数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

毎年、秋の恒例となった数学甲子園。令和元年(2019年)は、全国で日程をずらして行われた予選問題の一部がSNSで流出してしまったことも影響したのか、ライブ動画の配信はどこにも見当たらず。

   

念のため、ツイッター検索もかけてみたけど、ライブや動画は話題にさえなってない。大会自体は盛大に開催されてるだけに、ちょっと残念な気はする。数学や論理への関心は、少なくとも低くはなってないと思うから、不思議な状況かも。

       

解説記事を書き続けてる私も、今年はあきらめかけたけど、試しに数学検定の公式twitterにアクセスしたら、動画で予選1問だけ紹介されてた(選手の創作問題は別)。正答率が低いし、ちょっと間違えやすい問題でもあるから、記事にしてみよう。私も間違えてる可能性は一応あるので、悪しからず♪

  

  

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予選 問題16。右の図のように、同じ大きさで同じ歯数の歯車4つを組み合わせます。いちばん上以外の3つの歯車を固定し、その周りを上の歯車が一周するとき、動かす歯車自体は何回転するか答えなさい。

  

正答率は、全体14.0%、予選通過者23.9%回答率(全体)15.8%しかないから、多くの参加者が手つかずのまま終えたらしい。「何回転するか」という答だけを問われてるのだから、何か書けば当たるかも知れないのに♪

    

常識的に考えて、整数回転だろうし、イメージ的に3回転~10回転の間だろう。選択肢8つだから、当たる確率は12.5%。サイコロや鉛筆を転がすのと同レベル。3の倍数に絞り込むなら、3回転、6回転、9回転しかない。もちろん、半端な回転数かも知れないけど。

  

  

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予選会場でコインを4枚出すわけにはいかないだろうけど、図は簡単に書ける。といっても、上の図は、無料の数学AIでお馴染み、ウルフラム(Wolfram)の図を借用したもの。円をぴったり詰めたものを、「hexagonal circle packing」(6角形の円の詰め込み)とか言うらしい。 普通は、箱や枠の中への配列。

  

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歯車というのは、受験生にプレッシャーをかけるための設定で、要するに滑らずに転がるという条件。そもそも、下側の3つの歯車は、固定しなくても回らない♪

   

エピサイクロイド(epicycloid)をアレンジした問題で、固定円の半径と動円の半径の比は、1:1。図形全体の対称性を考えると、上図の赤い点線から赤い実線までの動円の回転数を、6倍すればいい。この範囲なら、固定円は1コだけでも同じこと。赤線は動点の軌跡。

   

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分かりやすさのために、動円を黄色にして、その中心と動点を青い矢印で結んでみる。元の図は、英語版ウィキペディアにリンクが付いてたドイツの個人サイト(?)からお借りした。ゆっくりした回転速度で、パラメーターの設定も出来るアニメーションが公開中。Danke schon.(ダンケ・シェーン:ありがとうございます)♪

  

  

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上図のように、固定円の周りを動円が45度回転すると、動円そのものは2倍の90度だけ自転(スピン)する。2倍というより、45度+(45度×1)=90度。この「×1」の部分は、動円の半径が1/2なら、「×2」になる。数学Ⅲの媒介変数表示でも一般的に扱われる話で、その説明は色んなサイトにあるのでお任せしよう。

   

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3枚をつなげて考えれば分かるように、上側の固定円の周りを90度回転する時、動円は180度自転する。つまり、半回転。

  

よって、固定円3つの周りを回転する時、動円の自転は、半回転×63回転。 ・・・

   

   

    ☆     ☆     ☆

図も使って論理的に解説しながらも、自分で今一つ確信を持てない♪ そこで、100円ショップで歯車のおもちゃを探してみたけど無かった。10円玉4枚だと、どうしても滑ってしまう。どこかに、問題そのもののアニメーションが無いかな。数年後には、高校の数学でその種のプログラミングも扱うのかも。

  

なお、9月15日の本選の優勝は、栄光学園・朝食会のToastチーム(神奈川県)。おめでとう! 他の皆さんも、どうもお疲れさま♪ それでは今日は、この辺で。。☆彡

   

       (計 1683字)

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パズル「ナンスケ」(ナンバースケルトン)の解き方3~ニコリ作、難易度3、朝日be

朝日新聞・別刷beで昨日また、「ナンスケ」というパズルが出てました。これが3回目で、制作はニコリです。これまでは難易度2(☆2コ)でしたが、19年(令和元年)9月7日の問題は難易度3(☆3コ)。ちょっとだけ難しくなってました。

   

ナンスケ(ナンバースケルトン)とは、数を並べて作った骨組みという意味。クロスワードパズルの言葉の代わりに、数を入れるのですが、解くためのヒントは、入れる数の候補のみ。今回は、次の14コの数が与えられてました。

 

(4ケタ)1250,2111,2255,2515,2555,5122

(5ケタ)10101,55000

(6ケタ)110222,122551,225115,511255,552222,555110

  

骨組みを作る盤面は、下の通りです。応募する時の答は、ピンク色のマス目2つに入る数の合計です。

  

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   ☆     ☆     ☆

いつものように、今回も少しずつ記事を更新しながら、解き方、考え方、コツなどを解説して行きます。

  

最初に何を入れるか? それが一番むずかしいかも知れません。5ケタの数は、10101と55000の2つだけどちらも左から4番目の数字が0なので、まず0を2つ書きます。候補の数を絞って共通点を見抜くということです。

   

すると、左下の4ケタの数は1250だと分かります。0で終わる4ケタの数は、1250しかないからです。

   

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では、これに続いて何が書けるでしょうか? 次の更新は、今日(9月8日)の夜にします。

   

なお、このサイトでは過去の2回についても解説しています。19年5月11日の問題の記事と、6月29日の問題の記事。参考にしてみてください。ではまた。。

   

  

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日曜の夜になったので、1回目の更新です。

  

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5ケタの数2コをどう入れるかを考えます。もし右上が10101だと、2番目の数が0になってしまって、そこから右向きに4ケタの数を入れることができません。0から始まる4ケタの数は無いからです。だから、右上は55000、左下が10101になります。

  

ここからはもうカンタンでしょう。次の更新は、明日(9日・月曜)の夜にします。なお、今週は合計14910字となりました。ではまた来週。。☆彡

   

   

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月曜の夜になったので、2回目の更新です。

  

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まず右上。5で始まる4ケタの数は5122だけ。次に中央下側の6ケタの数。先頭が1で、3番目が0の6ケタは、110222です。

  

この後はもう、6ケタの数の残りすべてがカンタンに書き込めます。ただ、最後に残る4ケタの数の入れ方には要注意。筋道立てて、論理的に考える必要があります。

  

次の更新はもう、土曜の正解発表の後にしましょう。ではまた。。

    

  

    ☆     ☆     ☆

土曜になったので、最後の更新です。まず右上と右下の6ケタが決まります。

 

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さらに左側でも、6ケタが2つ決まります。

  

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左上の6ケタを書いた後、慎重に4ケタを3つ書き込みます。あわてて右下を「2515」と書いて、答を「2+5=7」としまうのが、ありがちなミスで、この問題のひっかけ部分でもあります。正しくは、「2+1=3」。

   

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それでは今回はこの辺で。。☆彡

  

    (暫定 954字)

  (追記365字 ; 合計1319字)

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テレビ番組の世帯視聴率が下がっても、個人視聴率が上がる場合~カンタンな理由と計算例

相変わらず体調が悪いので、早めに今日の分のブログ記事をアップしとこう。先日(19年8月12日)、Yahoo!の個人ページで興味深いエンタメ記事を見かけた

  

 「石原さとみはピークを過ぎた!?~『5→9』から『Heaven?』までに見る視聴者の評価~」。

  

メディア研究者の鈴木祐司氏が、個人視聴率を独自に測定・集計するスイッチ・メディア・ラボのデータを分析した、マニアックな研究だ。小論文と言ってもいいほど。

   

   

    ☆     ☆     ☆

本題に入る前に、基本を再確認しとこう。世の中でよく「視聴率」と呼ばれてるのは、ビデオリサーチ調べによるデータで、特に関東地区の「世帯視聴率」が使われることが多い。

  

世帯視聴率とは、簡単に言うと、その番組を見た家の割合。10件に1件がそのテレビを見てれば(あるいは付けてれば)、

 世帯視聴率=1/10=10%

   

一方、その10件の家には、2人ずつ家族がいるとすると、個人の人数は合計20人。テレビを見た家の中では、1人だけが見たとすると、

 個人視聴率=1/20=5%

   

   

     ☆     ☆     ☆

要するに、「普通は」個人視聴率の方が低くなるのだ。既に9年近く前になるけど、当サイトでは、NHK独自の公表データを使って、世帯視聴率と個人視聴率の関係式を導いた。結論だけ簡単に言うと、

  

 個人視聴率=世帯視聴率×0.7 (昔)

  

くらいになってた。その後、多様化とか個別化が進んでることを考えると、今なら係数は0.7ではなくて、0.6くらいかも知れない。

 

 個人視聴率 ≒ 世帯視聴率×0.6 (今?) 

  

特殊な例外状況(大家族だけで全員見てるとか)では、個人視聴率の方が高くなる可能性もあるけど、大規模な統計調査ではまずあり得ないだろう。

      

どのくらいの割合の人が見たか?を表すのは個人視聴率のはずだし、測定も20年ほど前から行われてるけど、世の中では世帯視聴率が使われ続けてる。おそらく、放送局とか制作者サイドが高い数字をアピールしたいからだと思う。

   

   

     ☆     ☆     ☆

話を戻して、Yahoo!の個人視聴率記事。ビデオリサーチの数字から計算した場合と比べて、少し低めに出てるような気もする(係数0.5くらい)。ただ、詳細は不明だし、ここではその違いは問題にしない。

  

私が思わず計算でチェックしたのは、石原さとみの最近の主演ドラマについて、「直近2作は、世帯は低いが個人は悪くない」、「個人視聴率全体は右肩上がりとなっている」と書いてたから。

  

下のグラフで、赤い「女性」の折れ線と、青い「男性」の折れ線の中間あたりが、全体の個人視聴率となるから、確かに右上がりだ。女性の方が遥かにドラマを見てることも、ハッキリ読み取れる。

  

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そもそも上で書いたように、個人視聴率の方が高くなる特殊な場合もあるくらいだから、世帯視聴率が下がって個人視聴率が上がる場合もあるというのは何となく分かる。ただ、具体例と特徴がすぐには分からなかったから、直ちに考えてみた。

   

   

    ☆     ☆     ☆

数学的に一般的な証明をするのは大変だけど、要するに、見てる世帯数が減って、見てる個人数が増えるのだから、

 

 (見てる個人数)/(見てる世帯数) → 上昇

  

つまり、1世帯あたりの個人視聴者が増えるということ。言い換えると、石原さとみのドラマは、家族みんなで見る番組になってるということだ。

  

   

    ☆     ☆     ☆

例えば、昔は100世帯の中で12世帯が見てたとしよう。世帯視聴率12%。それが今は、10世帯に減った場合、世帯視聴率は10%に下がる。

    

一方、その100世帯には2人ずつ家族がいて、昔はどの世帯でも1人だけ見てたとする。合計200人中、12人が見てるのだから、昔の個人視聴率は、12/200=6%。

   

今は1世帯あたり平均1.5人見てるとすると、10世帯合わせて15人。全体の200人中、15人が見てるのだから、今の個人視聴率は、15/200=7.5%。

    

表と矢印で推移を比較すると、次の通り。

  

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    ☆     ☆     ☆

というわけで、年代別とか属性別(学生、OLなど)も考えると、視聴率というのはかなり複雑でむずかしいのであった。

  

なお、最新の『日本の統計 2019』(総務省統計局)のデータによると、人口1億2700万人にたいして、世帯数は5300万。よって、1世帯あたりの個人数はおよそ2.4人で、少しずつ減ってる(核家族化)。その中で、1人だけ見てるのか、2人見てるのかによって、個人視聴率は大幅に変わるのだ。

  

ではまた明日。。☆彡

  

     (計 1814字)

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全国学力調査(テスト)2019年、中学・数学の正答率の低い問題の感想、批判

春の全国学力調査(全国学力テスト)の結果が7月31日に発表されて、昨日・8月1日の朝日新聞・朝刊に大きく掲載されてたので、ごく簡単に感想を書いとこう。

   

中学の数学だと、式や最後の答だけなら、誰がやってもほぼ同じになる(以前の原田・船木問題は例外)。しかし、文章による説明だと、模範解答とされてるものにも疑問を感じてしまう。正直、私が模範解答を採点すると、あまり高い点数にはならない。必要な言葉が抜けてたり、逆に余計な言葉が入ってたりするからだ。

  

以下、正答率の低い2問を見てみよう。問題・答・分析などは、国立教育政策研究所HPで無料公開されてるので、縮小コピペで引用させて頂く。

    

   

    ☆     ☆     ☆

まず、朝日が大きく扱ってた中3数学の問題6。全体的なアイデア自体は、実用的・現実的で面白いと思う。

  

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(1)真面目に書くと、やや面倒な話になる。

  (点Pのy座標)=(冷蔵庫Aの使用年数0年での総費用)=(冷蔵庫Aの本体価格)

  (点Qのy座標)=(冷蔵庫Aの使用年数8年での総費用)=(冷蔵庫Aの本体価格+8年間の電気代)

 ∴(点Pのy座標と点Qのy座標の差)=(点Qのy座標)-(点Pのy座標)=(8年間の電気代)

  よって、答はエ。

   

普通は、「8年間で増えた総費用だから、その間の電気代」とか、省略して考えて答える所だろう。実際の教室での授業だと、「修理代は入れないの?」とか生徒から突っ込みが入って、「冷蔵庫はあんまし故障しないだろ」とか先生が言い返すと、「ウチの冷蔵庫、壊れたよ」とか反論されることになる♪

   

この問題の正答率は4割弱(39.5%)。5割近い生徒が、オ(8年間の総費用)と答えてる。これは点Qのy座標だけ見てるわけで、要するに、2点のy座標の差という話が意外と分かりにくいということだ。裏を返すと、意外と教えにくいのかも知れない。教師にとっては当たり前のことで、しかも教えにくいとなると、授業では省略されがちになるかも。

   

   

    ☆     ☆     ☆

それより、次の(2)が引っかかる。

  

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この問題。生徒にとってまず引っかかるのは、キレイな答が出ないこと。連立方程式にせよ、グラフにせよ、ちょっと嫌な感じになる。文章の説明力を見る問いだから、キレイな答が出る設定の方が親切で適切だと思う。

   

CはBより、本体価格が5万円高いけど、年間の電気代が4500円安い。ということは、11年ちょっとで総費用が同じになるけど、(100/9)年という年数は算数や数学の授業で出て来るだけで、日常的には全く出て来ない。

   

   

    ☆     ☆     ☆

それより問題なのは、模範解答(正答例)だ。アの方程式を選んだ場合だと、「冷蔵庫Bと冷蔵庫Cについて、使用年数と総費用の関係から連立方程式をつくり、それを解いて使用年数の値を求める。」

    

私は、この正答例の文章を読んで本当に解ける生徒は少ないと思う。というのも、BとCで年数と費用の関係を見るのなら、合計4つの値が出てしまうと考えても不思議はないからだ。

 

だからと言って、x₁とy₁、x₂とy₂、2組の変数を持ち出してそれぞれ方程式を立てて、2本の方程式に同じxとyを代入して連立方程式にする・・とか説明すると、ますますパニックが拡大する。

   

というわけで、本来なら説明の最初に、「総費用が等しくなる時の使用年数をx年、総費用をy円とすると」といった感じの前置きが必要なのだ。それだと長すぎると言うのなら、せめて正答例には、「使用年数x」と「総費用y」と書くべきだろう。直前のグラフでxとyを導入してるのに、直後のこの問いで使ってないのが不自然で不十分なのだ。

  

その意味で、正答例は、10点満点だと8点か9点だと考える♪ グラフを選んだ場合の正答例「・・・交点の座標を読み取り・・・」も、正確には「交点のx座標を読み取り」と書くべきところだから、8点か9点しか出せない。

   

   

     ☆     ☆     ☆

次に、図形と証明を扱ってる問題7。

  

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(1)は余りにも有名な合同条件だからいいとして、(2)は微妙な問いだ。要するに、予想2を「・・・ならば~~~」という形の条件命題と考えて、高校以上の論理をこっそり想定してるのだ(「ならば」の真理値表の変化)。

     

この条件命題が間違ってるのは、「・・・」が正しいのに、「~~~」が正しくない場合のみ。つまり、①をみたしていのに、②をみたしていない図を示せば、予想2の間違いを示せる。

   

ただ、囲みの文章で後半に入る時の接続詞が「数学の文章的に」不自然なのだ。「また、図2は」と書くのではなく、「しかし、図2は」とか、逆接の接続詞(ところが、など)を入れないと、滑らかな日本語にならない。一歩ゆずっても、「一方」と書いて、流れの変化を示すべきところ。

     

ところが(笑)「また」と書いてしまってるのは、やはり高校以上の論理学の悪影響だろう。初歩的な論理では、「しかし」と「また」のどちらも、「かつ(and)」で単純に処理してしまうから。

    

   

     ☆     ☆     ☆

それより引っかかるのは、次の(3)。

  

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「四角形ABCDがどんな四角形ならば、AF=CEになりますか。『~~ならば、・・・・・・になる。」という形で書きなさい。

  

こう指示されれば、「ひし形(の四角形)ならば、AF=CEになる」が自然な正答のはず。ところが、解答作成者たちは、これだと「記述が十分でなく」として減点するらしい。完全な正答例は、「四角形ABCDがひし形ならば、AF=CEになる」。

   

「四角形ABCDがどんな四角形ならば」と問われて、「四角形ABCDが・・・」と答える日本人はほとんどいないはず。日本語は分かり切った主語(特に直前に出たもの)は省く言語で、「日本語の論理」ではそれで正しい。主語をしっかり欧米的に入れさせたいのなら、例えば問いの側で、「四角形ABCDが~~ならば、・・・・・・になる。」という形で書きなさい、と誘導すべきだろう。

     

なお、主語の省略というのは、初歩的な論理学の一部でも(暗黙のうちに)行われてる形になってる。例えば、「人間は動物である」という命題は、現代の述語論理でより正しく言い直すなら、「xが人間ならば、xは動物である」(全称は省略)。この仮の主語xを省略して、「ならば」の代わりに「は」としたのが、元の伝統的な命題なのである。

  

  

     ☆     ☆     ☆

もちろん、これは選別のためのテストではなく、調査のためのテストだから、細かい減点(あるいは不十分という判定)は重要ではない、といった弁明はできなくもない。

   

ただ、少なくとも現場の中学の数学教師には、正答例と不十分とされた例をしっかり把握して授業に反映する人も一定数いるはず。歴史と権威のある全国調査なのだから。

    

もっと重要なのは、まもなく始まる新テスト(大学入学共通テスト)だ。こちらは入学者の選別に関わる試験問題だから、遥かに客観的で正確な問題、解答、採点が必要となる。ところが、なまじ記述式など取り入れるために、採点や採点者の余裕が無くなってしまいそうな気配だ。

   

英語の「聴く」「話す」も含めて、あと1年半で本当に上手く準備できるのか? もし先延ばしにするのなら、今がもうタイムリミットだろう。私は当事者ではないけど、不安なまま準備せざるを得ない受験生たちが気の毒になる。

  

ともあれ、今日はそろそろこの辺で。。☆彡

   

      (計 2962字)

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映画の原作マンガ『アルキメデスの大戦』、天才数学者・櫂直の計算をチェック

今さら言っても遅いけど、どうも結果的に、私の狙いがピント外れだったかも (^^ゞ 天才数学者が活躍する物語ということだったから、『ガリレオ』とか『ハードナッツ』くらいの数学的内容があるのかと思って、原作をチェック。実際は、単純な算数の計算ばかりだった。桁数が多くて暗算しにくいだけで、基本的に、自然数かプラスの小数のかけ算、割り算なのだ。

    

映画公式サイトの数学クイズも、全5問の予定中、4問まで公開されてて、すべて小学校5年~中学2年程度のレベル。まあでも、せっかく調べたからには記事にしないと大損・・と思うのが小市民ブロガー♪ 以下、簡単に書いとこう。

    

  

    ☆     ☆     ☆

ではまず、第1巻から。映画公開キャンペーンということか、Yahoo!のebookで無料公開されてたから、全体を流し読みできた。ただ、第1巻ではまだ数学の話がちょっとしか出てない。ちなみに原作者は三田紀房で、今も週刊ヤングマガジンで連載中。

   

昭和8年の国家予算は22億5466万。藤岡案建造費1億3500万は5.9%にあたる」(説明文)

    

実際にパーセントの計算をしてみると、1万を基本的な単位として、

 13500÷225466×100=5.987・・・

これは普通、数学でも、自然科学や社会科学でも、6.0%と近似するはず。ところがマンガは、小数第2位以下の大きい数を切り捨てて5.9%としてある。多分、記念すべき最初の計算だから、わざと分かりにくい小数にしたんだと思う。

 

   

    ☆     ☆     ☆

上に続いて、「これを現代の国家予算に当てはめると5兆6841億円」(説明文)。

  

「現代の国家予算」というのは、漫画連載時だと2015年の96兆3420億円。1億円を基本単位として計算式を立てると、

 963420×5.9/100=56841.7・・・

  

1000万の位を四捨五入したら、5兆6842億円だけど、ここでも切り捨てを使ってる。先に割り算して近似した後にかけ算をするという発想もちょっと不自然だけど、まあマンガのコマ割りの問題と考えとこう。

   

さらに、「かたや平山案は6890万」(櫂直=かいただしのセリフ)。「現代換算なら約2兆8902億円」(説明文)。

  

これも2回に分けて計算してるようだ。

 6890÷225466×100=3.055・・・   

切り捨てで、約3.0%だから、現代の予算をかけると

  

 963420×3.0/100=28902.6

再び切り捨てして、2兆8902億円とされてる。

   

そして、「3倍」(櫂のセリフ)。「現代換算で約8兆6706億円」(説明文)。

 28902×3=86706

これは単に、そのまま3倍しただけの値だ。

  

この後、簡単な割り算が2つあったけど、省略しとこう。

    

   

    ☆     ☆     ☆

では、一気に話を飛ばして、最新の連載から。これはちょっと面白くて怪しい=妖しい話だ。

   

米国が誇るゴールデン・ゲート・ブリッジの総工費を、日本の軍艦と同様に見て計算してある。こんな大まかな近似計算を、現場で本当にやるのかどうかは不明だし、色んなケースで上手く当てはまるのかどうかもビミョー。

   

橋桁の高さも『飛龍』と同等 227.5メートルとして 飛龍の公試排水量2万16.5トン 1メートル当たりおよそ88トンとなる」(櫂のセリフ)

  

 20016.5÷227.5=87.98・・・

1巻だと切り捨てしてたのに、ここではなぜか普通に近似して(=まるめて)、88としてある。

   

金門橋の場合 場所によって密度が異なるので 平均を求めて0.45で計算するなら 1mあたり およそ40トンの鋼材」(櫂)

  

 88×0.45=39.6

ここでは普通に四捨五入して、40としたらしい。

   

  

    ☆     ☆     ☆

この橋は 全長2.737キロ・・・鋼材の総量は 10万9480トン」(櫂)

 40×2737=109480

  

戦艦『長門』の公試排水量は4万3589トンで 建造費は4390万円 単純計算で1トンあたり1007円」(櫂)

 43900000÷43589=1007.1・・・

  

普通に四捨五入しても、切り捨てでも、確かに1トン1007円。この後、本来なら、橋の鋼材の総量109480トンと掛け合わせて総工費を概算する。

  

 1007×109480=110246360

つまり、1億1024万円(または1億1025万円)になるはず。

   

   

    ☆     ☆     ☆

ところがマンガでは、1億773万円と書いてたのだ。これに600万円の物価変動をプラス・マイナスして、1億173万円から1億1373万円。

  

おそらく原作者か計算担当者は、109480トンを掛けるべき所を、間違えて106980トンを掛けてしまって、四捨五入したんだろうと想像する。試しに「アルキメデスの大戦 計算」でツイッター検索すると、現在何もヒットせず (^^ゞ 「ミス」で検索しても、つぶやきゼロ。「間違い」でも、実質的にはゼロ。まあ、過去も大体そうだった。マジメに計算を気にする人はほとんどいない。

   

逆に言うと、ガリレオはいまだに数式の検索が入るから、それだけ人気とインパクトがあるということか。『アルキメデスの大戦』も、映画はわりと難しそうな式を出してたみたいだから、盛り返しに期待しよう。

  

映画公式サイトの数学クイズの問題5にも期待しつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

       (計 2142字)

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映画『アルキメデスの大戦』公式サイトの数学クイズ、「アルキメデスとの対戦」の問題の解き方

たまたまテレビのCMで、天才数学者が戦艦大和(せんかん・やまと)と戦う映画を知りました。すぐ原作マンガを読んで、そこに書いてある計算を調べてみました。ケタ数が多くてむずかしそうに見えますが、実はカンタンな小学校の算数が多いみたいです。

   

190717a

  

そのマンガの計算について書く前に、映画の公式サイトにアクセスしたら、数学クイズが載(の)ってたので、先にそちらの解き方、考え方の記事を書きます。天才の櫂直(かい・ただし、菅田将暉:すだ・まさき)が毎週出題してるようで、今日(19年7月17日)見ると、第3問でした。

   

   

    ☆       ☆       ☆

190717c

   

上の図は問題1です。山本×山本=大里。山本×大里=嶋田(しまだ)。嶋田-大里=? 3人の名前は、やまもと、おおさと、しまだ。だからカンタンに、や、お、し、と書きなおすと、下のようになります。3人はそれぞれ、0~9の中の別の数をあらわします。

    

190717d-2

   

「や」が0や1だと、一番上の式の右も「や」になってしまいます。0×0=0。1×1=1。「や」が4以上だと、一番上の式の右が2ケタになってしまいます。

   

だから「や」は、2か3です。でも、「や」が3とすると、下図のようになって、「し」が2ケタの27になってしまいます。

   

190717e

  

だから、「や」=2。「お」=4。だから、「し」=8。というわけで、一番下の式は、8-4=? 結局、「?」=4、つまり「お」。答は大里です。

   

190717f

  

   

    ☆       ☆       ☆

190717g

    

問題2は、式の書き方がまちがってるので飛ばします。4つの式の左側にはすべて、中学で習う「√」(ルート)が必要なのに、公式サイトでは書いてません。天才も疲れてたのでしょう♪

   

たとえば、√3とは、それ自体を2回かけあわせて3になるような数(ただしプラスのもの)。小数で書くと、1.732・・・と続いて行くことは、中学でおぼえます。

       

でも、戦前には、その小数を自分で計算する方法が学校で教えられてました。このブログでは、今年の冬に、大人向けの説明の記事を書いてます。

  

√(ルート)の筆算、開平法~海軍兵学校の数学試験(算術)2

   

   

   ☆      ☆       ☆

190717h

  

続いて、問題3。これは小学校5年とか6年で出て来る、「虫食い算」です。筆算(ひっさん)の式の所々に、服を虫が食ったような穴が空いてて、数が見えなくなっています。ただし、問題1と違って、少し数が残ってます(すべて7)。

  

山本を「や」、大里を「お」、嶋田を「し」、宇野を「う」、永野を「な」と書き直すと、下のようになります。

   

190717i

   

解くためのコツは、その時々で、一番分かりやすい部分だけを見ることです。まず、下図の部分のかけ算を考えてみましょう。「や お 7 × 7 = 7 う な」。

  

190717j

  

7×7=49だから、右下の「な」は、9だとすぐ分かります。あと、「や」が1ということも分かります。「や」が0だとダメだし、2以上でもダメです(かけ合わせた数が4ケタになってしまいます)。だから、下のようになります。

      

190717k

   

なるべくネタバレにならないように、この後は来週、解答が発表された後に書くことにします。ではまた。。

   

   

   ☆     ☆     ☆

おや、今は金曜ですが、昨日の木曜日に解答が発表されたようですね。それでは、続きを書きましょう。

  

190719a2  

  

「1お7×7=7う9」。まず、「お」=0だと分かります。1はもう使ってるし、2以上だと答の3ケタ目が7にならないからです。「お」=0を使うと、107×7=749だから、「う」=4となります。

   

190719a

   

「7×し=14」だから、「し」=2。ということは、「?」=0だから、答は「お」、つまり大里です。

   

190719b

    

   

    ☆    ☆    ☆

では、問題4。問題2につづいて、なぞなぞみたいなパズルです。

  

190719c

  

数学のパズルで、このような小数が出たら、まず思いつくのは「あの数」でしょう。中学生にはカンタンだけど、小学生にはむずかしいですね。顔(つまり数字)がどのように並んでるのかを考えると、中学生以上には分かると思います。ではまた来週。。

   

   

    ☆     ☆     ☆

第4問の答(円周率3.14159265・・)が発表されて、いよいよ最後の問題5。ここ10年くらいで(?)とても人気が出てる数字パズル、「数独」(すうどく)でした。ナンバープレイスとか、ナンプレとも呼ばれています。

   

190725b

  

人の顔ではなく、数字だけにすると上の図になります。背景は「ただの将棋盤」というアプリからお借りしました。縦9マス、横9マス、赤い正方形の中の9マス、どれも1~9の数が1つずつ入ります。これは難しさで3くらいでしょう。5分の3、つまり普通または簡単な問題。

   

解き方は色々ありますが、ここではまず全体の真ん中の5を書きました(①と書いてます)。縦、横の並びを見ると、中央の赤いブロックで5が入るのはここだけ。次に、その左横のブロックでも5を書きました(②と書いてます)。

   

190725c

   

ここでしばらく止めておきます。次の更新は明日の夜のつもりです。ではまた。

  

   

    ☆     ☆     ☆

では、金曜の深夜になったので更新します。

190726b

  

私の感覚ですぐ分かる場所を6番目まで書くと、上のようになります。そう簡単には出ない場所がA、B、Cに選ばれてるようですね。次は、月曜くらいに更新するつもりです。ではまた。

   

   

    ☆     ☆     ☆

では月曜になったので、最後の更新です。

  

190729b

   

上図のところまで来ると、もうBとCがすぐ分かります。もう少し進めば、Aにもたどり着けます。次はもう、正解発表の後にしましょう。ではまた。

   

   

    ☆     ☆     ☆

では、正解が発表されたので、最後の更新です。

  

190803c

    

上図のあたりでもう、A=4、B=8、C=3と分かります。正解発表は下の通りでした。それでは。。☆彡

   

190803d

     

       (暫定 1607字)

  (追記644字 ; 合計2251字)

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パズル「ナンスケ」(ナンバースケルトン)の解き方2~難易度2、朝日be(19年6月29日)

☆追記: 19年9月7日の問題について、これとは別の新しい記事アップしました。)

   

昨日(令和元年6月29日)の朝日新聞・別刷beには、「ナンスケ」という珍しいパズルが出てました。たぶん、5月11日に続いて2回目。制作はニコリです。

  

ナンスケとは、ナンバースケルトン(数の骨組み)という意味。20コくらいの数を、家の柱のように組み合わせるクイズです。

   

前回と同じく、難易度2(星2つ)で、難しい問題ではないのですが、前回のウチのブログ記事には多数のアクセスが入っています。まだ慣れてない人多いのだと思います。

  

そこで、いつものように少しずつ記事を更新して、解き方やコツを解説することにしましょう。単なるカンとかではなく、論理的に筋道立てて考えれば、キレイに解けます。前回の記事も参考にしてください

   

   

   ☆    ☆    ☆

190630a

  

上のようにクロスワードパズルみたいな枠組みがあります。180度回転させても同じ図形になる美しい形で、中心に関して点対称。この空欄の骨組みに、上から下か、左から右の向きに、次の17個の数を1回ずつ入れて行きます。数の小さい順に並べてあります。

  

(3ケタ)133,533,733。 (4ケタ)1359,1577,1755,5115,5551,55777333,7511。 (5ケタ)11515,37777,55555,55773,71111,77991

  

応募用の答は、上の青枠2つに入る数字の合計ですが、要するにすべて解けばよいのです。まず、3ケタの数3コはすべて、下2ケタが「33」となってるので、次のように書き込むのが簡単でしょう。

   

190630b

  

この後は、右上あたりから数を書いていくのが一番わかりやすいと思います。次の更新は、今日(6月30日)の夜です。ではまた後で。。

   

  

    ☆       ☆       ☆

では、夜になったので最初の更新です。

   

190630c

  

5番目が3になってる5ケタの数は55773だけ。3番目が3になってる4ケタの数は7333のみ。だから、右上は上図のようになります。

  

次は右端と左下を考えればいいでしょう。明日(月曜)の夜、また更新します。なお、今週は合計15163字で、制限字数をオーバーしてしまいました。ではまた来週。。☆彡

     (ここまで、計896字)

      

  

    ☆       ☆       ☆

では月曜の夜になったので、2回目の更新です。

  

190701e

  

まず右端。3で始まる5ケタの数は、37777だけ。次に左下。2番目に3がある4ケタの数は、既に使った7333を除くと、1359のみ。

  

この後は、5ケタの数がすべて分かります。そうすると、もう残りはカンタン。アクセスも減ったので、次の更新はもう、正解発表の後にします。ではまた。。☆彡

   

      

      ☆       ☆       ☆

今日は7月6日(土曜)。正解が発表されたので、この記事も最後まで書き上げます。

   

190706a

   

4番目に9がある5ケタの数は、77991。次に、1から始まる5ケタの数は、11515。さらに、5で終わる5ケタの数は、残ってるものの中だと<55555。最後に残った5ケタの数は、71111。これで5ケタがすべて書けます。

      

190706b

  

後はもう、1577、1755、5551と順に決めて、最後は右下の5577と7511でおしまいです。応募用の答は、5+1=6。次は難易度☆3つか4つのナンスケに期待しましょう。ではまた。。☆彡

    

 (追記453字 ; 合計1349字)

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パズル「ナンスケ」(ナンバースケルトン)の解き方~難易度2、ニコリ作・朝日新聞be

☆追記: 19年6月29日の問題について、これとは別の新しい記事アップしました

      19年9月7日の問題についても、新記事をアップしました。)

         

今日(19年5月11日)の朝日新聞

には、珍しいパズルがのっていました。

私にとっては初めての、「ナンスケ」。

  

この名前は、「ナンバースケルトン」

という英語を簡単にしたものでしょう

「数の骨組み」という意味たくさん

の数を、家の柱のように組み合わせる

クイズです。

   

まず例題で、解き方やコツをつかんで

おきましょう。なるべく論理的に、

「・・だから~~となって」と筋道

立てて考えて行きます。

  

190511a

  

上の盤面のマス目に、下のリストに

あるナンバー(数)を1回ずつ

入れて行きます。

  

2ケタ 47 61

3ケタ 176 646 711 744

4ケタ 1766 7466

  

190511b

      

長くて2個しかない、4ケタから

始めます。上図の青枠の部分の

下側は、1766しかありません。

7466だと、先頭の7で終わる

3ケタの数(青枠の左側)が

見つからないからです。

   

190511c 

  

すると上のように、711が決まり、

もう一つの4ケタである7466

の入れ方も分かります。後はもう

カンタンでしょう。

  

190511d

   

190511e

  

答は、二重枠(上図の緑色のマス目)

の数字の合計だから、4+1。

つまり、答は5です。

   

   

  ☆    ☆    ☆

では、今週の問題。

  

190511f

   

3ケタ 154 255 350 451 454

  455 459 555 951

4ケタ 1911 1944 2019 2020

  2510 4194 4491 5439

  9134 9944

5ケタ 11994 40449

   49114 94491

   

さて、この問題は、もしフツーに

解こうするとかなり面倒です。

  

ところが、「難易度2」(☆2つ)

となってるので、何か上手い考え方

があるということになります。すぐ

解けるようなタネや仕掛けがある

のです。

  

3ケタの数9個をジーッと見ると、

ある共通点に気づくでしょう♪

   

応募締切は水曜0時なので、いつも

ように少しずつ記事を更新します。

次は明日(日曜)の夜に更新する

予定です。ではまた。

  

   

  ☆    ☆    ☆

それでは、最初の更新。3ケタの数

はすべて、真ん中が5になってます。

だから、3つ並んだマス目の真ん中

5を入れると、次のようになります。

   

190512f

 

この後は、右上から右下へと考えて行く

のが分かりやすいでしょう。場合分けは

(ほとんど)不要。すぐ次々に書けます。

  

次の更新は月曜の夜の予定。ではまた。。

   

  

    ☆    ☆    ☆

今は月曜の夜。アクセスが入らなく

なってるので、最後の更新にします。

  

190513b

   

まず、55で始まる3ケタの数は

555だけ。次に、2番目の数が

「5」となってる4ケタの数は、

2「5」10だけ。

  

さらに、25で始まる3ケタの数

255のみ。そして5で始まる

4ケタの数は5439のみ。

  

だから、上図のように書けます。

後はもう、解答発表後に更新して

終わりにします。ではまた。

   

   

   ☆    ☆    ☆

それでは土曜の夜なので、最後の

解説です。今朝が正解発表でした。

    

月曜の夜、「アクセスが入らなく

なったから」と書いた途端、火曜

から一気にアクセスが増えました。

検索サイトでの記事の扱いが良く

なったということでしょう。

  

このパズル「ナンスケ」が気に

なった人はかなりいるようです。

ただ、書店のパズル本を見ると、

ナンバーのスケルトンはわずか。

ほぼ言葉のスケルトンでした。

   

190518a

   

「・0・9」の所は、「2019」。

次に縦の「2・・・」はもう、

2020」しかありません。

続いて「・0・・・」となってる

5ケタの数は「40449」。

   

さらに、縦の「1・・4」は

1944」と決定。そして、

「9・・」は「951」と

分かります。これで上の図。

  

後はもう、途中の図を1枚と

完成図を入れて終わりにします。

正解(二重枠の数の合計)は、

1+9=10でした。。☆彡

   

190518b

   

190518c 

     

      (計 1457字)

 (追記69字 ; 合計1526字)

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不等号ナンプレの解き方~朝日新聞「チャレクロ」最終回・第2問(平成31年4月28日)

朝日新聞が毎年ゴールデンウイークに数問出題して来た、チャレクロ(=チャレンジ・クロスワード)。40周年の節目で、平成の終わりでもあるので、最終回となるそうだ。2019年・特別企画の広告特集。

  

私は数年前まで知らなかったし、気づいてからもそれほど真面目に解いて来なかったけど、覚えてたし、ブログの記事に使ったこともある。記念すべき最終回の第2問は、私にとって初体験でもあるから、記事にしてみよう。

   

おそらく、多くの人は簡単すぎると感じると思う。ただ、私は最近、この種のパズルは頭の中だけで論理的に解いてる。土曜別刷beの「絵むすび」「推理」も、ペンや鉛筆を使わずに純粋な脳トレ。そうすると、難易度が数段アップするのだ。次の問題でお試しあれ♪ 勘でサラッと解くのではなく、あくまで論理的に理由を付けて。出題はいつものニコリではなく、わかさ出版『脳活道場』編集部。

   

   

      ☆       ☆       ☆

190429a

   

5×5=25マスの単純なナンプレ(=ナンバープレイス、数独)に、数学の不等号が付いてる。つまり、自然数1~5を使って縦・横で不等式を作りながら、数独を解くわけだ。縦に1~5を一つずつ、横にも1~5を一つずつ入れる。縦・横に同じ数が並ぶのはダメ。

   

ただし普通の数独と違って、小さな正方形の領域(ブロック)はないから、その意味では単純。プレゼント目当ての応募の際には、上図の①と②のマス目に入る数の合計を答える。コツの一つは、すぐ分かる箇所から書くこと。他の考え方は、この後、少しずつ説明していく。

      

190429b

  

最初は上段の5から記入。4より大きいのは5だけだから、当たり前。締め切りが5月9日だから、なるべく営業妨害にならないよう、少しずつ更新していくし、締切まで最終的な正解は書かない。

   

次の更新は今日(4月29日)の夜の予定。ではまた後ほど。。

  

   

     ☆       ☆       ☆

夜になったので、最初の更新。

  

190429c

   

上段はすぐに決定する。次は上から2段目を考えるのが分かりやすい(両端を除く)。連休だし、次の更新は4日後。「令和元年」5月3日の夜の予定。ちなみに、第1問のクロスワードパズルは簡単だったけど、ガラスの別名は知らなかった(それでも解ける)。ではまた。。

   

  

     ☆       ☆       ☆

今は5月4日の1時過ぎ。PC関連トラブルで日付けが変わってしまったけど、ほぼ予定通りで更新しとこう。

  

190504a

  

上から2段目はまず、1がすぐ決まる。次はちょっと気づきにくい考え方を示しとこう。「90度曲がった連立不等式」に着目するのだ。

  

190504b

  

上の青枠の部分を右上から左下に見て行くと、「4>?>?」。既に1は使ってるから、「4>3>2」しかない。すると、上から二段目の5の場所も決定、残りが4となる(あえて書き込んでない)。

  

その後は、縦の中央の列か、上から4段目に着目するのが分かりやすいと思う。最後の更新は5月8日、締切前日の夜の予定。ではまた。。

   

   

     ☆       ☆       ☆

それでは最後の更新。

  

190504c

   

上から二段目の右端は4か5だが、4は右端の縦の列で既に使ってある。だから、上から二段目の右端は5。すると、左端は4。後はもう省略しよう。

  

「5月中旬」とされてる正解発表が行われた後、上図からの続きを掲載する予定。ではまた。。

   

   

    ☆       ☆       ☆

今日(5月18日)の朝刊で正解が発表されたので、最後の更新をしておこう。

   

190504e

   

真ん中の縦の列が、すぐ

「4>3>1<2<5」と決定。

上から四段目もすぐ

「5>1<2<3<4」と決定。

   

190504f

   

すると、右から2つ目の縦の列

で、上から3番目は「5」のはず

(上から5番目に5は使えない)。

から。その5の右は「3」となり、

上から3段目が「24153」

と決定する。

   

190518d

  

こうして完成。正解(①+②)は、

2+3=5。

   

それでは、40年続いてたらしい

チャレクロ、さようなら。。♪☆彡

      

     (計 1543字)

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パズル「絵むすび」解き方14~難易度4、ニコリ作・朝日新聞be(19年4月20日)

線で同じ絵を結ぶだけ。子どもから大人まで楽しめるパズル「絵むすび」については、これまで既に13本もの記事を書いて来た。

  

最近の3本は小学生向け。

 絵むすびの解き方13(18年5月19日

 絵むすびの解き方12(17年5月2日

 絵むすびの解き方11(16年5月21日)

  

その前の10本は大人向け。

   

 第1回2回3回4回5回

 6回7回8回9回10回

    

今日は3年ぶりに、大人向けの書き方で

書いてみる。4月20日の問題は難易度4。

私の感覚だと、星3.5コくらいの難しさ

だと思うけど、アクセスが急増してるから

難しかったんだろう。

  

    

    ☆       ☆       ☆

190421a

  

今回の問題は、チョウ(上図では水色のチ)、鍋(赤のナ)、旗(黄色のハ)、鉛筆(緑のエ)、プリン(茶色のプ)、サンダル(ピンクのサ)を結ぶ問題。春らしい絵柄になってたが、なるべく著作権を守るためにカタカナにしてある。

  

ルールはいつもと一緒。すべてのマス目を1回だけ線が通るように結ぶ。線の交差や枝分かれ、絵の突き抜けはダメ。応募用のポイントは☆印をどの線が通るかだけど、解く時に星印は関係ない。

   

解き方がいくつもある中、いつものように、まず大きく離れた2組に注目しよう。特に、角とか端にあるものを選ぶ。要するに、考えやすい所から、分かりやすいから所から始めるという、数学の原則の応用。今回だと、まずチョウに注目。もう一つは旗か鍋だろうけど、ここでは鍋に注目する。鍋は、片方が端にあるからだ。

   

  

     ☆       ☆       ☆

チョウと鍋の2組だけに注目した時、大まかに見て、絵のつなぎ方は下の2種類しかない。チを結ぶ線が、ナの間を突き抜けてるか、それとも左下を回り道してるか。難しい言い方をすれば、トポロジー(位相幾何学)的なとらえ方で、線の細かい位置や曲がり方は省略してザクッと見るのがコツだ。

   

190421b

  

190421c

   

さて、どちらが正しい結び方か? いつものように、締切の水曜午前0時まで、少しずつ更新して行く。次の更新は今日の夜の予定。ではまた後ほど。。

   

   

     ☆       ☆       ☆

夜になったから、最初の更新。

  

190421d

  

チョウを結ぶ線が、ナベの間を突き抜ける場合、必ず他のものの線をジャマしてしまう。わりと上手く行ってる上図のパターンでさえ、ナベとサンダルの2つが右の辺りに取り残されてしまって、どちらかがつなげない。

   

190421e

  

だから、チョウの線はナベの間を突き抜けないのが正解。しかも、ハタやエンピツの線をジャマしないように引くと、上図のように引くか、あるいは下図のように、、チョウの線を下側のハタの下から通すことになる。

   

190421f

      

さて、どちらが正しいか?次の更新は明日の夜の予定。ではまた後ほど。

なお、今週は計12707字で終了。また来週。。☆彡

   

   

     ☆       ☆       ☆

190422s

  

では、月曜の夜になったので、再び更新。チョウの線が、下側のハタの下側を通るとすると、ハタの線はサンダルの線を避けて上のようになる。ところが結局、ハタの線がプリンの間を突き抜けて、ジャマしてしまう。

   

だから、チョウの線は、下側のハタの上側を通るしかない。するとハタの線の引き方はほぼ決定。他の線も後はカンタンだろう。アクセスも減ってるし、これでしばらく更新は停止しよう。最後は土曜日の正解発表後ということで。。☆彡

   

190422t

   

   

     ☆       ☆       ☆

では、土曜日になって正解が発表されたので、最後の更新。ハタの線は右下を回るしかない。チョウ、ナベの線も細かい所まで決定。後は、プリン、サンダル、エンピツの少しずつ伸ばして行けば、確実に答にたどり着ける。

   

190427a

  

190427b

  

190427c

  

190427d

    

というわけで、☆印を通るのはサンダルを結ぶ線だから、正解は2番となる。ではまた。。☆彡

       

       (計 1121字)

   (追記355字 ; 合計1476字)

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