パズル「ナンスケ」の解き方5~難易度4、朝日新聞be

朝日新聞・土曜の別刷beで、昨日(20年4月4日)また、「ナンスケ」というパズルが出ました。制作はニコリです。難易度は4(☆4コ)で、苦戦してる人も多いようです。新型コロナウイルスのせいで、みんな家にいるのでしょう。

       

ナンスケ(ナンバースケルトン)とは、数を並べて作った骨組みという意味。クロスワードパズルの言葉の代わりに、数を入れるのですが、解くためのヒントは、入れる数の候補のみ。

   

このサイトでは今まで4回、解説しています。19年5月11日の問題の記事、6月29日の問題、9月7日の問題、19年10月26日の問題。リンクを付けてるので、クリックとかタップで参考にしてください。

    

   

   ☆    ☆    ☆ 

今回は、次の20コの数が与えられてました。ちょっと多くなってます。

 

(3ケタ)222,234,255,354,423,541

(4ケタ)1237,2343,2455,2775,3423,3523,4234,4542,5232,5353,5543,7374

(5ケタ)77432,77454

    

骨組みを作る盤面は、下の通りです。応募する時の答は、ピンク色の枠のマス目2つに入る数の合計です。今回も、図をクルッと180度回転すると元通りになる、点対称の形。キレイですね♪

   

200405a

   

  

  ☆    ☆    ☆

では、いつものように少しずつ記事を更新しながら、解き方、考え方、攻略法、コツなどを説明して行きましょう。

   

最初に入れるのは、左側と右側に5つ並んだマス目2ヶ所の、最初の3つ。5ケタの数は、77432と77454の2つだけどちらも最初の3つは「774」なので、まず左と右の2ヶ所に774を入れます。少しの候補しかないケタ数(ここでは5ケタ)の共通点を見抜いたのです。

  

次に、左上の横の4ケタは、2番目が7なので、2775です。

      

200405b

  

これに続いて何が書けるでしょうか? 次の更新は、今日(4月5日)の夜にします。ではまた後で。。

   

(☆今わざと途中で止めてます☆)

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小学校『5、6年の楽しいプログラミング ドリルの王様』、問題と解き方2

1ヶ月前、小学生向けの学習参考書『5、6年の楽しいプログラミング ドリルの王様』(新興出版社)について、問題と解き方を紹介する記事を書きました。

   

今日はその続きとして、2本目の記事を書きます。

     

200305a 

  

上の画像は、AMAZON(アマゾン)の通販ページです。同じシリーズで、小学1・2年生用、3・4年生用のドリルもあります。

   

  

    ☆    ☆    ☆

前回も書きましたが、プログラミングとはもともと、コンピューターにやらせたい仕事を上手く分けて、きちんと順序立てて書くことです。

   

そこで書かれたものが、プログラムです。分けること、つなぐこと、順番。この3つがポイントです。

  

前回は、「順序」、「くり返し」、「分岐(ぶんき)」の問題をやりました。今回はまず、「変数」についてです。変数とは、色々と変わるもの(数、言葉)をまとめて表す、特別な言葉や記号のことです。

  

「変数」と呼ばれるものなのに、数とはかぎらないのか? おかしいと思った人もいるでしょうね♪ 実は、もとの英語だと「ヴァリアブル」(variable)だから、「変化するもの」という意味の単語。それを誰かが、変数という日本語に訳したのです。

  

  

    ☆    ☆    ☆  

では、第1問。ドリルの27ページの問題、「13 変数②」。

  

ゆうなさんは、カーテンをつくることにしました。次のメモのとおりに布を切るとき、長さはいくつになりますか?

① 長さ←3  ぬいしろの長さ←2  長さ←長さ+ぬいしろの長さ

   

  

「長さ」という言葉が5回も出て来て、分かりにくいですね。特に、右端の「長さ←長さ+ぬいしろの長さ」という書き方はおかしいような気がします。

   

これはプログラム用の特別な書き方で、「長さ」と「ぬいしろの長さ」という言葉が変数です。矢印(←)の右には、変数に入れるいろんなもの(数、言葉)が書かれてます。本物のコンピューターのプログラムだと、矢印(←)の代わりに、イコール(=)と書きます。

   

もっとフツーの言い方に直すと、こうゆう問題なのです。

「まず、もとの布の『長さ』を3としますこれは出来上がった時のカーテンの長さです。次に、『ぬいしろの長さ』を2とします。最後に必要な布の長さ全体を、『長さ』+『ぬいしろの長さ』とすると、その数は結局いくつですか?」

   

これならもちろん、3+2で、だと分かるでしょう。プログラム独特の書き方になれることが大切なのです。もう1つ、似た問いを解いてみましょう。

  

②  長さはいくつになりますか?

 長さ←9  ぬいしろの長さ←3  長さ←長さ+ぬいしろの長さ

   

  

は、 9+3=12 ですね。

  

  

   ☆    ☆    ☆

ちょっとだけ違うタイプの問いも見ておきましょう。こちらの方が分かりやすい文章だと思います。

  

 ゆうなさんは、布の長さから、カーテンの長さを知るために、次のメモをかきました。

 カーテンの長さ←布の長さ-ぬいしろの長さ

  

 それぞれの長さが次のとき、カーテンの長さは?  

 布の長さ←10  ぬいしろの長さ←3

  

    

さっきは足し算でしたが、今回は引き算。は、 10-3= です。

   

  

   ☆    ☆    ☆

では、第2問。ちょっと中学の算数(「数学」)に近づいてる問題です。「19 関数②」。計算機とか、計算するプログラムのお話です。

  

さくらさんは計算ロボットに、次の命令を覚えさせました

  

 平行四辺形の面積(底辺,高さ)とは

  結果←底辺×高さ

  結果 を表示する

 である。

  

次の命令を実行すると、何が表示されますか

 平行四辺形の面積(2,4)

  

   

    ☆    ☆    ☆

これも書き方が分かりにくいでしょう。ロボットの画面に表示されるのは、底辺の長さ2、高さ4の平行四辺形の面積の数だけです。内部でこっそり計算して、その結果の数字だけが表示されます。

      

まず結果は、底辺×高さだから、2×4=8。そして、この結果を表示するという命令になってます。だから、表示されるのはという数字のみ。これがです。

   

この問題だと、平行四辺形の底辺、高さ、面積の3つが変数です。ただ、底辺と高さから面積を求めてるので、

 面積は底辺と高さに「関係する数」

です。これを縮めて、

 面積は底辺と高さの「関数」

などと言います。今はあまりピンと来なくてもかまいません。くわしくは中学で習う内容です。

   

   

   ☆    ☆    ☆

では、第3問。ドリルの「22 変数⑤」。ここでは、数の計算だけでなく、ロボットの動きが問われます。

  

1番から6番まで、番号がついた6つの家があります。そうたさんは、次のようにロボットに命令しました。

 番号←3

 ピザを配達(番号)

  

このとき、ロボットは3番の家にピザを配達します。  

では、次の命令だと、ロボットはどの番号の家にピザを配達しますか?

  

 番号←1

 ピザを配達(番号)

 番号←番号+3

 ピザを配達(番号)   

 

  

   ☆    ☆    ☆

解くときのコツ、考え方は、4行の命令を、前半2行と後半2行に分けること。命令の前半2行で、ロボットは番号1の家にピザを配達します。

   

後半の2行は、まず「番号←番号+3」と書かれてます。これは、「新しい番号は、前の番号+3とする」という意味。つまり新しい番号は、1+3=4になります。だから、ロボットは番号4の家にピザを配達します。

  

前半と後半を合わせると結局、ロボットがピザを配達するのは、1の家と4の家。これがです。

  

  

    ☆    ☆    ☆

今日のどの問題も、計算はとてもカンタンですね。ただ、書き方が変わってるので、繰り返し練習して、なれることがポイントです。まず、読み取れるようになること。つまり、プログラムを読めること。次に、自分で書けるようになること。つまり、プログラミングできること。

  

新型コロナウイルスのせいで、ずっと家にいる人も多いでしょう。遊びみたいな感じで、勉強も楽しんでください。それでは。。☆彡

   

     (計 2301字)

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パズル「絵むすび」解き方15~小学生向け(難易度4、ニコリ作・朝日be、20年3月21日)

線で同じ絵を結ぶだけ。みんなが楽しめるパズル「絵むすび」については、これまで14本の記事を書いて来ました(本当は他にも少しあります)。どれも朝日新聞(あさひしんぶん)に出てた問題です。

  

3本は小学生向けです。 絵むすびの解き方13(18年5月19日)。解き方12(17年5月2日)。解き方11(16年5月21日)

  

その前の10本と前回の1本は、大人向けです。 第1回2回3回4回5回6回7回8回9回10回14回(19年4月21日)

     

今日は2年ぶりに、子ども向けに書いてみます。考え方、コツ、攻略(こうりゃく)法みたいなもの。3月21日の問題は難易度(なんいど)☆4つ。私は星3コか3.5コだと思いますが、アクセスが多いので、むずかしかったのかも知れません。

  

  

  ☆    ☆    ☆

200322a

   

今回の問題は、6つの絵がどれも「さ」で始まるものでした。サメ(上図では紫の「サ」)、散髪屋(さんぱつや、青の「散」)、サッカーボール(黒の「ボ」)、サクラクレパスのマーカー(赤の「マ」)、桜の花びら(ピンクの「桜」)、サンドイッチ(黄色の「サン」)。

  

春らしい絵の中にサメが入ってるのは、新型コロナウイルスを表してるのだと思います。「サ」で始まるおそろしいものということでしょう。学校もお休みになったし、お花見も中止になってしまいました。

   

   

   ☆    ☆    ☆

ルールはいつもと同じ。すべてのマス目を1回だけ線が通るように、絵を結びます。線の交差(クロス)や枝分かれ、絵の突き抜けはダメ。応募(おうぼ)用のポイントは、☆印をどの線が通るかだけど、解く時に星印は気にしなくていいです。

  

200322b

   

いつものように、まず大きくはなれた2組だけに注目しましょう。特に、角(かど、すみ)とか、端(はし)にあるものをえらぶと分かりやすいです。

   

今回だと、まずサメとサンドイッチの線だけを見ましょう。大まかな線の流れを、点線で引いて考えます。上図のように、サメの線がサンドイッチのマス目の間を通ってしまうと、サンドイッチの線が引けませんね。

  

だから、下図のように、サメの線がサンドイッチのマス目の間を通らないように引くのです。

  

200322c

  

次に、片方が左の角にある、散髪屋(さんぱつや)の絵を見ましょう。

  

200322d

  

上図で、サメの線はどんな感じで引けばいいでしょうか? とりあえず、ここで記事を止めときます。続きは、今日(3月22日・日曜)の夜にまた書き足す予定です。ではまた。。

   

   

   ☆    ☆    ☆

日曜の夜になったので書き足します。

  

200322e

   

サメの線が散髪屋の2マスの間を通ると、散髪屋が結べません。だからサメの線は上図の点線みたいに、散髪屋の2マスの下側あたりを通るはずです。

  

さらに、サメの線と桜の2マスを考えてみましょう。サメの線はどうなってるでしょうか? 次は明日(月曜)の夜に記事を更新(こうしん)します。

  

200322f

  

なお、今週のブログは計12296字で少なめに終了しました。ではまた来週。。☆彡

   

  

   ☆    ☆    ☆

では、月曜の夜になったので、もう少しだけ先に進みましょう。

  

200323d

  

サメの線が、桜の2マスの間を通ってしまうと、桜が結べなくなります。だから上図の点線のように、サメの線は桜2マスの下あたりを通るはずです。

  

200323e

   

では、サメの線と、ボールの2マスとの関係はどうするべきでしょうか? もうかなり答に近づいてるので、次はもう、土曜の正解発表の後に書く予定です。「こうすると、こうなるから・・」というように、少しずつ理屈をつけて論理的に考えてみてください。

   

   

    ☆    ☆    ☆

3月28日(土曜)、正解が発表されたので、最後まで書きます。

  

200328d

  

サメを結ぶ線は、ボールの2マスの間を通れないので、上図のようにクネクネ曲がることになります。ここまで来るともう後はカンタン。正解は下図で、応募用の答は鮫(サメ、3番)でした。それでは。。☆彡

  

200328e

   

     (計 1228字)

(追記 345字 ; 合計 1573字)

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横浜市・浅野中学校の入試問題(算数)と、新型コロナウイルス対策で空ける1m間隔

ネットの朝日新聞デジタルに、今年(2020年)の中学入試の問題が紹介されてました。記述式が目立った、という内容の記事です(宮坂麻子記者)。そこに、時事ネタのような興味深い問題もありました。

  

 「浅野中(横浜市)では、一辺の長さが1センチの正三角形四つからなる、一辺2センチの正三角形の図を提示し、『この三角形の辺または内部のどこに五つの点を置いても、それらのうち、距離が1センチ以下になる点の組が必ず1組以上あることを図を用いて説明しなさい』と、回答欄に図と文章で記述させた。

   

   

    ☆     ☆     ☆

試験日は令和2年2月3日なので、問題を作ったのは12月から1月にかけて、新型コロナウイルスの感染が話題になってた頃かも知れません。何となく、世界中で感染防止のために言われてる「1m、間隔を空けよう」という話を思い出したのです。問題を作成した先生が意識したかどうかは分かりませんけど。

  

200320b

  

例えば福井新聞HPには、上のような図があります。座席の生徒と生徒の間が1m以上離れるように、厚生労働省が勧めてるのです。中国・北京のスーパーやイタリア・ローマの買い物客も、1m間隔で並んでる様子が伝えられてました(下の画像)。医学的には2m以上の方がいいのですが、1mの方が実用的で分かりやすいということでしょう。

  

200320c

  

生徒と生徒の場合、みんながある程度かたまって座る方がいいでしょう。だから、上側の図では正方形の対角線上に並んでいます。それに対して、お互いに知らない買い物客なら、かたまる必要はないので、縦に長く並んだ方が場所をとらないかも知れません(場所の形や面積によります)。

  

浅野中の問題は、そんな事を考えさせてくれるいい問題でした。人間の1m間隔の代わりが、点の1cm間隔。最初、小学生にはむずかし過ぎるのでは?と思いましたが、実際の問題を四谷大塚HPで見ると、前もって誘導の問いが付いてたし、答えの文章の形も与えられてました。それならわりと解きやすかったと思います。では実際の問題を見てみましょう。

   

   

    ☆     ☆     ☆

問題1(5)

200320a

  

(最初の問い) 一辺の長さが1cmの正三角形の辺または内部に2つの点を置くとき、この2つの点の距離がもっとも長くなるような、その距離の長さは、( キ )cmです。

  

(解答) 2つの点の距離がもっとも長くなるのは、それぞれが別の頂点にある時。よって、長さはcm。 ・・・

   

  

(次の問い) 次に、図2のような一辺の長さが2cmの正三角形を考えます。この三角形の辺または内部のどこに5つの点を置いても、それらのうち、距離が1cm以下になる点の組が必ず1組以上あることを図2を用いて説明しなさい。ただし、説明は「どこに5つの点を置いても、・・・・・・」に続くような文で、解答欄に書きなさい。

  

解答例・・・私のもの) どこに5つの点を置いても、少なくとも1組の点は、同じ1つの小さな正三角形(①か②か③か④)の辺または内部にある。なぜなら、小さな正三角形は4つしかないからである。小さな正三角形は一辺1cmだから、前の問いと答えより、その辺または内部にある1組の点は距離が1cm以下になる。説明終了。

   

   

     ☆     ☆     ☆

この問題のポイントは、最初の問いと答えがヒントになってることに気付くこと。そして、図2の大きな正三角形を、小さな正三角形4つに分けるということです。そもそも、一辺の長さが2cmということだけ使うのなら、①②③④という4つの区分はいらないはず。出題者の意図を読み取るのは大切です。

   

さて、中学や高校になると、大きな正三角形の面積の求め方を習います。1.7cm²(平方センチメートル)くらいです。これと同じ面積で正方形や円を考えても、5つの点のどれか1組は距離が1cm以下になるようです。円だとかなり難しいけど、考えてみてください。

  

では、同じ面積内の5つの点の距離を、すべて1cmより大きくするカンタンな方法は? それは、縦か横の一列に長い図形にすればいいのです。例えば、幅0.1cm、長さ17cmの細長い長方形とか。

   

場合によっては二列、三列でもいいのですが、世界で買い物客の行列が長く伸びてるのは、そういった理由があるのでしょう。逆に、なるべく一ヶ所に固まらないようにと言われてるのも、一ヶ所に固まるとどうしても人と人の距離が狭くなるからでしょう。正三角形、正方形、円みたいな場所は、キレイにまとまってるけど、離れるためには不利なのです。

  

算数と世の中は、気づかない形で色々つながってるわけですね。それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

       (計 1880字)

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中国の新型コロナ医学論文、感染リスクが高い血液型はA型、低いのはO型(英語出典付き)

最初に念のために書いておくが、一般に最新の学術論文の結論というものは、単なる1つの仮説とか推測にすぎない。日本人が好きだと言われるABO式血液型と新型コロナウイルス感染との関係も、単なる1つの研究結果。我々の研究チームがあるデータを分析するととりあえずこんな事が導かれたから、他の研究者の追試を望む、ということだ

  

そうしたものは、もちろん後で広く認められて「正しい」学説とされるかも知れないが、否定されて「間違い」だとされる可能性も十分ある。否定された場合、ネットのつぶやき感想なら、「ほら、やっぱりデマだった」とか言われてしまうだろう。

  

200318a

      

というわけで、Yahoo!の映像ランキング(国際)で現在(20年3月18日・夜)1位になってる香港の論文ニュースも、単なる一つの説にすぎない。参考程度のお話なのだ。新型コロナ感染のリスクが高いとされたA型の人は、まだそれほどショックを受ける必要はないし、リスクが低いとされたO型の人も、手洗いを止めるほど喜ぶ話ではない。

   

   

    ☆     ☆     ☆

ただし、その1位になってる「テレビ朝日の映像ニュースをまとめた記事」は、やや不正確な文章だ。

    

200318b

   

 「中国で、驚きの調査結果が発表されました。武漢の感染していない3694人の血液型を調べたところ、O型が34%と最も高く、武漢の感染者1775人では、A型が38%と高かったといいます。つまり、血液型がA型の人は感染リスクが比較的高く、逆にO型の人は比較的低いというのです。」

  

これは間違いではない。しかし、この文章の前半のデータから、後半の感染リスクの高低を導くのは、数学的にちょっと面倒だ。もし大学入試の数学で記述式の証明問題として出せば、かなりの受験生が苦戦するはず。下で示すような、近似や全人数、全入院患者数の仮定は、意外と難しいというか、やりにくくて忘れがちなことだ。

   

   

    ☆     ☆     ☆

では、ANNの映像ニュースではどう報じてたか。

  

200318c

   

武漢で、感染してない3694人の血液型の内、A型は34%、O型は32%。

  

一方、新型コロナ入院患者だと、A型38%、O型25.8%。(注. 元の論文を見ると「入院」患者かどうかまでは不明。)

   

  

   ☆     ☆     ☆

映像では数式や計算までは示してないが、これらの数値から、血液型別の患者の割合を計算してみよう。(入院?)患者というのは、全体の人数のごく一部に過ぎないから、感染してない血液型の割合が、全体の血液型の割合を示すと考えてよい(近似)。全人数をp人全入院患者数をq人とする。

   

A型において、(患者数/全人数)=0.38q/0.34p≒1.1q/p

O型について、(患者数/全人数)=0.258q/0.32p≒0.81q/p

  

∴ (A型における患者の割合)÷(O型における患者の割合)≒1.1/0.81≒1.4

  

つまり、A型はO型の4割増しで危険ということになる。もちろん、どちらも確率的にはかなり低いし、あくまで1つの研究結果にすぎないので念のため。ちなみに、B型とAB型はほんの少し平均よりリスクが高い程度だから、統計学的には誤差の範囲だろう。

  

  

    ☆     ☆     ☆

そもそも日本では、血液型別の性格占いを「非科学的」とする批判が昔から強いので(心理学、科学論)、注意する必要がある。ここでは、元の英語論文も引用しとこう。私が自分で英語検索して探し当てた。

  

健康科学のためのプレプリント(査読前論文)を置くサーバー、medRxiv(医学情報集積所)。まだ「peer-review」を受けてない、つまり査読(研究者仲間によるチェック)を受けてない論文だと、最初に明記してある。執筆者は、Jiao Zhao、Yan Yang、Han-Ping Huang氏ら。韓国の中央日報(日本語版)によると、チームを率いるのは王行環(Xinghuan Wang)。

  

200318d

   

 Relationship between the ABO Blood Group and the COVID-19 Susceptibility

 ABO式血液グループとCOVID-19(新型コロナ感染症)の感受性(影響されやすさ)との関係

   

200318e

   

実際の原論文にはもちろん、ニュース報道になかったことまで書いてある。他の人々や、死亡者についても調べてみたらしい。

   

200318f

   

上が分かりやすい結論部分。残念ながら時間切れなので、今日はこの辺で。くれぐれも、下の軽いSNSつぶやきみたいな行動は避けるように。。☆彡

   

200318g

   

      (計 1815字)

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『頭脳王2020』、太陽がなくなったら地球の温度は何度か&宇宙の星M13へのメッセージ解読(0、1の二進法)

(☆2月19日の追記: アラビア語&くさび形文字の記事を新たにアップ

 『頭脳王2020』、「世界で一番長い川は?」&世界最古のなぞなぞ )

   

   

毎年、日本テレビ『頭脳王』の放送前後はウチへの検索アクセスが急増する。アクセス解析を見てると、一部の視聴者は番組に疑問を感じてるようだ。否定的な感想は色々あるだろうけど、例えば、問題が難しいし解答も早過ぎるからヤラセではないか?というような不満とか。

    

決定戦の出場者が、超有名大学やタレント並みの有名人だらけになってるのは単なる偶然とも思えないけど、疑う証拠は特に無いから、とりあえずスルーしとこう(情報バラエティの演出の範囲だと思う)。

      

問題と解答に関して言うと、前から書いてるように、そもそも実は見た目ほど難しくないということもある。その典型が、これから解く地球の温度の問題で、河野はわずか数秒で解答したほど。昨日の記事に書いたフランスへのキック速度やサニブラウン地球一周時間も、かなり簡単な計算なのだ。

  

それ以外に分かっとくべきことは、放送は極端に編集されてるということ。途中でゲストが、収録時間は10時間とかつぶやいてたけど、それを実質の放送時間で100分にまとめてるとすれば、100分÷600分=1/6。実際の進行には、出場者の紹介映像もゲストの表情も関係ないから、8分の1くらいには短縮されてるはず。

  

ということは、誰も解けなかった問題、間違いだらけだった問題の方が多かったはず。解けた問題の映像と驚嘆するゲストの反応だけつないで編集・放送してるから、おかしいと思ってしまうほどの超人的活躍になってるわけだ。

   

    

    ☆     ☆     ☆

ではまず、昨日の記事では解説しなかった決勝戦の計算問題1つ。「要するに、230÷3」とだけ書いておいた。もう少し書くと、私なら-200+(230÷3)と暗算する。

   

200216a

  

もしも太陽がなくなったら10年後に地球の温度は何度になる?

  

条件 ☆宇宙空間の組成比は水素100%  地球の地殻の組成比は二酸化ケイ素100%

☆水素と二酸化ケイ素の温度が一葉になるよう十分に時間がたったと考える

☆水素と二酸化ケイ素の内部エネルギー以外の変化は無視

☆水素は熱容量2×10²⁵ J/K 温度-200℃

☆二酸化ケイ素は熱容量1×10²⁵ J/K 温度30℃

☆摂氏温度で小数第2位を四捨五入し小数第1位まで答える

   

  

(解答) 宇宙の温度が上昇、地球の温度が下降して、同じ温度になる。

宇宙の水素の熱容量は、地球の二酸化ケイ素の熱容量の2倍。つまり、宇宙は地球の2倍、温度が変化しにくいので、-200℃ と 30℃を結ぶ線分を1:2に内分する点が答の温度。

 ∴ {2×(-200)+1×30}/3

 =(-400+30)/3

 =-123.3℃ ・・・答

   

200216d

   

   

    ☆     ☆     ☆   

ちなみに、河野は上の最後の2行しか書いてないから、一瞬で回答。

  

200216b

  

それに対して、木戸は問題文につられて関係ないことをホワイトボードに書いてるから、遅かったのだ。分子の記号H₂、SiO₂。比率の100%。温度T₁、T₂、T。熱容量の具体的な数値。摂氏の記号「℃」。どれも回答には必要ない。

 

200216c

   

   

    ☆     ☆     ☆

続いて、河野だけ正解して木戸が間違えた、ヘルクレス座「M13」へのメッセージ。木戸は、似てるけど別の話と誤解して、「アルタイル」へのメッセージだと回答してた。

   

200216e

   

「このメッセージは人類が宇宙のある天体に向けて送ったもの その天体の名前を答えなさい」

   

上の画面の0、1は一番最初の部分で、まだ延々と下に続いて行く。これは「アレシボ・メッセージ」と呼ばれるもので、1974年にアレシボ電波望遠鏡の改装式典で送られた電波。作ったのは、映像に写真と名前が出てた天文学者フランク・ドレイクたち。

   

この信号の解読までは番組でやらなかったけど、実は意外と簡単に読み取れる。上図は、我々の地球人は「数」とか「数字」というものを使ってるんだよ、と伝えてるのだ。伝わるかどうか、向こうに知的生命体がいるかどうかはさておき♪

   

   

    ☆     ☆     ☆

200216f

  

ちょっと見にくいが、上図で青い丸で囲んだ部分が数。上から下へ、あるいは右上から左下へと0、1の並びを読み取る。

  

すると、縦に1列ずつ「0000」で間を空けながら、左から順に、「001」、「010」、「011」、「100」、「101」、「110」、「111」、「001000」、「001001」、「001010」と読み取れる。

  

これを二進法で書かれた数(二進数)と見て、普通の十進法の数(十進数)に直すと、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10となる。

  

例えば、

101 → 1×2²+1×2⁰ =5

001010 → 1×2³+1×2¹=10

   

   

    ☆     ☆     ☆

横1行空けた下側の中央には、遺伝子DNAの要素として、水素H、炭素C、窒素N、酸素O、リンPの原子番号1、6、7、8、15が書かれてる。下は英語版ウィキペディアより

   

200216g

    

メッセージの全体は、もし分かりやすく色付けするなら、下のようになるらしい。上部の紫の部分が、上の5元素HCNOPの原子番号と対応してる箇所(上図の1と下図の紫が対応)。人間の形くらいなら理解してもらえるかも。まあでも、本気のメッセージというより、科学者の知的ファンタジーとかSFアートの類かも。

  

200216h

   

   

     ☆     ☆     ☆

なお、3次の不定方程式x³+y³+z³=42の整数解でものすごく長いx、y、zの値が答になってた。

   

常識的には、覚えてるはずないだろと言いたくなるけど、まあ日本一のレベルなら覚えてるのかも。もっと遥かに長い円周率の数字を覚えてる人もいるのが現実。

    

しかも、わりと最近(2019年9月)、数学者の間で話題になった世界的ニュースなのだ。英語版ウィキの「Sum of three cubes」(3つの立方の和)という項目に載ってた。より一般的には、ディオファントス方程式の一種で、ニコニコニュースにも結構詳しく出てたほど。

      

200216i

  

x=-80538738812075974

y= 80435758145817515

z= 12602123297335631

      

200216j

       

世界中のコンピューターを連結して、のべ130万時間の計算で発見したらしい。大変な努力だけど、ガリレオシリーズ『容疑者Xの献身』の数学者・石神なら、「美しくない」とボヤくかも♪

   

実は今年の『頭脳王』で一番気になってるのはアラビア語の読み方なんだけどな・・とか思いつつ、今週は計15310字で終了。ちょっと制限字数をオーバーした。ではまた来週。。☆彡

   

     (計 2629字)

 (追記67字 ; 合計2696字)

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日テレ『頭脳王2020』、日本からフランス凱旋門へのキックの時速&富士山サニブラウンの地球一周時間

(☆翌日の追記: もう2本、決定戦の記事をアップした。

『頭脳王2020』、太陽がなくなったら地球の温度は&宇宙の星M13へのメッセージ(0、1の二進法)

『頭脳王』、アラビア語解読(世界で一番長い川)&世界最古のなぞなぞ(くさび形文字) )

   

   

日本テレビ『頭脳王2020』決定戦。日曜の30分PR番組の内容だと、東大医学部の神脳・河野玄斗の3連覇かと思ったけど、京大医学部の賢者・木戸直人が見事にリベンジ優勝。

   

予選参加者16万3602人。最後2人の優勝決定戦は、延長戦にもつれ込んで面白かった。木戸はあくまで冷静な表情を崩さず、昔の頭脳王・水上颯に似たクール路線かも。 河野ファンの女子の方々も、ラストで神脳が苦悶する表情をリピートして、何度でも快楽を味わえるはず♪ 

   

200215c

      

毎年、数本の解説記事をアップしてるブロガーとしても、今年は問題数が多かったのか(?)、放送中に休憩できる時間が少なくて苦悶してしまった。スポンサーCMが少なめだったのかな・・とか、心配するほど。

    

とにかく、まずは理数系のマニアック問題を2問、数式付きで解説しとこう。物理力というより、数学・算数の計算力。流石に河野はアッと言う間に正解を出してた。あれなら確かに、センター試験の数ⅠAを8分で全問正解しそうだ。計算の河野、知識の木戸って感じか。

  

計算問題は量的に少ないから、木戸が有利なのは当然かも。おまけに、今年の決定戦の理数系問題はやや単純で簡単だったから、新王者・木戸の誕生を狙った演出上の配慮があった可能性はある。太陽がなくなった10年後の地球の温度という問題も、難問に見えて完全なこけおどし。単位の意味さえ理解できてれば暗算ですぐ答えられる。要するに、230÷3なのだ♪

   

    

    ☆     ☆     ☆

では1問目。去年流行ったラグビー関連の問題。高校1年くらいの物理(力学)で、解き方はいくつかある。時間の短さを除くと、難易度的にはセンター試験と同程度だ。ここでは「速度」と「速さ」は区別してないので念のため。

     

200215a

      

ロボットが高速キックを放ち日本からフランスの凱旋門をくぐらせるにはキックの時点でボールが時速何kmの必要がある?

  

条件 ☆東京スタジアムから凱旋門までの距離は9800km

☆東京とパリは平面上にある 重力加速度は9.8m/s²

☆空気抵抗・ボールの耐久性は無視

☆仰角45度で蹴り上げる

☆ボールの初速度を小数第1位を四捨五入して整数値で答えること

  

  

(解答) 初速度は水平方向にx(m/s)、垂直方向にもx(m/s)として、後で斜めに合成する。sは秒。

まず、到着時における垂直方向の高さの方程式は、時間をt(秒)として、

xt-4.9t²=0 (等加速度直線運動

∴t(x-4.9t)=0

よってフランスに着地して高さ0mになる時

 x-4.9t=0

∴ t=x/4.9

  

よって、水平方向等速運動の距離の方程式は

 xt=x(x/4.9)=9800000(m)

∴ x²=(4900)²×2

∴ x=√2×4900

  

したがって、水平方向xと垂直方向xを合成した斜め45度の初速度は、時間を表す単位をhとして、

 √2x=2×4900

   =9800(m/s)

   =9800×3600(m/h)

   =35280000(m/h)

   =35280(km/h)

  

答. 時速35280km

   

   

     ☆     ☆     ☆

続いて2問目、東京五輪関連。こっちの方が簡単で、小学校の算数の問題。河野がすぐ正解を書いた後、木戸も続いてた。

  

200215b

     

サニブラウン選手の身長が富士山と同じ高さになったら地球1周するのにどれくらいの時間かかる?

  

条件 ☆通常の大きさのサニブラウン選手は100mを9.97秒

☆地球1周は40000km

☆サニブラウンの身長は188.8cm  富士山の高さは3776m

☆走る速さは身長に比例

☆〇分〇秒の形で答える

☆四捨五入は行わず一の位まで正確に計算

  

  

(解答)

3776m=377600cm

    =188.8cm×2000

    

よって、サニブラウンが富士山の高さになると、速さは2000倍になるから、9.97秒で走る距離は

 100m×2000=200000m

      =200km

  

したがって、地球一周40000kmを走るのにかかる時間は

 (40000/200)×9.97(秒)

   =200×9.97(秒)

   =1994(秒)

   =33分14秒 ・・・答

   

   

    ☆     ☆     ☆

後でもう1本、今年の頭脳王の記事をアップする予定。お馴染みのタイプの問題については、去年までの記事で既に説明してある。積み上げた立方体の体積、数列15パズル、ジグソーパズル不足ピースなどについては、下のリンクの過去記事で説明済み。どれもすぐ解けるように作られてるのだ。

   

今年、番組のオンエア中にアクセスが集中したのは、はさみ将棋みたいなコンピューター対戦ゲーム(準決勝)の分析記事。あれは要するに、コンピューターのソフト(orアプリ)が弱いのだ。その前の立体三目並べの時も、コンピューターは弱かった。多分、来年はまた違うゲームへと変更されると思う。

   

それでは今日はこの辺で。。☆彡

    

     

cf. 『頭脳王2021』謎解き問題(1次予選)、解き方(ネタバレ控えめ

 『頭脳王2016』、太陽にシャトルが届く時間&立方体の体積の解説

 『頭脳王2016』解説2~大谷ホームラン飛距離、数列8パズル、ジグソー不足ピース

 『頭脳王2019』解説2~ジグソー、数列15パズル、太陽光発電&地球中心落下

 『頭脳王2019』解説3~はさみ将棋チェス(新考察コンピューターゲーム)

   

      (計 2205字)

  (追記36字 ; 2241字)

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小屋の窓から入る太陽光と展開図~開成中2020年入試・算数・問題4の解き方

今年も朝日新聞・朝刊に、開成中学の算数の入試問題が載(の)ってました(20年2月5日)。SAPIX(サピックス)の広告で、問題と最後の答はありますが、解き方や考え方はありません。四谷大塚HPも同様です。

 

そこで、最後の図形問題だけ解説してみましょう。とても難しくて面倒なので、少しずつじっくり考える必要があります。ちなみに、今年の灘中の図形問題については先日、記事をアップ済み。過去の開成や桜蔭についても記事を書いてます。

  

 5人のカードゲームと背理法~開成2019入試

 三角形の相似から四角形の面積比へ~18問題1

 三角形の相似と比の応用~17入試・算数・問題3

  

 3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中19入試

 円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭18入試

 3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間~16入試

 ランニング(5人のリレー)の距離~15入試

  

  

    ☆     ☆     ☆

では、ちょっと長い問題文を引用しましょう。図は元のものを借ります。

  

問題4 (図1)のように、1辺の長さが5mの立方体の小屋ABCDEFGHがあります。小屋の側面ABFEには[窓穴1]が、小屋の上面EFGHには[窓穴2]があり、外の光が入るようになっています。

 

200206c

  

そして、この小屋の展開図は(図2)のようになっています。

  

200206d

  

晴天の日のある時刻においてこの小屋の床面ABCDで日の当たっている部分は、次の(図3)の斜線部分でした。このとき、小屋の中で他の面の日に当たっている部分を解答用紙の展開図に斜線を用いて示しなさい。

  

200206e

  

 

(解答) 窓の四隅の点をギリギリ通る太陽光が、どの面のどの点に当たるかを考えて、後は線で真っ直ぐつなげばよい窓穴の辺を通る光は、辺と当たる面とが平行な場合、辺と同じ長さの平行線になる。また、辺と当たる面とが垂直な場合、斜めの線になる(左右・前後・上下の方向に対して)。

       

図1の左下の点Aから他の点を見て、右に何マス、奥に何マス、上に何マス進んでるかを考え、(右3,奥5,上4)などと表すことにする。1マスは50cmだが、長さの単位は答に不要だから考えない。

  

200206f

  

まず、与えられた斜線部から、太陽光の性質を考える。窓穴1の左上の点(右2,奥0,上7)を通る光は、床面の点(右9,奥7,上0)に当たっている。また、窓穴1の左下の点(右2,奥0,上3)だと、床面の点(右5,奥3,上0)になっている。

  

つまり、光が右に1進む時、奥に1,下に1、進んでいる。

  

200206g

  

よって、窓穴1の右上の点(右8,奥0,上7)と対応する面BCGFの点をまず(右10,奥  ,上  )と書いて考えると、光の性質からその点は、(右10,奥2,上5)だとわかる。

  

また、窓穴1の右下の点(右8,奥0,上3)と対応する面BCGFの点をまず(右10,奥  ,上  )と書いて考えると、(右10,奥2,上1)だとわかる。

  

さらに、問題で与えられた斜線と合わせると、窓穴1から入る光は結局、下の展開図の斜線部に当たる。

   

200206i

   

   

    ☆     ☆     ☆

200206h

  

次に、上面の窓穴2の点(右2,奥3,上10)だと、奥の面DCGHの点(右  ,奥10,上  )になると書いて考えれば、点(右9,奥10,上3)だと分かる。

  

窓穴2の点(右2,奥7,上10)だと、まず点(右  ,奥10,上  )と書いて考えれば、点(右5,奥10,上7)だと分かる。

  

ただし、窓穴2の右側の2点(右8,奥3,上10)と(右8,奥7,上10)で同じように計算すると、それぞれ(右15,奥10,上3)、(右11,奥10,上7)となってしまい、奥の面の右側にはみ出してしまう。

   

よって、窓穴2の右側の2点(右8,奥3,上10)(右8,奥7,上10) を通る光は、右の面BFGCに当たる。対応する点をそれぞれ(右10,奥  ,上  )、(右10,奥  ,上  )と書いて考えると、それぞれ(右10,奥5,上8)(右10,奥9,上8)だと分かる。

  

最後に、展開図の面DCGHとBFGCにおいて、同じ点がどこかに注意すると、窓穴2から入る光は、下の展開図の斜線部に当たることになる(2ヶ所に離れる)。面DCGHを先に考えた後、面BFGCを考えると分かりやすい。

      

200206j

   

  

    ☆     ☆     ☆

結局、窓穴1と2で考えると、斜線部の全体は下の通り(・・)。

      

200206k

    

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

      (計 1757字)

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灘中学校2020年入試、算数の図形問題の解き方、考え方

たまたまネットで、灘(なだ)中学校の算数の入試問題(2020年)を見かけたので、解き方をカンタンな記事にしてみます。

    

今まで、開成中や桜蔭中は記事にしてましたが、灘は初めてで、問題を見たのも小学校以来、ひさしぶりのこと。「灘」という漢字は「難しい」という漢字に似てるし、本当にむずかしいですね。

     

毎日新聞HPの記事では、SAPIX(サピックス)が作った「解答」例がついてましたが、最後の答の数字だけでした。ここでは図形の問題について、私が自分で解いた時の考え方、コツ、線の引き方などを紹介します。元の図だけ、引用させて頂きます。

  

灘中は2日続けて試験をするようで、今回見たものは初日(1月18日・土曜)の算数1のようです。翌日の算数2では、もう少し論理的に考えさせるような問題になってました(四谷大塚HPに掲載されてます)。

  

灘中のHPによると、今年の算数1では、受験者の平均点が55点、合格者の平均点が72点でした。去年の平均点が低過ぎたので、問題を簡単にしたようですが、今年も十分ハイレベルです。大学受験生や大学生でも、苦戦する人がほとんどのはず。

   

   

    ☆     ☆     ☆

では、試験を見てみましょう。私が一番むずかしいと感じた問題は、最後の11番でした。

  

200201a

  

展開図が右(ここでは上)の図のような立体の体積は、すべての面が1辺の長さ1cmの正三角形からなる三角すいの体積の    倍です。ただし、印・をつけた角の大きさはすべて60°です。

   

この立体は、1辺6cmの三角すいの一部分が欠けたもので、下の赤線で囲まれた形です。頭の中だけだとイメージしにくいので、欠けてない三角すいを元にして、その内側に書き加えると分かりやすいでしょう。

  

200201b

   

これは、1辺4cmの三角すいを2つ合体させたものと考えられます。ただし、1辺2cmの三角すいの部分が重なります。

   

200201c

  

200201d

  

200201e

   

1辺4cmの三角すいの体積は、1辺1cmの三角すいの4×4×4倍、つまり64倍です。また、1辺2cmの三角すいの体積は、1辺1cmの三角すいの2×2×2倍、つまり8倍です。

  

だから、求める立体の体積は、1辺1cmの三角すいの、「64×2-8」倍、つまり、「120」倍です(答)。

   

2つの図形の形が、拡大・縮小したものになってる時、面積だと、「4×4」倍とか。体積だと、「4×4×4」倍とかになります。

   

これは本当は中学校の「数学」で、図形の「相似」について習う内容ですが、難関中学の入試ではフツーに使うようですね。他の図形の問題も、中学3年生がやるようなレベルになってました。

    

   

    ☆     ☆     ☆

他の図形の問題については、ヒントだけにしておきます。みなさん、自分で挑戦してみてください。

  

7番は普通なので飛ばします。8番三角形ABCの面積と、6個の正方形の面積の和を求める問題でした。図形の拡大・縮小の関係を使います。最後の式と答は一番下にまとめて書きます。

  

200201f

   

9番は、私が二番目にむずかしいと思った問題です。四角形ACDEの面積は、三角形ABCの面積の何倍か? 図形の形の「合同」を使います。補助的(ほじょてき)な線の引き方も迷う所でしょう。

   

200201g
   

10番は、台形ABCD(厚さを無視できる薄い板)を、斜めの辺CDの周りに回転させた時の、通過する部分の体積円周率は3と1/7とします。大学の入試問題みたいに見えますが、線をうまく補(おぎな)うと、大きな直角三角形を回転させた体積から、小さな直角三角形を回転させた体積を引いたものになります。

       

200201h

   

      

    ☆     ☆     ☆

では、最後に答だけ。8番(28/3)×7/2=(32と2/3)。21+21×(3/7)×(3/7)=(24と6/7)。

  

9番。9/5+7/5=3.2

   

10番。(4.8×4.8×22/7×10×1/3)-(4.8×4.8×22/7×10×1/3) × (1/2)×(1/2)×(1/2)=211.2

   

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

      (計 1602字)

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ペアノの公理、自然数の加法(足し算)、結合法則の証明~論文『算術原理』(1889年)

イタリアの数学者ペアノの『算術の諸原理』(ARITHMETICES PRINCIPIA、ラテン語)と題する論文が先駆的で重要なのは、6年ほど前から分かってたが、詳しく調べたのは1年前のことで、今まで記事を書いてなかった。既に10年前から、小学校から大学レベルまで一通りの記事は揃えて来たという思いもあった。

  

ただ、以前と変わらず英語圏でも、算数や数学の基礎理論を原書に基づいて具体的にとらえ直す作業は非常に少ないようなので、久しぶりに書いてみよう。既にアップしてある12本の記事(以下、参照)との重複はなるべく避けるよう心掛ける。最も読まれてるのは、素朴な疑問から始めてる1本目の記事だ。

     

 「1+1=2」はなぜか?~ペアノの自然数論(足し算)

 「1×1=1」はなぜか?~ペアノの自然数論2(掛け算)

 自然数に関するペアノの公理~論文『数の概念について』に即して

 引き算の証明、負の数~ペアノの整数論(減算=減法)

 集合論における自然数の表記と計算

 0、1、「次の数」に関する哲学的考察~フレーゲ『算術の基礎』

 デデキントの「切断」による実数の構成~対角線論法2

 「1+1=2」はなぜか~小学1年生の算数の教科書

 引き算、足し引き連続、0(ゼロ)~小学1年生の算数2

 掛け算の導入、足し算・引き算との関係~小学校の算数3

 同じ数ずつ分ける計算、割り算(除法)~小学校の算数4

 原始リカーシヴ関数と足し算(加法)、掛け算(乗法)

   

  

    ☆     ☆     ☆

まず、「算術の諸原理」(算術原理と略記)と、当サイトで10年前に扱った論文「数の概念について」(1891年)との関係について。「数の概念について」の冒頭で、本人が次のように説明してた。小野勝次・梅沢敏郎訳、共立出版の日本語訳より引用。

  

 私の「算術原理」の中で私は正の整数、分数および無理数の理論を論理学の式によって表現した。しかし、演算(函数)の理論の大要を紹介することによって、数のある性質を他のより一般的なものに帰着させることができ、またより簡明な形で取り扱うことができることになる。

    

要するに、2年後の論文「数の概念」の方が一般的なのだ。例えば加法(足し算)を考える時にも、他の似た演算をまとめた一般論を語る形になってる。それが「より簡明」かどうかは読み手の主観の問題も大きいが、一般性を求めて前進(または変化)してるのは確かだ。

  

いわゆる「ペアノの公理」(英 Peano axioms)の書き方も違って、「算術原理」では9つの「公理」を冒頭に掲げてるが、「数の概念」では5つの「原始命題」になってる。つまり、性質が異なる4つは別扱いする形で、数にとって本質的な5つのみを残してたわけで、実際、現在の数学でもこの5つをペアノの公理とすることが多いという指摘もある(英語版ウィキペディア)。「数の概念」の訳本もその立場となってる。

  

とはいえ、「算術原理」の方が2年早いし、こちらの方が英語圏では有名なようで、題名の影響もあるのかも知れない。ともあれ、この論文の冒頭を見てみよう。ラテン語の原書は Internet Archive で公開中。副題は「NOVA METHODO EXPOSITA」(新しい方式で提示された)。

  

200129a

  

なお、英訳をネット上で2種類発見したが、片方は数人の個人による草稿で未完成(論理的誤りもある)、もう片方は著作権の扱いが不明だから、リンクは付けないことにする。

   

      

     ☆     ☆     ☆

200129b

  

論文の最初で、論理学を準備して、ここからが算術(または算数)の話。最初に「公理」が9つ並んでる。複数形 Axiomata. だから、正確に訳すと「諸公理」。公理系とまで訳してしまうと、訳し過ぎだろう。

  

書き方、表記法が独特で、慣れるまでは読みにくくて分かりにくい。いちいち「.」(ピリオド)で区切るし、その次の区切りは「:」、さらに「∴」「::」と区切っていく。点の数が1コ、2コ、3コ、4コと変化するから、ペアノ本人にとっては規則的で分かりやすいのだろう。「⊃」は「ならば」と訳すが、本来は、前から後ろが「演えきされる」という意味だ。

   

200129c

  

1. 1εN. (1は、あるNだ。 ; 1はNのある要素だ。)

 (引用者による注) 上の左側の訳がペアノ自身の説明に即したものだが、以下では分かりやすさのため「・・の要素」と略記。ただし9を除く。

2. aεN.⊃.a=a. (aがNの要素ならば、a=a。)

3. a,b,cεN.⊃:a=b.=.b=a. (a、b、cがNの要素ならば、a=bとb=aは同じことだ。)

 (注) cは関係ないので、次の4の始めと混同した入力ミス。

    

4. a,bεN.⊃ ∴ a=b.b=c:⊃.a=c. (a、bがNの要素ならば、a=bかつb=cならa=c。)

 (注) 最初にcを入れるのを忘れたミス。上の注も参照。

5. a=b.bεN:⊃.aεN. (a=b、かつbがNの要素ならば、aはNの要素。)  

6. aεN.⊃.a+1εN. (aがNの要素ならば、a+1はNの要素。)   

7. a,bεN.⊃:a=b.=.a+1=b+1. (a、bがNの要素ならば、a=bとa+1=b+1は同じことだ。)

 (注) +という演算、写像は1対1の対応だということ。

   

8. aεN.⊃.a+1 ─= 1. (aがNの要素ならば、a+1=1でない。)

 (注) 横線は否定(ノット)の意味。今なら¬などの記号を用いる。要するに、1がNの最初の要素で、1+1、(1+1)+1・・・と続くということ。

9. kεK ∴ 1εk ∴ xεN.xεk:⊃x.x+1εk::⊃.N⊃k. (kがある集合で、1はkの要素で、任意のxについてそれがNとKの要素ならx+1もkの要素であるならば、Nはkに含まれる。)

 (注) いわゆる数学的帰納法のこと。「任意の・・」を小文字の添え字で表すのは、省略されることが多いが、ここでは「⊃x」と書き添えてある。

   

   

     ☆     ☆     ☆

2年後の「数の概念について」では、上で「+1」と書いてる所は単なる「+」になる。つまり、+という記号は二項演算とか2変数関数というより、一項に対する右作用演算になり、「+」を1回行う演算が「+1」とされる。「+」を2回続けて行う演算が「+2」。

   

一方、「算術原理」におけるペアノの「+」や加法(足し算)の扱いは、普通の感覚に近い。まず、1に続く2、3、4、・・・といった自然数を、+1の足し算の形式で定義する。公理に続く「Definitiones.」(諸定義)。1行にまとめられた定義なのに複数形のタイトルを付ける辺りも、日本人にとっては細かく感じられる。

  

 10 定義 2=1+1 ; 3=2+1 ; 4=3+1 ; etc.

   

上の最後の無限に続く箇所を「etc.」(エトセトラ)で済ませていいのかどうか気になるが、必要なら、5=4+1、6=5+1と増やせばよいということか。

   

少し飛ばして、いよいよ加法の定義に向かおう。原文には「加法の」という言葉は付いてないし、「Definitio.」だから単数形。つまり、既に何度も使われてる「+1」を除く加法は、1つの定義で済ませてる。

  

 18 a,bεN.⊃.a+(b+1)=(a+b)+1 (a、bが自然数ならば、a+(b+1)は(a+b)+1で定義される。)

   

 

   

    ☆     ☆     ☆

上の足し算の定義の意味や意義は、実際に足し算の証明をしてみるとよく分かる。以下、ペアノの証明法に近いやり方で、私が証明しておく。

  

1+2=3の証明

1+2=1+(1+1) (2の定義)

   =(1+1)+1 (加法の定義)

   =2+1     (2の定義)

   =3       (3の定義) 

           (証明終)

   

2+3=5の証明

2+3=2+(2+1) (3の定義)

   =(2+2)+1 (加法の定義)

   =(2+(1+1))+1 (2の定義)

   =((2+1)+1)+1 (加法の定義)

   =(3+1)+1  (3の定義)

   =4+1  (4の定義)

   =5   (5の定義)

         (証明終)

   

  

要するに、加法の定義を1回使うごとに、右側で足す数が1ずつ小さくなるのだ。1+2=3の証明では、加法の定義を1回使って、1+1(=2)へと帰着させる。2+3=5の証明では、加法の定義を2回使って、2+1(=3)へと帰着させる。

   

ちなみに、ペアノに似せた現代的なシステムだと、普通は0も自然数と考えて、「+0」へと帰着させる。例えば、1+2=3の証明なら、加法の定義を2回用いて、1+0(=1)へと帰着させることになる。

 

   

    ☆     ☆     ☆

では最後に、加法の結合法則の証明を行う。ペアノ自身の書き方は分かりにくいし、補足的説明も必要だから、ここでは私がわりとペアノに似た形で証明する。以下、a、b、cはNの要素。cに関する数学的帰納法を用いる。

   

a+(b+c)=(a+b)+cの証明

 a+(b+1)=(a+b)+1 (加法の定義) 

 a+(b+c)=(a+b)+c と仮定すると、

 a+(b+(c+1))

=a+((b+c)+1) (加法の定義)

=(a+(b+c))+1 (加法の定義)

=((a+b)+c)+1 (仮定)

=(a+b)+(c+1) (加法の定義)

 

公理9(数学的帰納法)により、

すべての自然数cについて、

a+(b+c)=(a+b)+c

          (証明終)

   

   

   ☆     ☆     ☆

上の仮定で、普通はc=kで成り立つと仮定すると・・などと書く所だが、ペアノは元の文字cのままで書くので、それを尊重した。文脈を作る接続詞が無いのも特徴。あと、ペアノ本人は、a+b+cを(a+b)+cで定義した後、a+(b+c)=a+b+cを証明してた(定理の23番、下図)。

  

200129d

        

この後また、別の記事も追加しようと思ってる。とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

   

        (計 3871字)

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