「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、数学ⅡB・第3問(数列、薬を飲む量と時間間隔)の解説

「大学入学共通テスト」第1回試行調査(プレテスト)については、

既に国語の記事、数学ⅠAの記事を書いた。今日は、数学ⅡB

の記事を書いてみよう。

 

問題・解答その他、情報はすべて大学入試センターHPで公開

されてる。以下で扱う第3問は一応、選択問題だが、実際はほぼ

全員が選択。

 

要するに、これだけ統計とかビッグデータの重要性が強調される

時代になっても、相変わらず大部分の高校生は正規分布などの

統計を避けるわけだ。高校教育のあり方や授業の進め方、大学

入試問題の傾向が問われるべきかも知れない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

この問題には数値記入があるが、文章の記述は入ってない。ただ、

内容的にも難易度的にも良問だと思う。少し難しめといった感じで、

誘導も適切。あえて注文を付けるなら、薬の名前のDという文字は

紛らわしいだけだろう。無い方が親切だ。

 

正答率は、簡単な前半は高いが、難しくなる後半は低い。選択肢

が一部に付いてることなどを考慮すると、後半は実質的に正答者

ゼロに近いが、数ⅠAほど極端な不出来にはなってない。

 

日常的な実用性もある問題で、要するに、薬を毎回飲むのは面倒

だが、まとめ飲みは効率が悪い、ということ。ただし、2回まとめて

飲むくらいなら大丈夫なように、安全性も配慮して作られてるのだ。

 

もちろん、まとめ飲みはしないのが原則なので、念のため。間が

空き過ぎると、途中で薬の効果が不足することになるし、まとめて

飲んだ直後には副作用が強まってしまうから。

 

      ☆        ☆        ☆

171213a

 

171213b

 

171213c

 

(1) a(1)、つまり1回目の服用直後の血中濃度はP。すなわち、5。

    a(1)= ・・・アの答

 

  薬の濃度が1/2になる12時間ごとに、濃度が5増えるのだから、  

  a(n+1) = ()a(n)+ ・・・イ、ウ、エ

 

171213d

 

公式より、各項から引くと等比数列になるような定数は、

 d=(漸化式の定数項)/〔1-{a(n)の係数}〕

  =5/(1-1/2)

  =10 ・・・オ、カ

 

 a(n)-10=(1/2){a(n)-10}

 よって{a(n)-10}は公比の等比数列。 ・・・キ、ク

 

階差数列をとるなら、

 a(n+2)-a(n+1)=(1/2){a(n+1)-a(n)}

  ∴ (公比)=1/2 ・・・ケ、コ

 

考え方1の方を使うと、

 a(n)-10=(1/2)(n-1乗){a(1)-10}

       =(1/2)(n-1乗)(-5)

 ∴ a(n)=10)(n-1乗)

       ・・・サ、シ、ス、セ、ソ

 

 

(2)

171213e

 

(1)で求めた一般項a(n)の式より、a(n)の値は常に10未満。

つまり、常にL=40を下回る。

よって、0番と1番は誤りで、2番は正しい。

 

また、2回目の服用直前、濃度が最も下がってる時でさえ、

 a(2)-5=(10-5×1/2)-5=2.5

よって、常に濃度はM=2を上回るので、

3番は正しくて、4番と5番は誤り。

 

したがって答は、と3番。 ・・・

 

 

(3)

171213f

 

(1)と同様に考えると、24時間ごとに濃度が1/4になるから、

 b(n+1)=(1/4)b(n)+5

 ∴ b(n)-20/3=(1/4){b(n)-20/3}

 ∴ b(n)=(1/4)(n-1乗){b(1)-20/3}+20/3

      =20/3-5/3(1/4)(n-1乗)

 ∴ b(n+1)-P=5/3-5/3(1/4)(n乗)

 

一方、a(2n+1)-5=5-5(1/2)(2n乗)

            =5-5(1/4)(n乗)

 

 ∴ {b(n+1)-P}/{a(2n+1)-P}

     =3 ・・・チ、ツ

 

 

(4)

171213g

 

24時間ごとにk錠飲む場合の、n回目の服用直後の濃度を

c(n)とすると、(1)(3)と同様に考えて、

 c(n+1)=(1/4)c(n)+5k

 ∴ c(n)=

    (1/4)(n-1乗)(-5k/3)+20k/3

 ∴ (24n時間経過後の服用直前の濃度)

   =(n+1回目の服用直前の濃度)

   =c(n+1)-5k

   =5k/3-5k/3(1/4)(n乗)

 

(3)より、これは12時間ごとに1錠飲む場合の(k/3)倍。

 これが1倍になる時、 k= ・・・

 

この時、

 (n回目の服用直後の濃度)

   =c(n)

   =20-5(1/4)(n-1乗)

 

これは常に20未満なので、L=40を超えることはない。

したがって、正しいのは番。 ・・・

 

 

     ☆        ☆        ☆

2回分のまとめ飲みをする場合は、「ある意味」、3倍の量が必要

になるというのは面白い結果だ。

 

ちなみに私は、基本的に2回以上のまとめ飲みはしない。飲み

忘れた時はそのままにするか、次回に1.5回分くらい飲む。

効き目が強い場合は、少し時間を空けて、1回分+0.5回分に

分けて飲むとか。もちろん、お勧めはしないので念のため。

 

最後のテとトは、真面目に計算しなくても、直前の(3)から想像が

つく。元の量のままだと3分の1の濃度になってしまうから、3倍飲む

ということだし、その程度で許容範囲を超えるとは常識的に思えない。

 

もっと言うなら、(3)とも無関係に、単なる勘でも正答できるだろう。

それはそれで、高い評価に値する能力だと思う。  

では、今日のところはこの辺で。。☆彡

 

               (計 2108字)

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「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、数学ⅠA・第3問(高速道路の確率)の解説

先日は国語について記事を書いたので、今日は数学Ⅰ・数学Aに

ついて書くことにしよう。大学入試センターの公式サイトで公開中

 

私自身の感覚だと、どれも面白くてよく考えられた問題だ。現代性

や日常性も考慮されてて労作だと思う。しかし、全国の普通の高校

2年生、3年生は、難しい、あるいは大変だと感じただろう。

 

まだマークシート部分の採点だけなので、いずれ記述式の設問の

採点が終わると事態はますます明らかになると思う。「共通テスト」

なのに、「上級テスト」のような結果になってる。

 

 

      ☆        ☆        ☆

必答2問、選択2問、合計4問で70分という時間は、あの問題文だと

かなり短い。特に、問題1(10ページ)問題2(8ページ)は文章が

長いから、読むだけでも大変。それぞれ4分の1の時間(17分30秒)

だと、肝心の考える時間が足りなくなってしまう。

 

171209b

 

だから、最初で時間を使ってしまって、後の方の問題にしわ寄せが

来るのではないか。第2問(Tシャツと2次関数、統計・データ分析)

の中盤以降の正答率はかなり低いし(10%前後が4ヶ所)、以下で

扱う第3問(選択率68%)の正答率も、最初以外10~20%(上図)。

 

特に最後の設問は、四択(四者択一)だから、でたらめに選んでも

正答率25%のはずなのに、実際は12%。ということは全滅に近い

わけで、流石に「良問すぎた」ということか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

とにかく、私が一番面白いと思った第3問(場合の数と確率・統計)

を見てみよう。高速道路の渋滞をなるべく少なくする話で、システム

工学とか応用数学の分野だ。似たような話に、道路の信号の制御

などがある。

 

171209a

 

図の下のA地点から上のB地点に向かう高速道路では、中央を

真っ直ぐ行く経路(A→C→D→B)がメインだが、3ヶ所に分岐点

がある。渋滞の表示がなければ、上のような確率で選択される。

 

分岐点で片方の道路だけに渋滞の表示がある時には、そちらを

選択する確率がもとの2/3へと減少する。

 

 

      ☆        ☆        ☆

おそらく、そう書けば多少は正答率が上がると思うが、実際の問題

文はわざと読みにくい表現で書かれてるのだ。もちろん、図に確率

の書き込みはないし、やや凝り過ぎで複雑過ぎる出題かも知れない。

 

例えば、3地点の調査日を別にする必要はないし、書く必要もない。

「いずれにも渋滞中の表示がある場合」という説明も、むしろ無い

方が生徒の誤解が減るかも。

 

171209c

 

171209d

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは、解答と解説、感想を書いていこう。

 

(1)は、渋滞中の表示がない場合に、A地点で道路①を選択する

確率。私が図に書き込んだように、答は12/13。問題文を読み

取って、約分する。

 

(2)は、渋滞中の表示がない場合、D地点を通過する確率。

 (A→C→Dと進む確率)=(12/13)×(7/8)

             = 21/26

 (A→E→Dと進む確率)=(1/13)×(1/2)

             = 1/26

 ∴ (Dを通過する確率)= 21/26 + 1/26

             = 11/13 ・・・答

 

(3)は、渋滞中の表示がない場合、D地点を通過した車がE地点

を通過していた確率。原因の確率の公式(ベイズの定理)より、

 

 (D地点を通過した車が、E地点を通過していた確率)

   = (E→Dと進む確率)

       ÷{(C→Dと進む確率)+(E→Dと進む確率)}

   = (1/26)÷(21/26+1/26)

   = 1/22 ・・・答

 

もちろん、原因の確率の公式は苦手な生徒が多いので、直感的に

 (21/26):(1/26)=21:1  ∴ 1/22

と出す方が実戦的だと思う。

最後に1と21を足すのを忘れて、「1/21」と答えてしまう生徒が

少なくないだろうが。

 

 

      ☆        ☆        ☆

(4)は、道路①のみ渋滞中の表示がある時、D地点を通過する確率。

 

 (道路①を選択する確率)=(12/13)×2/3

              = 8/13

 ∴ (道路④を選択する確率)=1-8/13

              = 5/13

 

 ∴ (Dを通過する確率)

    =(A→C→Dと進む確率)+(A→E→Dと進む確率)

    = (8/13)×(7/8)+(5/13)×(1/2)

    = 7/13 + 5/26

    = 19/26 ・・・答

 

道路①を選択する確率が減る時、道路④を選択する確率が増す

のを忘れないのがポイント。

 

 

      ☆        ☆        ☆

そして最後の(5)、(6)。問題設定が難しくなる。

ある日(5月13日)の車を計1560台と想定。各道路の通過台数

は1000台以下に留めたい。

 

(5)は、まず渋滞中の表示がない場合、道路①を通過する台数。

 1560×12/13 = 1440(台) ・・・答

 

そこで、道路①に渋滞の表示を出すと、①を通過する台数は、

 1440×2/3 = 960(台) ・・・答

 

(6)は、選択肢となる図が4つ与えられてる。

 

171209e

 

直感的に考えると間違えそうなので、真面目にすべて計算する方

がいいだろう。実戦的には、とりあえず勘で何か答えた後、最後に

余った時間で取り組むべき所だ。

 

0番と1番は、道路③で1000台制限を超えるので失敗。

2番と3番を比較すると、答は3番になる。

 

171209f

 

(道路①でA→Cと進む車)=960(台)

(道路②でC→Dと進む車)=960×(7/8)×(2/3)

            = 560(台)

(道路④でA→Eと進む車)=1560-960=600(台)

(道路⑤でE→Bと進む車)=600×(1/2)×2/3

            = 200(台)

(道路⑥でE→Dと進む車)=600-200=400(台)

(道路③でD→Bと進む車)=560+400=960(台)

 

∴ (道路①②③を通過する車の合計)

    = 960+560+960

    = 2480(台)

 

計算自体は小学校レベルだが、問題文を理解して、4つの図で

この計算をするのは面倒。実質的に全滅状態に近くなったのも

うなづける。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171209g

 

念のため、公式サイトの正解も引用。基本的には良問だから、

文章をもう少し簡潔にして、計算量を少し減らせばいい。

 

この問題、よく読むと、本当は渋滞してないのに「渋滞」と表示する

場合があるような内容になってるのが気になる♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 「大学入学共通テスト」試行調査(プレテスト)、

  数学ⅡB・第3問(数列、薬を飲む量と時間間隔)の解説

 

   「大学入学共通テスト」試行調査、

      国語・第1問(部活動)の解説・感想

 

               (計 2536字)

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子供向けコーディング言語「LOGO」50周年、プログラミング・ゲーム(Googleホリデーロゴ)

今日(2017年12月5日)のGoogleホリデーロゴは、一部で人気

のようだ。私も途中から本気で考えて、一応最後までクリアしたけど、

まだ完全な正解(別解も含めた最適解と証明)にはたどり着いてない。

小学校からやり直すべきかも♪ パステル系の青緑は好きな色だ。

 

171205a

 

上図が、「子供のコーディング50周年記念」のスタート画面。私の

Windows10パソコンとIE11の組合せだと、プレイボタンが表示

されない。Chromeにするか、iPad Proだと表示された。

 

「コーディング」というのは聞き慣れない言葉だけど、「coding」。

つまり、コード(記号)にすることを指してる。特に、コンピューター

に対する指令だと、普通は「プログラミング」と言う所。

 

 子供向けのコーディング言語「LOGO」が1967年、パパート 

 らによって開発されたから、今年でちょうど50周年

 

こういった情報を加えると、同種のサイトは(ほとんど)見当たらなく

なる♪ ネットでは、問題を解くことと、「最小移動回数」という言葉

の意味に夢中のようだ。最小パネル数とか最小コード数という意味

であって、「移動」の数ではない。

 

私は何とか、「最小移動回数」という誤訳に近い日本語訳の元の

英語を表示させようと頑張ってみたけど、成功してない。クローム

の言語設定を英語にしても、ゲームでは日本語表示になってしまう

のだ。アクセス端末の位置を認識して、言語を切り替えてるのか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171205b

 

とにかく1問目。一番下の指示用アイコン(連結できるパネル)を、

ドラッグで入力欄に移動。ウサギがニンジンを全て食べれるように

プログラミングする。

 

右に進む矢印(→)を2つ並べれば答。「進む、進む」。

 

前に当サイトで記事を書いた「スクラッチ」という子供向け言語

似てると思ったら、その通りだった。今日のDoodle(ホリデー

ロゴ)の開発には、MITのScratch研究者が参加してると英語

の説明に書いてある。

 

171205c 

 

 

      ☆        ☆        ☆

171205d

 

2問目。アイコンに右90度回転が加わっただけで、まだ簡単。

 進む、進む、右回転、進む、進む

合計5つのアイコン、つまり、5回の命令で成功。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171205e

 

3問目ループ(繰返し、循環)アイコンが加わったから、上のように

挟みこむ形で使うと、全部で4つのアイコンで済む。ループ・アイコン

の下に書いてる数字は最初から「4」で、左右から挟み込んだ命令

を4回繰返すという意味。

 

  4回繰返し(進む、進む、右回転)

 

つまり、 進・進・右・進・進・右・進・進・右・進・進・右。

最後の「進・右」が余るけど、別に気にしなくていいようだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171205g

 

4問目。ここから、最小回数の制限が厳しくなる。この問題は7回

となってて、ループを二重に使う必要があるのだ。アイコンを上手く

置く必要もある。

 

二重ループについては3年前、プログラミング記事で書いてる

ループの回数を自分で入力できることが分かったので、「2回」

ループを使用。4回のままでもいいけど、後半2回がムダなので。

  

 2回繰返し(4回繰返し(左回転、進む、進む)左回転、左回転)

 

つまり、 左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・左

     左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・左

 

他にも答はあるけど、それが何通りあるのか、あるいは最小命令

回数が何回なのかはまだ不明。別解の1つは次の通り。

 

 2回 (4回 (進・進・右) 右、右)

 

 

      ☆        ☆        ☆

171205h

 

5問目。これは図形的に、小さい正方形が4つ合体したものだから、

1つ1つの処理を4回繰返せばいい。ただし、小さい正方形を1つ

処理する度に、左回転。

 

 4回(4回(左・進・進)左)

 

つまり、左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・進・進・左

    左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・進・進・左

    左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・進・進・左

    左・進・進・左・進・進・左・進・進・左・進・進・左

 

指定された回数6回で済んだが、最小かどうかはまだ不明。数学的

証明も面倒だ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171205i

 

そして最終ステージ、6問目。何度も向きを変えることになるので、

指定された最小回数6回を守るのはなかなか難しい。ウサギが前に

進めなくなった時は足踏みして止まってくれるので、多めに移動する

技を利用。

 

 13回 (3回 (進) 右)

 

つまり、

 

  進・進・進・右・進・進・進・右・進・進・進・右・進・進・進・右・

  進・進・進・右・進・進・進・右・進・進・進・右・進・進・進・右・

  進・進・進・右・進・進・進・右・進・進・進・右・進・進・進・右・

  進・進・進・右

 

これが最小回数であるのは、何とか証明できそうだけど、単純

過ぎるし読者がいないだろうから省略♪ 要するに、4回以下の

組合せをしらみつぶしに調べて、比較すればいい。ただ、ループ

の回数の変化を考えるのが厄介か。。

 

 

     ☆        ☆        ☆   

171205k

 

全問、最小回数をクリアすると、メダルが6つ揃う。単なるクリア

だと、明るい色に輝いてくれないのだ。

 

171205j

 

最後はお庭で仲良く、ケーキパーティー♪ 子供向けプログラミング

教材として、出来がいいなと感心した。普通の大人向けとしても適度

で面白い。まあ成人男性向けなら、キャラクターは美少女とかの方が

嬉しいかも。米国は、その種の発想があんまし無いような気もする。

 

というより、日本の文化が特殊なのか♪ ではまた明日。。☆彡

 

               (計 2242字)

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簡単な「最大カット問題」~NTT量子ニューラルネットワーク(QNN)のクラウド

明日は早朝からフルマラソンだし、もう時間切れだ。とりあえずの

ブログ記事だけまとめとこう。2週間ほど前から予告されてたNTT

の量子ニューラルネットワーク(QNN)が、ネット経由のクラウド

システムとして公開された。Quantum Neural

 Networkという英語の略だ。

 

当初の予定通りなら、公開は11月27日だが、私が思い出したのは

今日(12月2日)。まだシステム全体をあまり理解してないが、一般

向けのゲームの遊び方は一応分かった。

 

5回試して、5回とも正解(コンピューターと同じ答)にたどりつけたが、

点数評価(重みづけ?)の仕方がまだ分かってない。ひょっとすると、

それぞれの問題や、1つの問題を解く段階ごとに、計算方法とか

評価関数が異なるのかも知れない。

 

自分で少しずつ解いてる間に、+1、-1といった数値が瞬間的に

映るので、プロセスを動画撮影して分析する必要がある。

 

 

      ☆        ☆        ☆

さて、「最大カット問題」(Max-Cut問題)とは何か。NTTの

説明はこうなってる。

 

 複数のノード(点)と、ノードを結ぶエッジ(線)からなるグラフに

 おいて、ノード群を2つの部分集合に分割する際、異なる

 グループに属するノード間に張られたエッジの数が最大となる

 分け方を求める問題。

 

説明の前半は分かるが、後半の「グループ」が何を指すのかは曖昧

だ。もともと点に種類があって種類別にグループ分けされてるのでは

なく、直前の「部分集合」2つのことを指してるのだろうと思う。

 

ネット上の他の説明も探してみたが、なかなか分かりやすい説明が

見当たらないので、今日の所はあまりこだわらず、ゲームに向かおう。

 

 

     ☆        ☆        ☆

171202a

 

QNN cloudのサイトは、Windows10パソコンで見ても

iPad Proで見てもちょっと不安定で、不自然な映り方になった。

私の個人的環境の問題かも知れないが、まだ開発途中のベータ版

に近いのかも。最初は英語表示だったから、日本語に切り替えた。

 

トップページの中段で「PLAYGROUND」と書かれた箇所を

クリックまたはタップすると、チャレンジ問題が出て来る。私が挑戦

した5回は、すべて違う問題だった。

 

 

      ☆        ☆        ☆ 

171202b

 

「子供たちの関係を見ながら、できるだけ仲が悪いもの同士が

 同じバスとならないようにバスAとバスBに振り分けてみましょう。」

 

この問題文の意味がまた曖昧で不十分。仲が悪いものを別にする

のが最優先するという意味なのか。あるいは、仲が悪いものを別に

することと、仲が良いものを一緒にすることは、同じ評価点なのか。

「関係がない」2人の扱いがどう評価されるのかもハッキリしない。

最大カット問題の説明だと、線があるか無いかどちらかのはずだが。

 

171202c

 

細かいことは気にせず、仲が悪いものを離して、良いものを一緒に

すると、上のような正解に到達できた。左がコンピューター、右が

私の解答。 

 

赤線の両端、つまり仲良し同士は、すべて同じバスへとグループ

分けされてる。1番と5番、5番と3番はバスA。2番と4番はバスB。

 

一方、グレー(灰色)の線の両端、つまり仲が悪い者同士はすべて

別のバスに乗る。1番と4番、5番と4番、5番と2番、4番と3番。

 

仲が悪い者も、仲が良い者も、完全に区別できるので、最も単純

なタイプの問題だろう。ただ、「車内の円満度5」の計算方法は

まだ不明。上手く分けると+1、上手く行ってないと-1かと

思ったら、そうではないようだ。それだと円満度8になってしまう。

 

 

      ☆        ☆        ☆

171202d

 

では2問目。エッジ(線)が4本しかないから、簡単だろう。正解は

下の通り。これも、仲が悪い者は別のバス、仲が良い者は同じバス、

完全な分け方。他に完全な分け方は無いから、点数とは無関係に

正解となる。ただ、「車内の円満度3」の計算は分からない。私なら

これは、上手く分けた線が5本だから、+5と計算したくなる。

 

171202e

 

 

      ☆        ☆        ☆

171202f

 

3問目。これは仲が良いという関係が無い問題で、おそらく元の

数学的な最大カット問題に近いパターンだろう。点と点の関係は、

線があるか無いか、どちらかになってる。

 

ただし、「三角形」が2つ出来てるので、仲が悪い者同士も多少は

同じバスに入れるしかない。正解は下図。仲が悪いのに同じバス

に乗るのは、1番と5番にすればいい。これは、扱いにくい三角形

の共通の辺でもある。

 

171202g

 

 

       ☆        ☆        ☆

4問目は一番簡単で、4本しか線がないから、正解図のみ紹介。

一番上だけBに替えるとどうなるのか、調べるのを忘れてしまった。

あるいは、一番上はAのまま、左2つをBに、右2つをAに替えると

どうなるのか。それもまた正解だろうと思う。

 

171202h

 

 

そして最後はもう、問題だけにしよう。力試しにどうぞ。

 

171202i

 

解けない場合は、何度も元のHPを再読み込み(リロード)すれば、

いつかは出るはず。問題の種類の数は、全部で59049通りある。

不眠不休で試せば、数日以内に発見できるだろう♪

 

5人から2人を選ぶ組合せの数は、

 5C2=(5×4)÷(2×1)=10通り。

 

それぞれ、仲が悪いか良いか、関係がないかで、3通りの変化が

ある。よって、

 (3の10乗)=59049通り。

 

1本も線が無い場合は問題になってないと考えるなら、1通りだけ

差し引いて、59048通りだ。それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

               (計 2210字)

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パズル「推理」、表を使わずに答を出す解き方(ニコリ作、朝日be、難易度4、17年11月18日)

このブログでは既に、朝日新聞・朝刊別刷beのパズル「推理」の

記事を6本書いてる。

 

大人向け、パソコン向けが3本(1本目2本目3本目)。

子ども向け、スマホ向けが3本(1本目2本目3本目)。

 

他に、同じタイプの問題として、アインシュタイン式論理脳ドリル

簡単な記事もある。

 

今回は前回(子ども向けの3本目)に続いて、表を使わない解き方

を解説してみよう。ただし、今回は大人向け、PC向けの記事で、

考え方、コツ、攻略法みたいなものだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

2017年11月18日掲載、ニコリ作の問題には、いつものように表と

イラストが添えられてた。既に丸2日経過、新聞の販売への影響は

ほとんど無いと思うが、著作権に配慮して、縮小コピーにしてある。

ウチへのアクセス数が多いから、苦戦してる人が多いようだ。

 

171120a

 

 目黒くん 自分は14人の部。演劇部ではない。

 吉田さん 私はテニス部。写真部は9人ではない。

 川島さん わたしの部は吉田の部より部員数が少ない。

 井上くん ぼくがいる部は、水泳部より2人以上部員数が多い。

 水野さん 陸上部より演劇部の方が5人多い。私はどちらでもない。

 

 

これまで繰り返し説明して来たように、表の書き込み方は慣れると

単純で、フツーは表を使った方が楽だと思う。ただ、表を使って解け

という指示はないし、要するに答だけ分かれば応募も可能。

 

そこで以下では表を使わずに解く。私自身は一応、ペンも紙も使わず

頭の中だけで解いたけど、正直、難易度☆4つだから頭がモヤモヤ

してしまった。パソコンに例えるとメモリー不足だろう。脳トレにしても、

ちょっとややこしいので、簡単なメモを書きながら解く方がお勧めだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

では、吉田さんのテニス部は何人なのか、そこに焦点を絞って、

少しずつ論理的に考えてみよう。

 

(1) 目黒くんの部は14人で、部活動が同じ人はいないし、部員数

   もそれぞれ違うから、テニス部は14人ではない

 

(2) 川島さんの部は、吉田さんのテニス部より人数が少ない。

   よって、テニス部の人数は、一番少ない9人ではない

 

 

続いて、テニス部が10人だと仮定すると、どうなるか。いつもの

ように、ここから先は締切(明日の24時)までに少しずつ更新して

いこう。次回の更新は、今日の夜遅くの予定。ではまた。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

では、夜になったので、最初の更新をしよう。

 

(3) テニス部が10人と仮定してみると、陸上部が15人、演劇部

   が20人のはず。目黒くんの部が14人だから、水野さんの部は

   残った9人の部となる。すると、川島さんの部はどうなるか?

 

次は明日の夜、更新して、あとは土曜日まで追記しないことにしよう。

ではまた。。 

 

 

      ☆        ☆        ☆

11月21日の夜になったので、2回目の更新をしよう。

 

川島さんは、吉田さんのテニス部(10人)より部員数が少ない部

だから、9人の部のはず。ところが、水野さんと同じになってしまう。

よって、テニス部は10人ではない

 

次回の更新はもう、25日(土曜)の発表後にする。ではまた。。

 

 

     ☆        ☆        ☆

では、25日になって正解(答と表)が発表されたので、最後の更新

をする。既にテニス部は14人、9人、10人ではないと分かった。

 

(4) テニス部が15人と仮定してみる。すると、陸上部と演劇部

   の組合せが決められない。10人と15人、15人と20人だと、

   片方がテニス部だからダメ。9人が陸上で14人が演劇だと、

   目黒くんの発言(14人は演劇部ではない)と矛盾してしまう。

   よって、テニス部は15人ではない

 

(5) 以上より、テニス部は残った20人だと答えるのが普通で、

   ほとんどの場合はそれでOK。ただ、問題の作成ミスで答が

   1つも無いという場合も一応考えられるので、確認しとこう。

 

   吉田さんのテニス部が20人とすると、陸上部が10人、

   演劇部が15人。写真部は9人ではないので14人、水泳部

   が9人となる。

 

   井上くんは、9人の水泳部より2人以上多い部だから、15人

   の演劇部しかない。水野さんは陸上でも演劇でもないので、

   水泳部のはず。最後に残った陸上部が川島さん。まとめると

   以下の通り。

 

   目黒くん 写真部  14人

   吉田さん テニス部 20人

   川島さん 陸上部  10人

   井上くん 演劇部  15人

   水野さん 水泳部   9人

 

   これらは確かに、5人の証言をすべて満たしてる。したがって、

   テニス部は20人。

 

   ちなみに最後の確認は論理的には、必要条件として求めた

   答の候補が十分条件になってるかどうか、十分性をチェック

   したことになる。高校数学(1年か2年)の内容だ。

   それでは、今回はこの辺で。。☆彡

 

            (計 1876字)

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Abema『72時間テレビ』の7400万アクセス、視聴率を計算すると何%か

今日こそ、文芸記事をアップしようと思ってたのに、まだしばらく仕事

が終わらない (^^ゞ とりあえず今日の分のブログ記事として、わりと

ラクに書けるマニアックな話を選ぶことにした。

 

先日、Abema TVのライブ動画で丸3日間にわたって放送された、

稲垣・草彅・香取の『72時間ホンネテレビ』。総視聴数は約7400万

で、大勢の人が見たという受け取り方が多かったと思う。

 

ただ、今日(2017年11月17日)の朝日新聞・朝刊を見ると、こう

書いてあった。

 

 「社内で数字を分析したあるキー局の社員

 『視聴率に直すと、そんなもんかという数字』と話す。」

 

朝日新聞デジタルに掲載された、松谷創一郎のインタビュー記事も、

「正直、7400万アクセスという数字は、思ったより大したことは 

なかった」、と書いてる。

 

ところが、視聴率に換算する具体的方法や計算は、ネットのどこにも

まだ書かれてないような気がする。もちろん、詳細なデータが無いと

正確な話はできないけど、仮定をおきながら試しに計算してみよう。

新たなデータが出て来たら、それも加味して修正すればいい。

 

 

      ☆        ☆        ☆

まず、人間の生活リズムは24時間単位だから、72時間で7400万

という数字を、24時間で2500万と考えてみよう。

 

次に、視聴数2500万は何人か?と考えたくなるが、人数は直接的

には関係ない。

 

簡単な例だと、2人合わせて4回アクセスして、1回ごとに1時間見た

場合、合計4時間見たことになる。この合計時間が問題であって、

どちらが何回とか何時間とかいう内訳の話は、全体の視聴率には

直接関係ない。

 

ちなみに、人数が気になってしまうのは、1人が4回アクセスした場合

なら細切れになって、1回あたりの視聴時間が短くなるような気が

するからだろう。それなら、2人の合計時間で考えればいいのだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

先に進もう。ファンではない一般男性の私の場合、24時間だと、

3回アクセスして、1回あたり平均30分見たような感じだった。仮に

これが平均的な視聴者だとしてみよう。

 

視聴数3回で、1時間半見たことになるから、2500万回だと、

 (2500万÷3)×1.5=12500000 (時間)

 

あるいは、同じことだけど、1回あたり0.5時間だから、

 2500万×0.5=12500000 (時間)

 

一方、日本国民を1億2500万人とすると、全員のすべての時間は

 125000000×24 (時間)

 

よって、24時間の平均の「個人」視聴率は、

 

 12500000÷(125000000×24)

  =1/240

  ≒0.004

  ≒0.4 (%)  

   (注. この計算方法については、記事の最後で解説。)

 

普通の視聴率は「世帯」視聴率であって、これは「個人」視聴率の

1.5倍くらいだから、

 

 (世帯視聴率)≒0.4×1.5

          ≒0.6 (%)

 

 

      ☆        ☆        ☆

ちなみに、地上波キー局(NHK、日テレなど)の「全日視聴率」

6時-24時)で6%前後。だから、深夜と早朝も含めた24時間

の平均視聴率で、単なる動画が0.6%としたら、健闘と言っていい。

 

この半分の0.3%としても、健闘だろう。そもそもアベマなんて、

お年寄りの多くは知らないはず。あるいは、聞いたことがあっても

見方が分からないとか。そういった状況で獲得した数字なのだ。

 

ただ、今回は非常に特別な企画だったし、まだ主要テレビ局から

見るとケタ違いに低い数字だから、「そんなもんか」という反応でも

おかしくはない。

 

もちろん、この計算の仮定にご不満がある方(熱烈なファンとか)は、

別の仮定で計算してもいいと思う♪ 要するに、1回の視聴数ごとに

どれだけの時間見たか。そこが重要なのだ。

 

フツーの地上波テレビだと、一つの番組が実質45分くらいだから、

1回45分と計算してもいい。その場合、最終的な視聴率は、

1回30分だったのを45分に直したのだから、1.5倍となる。

つまり、0.6×1.5=0.9%

 

 

      ☆        ☆        ☆  

いずれにせよ、ジャニーズ事務所を出たばかりの3人が出演した

動画テレビとしては、十分な成功だろう。その点はほぼ意見が一致

してると思うし、私もそう思う。

 

今後の活躍は読みにくいけど、とりあえず香取のアートの才能は

本物だと感じてる。私は一目で、いいね!と感心した。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

 

 

P.S. 途中の個人視聴率0.4を導く計算式を見て、

   「視聴者数÷人口じゃないの?」

   と思った人のために、数学的な理由を解説しとこう。

 

   24時間平均の視聴者数が分からないから、テクニカルな

   式変形を利用する。正確で細かい単位は省略しておいた。

 

 24時間平均の個人視聴率

  =(24時間平均の個人数)÷全人口

  =(平均個人数×24時間)÷(全人口×24時間)

  ={(人数×時間の合計)÷24時間}×24時間

      ÷(全人口×24時間)

  =(人数×時間の合計)÷(全人口×24時間)

  ={人数×回数×(1回ごとの時間)}÷(全人口×24時間)

  ={(全アクセス回数×(1回ごとの時間)}÷(全人口×24時間)

 

 ∴ (2500万×0.5時間)÷(125000000×24)

     =1/240

     ≒0.4%

 

                (計 2084字)

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気体の状態方程式、熱気球、ピストンと仕事~物理の問題と解き方8

問題文を書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要問題

集』シリーズ、第8弾。何と4ヶ月も間が空いてしまったが、今回も

数研出版が集めた過去の大学入試問題を解説してみよう。

 

今回、ずいぶん間が空いたのは、この単元の内容がどうもピンと

来ないからだ。熱気球の上昇と下降、ピストン運動、断熱膨張など、

何の値が固定されてて何が変化するのか、どうやって変化させてる

のか、自分で実験したこともないし問題文でも説明が不十分。まあ、

それが自分で想像できるのも物理の実力ということか。

 

これまでの7本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事は色々あ

るし、数学カテゴリーには多数の記事がある。相変わらずアクセス

は地味に続いてるので、受験生その他の需要はあるようだ。

 

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

 等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

 単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

 物体の衝突、運動量保存法則、はねかえり係数~物理6

 温度と熱量、熱容量、比熱~物理7

 

今回は第8章、気体分子の運動(p.48~)のA問題から3問。化学

に近い分野でもあるので、私自身も含め、化学があまり好きでない

人は苦手意識を持ちやすいと思う。

 

いつものように、式や説明は私が書いたもの。読みやすさと入力

環境のため、小文字を大文字に変えたり、添え字を小文字に変え

たりしてるが、言葉遣いは元のままだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 76 (気体定数の計算) 関西学院大

 

 1molの理想気体は、標準状態でその体積は22.4Lと

 なる。この事実から気体定数を〔J/mol・K〕の単位で

 導け。有効数字は2桁まで計算せよ。1atmでは一端を

 封じた長さ約1mのガラス管に水銀を満たし、そのガラス

 菅を水銀の入った容器に、開口部を下にして鉛直に

 立てると、ガラス管の上部に空間を生じる。ガラス管内

 の水銀面は水銀容器の水銀面からの距離、すなわち

 水銀柱の高さは76cmである事を利用せよ。また水銀

 の比重は13.6であり、重力の加速度を9.8m/s²

 とせよ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (大気圧)=(ガラス管内の水銀の重さがもたらす圧力)

      =(管内の水銀の重力)/断面積S(m²)

      =(体積)×(単位体積あたりの質量)×

         ×(重力加速度)/S

      =0.76×13600×9.8

      ≒101300 (N/m²)

 

 この値を、気体の状態方程式に代入すると、

  101300×0.0224=1×R×273

  ∴ R≒8.3 (J/mol・K) ・・・答

 

 

 (解説・感想)

 非常に有名な実験だから、ほとんどの人は知ってる

 だろうし、結果の値も有名で、受験生なら暗記してる

 のが普通。

 ということは、途中の式で単位の換算ができてるか

 どうかが採点のポイントになる。すべてmks単位系

 で揃えればよい。長さはメートル、質量はkg。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 77 (熱気球) 電気通信大

 

 圧力p₀、温度T₀の大気中に容積V、質量mの変形

 しない容器がある。

 

 (1) まず大気の密度ρ₀を求めよ。ただし、大気を

   理想気体とみなし、その1molの質量をM₀、

   気体定数をRとする。

 (2) 器内の圧力をp₀に保って器内の温度を上げて

   いくと、ある温度Tで器が宙に浮き始める。その

   温度Tを求めよ。ただし、器は熱を伝えないもの

   とする(熱気球の原理)。

 (3) 器内の温度をT₀に保って器内の圧力を下げて

   いくとある圧力pで器が宙に浮き始める。その

   圧力pを求めよ。

 (4) はじめ、器内を真空にし、のち、温度をT₀に

   保ちながら、ヘリウム・ガスを詰めていくとある

   圧力pで器が宙に浮かなくなる。その圧力pを

   求めよ。ただし、ヘリウムも理想気体とみなし、

   その1molの質量をMとする。

 (5) p₀=1atm、T₀=273K、V=44.8L、

   m=14g、M₀=28g/mol、M=4g/mol、

   R=0.082atm・L/mol・Kとおいて

   (1)のρ₀、(2)のT、(3)のp、(4)のp

   を計算せよ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) 大気の1molあたりの体積をV₀とすると、

    p₀V₀=1RT₀より、 V₀=RT₀/p₀

    ∴ ρ₀=M₀/V₀

        =M₀p₀/RT₀ ・・・答

 

 (2) 温度を上げると、器内の気体分子は外に

   逃げる。器内の新たなモル数をnとすると、

   p₀V=nRT  ∴ n=p₀V/RT

   よって器内の大気の質量は、 p₀VM₀/RT

   器の質量はmだから、重力加速度をgとすると、

   (容器全体の重力)=(p₀VM₀/RT+m)g。

   浮き始める時には、この重力が浮力と一致。

   ∴ (p₀VM₀/RT+m)g=ρ₀Vg

  ∴ p₀VM₀/RT+m=M₀p₀V/RT₀

  ∴ T=p₀M₀T₀V/(p₀M₀V-RT₀m) 答

 

 (3) 器内のモル数がnになったとすると、

   pV=nRT₀  ∴ n=pV/RT₀

   ∴ (容器全体の重力)

    =(pVM₀/RT₀+m)g

   これが浮力と一致するから、(2)と同様に

   pVM₀/RT₀+m=M₀p₀V/RT₀

   ∴ p=p₀-(RT₀m/VM₀) ・・・答

 

 (4) 器内のヘリウムのモル数がnとすると、

   pV=nRT₀  ∴ n=pV/RT₀

   (2)(3)と同様に考えて、

   pVM/RT₀+m=M₀p₀V/RT₀

   ∴ p=(M₀p₀V-mRT₀)/MV ・・・答

 

 (5) 代入して計算すると、

   ρ₀=1.3(g/L), T=3.6×10²(K)

   {(3)のp}=0.75(atm)

   {(4)のp}=5.3(atm) ・・・ 答

 

 

 (解説・感想)

 (2)は地上から浮き始める時。(3)はかなりの

 上空で、大気圧が下がった時の話だと思う。

 (4)は下降する時だと思うが、真空にすると

 いう設定の意味は不明。大気を追い出して、

 ヘリウムだけ満たすということか。

 最後の計算の過程は省略したが、約分と近似

 を上手く使ってもちょっと面倒だった。完答した

 受験生はかなり少ないだろう。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 83 (ボイル・シャルルの法則と

      外気のする仕事)  熊本大

 

171109a

 

 図のように1molの単原子理想気体の入った

 断面積S〔m²〕の円筒容器が軸を鉛直にして

 固定されている。この容器にはなめらかに動く

 ピストンがあり、外気の温度がT〔K〕、その圧力

 がP〔N/m²〕のときに容器の上の内面から

 ピストンまでの距離はL〔m〕であった。ビストン

 の重さは無視できるものとし、重力加速度を

 g〔m/s²〕として次の問いに答えよ。ただし、

 答えは気体定数R〔J/K・mol〕を用いずに

 表せ。

 

 (1) このピストンに質量M〔kg〕のおもりを

   つるすとピストンは下の方へ動く。十分

   時間がたって気体の温度が外気と同じに

   なったとき、ピストンはもとの位置からいくら

   下がっているか。

 (2) 次に、ピストンがもとの位置へもどるまで

   容器内の気体を冷やした。このとき気体の

   温度はいくら下がったか。

 (3) (2)において外気がした仕事はいくらか。

 (4) (2)において容器の中の気体が失った

   熱量はいくらか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) ピストンが下がることで増した分の浮力が、

    おもりの重力とつり合う。    

    ピストンが動く前後で、ボイル・シャルルの

    法則(温度一定)を使用。圧力をP₁、

    下がった長さをx(m)とすると、

    P(SL)=P₁S(L+x)

    ∴ P₁=PL/(L+x)

 

   「増した分の浮力=おもりの重力」より、

   {P-PL/(L+x)}S=Mg

  ∴ x=LMg/(PS-Mg) (m) ・・・答

 

 (2) 冷やした後の容器内の圧力をP₂、温度を

   T₂とすると、ボイル・シャルルの法則より、

    P/T=P₂/T₂  ∴ P₂=T₂P/T

 

   「初期状態より増した浮力=おもりの重力」

   より、(1)と同様に、

   (P-T₂P/T)S=Mg

   ∴ T₂=T-(MgT/PS)

   よって、元の温度Tから下がった温度は、

    MgT/PS (K) ・・・答 

 

 (3) 外気は圧力Pのまま、体積Sxだけ

    ピストンを押してるから、

   (外気がした仕事)

    =PSx

    =PSLMg/(PS-Mg) (J)・・・答

 

 (4) まず、気体定数を求める。

   初期の容器内の状態方程式は、

   P(SL)=1×RT

   ∴ R=PSL/T

   よって、

   内部エネルギーの減少は、

    (3/2)(PSL/T)(MgT/PS)

   =3LMg/2

   外気が容器内の気体に対してした仕事は、

    (外気がした仕事)-(おもりに対する仕事)

   =PSLMg/(PS-Mg)

     -Mg{LMg/(PS-Mg)}

   =LMg

 

   熱力学の第一法則より、

    (内部エネルギーの変化量)

     =(外から加えた熱量)+(外からされた仕事)

   ∴ (外から加えた熱量)

      =-3LMg/2-LMg

      =-5LMg/2

   ∴ (中の気体が失った熱量)

       =5LMg/2 (J) ・・・答

 

 

 (解説・感想)

 最初から気体定数Rを求めて解いてもいいが、

 出題者としてはボイル・シャルルの法則を使う

 ように誘導したつもりだと思う。

 

 最後、熱力学の第一法則は、書き方や読み方

 が色々細かく分かれるので、その場に応じて

 適当な形を使うことが必要。

 「外からされた仕事」にマイナスをつけると、

 「外に対してする仕事」。

 「外から加えられた熱量」にマイナスをつけると、

 「外に加えた熱量」。あるいは「失った熱量」。

 

 

次回は2ヶ月以内に書きたいと思うが、年末年始と重なるので、

年明けの1月下旬になるかも。今日のところはこの辺で。。☆彡

 

               (計 3731字)

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数学甲子園2017予選、全20問の問題、解き方、感想

情報公開が遅くなったとかボヤいてたら、予選の公開は
まあまあ早かった。と言っても、以前よりはまだ遅い。
    
とにかく例年通り、今年(2017年)も数学
甲子園の予選を解説しとこう。この記事はいつも以上に
スマホからのアクセスの割合が高いだろうから、1行
を短くして入力する。パソコンの方、悪しからず。
    
あと、たまたまこの記事はiPad入力だから、
レイアウトがちょっと不自然になってる。
ちなみに、過去の関連記事は以下の通り。ここだけは
以前のPC入力のコピペ。
    

cf. 2017本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

   2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

    

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

    ☆ここからしばらく、表示が崩れてしまって、

  なぜか直せない。後でパソコンで修正する。

 

 

    ☆    ☆    ☆
それでは本題に入ろう。全体的に難しめになってた。
答を出すだけとはいえ、60分で完答して満点を
とるのは大変だろう。出題者や審査員にとっても♪
   
   
問題1。簡単。
(x²ー3xー9)(x²ー3x+1)+11
  の因数分解。
   
   
まず、x²ー3x=Xとおいて展開して因数分解。
さらに細かく、xで因数分解。解答は、
(x+2)(xー1)(xー2)(xー5)
   
   
問題2。普通だけど、正確に。
放物線y=x²+4kxー2k²+11kー4
がx軸と共有点を持ち、その全てがx<ー2の
範囲にあるような、定数kの範囲。
    
平方完成して、グラフを書いて解く。
頂点がx軸の上か下側で、x<ー2の範囲にある。
さらに、x=ー2の点がx軸の上側。
これらより答は 4/3 ≦ k < 3/2
   
   
問題3。簡単だけど、スピードが問われる。
10578/11562 を既約分数で表せ。
   
1ー (984/11562)
と変形すると、分母・分子が2、3、41
で割れるのが分かる。
答は、  43/47
   
   
問題4。普通か、やや難。
AB=8、BC=15、CA=17の
三角形ABCで、内接円とAB、BCの
交点をそれぞれD、Eとする。
AEとCDの交点をFとするとき、
CF:FDを求めよ。
      
まず、内接円とCAの接点をGとして、
3頂点から接点までの距離を求めると、
AD=AG=5。DB=BE=3。
EC=12。あとはどうやってもいいけど、
メネラウスの定理でDF/FC=5/32
と求めるのが最速。答は、32:5
   
   
問題5。簡単というより、一瞬♪
a、bは正。ab=6の時、
5a+2bの最小値は?
   
相加・相乗平均の定理より、
5a+2b ≧ 2√(5a・2b)
∴ 5a+2b ≧ 2√60=4√15・・・答
   
       
   
    ☆    ☆    ☆
問題6。簡単だからスピード勝負。
{2/(√3+i)}³ の計算。
      
普通に計算してもいいけど、極形式を使えば暗算。
分母・分子を入れ替えると、
(cos30°+i・sin30°)³
=cos90°+i・sin90°=i
∴ (与式)=1/i= ーi ・・・答
   
    
問題7。普通だけど細かいミスで減点されやすい。
0≦θ<2πで、
√6cos2θー√2sin2θ=2 の解。
      
cosの加法定理を使って三角関数を合成すると、
√8cos(2θ+π/6)=2
∴ cos(2θ+π/6)=1/√2
一方、π/6≦2θ+π/6<4π+π/6。
答は、 θ=π/24,19π/24,
25π/24,43π/24

   
   
問題8。簡単。あぁっ!、通信エラーで
入力が 2問分消えてしまったから、もう手抜き!
log(10)2=aの時、
log(5)10をaで表せ。
   
対数の底を10に揃えて、真数の 5は10/2。
答は、1/(1ーa)
   
   
問題9。簡単。
A1=1, A(n+1)=ー2An+6
    
A(n+1)ー2=ー2(Anー2)
An=2ー{(ー2)のnー1乗} ・・答

問題10。フーッ、気を取り直して。。 簡単。
20人に5点満点のテストをした。結果は、
0点1人、1点3人、2点3人、
3点5人、4点4人、5点4人。標準偏差を
小数第2位まで求めよ。
      
平均は3点。普通に標準偏差の定義(分散の√)で
計算すると、√(11/5)。つまり(√55)/5。
√55は7.42より僅かに小さい数だから、
求める数は、 1.48 ・・・答

    ☆    ☆    ☆
問題11。普通だけど、プレッシャーがかかるかも。
平面上に半径rの球があり、中心を通って平面に
垂直な直線上の点(高さh)から光が放射状に出る。
平面上の球の影が球の表面積に等しい時、
hをrで表せ。
    
直線を含む断面図を書くと、斜辺の長さhーr、
他の2辺がrと√(h²ー2hr)の割合
の直角三角形が2つ出来る。
三角比で、影の円の半径を求めると、
hr/√(h²ー2hr)。
よって条件より h=8r/3 ・・・答
   
   
問題12。簡単だけど注意。ベン図で確実に。
生徒200人が、E検定、K検定、S検定を受験。
各合格者は93人、117人、110人。
KとSの合格者55人。SとEは33人。
3つとも合格は12人。3つとも不合格は0人。
EとKのみ合格した人数は?
    
3集合の要素の個数に関する加法定理で、
200ー0
   =93+117+110ー(EK合格者数)
      ー55ー33+12
∴  (EK合格者)=44
∴ (EKのみ合格者)
  =(EK合格者)ー(3つとも合格した者)
  =44ー12
  =32(人)・・・答
   
   
問題13。簡単。
aは正の定数。a、a+2、a+4を3辺の
長さとする鈍角三角形が存在するとき、
aの範囲は?
   
まず、三角形ができるための条件は、
a+(a+2)>a+4    ∴ a>2
また、鈍角になるための条件は、
a²+(a+2)²<(a+4)²
∴ ー2<a<6
以上より、 2<a<6 ・・・答
   
   
問題14。超簡単。
9人を2人、2人、2人、3人の4グループに
分ける方法は何通りか。
   
まず、その順で普通にグループを作ると、
9C2 × 7C2 × 5C2
  =36×21×10=7560(通り)。
それらは、2人ずつの3グループの順を入れ替えた
6通りを重複して数えてしまってるので、実際は、
7560/6=1260(通り)・・・答
   
   
問題15。唯一の難問。最後に回して捨てる
イメージ♪  時間が20分あったとしても不安。
      
ある国には3つの航空会社A、B、Cがあって、
11の都市を結ぶ。どの会社が全便欠航しても、
他の2つの会社を乗り継いで、全ての都市間を
移動できるようにする。最小の全路線数は?
      
各会社の路線数をa、b、cとする。
11の都市を結ぶ最低路線数は10(帰納法)。
一直線タイプでも、中心の1点から放射状に
引いても同様。
a+b≧10,b+c≧10,c+a≧10
∴ a+b+c≧15
また、a+b+c=15の場合は
確かに存在する。
底辺がA、左上がB、右上がCの三角形を
底辺側で5個つなげばよい。あるいは、
同じパターンの三角形を、ある頂点を中心と
して、放射状に5個つないでもよい。
よって最小の全路線数は15本。・・・答

   
    ☆    ☆    ☆
問題16。普通か、やや難。
4個のサイコロA、B、C、Dを振って、出た目の
数の積が合成数(素数の積)になる確率は?
   
合成数にならない場合は、全て1の場合か、
3個が1で1個が素数(2、3、5)の場合。
∴ (合成数にならない確率)
    =(1/6)⁴+4×(1/6)³×1/2
    =13/1296
∴ (合成数になる確率)
   =1ー13/1296
   =1283/1296 ・・・答
   
   
問題17。やや簡単。
分母・分子がxの1次式である分数式f(x)で、
f(2)=0、 f(6)=4、 f(8)=9。
このとき、f(18)は?
      
f(x)=a(xー2)/bx+c
とおいて、
f(6)=4a/(6b+c)=4
f(8)=6a/(8b+c)=9
これらより、
f(x)=ー6(xー2)/(xー12)
∴ f(18)= ー16 ・・・答
   
   
問題18。やや難。
xy平面上に、次の連立不等式で表される
領域Dがあり、点P(x,y)が動く。
x²+yー3≦0
x²+2yー4≧0
y/(x+2)の最大値と最小値を求めよ。
    
y/(x+2)=kとおくと、
y=k(x+2) (x≠ ー2)
この直線(1点を除く)が、 D内を通るという
条件のもとで、傾きkの最大・最小を求める。
最大値は、放物線x²+yー3=0と接する
ときで、判別式0より、k=2。・・答
最小値は、2つの放物線の右側の交点
(√2,1)を通るときで、
k=(2ー√2)/2。 ・・・答

問題19。やや簡単。ベクトル記号は省略。
三角形ABCの内部に点Pがあり、
ベクトル方程式
2PA+3PB+4PC=0。
三角形APB、BPC、CPAの面積比を
最も簡単な整数で表すと?
   
ー2AP+3(ABーAP)
     +4(ACーAP)=0
∴ AP
   =(7/9){(3AB+4AC)/7}
よって、辺BCを4:3に内分する点をDと
すると、Pは線分ADを7:2に内分する点。
したがって面積比は、
4×7:{(4×2)+(3×2)}:3×7
   =28:14:21
   =4:2:3 ・・・答

問題20。普通だけど、時間と点数で差がつく。
放物線y=ーx²+4xとx軸で囲まれる領域を
直線y=axが2等分する。定数aの値は?
    
放物線とx軸の交点のx座標は、0と4。
1/6公式を使うと、領域の面積は
(4ー0)³/6=32/3。
よって2等分した面積は、16/3。
放物線と直線の交点のx座標は0と4ーa。
よって、再び1/6公式を用いると、条件は
(4ーaー0)³/6=16/3
∴ (4ーa)³=32
∴ a=4ー2³√4 ・・・答
    
    
以上でとりあえず終了。これは不自由なiPad入力
の記事なので、後で色々と修正するつもり。
今週の合計字数のカウントもまた後ほど

(☆追記 16533字)。

 

ではまた来週。。☆彡

 

                (計 3939字)

    (追記 32字 ; 合計 3971字)

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数学甲子園2017本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

数学甲子園2017は、去年と違って動画配信の告知が無かったから、

早くも放送中止かと思ってたら、配信されてた。

 

公式HPを見ると、3日前の9月14日にニュースが掲示されたらしい。

台風18号のせいではないだろうから、単に放映の決定が遅れたと

いうことか。あるいは過去問の公開と同じく、サイト運営が全般的に

遅くなってるのか。去年まではもっと早かったのだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

とにかく、abemaの録画で序盤だけ見ると、去年は会場の様子を

風景みたいに映すだけだった第1ステージ(Math Battle

=マス・バトル)が、実況付きになってた。

 

サイエンスナビゲーター・桜井進と、ジャズピアニスト・中島さち子の

2人が担当。この世界だとどちらも有名人のようで、私は朝日新聞の

記事で知ってた。

 

マス・バトルは、日本語12問、英語6問、計18問をチームで60分

で解くステージで、去年より難易度がレベルアップ。終わった後の

感想でも、複数の選手が難しかったとか言ってた。

 

英語の問題で、実況2人が最初の1分間、誤解してたのが象徴的。

視聴者コメントの助けを借りてた。

 

「周長」という英単語(perimeter)を「直径」と混同しただけ

なら、文脈の解釈ですぐカバーできたはず。正多面体を面に平行な

平面で切断すると、特徴的な多角形ができるという話だ。やはり問題

が難しかったというべきか。

 

前から指摘してるように、プロもわりと普通の問題で間違えたり解け

なかったりするのは確かなこと。外国語が苦手な人も結構いる。これ

は学問や教育だけでなく、人間にとって本質的に重要な事実だと思う。

「有限性」の問題。コンピューター、AI、ロボットについても同様。

 

 

     ☆        ☆        ☆        

とりあえず、私が見た序盤の放送できっちり紹介された8問と、画面

から読み取れた1問について、問題文と解き方、考え方、感想を紹介

しよう。正答は1ヶ月後くらいに追記するので、実力試しにどうぞ♪

 

他の問題がその後の放送で紹介されたかどうか、正答発表があった

かどうかは知らないので悪しからず。長過ぎて全部見る余裕はない。

残りの問題は、また公開され次第、別記事で扱う予定。

 

ちなみに、優勝(文部科学大臣賞)は灘高校・バンジー改チーム。

準優勝は南山女子部、敢闘賞(3位)は大阪星光学院。詳しくは

数学検定facebookをご覧あれ。いずれもマス・バトルは

150点だから、満点なのか、あるいは18問中の15問正答か。

 

灘が優勝したのは、競技ルールを変更したからだと思う。今までと

比べると、普通に学力優秀な生徒が有利な大会になったのだ。

 

170918a

 

 

      ☆        ☆        ☆

問題1 次の式を整数係数の範囲で因数分解しなさい。

     x⁸-2x⁶-x⁴-2x²+1

 

解き方 最初の問題だから、簡単にしてくれたのかも。

    係数と次数が対称的になってるから、いきなり

    第一段階の因数分解ができる人もいるだろう。

    普通はまず、x⁴(x⁴-2x²-1-2/x²+1/x⁴)

    として、カッコ内で x²+1/x² をXとおくところか。

    途中で終わりにせず、最後まで因数分解しないと、

    減点かバツになる。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 (x²+x+1)(x²+x-1)(x²-x+1)(x²-x-1) )

 

 

問題3 aをもっとも小さい数とする、連続するn個の正の整数

    があります。これらの和が1000であるとき、(a,n)

    の組として考えられるものをすべて求めなさい。ただし、

    nは2以上の整数とします。

 

解き方 等差数列の和の公式を使うと、aとnの方程式が出る。

    さらに整数という条件に着目。因数分解と素因数分解、

    積の形への分解、不等式による変域の制限などを使う

    と絞り込める。偶数と奇数にも注目したけど不要だった。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 (a,n)=(28,25),(55,16),(198,5) )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題4 1個の白球と2個の赤球が入っている袋があります。

    この袋の中から中身を見ずに球を1個取り出します。

    取り出した球が白球なら、取り出した球に赤球を1個

    加えて袋に戻します。取り出した球が赤球なら、取り

    出した球に白球を1個加えて袋に戻します。この試行

    を繰り返すとき、n回めの試行で白球が取り出される

    確率Pnを求めなさい。 

         (注. 原文ではPは小文字)

 

解き方 球の個数に注目。漸化式を立てて変形して解く。

    k回目に白の確率がPkとすると、この記号を使って、

    k回目の直前の白と赤の個数を表せる。

    すると、k+1回目の直前の白と赤の個数も表せて、

    P k+1 をPkで表す漸化式が出る。

    この後、たまに見るテクニカルな変形をちょっと

    使うと、複雑に見える漸化式がキレイに解ける。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 n(n+3)/2(n+1)(n+2) )

 

 

問題6 次の関数の最小値、およびそのときのxの値を求めなさい。

   y=2・{ 3の(3x-1)乗 }+2・{ 3の(-3x-1)乗 }

    -(1/2)・{ 3の(2x+1)乗 }

    -(1/2){ 3の(-2x+1)乗 }-2

 

解き方 これはわりと簡単。まず、3のx乗を X とおく。

    さらに X+1/X を t と置き換えればよい。

    自分で導入した文字の変域に注意。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 -11/3,x=0 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題8 ベクトルnを単位ベクトルとします。点A(ベクトルa)

    を通り、ベクトルnに垂直な平面をαとし、点B(ベクトルb)

    平面α上にないものとします。このとき、平面αに関して

    Bと対称な点Cの位置ベクトル「ベクトルc」を、ベクトルn、

    ベクトルa、ベクトルbを用いて表しなさい。

 

解き方 BCと平面の交点をHとすると、Hは垂線の足で、

    ベクトルc=ベクトルb+ベクトルBC

         =ベクトルb+2(ベクトルBH)

    ここで、ベクトルBHをベクトルnのt倍とおいて、

    AHとBHが垂直という条件からtを決定すればよい。

    ベクトルその他は成分表示せず、そのまま使う方が

    速いしハイレベル。内積を用いる。

 

    慣れてる人にとっては簡単というか、やったことのある

    問題だろう。司会の桜井進は答を覚えてると力説してた。

    情報バラエティなら、お笑い系の司会者が「何ですか?」

    と聞いて、間違いを誘って突っ込むパターンがお約束♪

 

 

(☆10月25日の追記: Hを使わない方が少し速いかも。

 答 b+2{(a-b)・n} n  内積は丸点の箇所のみ )

 

 

問題9 次の確率密度関数f(x)を考えます。

   f(x)=(2/3)x (0≦x<1)

      =1-(1/3)x (1≦x≦3)

      =0 (x<0,3<x)

   これをグラフで表したとき、右の図のように

   三角形状になります。f(x)が定める確率分布

   は三角分布とよばれ、自然現象や社会現象

   を説明する統計モデルとしてしばしば登場

   します。

 

170918b

 

    f(x)を確率密度関数にもつ確率変数Xに

   ついて、その分散を求めなさい。

 

解き方  まず、xf(x)の積分で平均mを求めた後、

     (x-m)²f(x)の積分で分散Vを求める。

     ー∞<x<∞の区間を、f(x)の定義域に

     合わせて分割して定積分。単純計算だが

     意外と面倒。

 

     私は全く知らなかったけど、三角分布の

     平均や分散を求める公式もあったから、

     検算に使って、答が合ってるのを確認した。

     無限区間の積分だから、本来は大学の

     問題で、慣れてない生徒が多いと思う。

 

 

(☆10月25日の追記: 答 7/18 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題12 右の枠内は、あるプログラムを言葉で表現したもの

   です。とくに指示がない場合は、①から順に処理をします。

    ①でMに20000、Nに10、Rに1を入力したときに

   出力される値を求めなさい。

 

   (以下、枠内)

   ① 正の整数M、N、Rを入力する。

   ② Aの値を1とする。

   ③ Rに0.01をかけた後、1を加えた値を

     新しいRの値とする。

   ④ MにRをかけた値をPの値とする。

   ⑤ Aの値とNの値が等しいとき、有効数字3桁

     で表したPの値を出力して処理を終了する。

     Aの値とNの値が異なるとき、⑥へ進む。

   ⑥ MとPの値の和にRの値をかけた値を

     新しいPの値とする。

   ⑦ Aに1を加えた値を新しいAの値として、

     ⑤へ戻る。

 

解き方 自分でブログラム通りに少し計算してみると、何の話か

    すぐ分かる。大会の協力団体となってる日本公認会計士

    協会、日本アクチュアリー会に配慮したような、ビジネス

    の実用的問題。

    ポイントは、面倒な単純計算を正確にこなすこと。電卓

    とか使えば簡単だけど、人力だから「有効数字3桁」

    という条件を上手く活用する。

 

 

(☆10月25日の追記: 答 2.11×10⁵ )

 

 

問題13 The graph of y=-2x³+4x is

    translated 3 units in the

    positive vertical direction and

    2 units to the left,and is then

   reflected in the x-axis.Find the

    equation of the resulting graph

    in the form y=ax³+bx²+cx+d.

 

解き方 3次関数のグラフを、y軸の正の向きに3、

    左向きに2、平行移動して、さらにx軸で

    折り返す。英語さえ読めれば、教科書の

    章末問題くらいの簡単なレベル。

    確か、参考書持ち込み可だから、チャート

    式とかに似た問題が載ってそうだ。

 

 

(☆10月25日の追記:

 答 y=2x³+12x²+20x+5 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題18 A regular octahedron of edge

     length a is cut by a plane

     parallel to one of its faces.

     Find the perimeter of the

     section.

 

解き方 辺の長さaの正八面体を、一つの面に平行な

    平面で切る。切り口の周の長さを求めよ。

 

    どこで切るのか、指示が何も書いてないから、

    どこで切っても同じ定数だろうと予想できる。

    最後の答しか採点基準に入ってないのなら、

    八面体の面すれすれに切れば答が出る♪

    マジメに解くのなら、展開図に切り口を表す

    線を書くのが普通。

 

(☆10月25日の追記: 答 3a )

 

 

それでは、正答その他の追記はしばらく後回しにして、

今日はこの辺で。選手や引率の先生、スタッフの皆さん、

どうもお疲れさま。。♪☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

   2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

             (計 3980字)

    (追記 282字 ; 合計 4262字)

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パズル「セイムセット」、かんたんな解き方~ニコリ作、朝日新聞be

今日は、同じ6種類の絵の組み合わせをさがす

パズル、「セイムセット」の解き方、コツ、考え方

を書いてみます。小学生4年生くらいでも読める

カンタンな記事で、スマホ用に1行の文字数を

少なくします。

 

上図は、朝日新聞17年9月16日のbeパズル

で、ニコリ作。8種類のキャンプ用品のうちの

6種類で、一つのセットができてて、1~16の

16セットがあります。同じ組み合わせのセット

をさがして、それらの番号を答える問題です。

 

170917a

 

6種類の用品が同じかどうか、くらべてさがす

のは大変。だから逆に、入ってない2種類の

用品が同じかどうかでさがすと、すばやく答

を見つけられます。

 

 

   ☆     ☆     ☆

まず1番のセットは、テント、イス、カップ、寝袋

(シュラフ)、クーラーボックス、飯(はん)ごうの

6種類。だから入ってないのは、ランプとトング

(はさむ物)の2種類です。

 

2番~16番で、この2種類がどちらも入って

ないのをさがすと、見つかりません。たとえば

2番と3番にはランプとトングが入ってるし、

4番にはトングが入ってます。1つでも入って

たら、ダメです。

 

結局(けっきょく)、1番と同じ組み合わせは

一つもありません。

 

 

   ☆     ☆     ☆

次に2番のセットをよく見ると、中身はランプ、

トング、テント、イス、カップ、寝袋の6種類。

だから、入ってないのは、クーラーボックス

と飯ごうの2種類です。

 

もう1番は見なくていいので、3番~16番 

でその2種類が入ってないのをさがすと、

どうでしょうか。

 

3~8には2種類とも入ってるから、ダメ。

9番には飯ごうがあるから、ダメ。・・・

 

 

    ☆     ☆     ☆

残りの話は、来週、答が発表されてから

書くことにします。

 

1~16のそれぞれのセットに入ってない

2種類を、かんたんにメモしとくと早い

でしょう。

 

1番なら、ランプとトングだから、「ラト」、

2番なら、クーラーボックスと飯ごう

だから、「クハ」とか。

 

 

    ☆     ☆     ☆

ちなみに、高校に入ると、6種類の組み

合わせ方が28通りあることを学びます。

数学(ハイレベルな算数)で、こんな式

の計算をします。

 

Cは組み合わせを示す記号。高校でも、

ふくまれてない2種類に注目します。

 

8C6=8C2

  =(8×7)÷(2×1)

  =56÷2

  =28 (通り)

 

なお、今週のブログの文字数は

合計14902字で終了。

ではまた来週。。☆彡

 

 

      ☆     ☆     ☆

では、正解が発表されたので、残りの

話を書きたします。

 

2番と同じ、クーラーボックスと飯ごう

が無いのは、12番と14番。だから、

2番と12番と14番」がです。

 

今日(9月23日)の問題、「同じもの

探し」も、ちょっと似たやり方で解け

ます。どこかが他とハッキリ違う絵

を消していって、残ったものが答に

なります。

 

では、今回はこのへんで。。☆彡

 

          (計 990字)

 (追記169字 ; 合計1159字)

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