宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い(2)~具体例の数学的証明

今日はドリームジャンボ宝くじ(第605回全国自治宝くじ)の発売最終日。

あわてて買いに行く前に、ちょっとネットで調べてる方が多いんだろうか。昨

日から、私が半年前に書いたロングセラー記事にアクセスが増えている。

  

  宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い~朝日新聞・be

      

この記事は、朝日新聞の手短な解説を突っ込んで分析したもので、かなり

微妙な所まで考えてるし、具体的な計算もそこそこ入れてある。結論として

は、やっぱり朝日の記事は「正しそう」で、「高額当選」の確率を上げたいの

なら、連番よりバラ売りを買う方がかなり「有利そう」だということになった。

この場合の高額当選とは、1等と前後賞のどれかに当たることを指してる。

ジャンボ宝くじなら2億円と各5000万円だから、どれか1つでも十分高額

で魅力的だろう。

                    

ただ、厳密な数学的証明は出来なかったし、もちろん朝日の記事にもない。

難しい点は2つある。まず、バラ売りする宝くじの選び方がどうなってるのか

という事。朝日新聞では、同時に2つ当たることは無いとされてたけど、信

頼できる根拠はネット上(みずほ、宝くじ協会など)に見当たらなかったし、

仮にそれが正しいとして、どのようにバラを選んでるのかが分からない。

    

一方、バラの選び方によって、当選確率に特殊な変化が起きないという証

も難しい。直感的には、意図的に飛び飛びに選んでるのだから、どれか

1つが当たる確率は少し上がりそうな気もする。サイコロにせよ、くじ引き

にせよ、高校数学などの確率の問題では、「無作為抽出」が基本。簡単に

言うと、意図せずでたらめ(=ランダム)に選び出すわけだが、宝くじのバ

ラ売りの場合、販売以前に(おそらく機械的に)「作為抽出」してるのだ。

それによって当選確率が変わらないというのは、明らかではない。。

      

              

         ☆          ☆          ☆

それら2つの問題点は、その後もそのままになってたけど、昨日になって、

バラ売りのシステムを説明してくださるコメントを頂いた(去年の記事)。や

はり、2つ以上同時に当たらないよう、機械的に選んでるようだ。信頼でき

る根拠は添えられてないし、自分でも発見できてないものの、朝日の記事

とも整合的だ(=つじつまが合ってる)し、常識的にもそんな気がする。

    

だから、とりあえず以下では、次の仮説を認めとこう

   

   「バラ売りでは、2つ以上同時に当たらないような組合せ全体の

    中から、無作為(でたらめ)に販売用の組合せを選んでいる」。

      

では、こうしたバラ売りは、やはり連番より当選確率が高いのか。また、

その選び方によって、当選確率は変わらないのか。それら2点について、

具体例で考察してみよう。一般化には成功してないし、それはおそらく非

常に大変(or 高度)だと思う。

            

結論的には、やはりバラ売りの方が遥かに当選確率が高いし、バラ売り

セットの作り方によって確率の妙な変化は起きない「ようだ」。私はまだ、

特に後者は確信してないけど、計算した具体例においては、完全に正し

いことが証明された。。

    

   

        ☆          ☆          ☆

元の朝日の記事では全体で100枚のくじから10枚選ぶ(or 買う)場合

を考えてるが、これだと計算があまりに面倒で、やる気がしない。上手

い方法も思いつかないので、13枚から4枚選ぶ場合と、14枚から4枚

選ぶ場合を考えてみる。

   

この中途半端な枚数について説明しとくと、1等と前後賞で3枚だから、

れを上回る最小限の枚数として4枚を選ぶことにした。キリのいい5枚に

するだけでも、かなり面倒になってしまう。

         

次に、全体の枚数は、バラ売りが可能な最低枚数が12枚となる。1~12

の番号を付けると、例えば(1,4,7,10)。こうした2枚飛ばし(2枚当選を

避けるため)が可能になるためには、12枚必要なのだ。1番と10番が2枚

飛ばしになるには、12枚必要だという点にご注意あれ。で、最低枚数だと

単純過ぎるから、1枚増やした13枚の場合と、2枚増やした14枚の場合

を考えてみることにした。

           

  (1) 全部で13枚の宝くじで、4枚選ぶ(=買う)場合

      

     くじを1~13番とし、1等を仮に5番とする(何番でも同様)。

      まず、連番の選び方は、(1,2,3,4)、(2,3,4,5)、・・・

     (10,11,12,13)、(1,11,12,13)、(1,2,12,13)、

     (1,2,3,13)の13通り。最後の2セットも連番になることをお忘

     れなく。

     この内、1枚以上が1等か前後賞に当選するものは、(1,2,3,4)

     から(6,7,8,9)の6通り。

     ∴ (連番の当選確率) = 6/13

     

     一方、バラの選び方は、(1,4,7,10)、(1,4,7,11)、

     (1,4,8,11)、(1,5,8,10)、(2,5,8,11)、(2,5,8,12)、

     (2,5,9,12)、(2,6,9,12)、(3,6,9,12)、(3,6,9,13)、

     (3,6,10,13)、(3,7,10,13)、(4,7,10,13)の13通り。

     この内、当選するのは(3,7,10,13)以外の12通り。

     ∴ (バラの当選確率) = 12/13

    

     したがって、バラの方が2倍の当選確率である。あと、このバラの

     当選確率は、選び方による特殊な影響を受けてない。つまり、4枚

     の内の1枚が当たる確率を単純に 3/13 として、それを4倍した

     数字と一致している。つまり、朝日の記事の計算が通じてるのだ。

     

      

  (2) 全部で14枚の宝くじで、4枚選ぶ場合

      

      上と同様に、くじを1~14番とし、1等を仮に5番としておく。

      まったく同様の考えで、(連番の当選確率) = 6/14 = 3/7

     

      一方、バラの選び方は、(1,4,7,12)~(5,8,11,14)の

     35通り(途中省略)。この内、ハズレるのは、(2,7,10,13)、

     (3,7,10,13)、(3,7,10,14)、(3,7,11,14)、

     (3,8,11,14)の5通りだから、当選するのは30通り。

     ∴ (バラの当選確率) = 30/35 = 6/7

    

     興味深いことに、この場合もバラの方が2倍の当選確率だ。また、

     (1)と同様に、バラの選び方による特殊な影響を受けてないことも

     分かる。つまり、4枚の内の1枚が当たる確率を単純に3/14とし

     て、それを4倍した12/14、つまり6/7が、バラの当選確率と一

     致してるわけだ。。

     

    

という訳で、今回の目的は果たされた。(2)の35通りは、気になる方は自

分で数え上げてみて欲しい。ダブらず、もらさず、全てを数え上げるには、

何か工夫があった方がいいと思う。

           

私の場合、番号の飛び方に注目して、例えば間の数字が4枚、2枚、2枚、

2枚と飛んでる、(1,6,9,12)のような組合せは、「4222」と呼んだりし

た。すると、このタイプが14通りで、「3322」タイプも14通り、「3232」タ

イプが7通り、トータル35通りとなる。図は、横一列のものと、円順列みた

いに両端をつないだものとを併用した。    

     

もっと「エレガントな解答がある」と思うけど、今日の所はこの辺で。。☆彡

       

   

       

P.S. 「縦バラ」買いについての記事を追加。

    宝くじ、「縦バラ」買い&「バラだと前後賞が当たらない」説♪  

     

                               (計 2913文字)  

| | コメント (4)

宝くじの買い方、連番よりバラの方が当選確率が高い~朝日新聞・be

☆追記: 7ヶ月後の2011年6月3日、続編記事をアップ。

  宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い(2)~具体例の数学的証明 )

    

      

        ☆          ☆          ☆

今日は早起きして朝ランの予定だったのに、起きれなかったから、代わりに

ややお遊びモードの数学記事を書くことにしよう♪ 夜は脚を休ませるため

に、走らないと決めてたのだ。別に、手抜きつぶやき記事でお茶を濁しても

いいんだけど、寝坊して起きたら、たまたま手頃なネタを発見。これ幸いと、

飛び付くことにした。

                  

朝日新聞(11月20日)の朝刊・別刷beで、ニコリのパズルコーナーの右

側に見つけたのは、「今さら聞けない プラス」シリーズ。今回のテーマは

宝くじの買い方」だ。24日に年末ジャンボ宝くじが発売されるし、買い方の

戦略が気になってる人はわりといるだろう。記事の見出しは刺激的で、「

待額同じだが確率違う」。当然、どうやれば当選確率が上がるのか知りた

くなる。あるいは、天下の朝日がトンデモ理論を書いてるんじゃないかと、

チェックをしてみたくなるわけだ♪

        

                 

          ☆         ☆          ☆

確率というのは、数学の中でもちょっと特殊。歴史的に賭け事と結びつき

が強くて、妖しい香りが漂ってるし、それなりに実力のある人でさえ、とんで

もない初歩的ミスをおかしがちな分野でもある。

       

天才数学者エルデシュが間違えたことで有名な「モンティ・ホール問題」に

ついては、去年記事を書いて、そこそこのアクセスを集めて来た。また、

私の周囲で、自他共に認める数学のプロが、「福引は先に引く方が有利

に決まってる。当たりが沢山残ってるんだから」なんて事を言った時には、

流石にのけぞって爆笑しながら突っ込みを入れた♪ もちろん、福引は

に引いても後に引いても同じなのだ。簡単な設定なら、高校数学の教科書

レベルにすぎない(一般的に証明するのは大変)。

         

では今回、朝日新聞の鍛治信太郎記者がどうだったかと言うと、まあ無難

にまとめてあるとは思う。ただ、2ヶ所気になる点があって、その内、後ろの

はかなりミスリーディングな(=誤解を招きやすい)だし、少し不正確な

「気がする」

            

宝くじのバラ売りシステムに関する情報が詳しく分からないし、余りに計算が

面倒だから、「気がする」とだけ書いとくけど、いずれ後で完全な議論を組立

てたいと思ってる。ひょっとすると、説明が不十分なだけで、結果的には合っ

てるのかも知れない。。

                   

追記: やはり反例が見つからないから、合ってるのかも。ただし、証明

      するのもあまりに面倒なので、先延ばし中・・・。)

         

             

          ☆          ☆          ☆

一ヶ所目の気になる点、些細な方は、冒頭の文だ。通し番号の連番で買

う方法と、離れた番号のバラで買う方法について、こう語ってる。

      

     「『どちらの買い方の方が高額当選の確率が高いか』という質問

      をよく見かけます。『どちらでも確率は変わらない』という誤答

      が多いのですが、実際には同じではありません

         

気になるのは、「高額当選」という言葉だ。そもそも、普通の人が日常的

にこんな言葉を使うことは少ないはず。「1等(当選)」とか「2億円」と言う

方が自然だと思う。これなら、連番もバラも当選確率は同じなのだ。もちろ

ん「1等前後賞」合わせて3億円なら、連番でないと当選できない。

         

ただ、前後賞も各5000万円だから、「1等前後賞」が当たれば嬉しいの

は確か。そこで記事では、この少なくともどれかが当たる確率の話にスルス

ルッと持ち込むのだ。これなら、バラの方が遥かに有利という、面白くてやや

意外な結論を導けるからだろう。ポイントは、1等と前後賞の番号3つつ

ながってること。冷静に考えれば、連番で買う方が全部外れになりやすいの

は、何となく予想できるだろう。      

        

                 

         ☆          ☆          ☆

さて、ここからが本題朝日の記事では、1枚100円、0番から99番まで

100枚のくじで、1等が5000円1本前後賞・計2本が各1500円となって

る。これだと、総売り上げが1万円、合計賞金が8000円だから、「還元率」

が80%にも達してしまうけど、実際のジャンボは47.3%とのこと。まあ、

計算を分かりやすくするための工夫だから、良しとしとこう。

       

(1) まず、連番で買った時の当選確率について。こちらは簡単だ。仮に50番

    ~59番の連番で買ったとすると、

      

    (1等または前後賞の当選確率)=(1等が49番~60番になる確率

                        =12/100

                        =0.12

      

    もちろん、他の数字の連番でも同じ確率、12%になる。これについ

    ては、何も異論はない。

      

(2) 続いて、「バラバラに10枚買ったとします」(元の記事の表現)。

   

     「買った10枚のどれかが1等になる確率は0.1です。同じく

      前後賞のどちらかにあたる確率は0.2バラだと二つ以上

      同時にあたることはないので、どれかにあたる確率は単純

      に0.3。・・・・・・バラで買うと・・・確率は2.5倍高くなります」。

          

   つまり、0.1+0.2。あるいは前後賞の2つを分けて、0.1+0.1

   +0.1。いずれにせよ、足し算して0.3(30%)というわけだ。よって、

   連番の時の確率0.12の2.5倍。正確に言うなら、「2.5倍高くなる」

   と言うより、「2.5倍の高さになる」か、「2.5倍に上がる」だけど、そこ

   はこだわらない事にしよう。    

        

          

          ☆          ☆          ☆

上の(2)の説明、納得しただろうか。あるいは、私が引っ掛かったもう一つ

の点、重要な方に気付いただろうか♪ そう。問題は、上の引用文で私が

赤色を付けてる部分、「バラだと二つ以上同時にあたることはない」だ。

     

もしこれが正しいのなら、確かにバラの時の当選確率は0.1+0.1+0.1

で0.3になり「そうな気がする」。つまり、「単純に」足し算して「良さそうな気

がする」だろう。複数の出来事が「排反」、つまり「同時に起きない」時には、

少なくともどれかが起きる確率は、それぞれの確率を足し算したものにな

る。大げさに言うなら「確率の加法定理」の特殊形だ。

         

けれど、二つ以上同時に当たることはないように10枚のクジを選ぶと、意

図的に大きめにバラすことになるから、どれかが当たる確率は少し変化し

ても不思議ではないし、直感的には少しアップするような気もする。実際、

朝日の記事自体が、連番よりバラの方が当選しやすいという内容なのだ。

    

試しに3番おきに10枚、例えば「00、03、06、09、12、15、18、21、

24、27」と選ぶことにしよう。これなら、二つ以上同時に当たることはない

し、末尾1ケタも0~9の間でバラけてる。この時、

   

   (1等または前後賞の当選確率)=(1等が00~28か99の確率)

                       = 30 / 100

                       = 0.3    

        

なぜか単純に計算した時の値0.3と一致した。他にも、「00、05、11、

16、22、27、33、38、44、49」と選んでも、やはり当選確率は0.3に

なった。とはいえ、10枚選ぶ方法を色々考慮した時、本当に常に0.3の

ままかどうかは曖昧だ。特殊な反例が少数あるかも知れない。。

           

          

         ☆          ☆          ☆

一方、バラの宝くじだと「同時に2つ以上当たることはない」(=排反)とい

うことについては、少なくともネット上に根拠が見当たらない。実際、10枚

バラ売りの規則は、末尾1ケタを0~9にすることしか無さそうだし、この規

則さえも、お店によっては避けることが出来るようだ。予約すれば、希望す

る番号で買えるとかいう話がネット上にある。

         

あるいは普通の店でも、1枚の購入を10回別々に行う、手作業で臨機応

変の「バラ」なら、「二つ以上同時に当たることはある」し、奇跡的に三つ同

時にあたることさえあるだろう(ただしおそらく、同じ店でほぼ同じ時間帯

の時のみ)。

                              

例えば、たまたま連番になる時も含めて、全く自由に10枚買う場合なら、

余事象の確率」公式と、「組合せ」(Combination)の記号Cを用いて、

      

  (1等または前後賞の当選確率)

        =1-(どれも当たらない確率)

        =1-(引いた10枚すべてが、ハズレ97枚の中にある確率)

        =1-( 97 C 10 / 100 C 10 )

        =1-(97×96×95×94×93×92×91×90×89×88

           / 100×99×98×97×96×95×94×93×92×91)

        =1-(90×89×88 / 100×99×98)

        ≒ 0.27

       

これが0.3より小さくなってるのは、わりと自然だろう。二つ以上同時に当

たるのを認めた代わりに、当選確率が下がるのだ。

      

        

          ☆          ☆          ☆

以上より、「バラだと当選確率0.3で、連番の2.5倍」という計算は、必ず

しも正しいとは言い切れない(今現在)。でも、バラの方がかなり有利だと

いうだけなら、一般に言えそうだ(厳密な証明は面倒)。

    

ただし、獲得賞金の「期待値」バラでも連番でも同じ「だろう」。これまた、

バラの選び方が分からないし、完全な計算による証明は面倒だから、断

言までは出来ないけど、常識的に考えて正しいと思う。実際、もっと単純

な設定なら同じだと確認できるし(朝日の記事にもある)、もしどちらかが

有利なら、当然マニアか数学者が研究発表してるはずだ♪

     

とりあえず、今日の所は時間が来たので、この辺で。。☆彡

     

    

     

P.S.冒頭に追記したように、7ヶ月後に続編記事をアップした。

   宝くじは連番よりバラの方が当選確率が高い(2)~具体例の数学的証明 

     

P.S.2 翌年の年末、「縦バラ」買いについての記事を追加。

   宝くじ、「縦バラ」買い&「バラだと前後賞が当たらない」説♪

   

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

cf.全国学力調査、伝説の確率の問題が登場

  お見合いでベストの相手にプロポーズする方法

                       ~鳩山新首相の専攻「OR」2

  10人とのお見合いで最高の相手にプロポーズする方法~鳩山の「OR」3

     

                                  (計 3915文字)

| | コメント (2)