き確率~2017センター試験・数学ⅠA・第3問

依然として、熱も咳も全くおさまらないまま。異常に体調が悪い

ので、今日はごく簡単な数学記事で済ませよう。

    

ちなみに昨日はセンター試験の現代国語で3500字ほど書い

た。小説中心だが、評論についても言及してある。

    

 「春」の純粋さと郷愁が誘う涙、野上弥生子『秋の一日』

          ~2017センター試験・国語

   

    

     ☆        ☆        ☆

さて、私の目に付いたのは、河合塾がやや難化と分析してた

数学ⅠA選択問題。必答問題の方は易しくなったとされてた

から、自動的にパスしたが、いずれ後でデータ分析を見るかも。

   

それでは、第3問。配点20点(1/5)。要するに、くじ引きは引く

順番と無関係で公平だということを、簡単な例で証明する問題。

     

 あたりが2本、はずれが2本の合計4本からなるくじがある。

 A、B、Cの3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし、1度

 引いたくじはもとに戻さない。

 

 (1) A、Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象E1の

   確率は、 ア/イ である。

   

 (解答) (E1の確率)

       =1-(A、Bともにはずれの確率)

       =1-(Aがはずれの確率)×(続くBもはずれの確率)

       =1-(2/4)×(1/3)

       =5/6 ・・・ ア、イ

    

 (解説) 「少なくとも一方」と言われたら、余事象の確率を

      用いるのが普通。このE1の確率はかなり高いから、

      最後に引くCはあたりが減ってて不利ではないか?

      ・・・などと考えてしまいがちな所だ。実際は公平。

    

   

 (2) A、B、Cの3人で2本のあたりくじを引く事象Eは、

  3つの排反な事象ウ、エ、オの和事象である。

  また、その和事象の確率は カ/キ である。

  

 (解答) E=(Aだけはずれ)+(Bだけはずれ)+(Cだけはずれ)

        = 排反な事象1,3,5の和事象 ・・・ ウ、エ、オ

         (注. ここでの「+」は、排反事象の和。以下同様。)

      

      (Eの確率)=(Aはずれ、Bあたり、Cあたりの確率)

              +(Aあたり、Bはずれ、Cあたりの確率)

              +(Aあたり、Bあたり、Cはずれの確率)

             =(2/4)×(2/3)×(1/2)

              +(2/4)×(2/3)×(1/2)

              +(2/4)×(1/3)×(2/2)

             =1/6+1/6+1/6

             =1/2 ・・・ カ、キ

   

 (解説) ある意味、Eの確率の求め方を誘導してくれてる

      わけだが、「排反」とか「和事象」とか、論理的すぎる

      書き方なので、逆に混乱した受験生の方が多いかも。

      普通は、反射的に足し算の式だけ書くだろう。  

      ちなみに、どの2人があたる確率も等しく、1/6。

     

      あたりとはずれの対称性を使うと、次のような解き方もある。

      (3人で2本のあたりの確率)=(3人で2本のはずれの確率)

      このどちらかしかあり得ないので、共に 1/2。

          

     

 (3) 事象E1が起こったときの事象Eの起こる確率は、ク/ケである。

   

 (解答) (E1が起こったときのEの起こる確率)

       =(E1かつEが起こる確率)/(E1が起こる確率)

       =(1/2)/(5/6)

       =3/5 ・・・ ク、ケ

   

 (解説) E(=2人あたり)が起こるなら、必ずE1(=A、Bの

      どちらか一方はあたり)も起きる。

      (E1かつEが起こる確率)=(Eが起こる確率)=1/2。

      あとは条件付き確率の公式に代入するだけ。

  

      もし公式を使わずに解くのなら、AあたりBはずれ、

      AはずれBあたり、AあたりBあたりと分けて考える。

    

  

 (4) B、Cの少なくとも一方があたりのくじを引く事象E2は、

    3つの排反な事象 コ、サ、シ の和事象である。

    また、その和事象の確率は ス/セ である。

    他方、A、Cの少なくとも一方があたりのくじをひく事象E3

    の確率は、 ソ/タ である。

   

 (解答) E2=(Aがあたりで、B、Cの少なくとも一方があたり)

         +(Aがはずれで、B、Cの少なくとも一方があたり)

        ={(Aあたり、Bあたり、Cはずれ)

            +(Aあたり、Bはずれ、Cあたり)}

         +(Aはずれ)

        =(選択肢0、3、5の和事象) ・・・ コ、サ、シ

    

     (E2の確率)=(2/4)×(1/3)×(2/2)

               +(2/4)×(2/3)×(1/2)+2/4

             =1/6+1/6+1/2

             =5/6 ・・・ ス、セ

  

     (E3の確率)=(A、Cの少なくとも一方があたりの確率)

            =1-(A、Cともにはずれの確率)

            =1-(Aはずれ、Bあたり、Cはずれの確率)

            =1-(2/4)×(2/3)×(1/2)

            =5/6 ・・・ ソ、タ

    

 (解説) E2やE3の確率の値は、E1と同じだと分かった人には

      すぐ書けたはず。ただ、問題は、E2を排反な和事象で

      表すこと。私が実際に解く時には、ベン図を描いた。

      3人ともはずれとか、3人ともあたりという事象が存在

      しない点が、このくじ引き特有のポイント。

  

  

 (5) 事象E1が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p1、

    事象E2が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p2、

    事象E3が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p3

    の間の大小関係は、  である。

    

 (解答) (3)より、 p1=3/5

      (3)の時と同様に計算して、 

        p2=(1/2)/(5/6)=3/5

        p3=(1/2)/(5/6)=3/5

      ∴ p1=p2=p3 

      大小関係は、選択肢 6 である。 ・・・ 

    

    

 (解説) 要するに、くじ引きは色んな意味で順番と無関係だと

     示してるわけだが、数研出版のチャート式のHPにある

     次のような説明はどうだろうか(単元の冒頭)。

       

      普通のくじ引きで当たる確率は、くじを引く順番

      に関係しないことは、順列の対等性から明らかです。

    

     この「明らか」に納得できる高校生、受験生は少数派だろ

     うし、「明らか」と納得した生徒でも、実際に細かく証明で

     きる人はごく少数だろう。単なるマークシートのセンター

     試験でさえ、平均点は低いのが現実。

           

     ちなみに私が知ってる数学のプロの1人は優秀だと評判

     だが、お昼休みの雑談中、「くじ引きは先に引く方が得に

     決まってる。当たりが沢山あるんだから」と真顔で話した♪

     学歴も教育歴もかなり高い方だ。

       

     まあ、「明らか」という言葉は、意欲的な生徒への挑発と

     して考えればいいのかも知れないが、私はこの言葉の

     危険性や曖昧さをよく理解してるので、この程度の箇所

     でいきなり断定的に使うことはない。前置きがあるとか、

     柔らかく主張してみるとかならさておき。。

       

それでは今日はこの辺で。。☆彡

    

                  (計 2511字)

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