数学甲子園2018予選、解き方と感想3(問題12~20)

2018年の数学甲子園記事は、完成まで

時間がかかったけど、今回の記事で

ようやくラストとなった。既にアップ済み

の記事6本は以下の通り。

 

 数学甲子園2018予選、

  正答率の低い3つの問題

 2018予選、解き方と感想2

 (問題1~5、7~9)

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題)  

 

 2018(マスバトル)、解き方2

 (問題1~6)

 解き方3 (第7問、白黒タイル

 解き方4 (問題8~12

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題12

xy平面において、次の連立不等式が

表す図形の面積を求めなさい。

 x²-2|x|+y²-2|y|+1≧0

 |x|+|y|≦1

 

解答

 第1式を変形すると、

 |x|²-2|x|+|y|²-2|y|+1≧0

 

よって、与えられた連立不等式のxとy

にはすべて絶対値記号が付いている

ので、図形はx軸対称かつy軸対称。

 

x≧0、y≧0の範囲に限ると、

 (x-1)²+(y-1)²≧1

 y≦1-x

 

∴(面積全体の4分の1)

  =(辺の長さ1の正方形)

    -(半径1の4分円)

  =1-π/4

∴(面積全体)=4-π ・・・答

 

感想

私が高校1年の頃だと、記述式の問題

ならマジメに4通りの場合分けをして

最後に足し算してたような気がする。

この問題だと答だけだから、第1象限

(+境界)で解いて4倍して終了。

 

参加者全体の正答率19%、通過者

69%。小数点以下は四捨五入。

 

 

問題13

a、b、c、dを正の整数とします。線分

ABをa:bに内分する点をC、c:dに

内分する点をDとするとき、

AC:CD:DBをa、b、c、dを用いた

整数比で表しなさい。ただし、点A、C、

D、Bはこの順に並んでいるものとします。

 

解答

全体の長さを1とすると、

 AC=a/(a+b)

 DB=d/(c+d)

 

∴AC:CD:DB

=a/(a+b):

  1-a/(a+b)-d/(c+d):

  d/(c+d)

=a(c+d):

 (a+b)(c+d)-a(c+d)

   -d(a+b):d(a+b)

a(c+d):bc-ad:d(a+b) 答

 

感想

小学校の算数の発展問題といった感じ。

細かい話だけど、模範解答の中央、

「(bc-ad)」のカッコは要らないと思う。

ただ、採点者の主観的判断が入るから、

実戦だとカッコを付けといた方が無難。

 

あと、小文字のcが整数で、大文字のC

が点という、まぎらわしい設定に注意。

全体正答率26%、通過者77%。後半

の問題だから、時間に追われたのかも。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題14

△ABCの3辺BC、CA、ABの長さを

それぞれa、b、cとします。次の等式が

成り立つとき、△ABCの内角のうち、

最大の角の大きさを求めなさい。

(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6

 

解答

b+c=8,c+a=10,a+b=12

とおくと、

 2(a+b+c)=30

∴ a+b+c=15

∴ a=7,b=5,c=3

 

最大の角は、最大辺と向き合う∠A。

余弦定理より、

cos∠A=(5²+3²-7²)/2×5×3

     =-1/2

∴ ∠A=120° ・・・答

感想

教科書レベルのサービス問題。時間も

稼ぎたいので、比例定数kは省略。

全体正答率42%、通過者91%。

通過者にとっては最も簡単だった問題。

 

 

問題15

kを正の整数とします。

P(k)=(1のk乗)+(2のk乗)+

    (3のk乗)+(4のk乗)+

    (5のk乗)+(6のk乗)

とすると、

P(1)=1+2+3+4+5+6=21

P(2)=1²+2²+3²+4²+5²+6²=91

P(3)=1³+2³+3³+4³+5³+6³=441

であり、P(1)、P(2)、P(3)はすべて

7の倍数となりますが、kの値によって

は7の倍数にならないこともあります。

P(k)が7の倍数にならないkの値を

すべて求めなさい。

 

解答

mod7の合同式を用いてk=6まで

計算すると、k=6ではじめて7の倍数

(=0)にならない。

1⁶+2⁶+3⁶+4⁶+5⁶+6⁶

 ≡1+1+1+1+1+1

 =6

 

上の2番目の式から考えると、

k=7の時はk=1の時と同じ。

一般にk=6m+nの時は、

k=nの時と同じ。

 

よって、求める値は、

 k=6m+6 (mは0以上の整数)

m+1=pと置いて簡単にすると、

 k=6p (pは正の整数) ・・・答

 

 

感想

時間の少ない予選でこの問題は厳しい。

ただ、6の6乗まで試すだけで解けるから、

それほど計算時間がかかるわけでもない。

全体正答率6%、通過者40%で、出来の

差が大きかった問題。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題16

次の等式を満たす整数の組(x,y)を

すべて求めなさい。

 xy³-3y-x=1

 

解答

(y³-1)x-3(y-1)=4

∴ (y-1){(y²+y+1)x-3}=4

掛け合わせて4になる整数の組を考え、

そこから(x、y)を求めると、整数の組は

(1,2),(-1,0),(1,-1) 答

 

感想

パターン化された不定方程式をちょっと

ヒネった形で、これも実力差が出やすい。

次数の低いxで整理するのが基本。

全体正答率9%、通過者44%。

 

 

問題17

連続する5つの正の整数について、

次の法則が成り立ちます。

1×2×3×4×5+5=125=5×5²

2×3×4×5×6+6=726=6×11²

3×4×5×6×7+7=2527=7×19²

  ・・・    ・・・   ・・・

このとき、次の等式を満たす正の整数n

の値を求めなさい。

2016×2017×2018×2019×2020

  +2020=2020×n²

 

解答

n²-1=2016×2017×2018×2019

∴ (n-1)(n+1)

 =(2016×2019)・(2017×2018)

 =4070304×4070306

∴ n=4070305 ・・・答

 

感想

私は「n²-1」の形にして因数分解する

式変形になかなか気づかなかったから、

問題15より面倒だと感じた。受験者には

こちらの方が簡単だったらしい。

全体正答率18%、通過者51%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題18

さいころA、B、C、Dを同時に振り、出た目

をそれぞれa、b、c、dとします。このとき、

放物線y=ax²+bx+cの頂点の座標が

(-1,d)となる確率を求めなさい。

ただし、さいころの目は1から6まであり、

どの目も出る確率は等しいものとします。

 

解答

-b/2a=-1

-(b²-4ac)/4a=d 

∴ b=-2a,d=-a+c

これを満たす(a,b,c,d)の組は

全部で12個。

∴ 12/6⁴=1/108 ・・・答

 

感想

設定にヒネリがあるし、確実に12個

求めるのがちょっと面倒。ただ参加者の

出来は良くて、全体18%、通過者53%。

 

 

問題19

OA=3、OB=4、∠AOB=60°で

ある△OABにおいて、辺OAの中点を

通りOAに垂直な直線と、辺OBの中点

を通りOBに垂直な直線との交点をQと

します。

(→OA)=(→a)、(→OB)=(→b)

とするとき、(→OQ)を(→a)、(→b)

を用いて表しなさい。

 

解答

OAの中点をM、OBの中点をNとし、

(→OQ)=p(→a)+q(→b)とおく。

|→a|=3, |→b|=4

(→a)・(→b)=6

 

(→MQ)・(→a)=0より、

{(p-1/2)(→a)+q(→b)}・(→a)=0

∴ 6p+4q=3

 

(→NQ)・(→b)=0より、

{p(→a)+(q-1/2)(→b)}・(→b)=0

∴ 3p+8q=4

∴ p=2/9, q=5/12

∴ (→OQ)=

 (2/9)(→a)+(5/12)(→b) 答

 

 

感想

パターン化された標準問題だけど・・

と言うか、だからこそ差が付いたのか。

19問目だから時間切れになったのかも。

全体正答率11%、通過者50%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題20

f(x)=∫(4x-2t)f(t)dt+3

(-1≦t≦1) を満たす関数f(x)を

求めなさい。

 

解答

f(x)=4x∫f(t)dt-2∫tf(t)dt+3

 =ax+b とおくと、

ax+b=

4x∫(at+b)dt-2∫t(at+b)dt+3

=8bx-4a/3+3

 

これがxの恒等式だから、

a=8b, b=-4a/3+3

∴ a=72/35, b=9/35

∴ f(x)=(72/35)x+9/35 答

 

感想

これもパターン化された標準問題なのに、

時間切れになった人が多かったのかも。

全体正答率8%、通過者47%。

 

フーッ。。 やっと全て終了♪ 問題を書き

写すだけでも疲れてしまうのだ。来年の

予選はもう少し簡単になると予想する。

ではまた、数学甲子園2019にて。。☆彡

 

         (計 3349字)

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数学甲子園2018予選、解き方と感想2(問題1~5、7~9)

☆追記: 最後の記事もアップ完了。

 2018予選3(問題12~20) )

 

 

   ☆    ☆    ☆

数学甲子園2018予選の問題が公式

サイトで公開されたのは、10月下旬

だったと思う。実際の予選は夏だから、

2ヶ月遅れ。

 

前から指摘してるけど、せめて9月16日

の本選前に公表すれば注目度が上がる

はず。当サイトの関連記事へのアクセス

も、本選が終わると急激に減少する。

 

だから、10月31日に本選結果が訂正

されたのもあまり知られてないだろう。

7位とされてた開成高1Sチームが

4位に浮上。元の4~6位のチームが

1つずつ順位を下げてた。

 

正直に自ら公表したのはいいとして、

1ヶ月半後というのは遅すぎるし、数学

の大会で入賞者の点数の集計ミスと

いうのは残念なこと。単なる2ケタ~

3ケタの自然数3つの足し算。実際は、

集計というより「採点」ミスなのかも。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

とにかく今年も予選記事をアップしよう。

正答率が低かった3問は、本選ライブ

動画で紹介された後、記事をアップして

ある。残り17問も過去と比べて難しめ

で、平均点の低さは当然だろう。

 

20点満点平均僅か4.3点本選

出場者でさえ11.8点に留まってた。

満点はゼロだけど、19点が2人。

FRESH LIVE動画より。

 

181106a

 

なお、既にアップ済みの今年の記事

5本は以下の通り。

 

 数学甲子園2018予選、

  正答率の低い3つの問題

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題)  

 

 2018(マスバトル)、解き方2

 (問題1~6)

 解き方3 (第7問、白黒タイル

 解き方4 (問題8~12

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題1

次の式を因数分解しなさい。

 36x²+6xy-12y²

    +11x+26y-12

 

解答

xで整理して、たすき掛けを利用。

 36x²+(6y+11)x

   -2(3y-2)(2y-3)

(4x-2y+3)(9x+6y-4) 答

 

感想

正答数0問と1問の参加者が大勢いる

ということは、因数分解が解けなかった

参加者が多いということ。1問3分しか

ないし、緊張してるから大変だろう。

 

最後のたすき掛けを素早く成功させる

コツは、1次の項の定数11に着目する

こと。奇数だから、2次の係数と定数項

の分解は、奇数×奇数の形ができる

ように行う。

 

全体の正答率は48%。通過者は

84%。小数点以下は四捨五入した。

以下でも同様。

 

 

問題2

x についての2次不等式

ax²+bx+c≧0の解がx=aで

あるとき、a、b、c、の符号をそれぞれ

求めなさい。

 

解答

y=左辺のグラフが上に凸の放物線

で、頂点が(a,0)であるための条件

を求めればよい。

まず、a<0 ・・・答

また、 -b/2a=a

   -(b²-4ac)/4a=0

∴ b<0, c<0 ・・・答

 

感想

教科書の章末問題くらいの標準レベル。

全体の正答率は意外なことに、27%。

平方完成で頂点の座標を求める時に

間違えたということか。通過者は76%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題3

次の式を簡単にしなさい。

181106b

 

解答

4+√15=(8+2√15)/2

      =(√5+√3)²/2

4-√15=(√5-√3)²/2

∴(分子)=(√5+√3)³/2√2

    +(√5-√3)³/2√2

   =7√10

 

同様の計算で、

(分母)=13√10

∴(与式)=7/13 ・・・答

 

 

感想

最初、反射的に分母の有理化を行って、

上手く行かないから方針変更。与式の

カッコ内が2乗の形になることを発見。

甲子園の予選としては適度な計算かも。

全体正答率7%、通過者33%。

 

 

問題4

AB=6、BC=4、CA=5の△ABC

があり、∠ABCの二等分線と辺ACの

交点をD、∠ACBの二等分線と辺AB

の交点をE、線分CEとBDの交点をF

とします。

△ABCの面積をSとするとき、△DEF

の面積をSを用いて表しなさい。

 

181106c

 

解答

角の二等分線が対辺を分割するときの

長さの性質を利用する。

△ABD=6/(6+4)S=3S/5

△EBD=△ABD×4/(5+4)

    =(3S/5)×4/9

    =4S/15

 

CD=AC×4/(6+4)=2

∴BF:FD=BC:CD

     =4:2

     =2:1

∴△DEF=△EBD×1/(2+1)

      =4S/45 ・・・答

 

感想

標準レベルのサービス問題で、計算

も簡単、図も添えてある。予選通過

のためには確実に取りたいところ。

△EBDを使うか、△ECDを使うか、

ハッキリ決めないと途中で混乱する。

 

 

   ☆    ☆    ☆

問題5

あるスーパーマーケットでは、1パック

8個入りの卵が売られています。下の

データは、無作為に選んだ2つのパック

A、Bに入っていた卵の重さ(単位:g)

です。

 

A 59,62,60,63,62,59,61,62

B 62,59,58,61,60,63,58,59

 

それぞれのデータについて、分散を

求めなさい。

 

 

解答

(Aの平均)=61

(Aの分散)

=(2²+1²+1²+2²+1²+2²

   +0²+1²)/8

2 ・・・答

 

(Bの平均)=60

(Bの分散)

=(2²+1²+2²+1²+0²+3²

   +2²+1²)/8

3 ・・・答

 

感想

統計の基本問題で、計算も簡単。全体

の正答率は50%で最高。通過者は

87%で、2番目の出来の問題だった。

間違えた人は、確率分布の分散と混同

して、n=8で割るのを忘れたのかも。

 

 

問題6 正答率が最低だった問題で、

    既に別記事でアップ済。

 

 

問題7

tan(x/2)=t とするとき、

sin x、cos x、tan x を、それぞれ

t を用いて表しなさい。

 

解答

1+tan²(x/2)

 =1/cos²(x/2)

より、cos²(x/2)=1/(1+t²)

 

sin x=2sin(x/2)cos(x/2)

   =2cos²(x/2)・tan(x/2)

   =2t/(1+t²) ・・・答

 

 tan x=2tan(x/2)

       /{1-tan²(x/2)}

   =2t/(1-t²) ・・・答

 

 cos x=sin x/tan x

   =(1-t²)/(1+t²)・・・答

 

感想

計算のやり方によっては、符号の

プラス・マイナスの問題が生じて面倒。

ただ、ほとんど公式だし、最後の答

には見覚えがある人が多かったはず。

全体正答率23%、通過者80%。

 

 

   ☆    ☆    ☆

問題8

正の整数a、bに対して、a²は9桁、

a²b⁴は34桁の数とします。このとき、

aとbの桁数をそれぞれ求めなさい。

 

解答

 10⁸≦a²<10⁹ だから、

 10⁴≦a<10⁵

よって、aの桁数は5桁。 ・・・答

 

また、10⁸≦a²<10⁹より  

∴(1/10⁹)<1/a²≦(1/10⁸)  

10³³≦a²b⁴<10³⁴ と掛け合わせて、

 10²⁴<b⁴<10²⁶

∴ 10⁶<b<10⁷

よって、bの桁数は7桁。 ・・・答

 

感想

不等式の正確な扱いが必要。全体の

正答率32%、通過者70%。差が

小さいのは、答の桁数の候補が3つ

くらいしかないからかも♪

 

 

問題9

次の式を展開したときの項数を求め、

nを用いて表しなさい。

{∑a k (k=1~n)}²

 =(a1+a2+a3+・・・+a n)²

 

解答

2乗の項がn個。

それ以外が、 nC2=n(n-1)/2 個。

∴ n+n(n-1)/2

   =n(n+1)/2 (個) ・・・答

 

感想

断トツで簡単だし、出題意図も不明で、

不安になってしまった。次の2問が難しい

から、その前にサービスという意味か♪

全体正答率24%、通過者77%。

 

 

    ☆    ☆    ☆

次の問題10と問題11は、既に別記事

をアップしてある。あと1本書けば、今年

の数学甲子園もようやく終了。

 

今日のところはこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.数学甲子園2017予選、

   全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

        (計 3138字)

  (追記37字 ; 合計3175字)

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数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、解き方4(問題8~12)

☆追記: 予選記事2本目もアップ。

 2018予選、解き方と感想2 )

 

 

   ☆    ☆    ☆

数学甲子園2018本選から既に

1ヶ月半が経過。ようやく本選マス

バトルの記事が完結した。

 

今年は難しめで、特に問題5、7、12

には苦戦。予選の正答率から考えると、

本選参加者もこれら3問の正答率は

かなり低かったと思う。

 

ちなみに、既にアップ済みの今年の

数学甲子園記事4本は次の通り。

 

 数学甲子園2018予選、

  正答率の低い3つの問題

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題)  

 

 2018(マスバトル)、解き方2

 (問題1~6)

 

 2018(マスバトル)、解き方3

 (第7問、白黒タイル

 

   ☆    ☆    ☆

第8問

ある電子式抽選機から当たりが出る

確率は0.2であることが公表されて

います。この抽選機を400回引くとき、

当たりが出る回数が76以上84以下

である確率を、抽選回数400が十分

大きいとして、正規分布で近似する

方法で求めなさい。

 

解答の際には、下の正規分布表の

値を用いなさい。答えは小数第3位

を四捨五入して小数第2位まで求め

なさい。

 

181102a_2

 

解答

当たりが出る回数Xの確率分布は、

n=400、p=0.2、q=0.8

の二項分布となり、正規分布

N(np,npq)=N(80,8²)で

近似できる。

さらに、Z=(X-80)/8とおくと、

標準正規分布N(0,1)となる。

 

∴ P(76≦X≦84)

 =P(-0.5≦Z≦0.5)

 =2×P(0≦Z≦0.5)

 =2×0.19146 (表より)

 ≒ 0.38 ・・・答

 

感想

考え方も計算も、あまりにヒネリが無い

ので逆に不安になる。基本知識さえ

覚えてたら、教科書の例題レベルだろう。

ただし、正規分布表の区間の取り方

(ここでは0≦X≦u)は、数種類ある

ので注意。

 

 

   ☆   ☆   ☆

第9問

フィボナッチ数列{f n}は、

f ₁=1,f ₂=1,

f n₊₂=f n₊₁ + f n

(n=1,2,3,・・・)

によって定義されます。

f₁,f₂,f₃,・・・をフィボナッチ

数といいます。

 

次の数列の和を、フィボナッチ数

どうしの2数の積の形に表しなさい。  

∑f k f k₊₁ (k=1~n)

 

解答

f₃=2,f₄=3,f₅=5,f₆=8。

∑の値をn=5まで計算すると、

 n=1で1 (=1×1)

 n=2で3 (=1×3)

 n=3で9 (=3×3)

 n=4で24 (=3×8)

 n=5で64 (=8×8)

 

よって

nが奇数の時、∑=f n₊₁×f n₊₁、

nが偶数の時、∑=f n×f n₊₂

  ・・・答

(証明は帰納法で簡単にできる

 ので省略。)

 

感想

一見、テクニカルな変形が必要な難問

かと身構えてしまったが、実験してみる

とすぐに分かってしまった。帰納法の

証明もすぐ成功。

 

 

    ☆    ☆    ☆

第10問

右の図1のように、x²+y²=36

で表される円Oに、半径1の円P

が点A(6,0)で内接しています。

このとき、点Aと重なっている円P

の周上の点をQとします。

 

181102b

 

この状態から円Pは円Oに内接

しながら、円Oの周にそってすべる

ことなく矢印の方向(x軸と正の

角度をなす方向)に回転していき

ます。

 

図2のように、円Pが円Oの周上

を回転したときの円Oと円Pとの

接点をRとし、弧ARの長さをθ

とします。このとき図1で点Aと

重なっていた点Qは図2のような

位置にきます。

 

θが0≦θ≦πの範囲を動くとき、

点Qが動いてできる曲線の長さを

求めなさい。

 

 

解答

∠AOR=弧/半径

    =θ/6

円Pの中心Pの座標は、

(5cosθ/6,5sinθ/6)

 

(半径6の弧)AR

  =(半径1の弧)QRだから、

∠QPR=6×(θ/6)=θ

 

よって点Qの座標は、

(5cosθ/6+cos-5θ/6,

 5sinθ/6+sin-5θ/6)

=(5cosθ/6+cos5θ/6,

 5sinθ/6-sin5θ/6)

 

∴ (求める曲線の長さ)

=∫√{(dx/dθ)²+(dy/dθ)²}dθ

   (0≦θ≦π)

=(5/6)∫√(2-2cosθ)dθ

=(5/6)×4

10/3 ・・・答

 

感想

数Ⅲのやや面倒な積分だけど、キレイ

に √ が外れる設問。試しに無料AIの

ウルフラム検算すると、1秒で確認

できた。

 

181102c_2

 

Qの軌跡は、ハイポサイクロイド

とか内サイクロイドと呼ばれる曲線。

 

181102d

 

ウィキメディアの図を見ると、Qの軌跡

(赤い弧の半分)は、外側の黒い弧の

半分(長さπ=3.14)より少しだけ長い。

よって図形的にも答(約3.3)は支持

される。

 

 

    ☆    ☆    ☆

第11問

右図のように、地面に沿ってx軸をとり、

鉛直上方にy軸をとります。

 

181102e

 

原点Oから物体をx軸からθの角度で

斜め上方に10の速さで投げ上げると、

物体は放物線をえがいて運動し、その

放物線はおよそ

y=(tanθ)x

  -{1/(20cos²θ)}x²

という式で表されます。ただし、

0<θ<π/2 とします。

この放物線の頂点は、θを動かすと

ある曲線をえがきます。この曲線の

方程式をx,yを用いて表しなさい。また、

x,yのとり得る値の範囲も明記しなさい。

 

 

解答

放物線の軌跡を平方完成すると、

y=-1/(20cos²θ) (x-5sin2θ)²

  +5(1-cos2θ)/2

 

よって、頂点の座標は

(5sin2θ,5(1-cos2θ)/2)

 

θを消去して、曲線の方程式は

(x/5)²+{(y-5/2)/(5/2)}²=1

 ・・・答

 

0<θ<π/2より

0<2θ≦π。

よって、x,yの範囲は

 0<x≦5,0<y<5 ・・・答

 

感想

最後の不等号の「=」の有無が減点

ポイントだからこそ、問題文の最後に

強調してある。xの不等式につられて、

yの右側の不等号に「=」を付けて

しまうのがありがちなミス。

 

要するに、楕円の右半分で、縦軸上の点

を除いた部分になる。楕円の右端になる

のはθ=π/4の時、つまり45度の時。

ちなみに物理的に考えると、この問題は

重力加速度gを10として、空気抵抗を

無視した斜方投射だ。

 

 

    ☆    ☆    ☆

第12問 (超高校級の難問か?)

1辺の長さがLの立方体に含まれる

正八面体(頂点は立方体の面や辺上に

あってもかまいません)について、その

体積の最大値を求めなさい。

(注. Lは原文では小文字。)

 

 

解答 (というより学問的な説明)

H.T.Croftの研究(1980年)

より、最大になる時の正八面体の

1辺の長さは、立方体の1辺の長さ

の(3√2)/4倍

この問題では、(3√2)L/4。

 

以下の図と表は、M.Firching

論文より(2014年)。

 

181102f

 

181102g

 

立方体(Cube)の中に、

正八面体(Octahedron)が

微妙な形で含まれている。

正八面体の辺12本の内、

6本だけ立方体の面上にある。

正八面体の頂点は、立方体の

辺の3:1の内分点

 

一般に、

(正八面体の体積)

 =(√2/3)×(辺の長さ)³

 

∴ (最大の正八面体の体積)

 =(√2/3)×(3√2/4)³

 =9L³/16 ・・・答

 

 

感想

証明は必要としないとしても、高校では

超難問だろう。直感が通じない。

 

まさか出題者が、「明らかに立方体の

6面の中心を結ぶ正八面体」だと誤解

してしまったのではないと思うけど、

はたしてどうか。

私は、少しだけズラした場合が最大

だろうとは感じたけど、空間図形の

計算や論証が難しくて途中でパス。

 

ネットを探し回って、ようやく結論らしき

ものを発見した。ただし、まだほとんど

理解してない。

 

国内では、アマチュア研究者として

名高いらしい佐藤郁郎氏のサイト

詳しいけど、複数ページの解説を

合わせても完全ではないと思う。

場合分けの際に省略がある。

 

181102h

 

クロフトの英語論文は有料みたいなので、

無料公開されてる最近の別の論文を使用。

興味深いことに、クロフトの間違いまで

指摘してある。ということは、それに今まで

他の研究者は気づかなかったわけか。

 

『数学セミナー』2013年4月号の

「エレガントな解答を求む」1番解答で、

クロフトの論文について触れてた。大阪

経済大学のpdfファイルで部分的に

公開中。

 

今年の数学甲子園の記事は大幅に

遅れてしまったが、これで後は予選の

残り17問だけになった。

今日のところはこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.数学甲子園2017予選、

   全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

          (計 3413字)

  (追記35字 ; 合計3448字)

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数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方3(第7問、白黒タイル)

☆追記:さらに続編記事もアップした。

2018本選、解き方4(問題8~12))

 

 

   ☆   ☆   ☆

2018マスバトルの記事を12問分

アップした後、ずいぶん時間が経って

しまった。理由は色々あるが、一番

大きいのは、順番的に次に解くべき

問題7に苦戦してたのだ。

 

181030a

 

たまたま先日、オセロの世界選手権

が話題になったから、オセロのアプリ

で弱いAIに圧勝して遊んでたけど、

この白黒タイル問題には敗北寸前。

 

 

   ☆    ☆    ☆

行列か数列の理論の応用だろうけど

思いつかないから、2の9乗=512

通りをシラミつぶしにチェックするしか

ないか・・と思って書き並べ始めたら、

ようやく解けた。

 

やはり、具体的に手を動かして試行

錯誤することが大切。ただし、それだけ

だと、「出来る」ことの証明は可能でも、

「出来ない」ことの証明にはならない。

だから結局、論理が必要となる。

 

本来なら今回は問題7~12の記事

を書く所だけど、既にかなりの時間を

費やしたので、今日は問題7の解説

だけにしよう。今回も、スマホ向けに

1行の字数を少なくしてある。

 

ちなみに、既にアップ済みの今年の

数学甲子園記事3本は次の通り。

 

 数学甲子園2018予選、

   正答率の低い3つの問題

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題)  

 

 数学甲子園2018(マスバトル)、

 問題と解き方2(問題1~6)

 

   ☆    ☆    ☆

第7問

白と黒のタイルを用いて、3×3の

ボードをつくります。1つの行または

列の3つのタイルの色をすべて変化

(黒ならば白、白ならば黒に変換)

させる操作を行います。

 

この操作を繰り返すことで、すべての

タイルを白にすることができるタイル

の配置の総数を求めなさい。ただし、

回転・裏返しによる配置の同一視は

行わないものとします。

 

 

解答

行の変換や列の変換は、2回行うと

元に戻って、0回行うのと同じになる。

よって、各行、各列の変換は0回か

1回だけ行うと考えてよい。

 

また、すべて白にできる配置とは、

逆に、すべて白の配置から変換

可能な配置でもある。

 

以下、白いタイルを数字の0、黒い

タイルを数字の1で表すことにする。

すべて白の配置なら、以下の通り。

 

 0 0 0

 0 0 0

 0 0 0

 

この状態から、例えば「1行目に

1回、2行目に1回、3行目に0回、

1列目に0回、2列目に1回、

3列目に0回」だけ操作を行うと、

操作の順番に関わらず、次の

ただ1通りの配置になる。

 

 1 0 1

 1 0 1

 0 1 0

 

同様に考えて、一般に、3行3列

に対する変換の回数の組合せに

対して、タイルの配置が1通り対応。

 

ただし、1対1とは限らないので、

それぞれの行や列への変形が

0回か1回かを考えて、

2×2×2×2×2×2=64通り

の配置を書いてみる。

 

行・列すべて0回から始めて、行・列

すべて1回まで。既に書いたものと

重複した場合、色を付けて区別。

 

(注. スマホやタブレットの場合、

数字に自動でリンクが付いてしまい、

色が消えてしまうので悪しからず。)

 

000 111 000 000 100

000 000 111 000 100

000 000 000 111 100

 

010 001 011 101 110 

010 001 100 010 001

010 001 100 010 001

 

100 010 001 100 010 

011 101 110 100 010

100 010 001 011 101

 

001 111 111 000 110 

001 111 000 111 110

110 000 111 111 110

 

101 011 011 101 110

101 011 011 101 110

101 011 100 010 001

 

011 101 110 100 010

100 010 001 011 101

011 101 110 011 101

 

001 001 110 110 010  

110 110 001 110 101

110 110 110 001 101

 

101 101 100 011 011 

010 101 011 100 011

101 010 011 011 100

 

001 010 100 001 010 

001 010 100 110 101 

110 101 011 001 010

 

100 110 101 011 111 

011 001 010 100 111 

100 001 010 100 111

 

111 011 101 110 000

111 011 101 110 111

111 011 101 110 111

 

111 111 001 010 001

000 111 001 010 001

111 000 001 010 001

 

000 000 000 000

000 111 000 000

111 000 111 000

後半ほぼ全て、32通りが重複。

 

例えば、行2つと列1つに1回変換

した9通りは、列1つと行2つに1回

変換した9通りと一致する。また、

行2つと列2つに1回変換した9通り

なら、行1つと列1つに1回変換した

9通りと一致。

 

一般に、行nコと列mコに1回変換

した配置全体は、行3-nコと列

3-mコに1回変換した配置全体と

一致する(n,m=0,1,2,3)。

 

∴ (求める配置の総数)

 =64-32

 =64/2

 =32(通り) ・・・答

 

 

感想

オセロの変化の多さにつられて難しく

考え過ぎた。行列の行や列の基本

変形として単純に考えるべきだった。

 

最初は64通りが答かと思ったけど、

念のために書き並べると大量の重複

が判明。書き並べるだけでも1度ミス。

 

結局、(2の6乗)÷2が答になるけど、

キレイな理由は今のところ不明。行列

の成分の添字とクロネッカーのデルタ

δi j を使うような気がする程度。

 

なお、問題文をよく読むと、最初から

すべて白の場合も含めるのが正解

のはず。疲れた切ったところで、今日

はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.数学甲子園2017予選、

   全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

         (計 2464字)

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数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2(問題1~6)

(☆18年11月2日の追記

 第3弾、第4弾記事をアップ。

 

 数学甲子園2018マスバトル3

 (第7問、白黒タイル) 

 本選、解き方4(問題8~12))

 

 

   ☆    ☆    ☆

残念ながら未完成の暫定版にすぎない

けど、今さら代わりの記事を書く余裕も

ない。今日の分の記事として、数学

甲子園2018本選マス・バトルの

記事の2本目をアップしとこう。

 

スマホ閲覧用に1行の字数を少なく

してあるので、PCの方、悪しからず。    

ちなみに1本目(問題13~18)は

下の通り。

 

 数学甲子園2018本選Math

 Battle(マスバトル)、問題と

 解き方1(英語の問題

 

 

   ☆    ☆    ☆

第1問

次の式を整数係数の範囲で

因数分解しなさい。

(2x²-1)²+{2(x+1)²-1}²

 

解答(略解)

展開して整理すると、

2(4x⁴+8x³+8x²+4x+1)

2(2x²+2x+1)² ・・・答

 

感想

単なるサービス問題だけど、与式の形

が規則的だから、図形的な意味と解法

があるのかも。

 

無料版も公開中のAI、Wolfram

 Alpha(ウルフラム・アルファ)

日本語版に入力して検算すると、

1秒ほどで答を確認できた。

 

181004a2

 

 

   ☆    ☆    ☆

第2問

すべての内角が180°未満の四角形

ABCDにおいて、AB=3、BC=4、

CD=4、DA=1です。

このとき、四角形ABCDの面積をSと

して、Sの範囲を求めなさい。

 

略解 (☆見落としの可能性あり)

四角形を、△ABD+△BCDと考え、

辺BDの長さを少しずつ伸ばしてみる。

僅かに内角180°未満にならない

時は、下図の通り。直角三角形

だから、面積S=6はすぐ分かる。

 

181004b

 

上図からBDを伸ばして行くと、ADとAB

が直角になるまでは、三角形2つの

面積が共に増加する。

 

その後、△ABDの面積は減少するが、

それよりも△BCDの面積の増加の方が

大きい。BD=2xとおき、さらにx²=a

とおいて微分すれば分かる。2次関数

のグラフを見比べるだけでも明らか。

 

181004c

 

上図のように、DAとABが一直線になる

時が面積の限界値を与える(これ未満)。

正三角形だから、

S=(4×2√3)/2=4√3

 

∴ 6 < S < 4√3 ・・・答

 

 

感想 きっちりした値が出ないし、微分が

面倒。さらに凸四角形成立条件もあるから、

不安になる。ただ、直角三角形と正三角形

が限界を与えるのは美しい。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題3

関数y=

(x²ー2x+3)²+2(x²ー2x)+4

の最小値と、そのときのxの値を

求めなさい。

 

略解

x²ー2x+3=(xー1)²+2

       =a

とおく。

a≧2で、等号はx=1の時。

 

y=a²+2(a-3)+4

 =(a+1)²-3

よって、a=2の時にyは最小。

(最小値)=6 (x=1のとき)・・答

 

感想 問題のレベルにムラがあると

いうか、簡単な問題を見抜く選球眼を

問うということか。ウルフラムなら

1秒。いずれスマホ使用可になって、

この種の単純な問題は無くなるかも。

 

181004d

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題4

3桁の正の整数ABCについて、その

累乗 

(ABC)²,(ABC)³,(ABC)⁴,・・・

を計算したところ、どの数も百の位が

A、十の位がB、一の位がCになりました。

このような3桁の正の整数ABCを

すべて求めなさい。

 

略解

2乗が条件を満たせば、3乗以上も

条件を満たす。

まず、1ケタ目の数Cの2乗の1ケタ目

が元通りCになるための条件は、

C=1,5,6。

 

後はしらみつぶしに調べて、求める数は

 376,625 ・・・答

 

感想 理屈を考えてもあまりメリットが

ないから、機械的計算の方が効率的。

ただ、何か上手い工夫があるのかも。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題5

文字A、Bを並べて、次の2条件を

満たす文字列をつくります。

条件1: 全体としてAとBが同数である。

条件2: 文字と文字の間に1つ仕切り

  を入れたとき、その仕切りより左に

  あるAの数はBの数より多い。

 

たとえば、AとBを3個ずつ使うとき、

できる文字列は

 AAABBB、AABABB

の2通りです。

 

AとBをn個ずつ使うとき、このような

文字列は何通りできますか。階乗

記号!を用いて表しなさい。ただし、

nは正の整数とします。

 

略解

左端は必ずA、右端は必ずB。

残ったA、B、n-1コずつ、合計

2(n-1)コは、仕切りの左側で

「Bの数が上回ることがない」ように

作ればよい。ただし同数なら可。

 

この文字列の数は、「カタラン数」

(Catalan number)と

呼ばれ、次の分数で表される。

 

Cat(n-1)

 ={2(n-1)}!

  /  n!(n-1)! ・・・答

 

 

感想 カタラン数の説明や証明は、

ネット上に多数あるが、どれも分かり

やすくはないのでここでは省略した。

上の略解で利用した、問題と少し

だけ違う文字列は、有名らしい。

 

ちなみに『大学への数学 解法の

探求 確率』に載ってる巧妙な

図形的証明は、海外の数学者が

考案。英語版ウィキペディア参照

ただし1対1対応で正しく数えてる

かどうか、確認は簡単ではない。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題6

10²²⁰/(10¹⁰-2) を小数で

表したときの一の位の数を求めなさい。

 

略解 

☆不安だけど答の数値は合ってそう。

 

分母を法とする合同式を用いる。

mod(10¹⁰-2)において、

 10¹⁰≡2

∴ 10²²⁰=(10¹⁰)²²

      ≡2²²

      ≡(2¹⁰)²×2²

      ≡4²×4

      ≡4

よって、10²²⁰-4=(10¹⁰-2)n

とおける(nは整数)。

 

mod10で考えると、

 -4≡-2n

 ∴ n≡2 (mod 5

 

ここで、n≡7(mod 10)だと、

nを設定した等式が成り立たない

(左辺=・・・96、

 右辺=・・・98×n)。

 

したがって、mod10で

 n≡2

∴ 10²²⁰-4≡(10¹⁰-2)×2

∴ 10²²⁰/(10¹⁰-2)

 ≡2+4/(10¹⁰-2)

 

右辺の分数は1より小さく正なので、

問題の分数を小数で表した時の

一の位は、2。 ・・・答

 

 

感想 正直、合同式は慣れてないので

怖い。割り算する時に「法(モード)」が

変わる点は忘れずに考慮してあるが、

論理的なミスが混ざってるかも。

 

ただし、ウルフラムで計算してみると、

確かに2のようだ。分数の計算結果は

下の近似値×10²¹⁰だから、小数第

210位を見ると、2になってる(青線)。

 

181004e

 

ウルフラムのミスまでは責任持てない

ものの、凄い時代になったと感心した。

既に時間切れなので、今日はそろそろ

この辺で。。☆彡

 

 

cf. 数学甲子園2018予選、

    正答率の低い3つの問題

  数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

           (計 2704字)

   (追記73字 ; 合計2777字)

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1年8ヶ月ぶり、ルモシティ(Lumosity)で科学的に脳トレ♪、新ゲームを3つ紹介

いやぁ、難しかった。完全に放置プレイで、勧誘メールもほとんど

来なくなってたルモシティ♪ 大変なのはパスワード入力、最難関

は誕生日入力だ(笑)。そこか!

 

180927a

 

って言うか、そもそも1年8ヶ月も放置してると、アプリが動かなく

なってるから、前のを削除して新しくダウンロード&インストール。

登録はあちらに残ってるみたいだけど、こちらが忘れてた(笑)。

昔のHDD(ハードディスク)を探し回ると、あった、あった。

なるほど、私の誕生日はその日なのか♪

 

ちなみに過去、2本の記事を書いてるけど、最近はアクセスが

入らなくなってる。私が書かないからか、あるいは元のアプリの

人気が落ちてるのか。3本目の記事でチェックしてみよう。

 

実験的に効果が無かったという主張もいくつか出てるけど、少人数

の若者の調査(計163人、平均25歳とか)では信頼度も低い。

ゲームの登録者は世界で数千万人と言われてるのだ。そもそも

若者はフツーのゲームとかテストとか日常的に触れてるから、

ルモシティの代わりにそちらで似た効果を得てる可能性がある。

 

普段、ゲームやテストの機会がない人間にとっては、無料の脳トレ

として十分よく出来てるから、お勧めしとこう。有料登録への勧誘

は時々あるけど、反射的にスルーして大丈夫。それもまたスルー・

ゲームだ♪

 

cf. 科学的な脳トレ・ゲーム、

  「lumosity」(ルモシティ)の無料体験

 ルモシティの迷路パズル「ペット探偵社」、

          問題と解き方(小学生向け)

 

 

     ☆       ☆       ☆

さて、超久々に2日間(1日あたり3種類が無料)やってみると、

全6種類の内、半分が新しくなってたから、まず「?」マークを

タップしてルールを知る所からスタートした。

 

180927b

 

180927c_2

 

最初の新ゲームは、「数字サーキット」。ここでのサーキットという

言葉は、レース場という意味もあるけど、基本的には電気回路と

いう意味。問題解決能力とか論理的推論というのは、過去の

成績を見ても、私が一番得意な分野。久々に復帰した私に、気を

使って選んでくれたのかも♪

 

180927c

 

180927d

 

ヒューズとかソケットという言葉が一瞬分からなかったけど(笑)、

要するに与えられた数字を使って、規則的な数列を完成する。

上図なら、左の選択肢から4と6と10をドラッグ。右上から、

2、4、6、8、10と並べればいい。

 

180927e

 

上の問題は、秒速で答えるには規則が難しい。右上の1から、

2倍、3倍、4倍の数を並べるのが正解。答えた後、説明が出る。

 

180927f

 

 

    ☆       ☆       ☆

続いて、「マスターピース」。要するに簡単なジグソーパズル

だけど、反射的に図形のイメージを色々作るのは刺激的♪

この種の物を最初に見たのは、北海道スキーツアーの宿だった

と思う。木製(?)の7ピースくらいで、意外と苦戦した (^^ゞ

空間推論ってことは、3次元の難問もあるのかな?

 

180927g

 

180927j

 

180927h

 

個々のピースを選択して、左右45度回転のボタンをタップ(または

クリック)してドラッグ。以前は、あちこちのサイトのログイン画面

で似た物を見かけたけど(1コ、無回転)、最近はあんまし見ない。

 

180927i

 

上図は私がちょっと動揺した問題。要するにジグソーと同じで、

分かりやすい場所から攻めて行けばいい。

 

 

     ☆       ☆       ☆

そして最後、私が一番気に入ったのは、「海賊の道」。結局、

新ゲーム3つ全てが私の得意なものだから、やっぱりAIが

私に配慮してくれてるんだろう。有料登録を狙って♪

 

180927k

 

180927_l

 

黄色っぽい星印の船の進路を決めて、他の色の海賊船との

遭遇を避ける。上図の白い点線だと、緑色の海賊船といきなり

ぶつかるから失敗で、少しだけ遠回りすればいい。

 

180927m

 

180927n

 

海賊船はルートがあらかじめ決まってる。自分の船は、濃い緑

のマス目なら上下左右OK。バックしてもいいというルールは

わりと珍しいかも。

 

180927o

上図はちょっとだけ悩む問題。海賊船が2隻でコースもひねって

あるし、自分が通れないマス目が1つある。

 

180927p

 

正解は上の通り。数学の記述問題なら、完全な解答を書くのは

大変だ♪ まあ、数学甲子園でさえ、最後の結論の答だけで

ほとんどOKになってるから、ゲームなら説明不要で当然。解答

が自然な文章だと、まだシステムのAIが対応しきれないし♪

 

ただ、時代の流れはもう、記述式、応用力、独創性に向かってる。

そうでないと、人間の代わりにAIとロボットがこなしてしまうから。

本当は、ゲームを解いて遊ぶんじゃなくて、ゲームを創り出さなきゃ

いけないんだよな・・と思いつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

           (計 1812字)

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数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方1(英語の問題)

(☆追記: 第2弾も暫定版でアップ。

 数学甲子園2018マスバトル2

   問題1~6 )

 

(☆追記:第3弾、第4弾アップ

マスバトル3(第7問、白黒タイル

 本選、解き方4(問題8~12))

 

 

   ☆    ☆    ☆

今、連休中で不自由な状況だけど、先日

フレッシュ動画でライブ中継された数学

甲子園2018のマスバトル(普通の

テスト)の解説記事を始めてみよう。

予選で既に公開された問題3つは、

すぐに記事をアップしてある

 

放送時間内だけ問題が公開されて、答は    

発表されてないから、単なる参考記事。

放送時間内だけ問題が公開されて、答は    

過去間違えたことは(ほとんど)無い    

けど、一部の問題は解きにくい。

 

    

今回はまず、英語の問題6問の和訳と    

解き方、感想を書く。式は少ししか入力

しないし、答が間違ってる可能性も一応    

あるので、ご注意あれ。今使ってる端末

はiPadで、スマホ用に1行を短く    

入力する。PCの方、悪しからず。

 

   

 

  ☆    ☆    ☆

では、全18問中の13問から。    

まず簡単な3元連立方程式。

 

第13問    

Find the values of a for which    

the following system of    

equations has infinitely  many    

solutions.

xー2y+z=2    

x+yー3z=a    

2xーyー2z=a²

 

以下の連立方程式が無限に多くの解を    

持つようなaの値を求めよ。

 

解答(略解)    

式1と式2からzを消去して、    

4xー5y=a+6    

式1と3からzを消去して、

4xー5y=a²+4     

よって、無数の解を持つ条件は

a+6=a²+4    

  a=ー1,2  ・・・答

 

感想  大学レベルの線形代数の知識とか    

使うまでもない数 I の基本問題。時間と    

点数を稼ぎたい所。

 

 

  ☆    ☆    ☆   

次も数 I の基本、円の方程式と接線。

 

第14問    

For the circle    

x²+y²+6xー8y=0,

find the range of values of m    

for which the family of lines    

y=mxー1/3    

do not meet the circle.

 

円x²+y²+6xー8y=0

に対し、直線y=mxー1/3    

が共有点を持たないようなmの

値の範囲を求めよ。

 

略解    

接する時、m= 7/24,4/3      

7/24<m<4/3  ・・・答

 

感想  接線の傾きは、判別式より、点と

直線の距離の公式の方がちょっと楽。

出て来るmの2次方程式の因数分解

で焦るかも。不等号の下の等号は不要

だと思う(私が調べた限り)。

 

 

  ☆    ☆    ☆

次は、英語問題で唯一の難問。時間内に    

「解けなかった」参加者が多かったと思う    

けど、「答の推測だけ」なら綺麗な図で可能♪

 

第15問    

Point E lies on side CD of rectangle

ABCD.  Circle O is inscribed in

trapezoid ABCE. Circle P is tangent     

to AB, AE, and Circle O externally.    

Circle Q is inscribed in △ADE.    

Find the radius of Circle O if the

radii of circles P and Q are both 3.

 

点Eが長方形ABCDの辺CD上に

ある。円Oは台形ABCEに内接する。

円PはAB、AEに接し、円Oに外接。    

円Qは三角形AEDに内接。円P、Qの    

半径が共に3の時、円Oの半径を求めよ。

 

略解

円Pと辺ADの距離をpとし、円Oの    

半径をrとする。

まず、円P、Oと中心点2つ、辺ABに

ついて、三平方の定理と直角三角形の     

相似を用いて、

2√(3r)=(rー3)p/3

   

また、直角三角形AEDの面積を2通りに

表して等号でつなぐと、

(p+3)r     

=3(2p+3r+2√(3r)

2式から√ を消して整理すると

p=3r/(rー3)

この式を用いてpを消すと、

r=12 ・・・答

 

感想 最初、座標計算したら、惜しい所

まで行って挫折。大変な計算になる。

方針変更して図形的に解くとすぐだった。

 

 

  ☆    ☆    ☆

続いて空間のベクトル方程式の基本問題。

 

第16問    

Line L has equation (→r)=    

(ー1,4、0)+λ(1,1,ー1)    

and point A has coordinates

(3,ー2,7). Find the    

coordinates of the reflection of

the point A in L.

 

直線Lのベクトル方程式は、     

(→r) = (ー1,4,0)+λ(1,1,ー1) 、

点Aの座標は(3,ー2,7)。点A    

の、直線Lに対する鏡映点を求めよ。

 

略解    

L上で、点Aの正射影を点Mとする。

Mの座標はLの方程式を満たし、さらに    

ベクトルAMとLの方向ベクトルの内積     

が0だから、Mは(ー4,1,3)。

よって、鏡映点をBとすると、    

(→OB)=(→OA)+2(→AM)    

  =(ー11,4,ー1)・・・答

   

 

    

感想 英語の前置詞「in」につられて     

正射影を求めたくなるけど、鏡映のこと

らしい。直線を1次元の鏡と考えて、その    

鏡の中に鏡映点があるという発想かも。

 

 

  ☆    ☆    ☆

次は複素数平面と3次方程式の

標準的な問題。

 

第17問

The cubic equation 

z³ーaz²+ 3az+b =0    

has real root ー1 and complex    

roots  x±yi, where a, b, x     

and y are real numbers and y>0.     

Note that i represents the imaginary

unit.  If the three points -1, x+yi,    

and x-yi in the complex plane are    

the vertices of an equilateral triangle,       

find all pairs of a and b.

 

3次方程式z³ーaz²+ 3az+b =0    

が、実数解ー1と複素数解x±yi    

を持ち、a、b、x、yは実数、y>0    

である。ここでiは虚数単位。複素数平面上    

の3点ー1、x+yi、xーyiが     

正三角形をなす時、a、bの組を全て求めよ。

 

略解

ー1が実数解であることより、    

b=4a+1    

解と係数の関係より、     

a=ー1+2x    

x²+y²=b    

正三角形をなすための条件より    

x+1=±(√3)y     

以上4つの方程式の連立を解いて、     

(a,b)     

(0,1),(9,37)・・・答

 

感想  簡単な4元連立方程式で、計算

ミスだけがポイント。第2式と第4式を

用いてx、yを消去。a、bに絞り込む。

 

 

  ☆    ☆    ☆     

最後は整数(自然数)の標準〜発展問題。

 

第18問    

Find all three-digit numbers that are    

equal to the sum of the factorials    

of their digits.

 

3ケタの数の内、各ケタの数の階乗の和に    

等しいものを全て求めよ。

 

略解     

ケタの数字3つの内、最大の自然数を

考える。 7以上だと、7!=5040で

4ケタになってしまうから不適。

6だと、元の数は699以下なのに、

6!=720だから不適。

4以下だと、元の数は最大でも444で、      

各ケタの数の階乗の和が3ケタに届かない。

 

よって、ケタの数字3つの内、最大は5。    

5!×3=360だから、元の数はこれ以下。    

よって、元の数は355以下で、数字5の    

使用回数は1回か2回。

 

後はしらみつぶしに計算で調べて、     

条件を満たす例は    

145=1!+4!+5!のみ。    

したがって求める数は145のみ。・・・答

 

感想 1つしか見つからないのが不安

だけど、しらみつぶしの計算は簡単。数字

1を1つだけ含むなら元の数は奇数とか

考えてもよい。

 

 

残った日本語の問題は、また後ほど扱う予定。   

今週は僅かに制限オーバーで計15302字

今日のところはこの辺で☆彡

 

 

cf. 数学甲子園2018予選、

    正答率の低い3つの問題

  数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

          (計 3185字)

   (追記91字; 合計3276字)

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数学甲子園2018予選、正答率の低い3つの問題の解き方と感想

☆追記: マスバトルの記事の1本目をアップ。

  数学甲子園2018本選Math Battle、

   問題と解き方1(英語の問題) )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2018の本選(9月16日)の

様子を、FRESH LIVEの動画が中継。

初の試みとして(?)、ライブ中継中だけ、

参加者が挑戦したMATH BATTLE

(マス・バトル)の全問題が公開された。

 

ところが予選の20問については、中継の

途中に3問解説しただけ。正答率が低い

問題の代表のようで、残り17問について

はまだ分からない。

 

一昨年は簡単だったけど、去年は難化。

今年はさらに難化して、平均点が大幅に

下がったとのこと。ひょっとすると、女子

選手がかなり減った(らしい)ことと関係

してるかも(単なる統計的な一般論)。

 

全体(2425人)の平均点は、4.3点。

本選出場者(159人)の平均は11.8点。

20点満点は0人、19点が2人。最も多い

点数(400人近く)は1点。来年は多少、

易しくなると予想する。

 

予選問題がすべて公開されるのがいつに

なるのか分からないけど、順番として先に

予選を3問だけ解説しとこう。以下の解答

は、数学検定協会の(?)スライドの略解

を参考に、私が少しアレンジしたものだ。

 

入力に使用してるのはPCだけど、スマホ

によるアクセスが多いと思われるので、

1行の字数を少なくしてある。

 

 

   ☆    ☆    ☆

番号順ではなく、ライブ中継の紹介順に

見て行こう。まず、全体の正答率7.6%

予選通過者の正答率22.6%の問題。

 

問題10

すべての辺の長さがaである正四角錘と、

1辺の長さがaである正四面体があります。

この2つの立体の正三角形の面をぴったり

とくっつけてできる立体は、何面体ですか。

 

解答

1辺の長さは1として一般性を失わない。

 

180917a

 

まず正四面体の2面がなす角α

(0°<α<180°、図の∠OMC)

について、余弦定理より、

 

cos α = 〔{(√3)/2}²+{(√3)/2}²

   -1²〕 / 2・{(√3)/2}²

   = 1/3

∴ sin α = (2√2)/3

 

180917b

 

次に正四角錘の正三角形の面同士が

なす角β(同上、図の∠AMC、前の図

と頂点の名前は合ってない)について、

余弦定理より、

 

cos β = 〔{(√3)/2}²+{(√3)/2}²

   -(√2)²〕 / 2・{(√3)/2}²

    = -1/3

∴ sin β =  (2√2)/3

 

よって、対応する正三角形をくっつけた

時、新たに隣接する正三角形のなす面

の角α+βについて、加法定理より、

 

cos (α+β) = (-1/3)×1/3

        ー  {(2√2)/3}×{(2√2)/3}

       = ー1

0°<α+β<360°より、

 α+β=180°

 

よって正四面体において、くっつけた

面の両隣の2面は、正四角錘の2面

(共に正三角形)と平らにつながって

一体化。一つの面へと統合される。

それ以外にも、元の2立体それぞれ

から、くっつけた1面が消滅。

 

∴ (くっつけて出来た立体の面の数)

  =(正四角錘の面の数ー1)

   +(正四面体の面の数ー1)-2

  =5

 

したがって新たな立体は五面体。・・・

 

 

感想  

180917c

 

実はわりと有名な話のようで、検索する

とあちこちに類題や解説がある。上図は

岐阜大学のpdfファイルより。幾何学的

(図形的)な議論を詳しく書いてた

 

私が参加者なら、簡単すぎて

 (5ー1)+(4ー1)=7面

はあり得ないと考えると思う。

その後、飛ばして別の問題に行くか、

直感的に6面とか5面と記入して、

チェックは後回しにするか。

 

正四面体を「2つ」合体させた立体を

2個作って、片方は90°回転させて

正方形の面でくっつけると、1辺2aの

正四面体になるとか解説。興味深い。

 

 

    ☆    ☆    ☆

続いて、最も難しかった問題。全体の

正答率はわずか1%通過者8.2%

全体の「無答」率は70.4%。

 

問題6

x=ω+2i を解にもつ整数係数の

n次方程式のうち、次数が最小でxの

最高次数の係数が1であるものを

求めなさい。ただし、ωはω³=1を

満たす虚数、iは虚数単位を表します。

 

解答 (記述式なら不完全)

ω³=1より、

(ωー1)(ω²+ω+1)=0。

ωは虚数だから、ω²+ω+1=0。

 

ω=xー2iを代入してωを消すと、

(x-2i)²+(xー2i)+1=0

iで整理して、 x²+xー3=(4x+2)i

両辺2乗でiを消すと、

(x²+xー3)²=ー(4x+2)²

∴ x⁴+2x³+11x²+10x+13=0・・・答

 

 

感想

ある程度以上の数学好き、理屈好きなら、

直ちに論証不足だと気付くはず。実際、

私は動画を見ながらすぐ突っ込んだ♪

「次数が最小」ということの説明がない。

 

ただ、予選は最後の答だけ出せばいいし、

ωでさえ3次方程式の解だから、4次で

十分低いと考えて済ませるのが実戦的。

 

本選での解説では、美人教師っぽい(笑)

田中さん(?)が(わざと)間違えて、6次式

を提示。ω³=1を利用してωを消したもの。

 

男性が突っ込んで、「最小」の解説をしてた

けど、あれでは不十分。とりあえず求めた

候補の方程式を因数分解したりして考察

しても、「他に」もっと低い次数の方程式が

ないことまでは示せてない。

 

モニック多項式⇒整数解以外の

有理数解を持たない」という話を付け

加えてたけど、使い方などの説明は無し。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では最後の3問目。全体の正答率

5.3%通過者39.6%。これはわりと

普通の問題で、もう少し時間があれば

解けた人が多かったと思う。

 

問題10

1からn(n≧2)までの相異なるn個の

整数の中から無作為に2個選びます。

大きい数をX、小さい数をYとするとき、

Xの期待値を求めなさい。

 

解答

まず、2個の選び方は全部で nC₂通り。

つまりn(nー1)/2通りで、これらは

同様に確からしい。

 

その内、X=k (2≦k≦n)である

組合せは、Y=1,・・・,kー1の時

だから kー1通り。

 

∴ (X=kである確率)

  =P(X=k)

  =(kー1)/{n(nー1)/2}

  =2(kー1)/n(nー1)

 

∴ (Xの期待値)

 = E(X)

 =∑k・P(X=k) (ただし1≦k≦n)

 ={2/n(nー1)}∑k(kー1)

 ={2/n(nー1)}×

  {n(n+1)(2n+1)/6ーn(n+1)/2}

 =2(n+1)/3 ・・・答

 

 

感想

私の第一感だと、大きい数と小さい数と

言っても、ほんの少しの差でいいから、

XもYもn個の自然数の平均値

(n+1)/2に近いと考えたくなるけど、

Xはかなり大きくなってる。

 

ちなみにYの期待値は(n+1)/3で、

Xの期待値の半分。大きく離れた2つの

期待値の平均が、全体の平均に一致。

 

要するに、2つの数の差の平均が

(n+1)/3で、その半分だけ全体平均

より大きいのがXの期待値、半分だけ

全体平均より小さいのがYの期待値か。

 

なお、この話は、「順序統計量」とか

ベータ分布」へと一般化されるとのこと。

自然数、整数みたいな離散的な確率変数

だけでなく、連続的なものも考える。

 

ともあれ、今日のところはこの辺で。

参加者とスタッフの皆さん、どうも

お疲れさま。。☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

           (計 2972字)

   (追記62字 ; 合計3034字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方 3~ニコリ、朝日新聞(あさひしんぶん)2018.7.21

きょうは、白い丸(しろいまる)と黒い丸

(くろいまる)を一つずつ直線(ちょくせん)

でつなぐパズル、「しろくろつなぎ」

ついてかきます。解き方(ときかた)や

考え方(かんがえかた)、コツです。

 

小学校(しょうがっこう)3年生くらいでも

よめるカンタンな記事(きじ)で、文字

(もじ)をすくなくしてます。スマホでも

読(よ)みやすいと思(おも)います。

 

きのう(2018年7月21日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度

(なんいど)☆2つのしろくろつなぎが

出てました。なんいどは、むずかしさ

のこと。☆2つなら、カンタンです。

 

しろくろつなぎは、きのうで3回目(さん

かいめ)です。1回目のパズルは、

こちらを見(み)てください。2回目の

パズルは、こちらを見てください。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、問題(もんだい)を見ましょう。

 

180722a

 

すぐわかる所(ところ)から、少しずつ

引(ひ)いていきましょう。図(ず)の

端(はし)角(かど)のあたりが

引きやすいです。真ん中(まんなか)

などは、あとまわしにしましょう。

 

180722b_2

 

まず5本だけ引きました。わかりやすい

向(む)きを矢印(やじるし)でかいてます。

 

たとえは①の線(せん)だと、しろまる

からは引きにくいけど、くろまるからは

すぐ引けるのです。

 

しめきりが水曜(すいよう)の午前(ごぜん)

0時だから、ここで説明(せつめい)を

とめます。つづきは明日(あした)月曜

(げつよう)の夜(よる)にかきます。

 

今週(こんしゅう)のブログは

12391字で、すくなめでした。

それでは、またあとで。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もう少しだけ、かきましょう。

 

180723d_2

 

左(ひだり)がわから少(すこ)しずつ

かけば、さいごまでかけます。しろ

とくろ、どちらから引(ひ)けばいい

か、それも考(かんが)えてください。

 

次(つぎ)はもう、土曜(どよう)に

します。ではまた。

 

 

     ☆    ☆    ☆

土曜になったので、さいごの答(こたえ)

までのせます。

 

180728l

 

たての線は、ぜんぶで6本(ほん)でした。

矢印(やじるし)のない線は、どちらから

ひいてもいいです。

 

それでは今回(こんかい)はこれで

終(お)わりにしましょう。。☆彡

   

         (暫定字数 716字)

   (追記 228字 : 合計 944字)

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Wolfram Alpha(ウルフラム・アルファ)日本語版、高校数学の質問にすぐ応答

数学の簡単な問題を解くフリーソフト、システム、プログラムといった

ものは、5年以上前に何か(Maxima=マキシマ?)を少し

オンラインで使って以来、ご無沙汰になってた。

 

英語だし、数式の入力の仕方も分かりにくかったし、出て来た結果

の表示も無味乾燥。慣れれば役に立つだろうけど、慣れるまで使い

続ける気がしないというか、1回試しただけで満足してしまった。

 

それに対して、先日たまたまネットで知った Wolfram Alpha

という質問応答システムは、数学以外もカバーする高性能に加えて、

見やすいデザイン。おまけに2018年6月18日には、数学関連

だけ日本語版が公開されたようだ。公式ツイッターでいきなり、直線

と放物線が囲む面積(高校2年、数学Ⅱ)を解いてみせてる。

 

180708l

 

というわけで、3週間遅れながらちょっと試してみた。以下、簡単に

紹介してみよう。ウルフラムというのは開発者の名前で、英語版

は2009年に開始。ウルフラム言語というものを使うらしい。

 

 

     ☆       ☆       ☆

180708a

 

上図がトップページ上段で、既に言語を英語から日本語に変更

した後。私は基本的にPCを使ってるけど、iPadでモバイル用

ページを見た時には言語を変更する場所が見当たらなかった。

「クエリ」という IT用語は、「質問」と書く方が分かりやすい。

 

180708b

 

わざわざ「高等学校 数学」という項目を作ってるのは、現在の性能

のレベルも関係してそうだけど、有料契約の勧誘もあるだろう。

 

180708k

 

普通の契約(Pro)だと、1ヶ月630円。答を出すまでの、

「ステップごとの解説」とかが加わるそうだ。手軽な家庭教師としては

良さそうだけど、高校生が使うスマホでの使いやすさが問題か。

 

 

    ☆       ☆       ☆

180708m

 

まずは元々サンプルとして挙げられてた、数学Ⅰの因数分解。

「既約因数分解」というのは、この問題では意味がないけど、

複素数範囲で(無理やり)1次式の積まで分解したものらしい。

 

180708c

 

驚いたのが、3Dプロットとか等高線プロット。要するに、元の

x,yの式をzとおいて、3次元の曲面を描いてるのだ。0.1秒♪

因数分解された式から考えて、y=xとかy=-xの時は

z=0となるから、等高線のバツ印の2直線はすぐ納得できる。

等しい高さz=0になるような、点(x,y)の集合ということだ。

 

180708f

 

続いて、分母の有理化。ご丁寧に、小数の近似値とか、最小多項式

まで一瞬で表示してくれる。最小多項式とは要するに、与えられた

数を解として持つn次方程式(右辺は0)の左辺の内、次数が

最低で、最高次の係数が1である式。たまに出題されるものだ。

 

 

     ☆       ☆       ☆

180708g

 

これも凄い。サイコロ5個の目の合計に関する、確率分布と期待値。

1個だったら、

 (1×1/6)+(2×1/6)+・・・+(6×1/6)

=3.5

5個なら5倍で、17.5。

 

180708h

 

ただ、日本語入力の解釈はまだ苦手なようで、「サイコロ5個の

和」とか、「・・・目の合計」とか入力すると処理不能。

「サイコロ5個の和」は、「サイコロ1個の目と、数5、との和」

と解釈してる。だから期待値は3.5+5=8.5なのだ♪

 

180708i

 

とはいえ、放物線の式の頂点やグラフも軽くこなすし、

数学Ⅲの定積分も可能。

 

下は、本来は有料の「ステップごとの解説」を、無料でサンプル表示

したもの。「微積分の基本定理を適用」という説明は余計というか、

書かない方が親切だ。「極限で評価」というのも、「上端のπと下端

の0でそれぞれ計算し」と書くところだろう。どうも、発想が大学以上

の数学になってる。答を枠で囲んで色を付けてるのは、親切。

 

180708j

 

 

     ☆       ☆       ☆

他に、論理学の真理値計算とか真理値表作成もやってくれる優れ

モノで、私が時々使ってるカシオの高精度計算サイトと比べても、

遥か上。とはいえ予想通り、まだまだ一般には普及してない。

 

「ウルフラム」でツイッター検索すると、もっぱら北海道すすきのの

新しいSFバーが話題になってた♪ やはり、理数系マニアよりサブ

カルチャー好きの方が遥かに多いということか。まあ、一部は重複

してるだろうけど。私も含めて♪

 

なお、今週はちょっと少なめ、計13395字で終了。

ではまた来週。。☆彡

 

             (計 1768字)

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