『頭脳王2019』解説2~ジグソー、数列15パズル、太平洋の太陽光発電&地球中心への落下速度

今日は昨日に引き続いて、日テレ

『頭脳王2019』の解説2本目を

書くことにする。1本目は下の通り

 

 『頭脳王2019』決勝戦の解説~

 水素原子の大迫選手のマラソン

 &クジラと関取の綱引き

 

今回も、スマホ・携帯向けに1行の

字数を少なくするので、パソコンや

タブレットの方、悪しからず。私の

入力はパソコン。

 

 

   ☆    ☆    ☆

まずウォーミングアップとして、

ジグソーパズル。30ピースの内、

1つだけ足りないピースの形は?

 

京大医学部の賢者・木戸と東大

医学部の異才・中島は間違えた

けど、東大謎解きの超人・松丸と

東大医学部の神脳・河野玄斗は

一瞬で正解した。

 

つまり、速い解き方があるのだ。

ネタバレ的にコツをまとめとこう。

 

190217a

 

各ピースは正方形で、その辺は

真っすぐか凸か凹か、3種類。

凸と凹の数が差し引きいくつか、

各ピースごとに計算していくと、

29個の合計で-2。よって、

残りの1ピースは+2のはず。

 

また29個の中には、真っすぐの

辺1本が14個、直角の2辺が4個

ある(上図の赤線)。これで真っすぐ

の辺は全て揃ってるから、残りの

ピースに真っすぐ辺はない

 

190217b

 

だから残りの1ピース3辺が凸、

1辺が凹と分かる(正答)。

 

頭の中で29個を組み立てる必要

はない。スタッフも、真っすぐの辺を

数えやすいよう、下側に集めてた。

 

 

   ☆    ☆    ☆

次に、1~15の数列パズル。

これもやり方は決まってるし、あの

問題は一瞬で解ける配置だった。

両手の指を7回スライドさせる

だけ。片手は遅い。右上の3、4、

7、8は全く触らず。

 

190217c

 

190217d

 

190217e

 

190217f

 

190217g

 

190217h

 

190217i

 

 

    ☆    ☆    ☆

ではいよいよ計算問題に移ろう。

まず、太平洋の大きさの太陽光

パネルで発電できる世帯数

物理の単位さえ分かれば簡単。

 

190217j

 

(1日の全発電量)

=1億6500万km²×1000W/m²

   ×0.1×6h

=(165000000×1000000)m²

  ×0.1×1kW/m²×6h

=99×10¹² (kWh)

 

(1日で使う電力量)

  =18.5 (kWh/世帯) 

 

∴ (世帯数)

 =99×10¹²÷18.5

 ≒ 5.35×10¹² (世帯)

 

 

   ☆    ☆    ☆

そして最後。地球の中心まで

掘った穴にスーパーロボットが

飛び込んだ時、落ち始めてから

10分後の速さ(km/h)は?

 

これは数値計算が面倒だし、三角

関数微分ルートも出るから、

準決勝4人の内で正解者は河野

のみ。松丸は1ケタだけ間違えた。

 

190217k

 

この問題、私が一番悩んだのは

cos(コサイン)の右側のカッコ

の中。√(ルート記号)が右端

の t まで延びてるように見える。

 

ただ、それだと面倒すぎるし、色々

と計算が合わない。あと、高校・

大学の物理の常識的感覚として、

cos(定数×t)が基本形となる。

 

私はその辺が引っかかって、途中

で投げそうになったし、あの河野

でさえ煩雑とか言ってた計算で

間違えてしまった。長さと時間の

単位もちょっと迷うし。

 

解説者(竹内薫?)が「微分積分」

とか言ってたから、積分もチラッと

考えたほど。実際は数Ⅲの簡単

な微分が1回あるだけ。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では計算式。

一般に、aを定数として、

cos at を t で微分すると

-a sin at (符号は負)。

 

∴ (速度) dx/dt

 =(xの式の t による微分)

=-R√(g/R)sin{√(g/R)} t

 

長さの単位をkmにして代入

すると、10分は600秒だから、

 

(速さ)=(速度の絶対値)

  =R√(g/R)sin{√(g/R)}t

 =6370×√(9.8×10⁻³/6370)

×sin{√(9.8×10⁻³/6370)×600}

 =6370÷100√65

 ×sin(6/√65)

 =637÷80.6×sin0.744

 =637×0.677÷80.6

 =49×677÷6200 (km/s

 

(時速)

 =49×677÷6200×3600

 =49×677×18÷31

 =1.93×10⁴ (km/h)

 

190217l

 

190217m

 

 

    ☆    ☆    ☆

こんな面倒な数値計算は久々か、

初めてかも。実戦的には、sin

(サイン)の計算はsin0.744

に決まってると考える手もある。

√65も、使うに決まってるのだ。

 

地球半径6370kmというのは

重力加速度9.8で割り切れる

ように定めたクイズ用の値で、

普通は6378kmとか。

 

なお、「速度」(単なる時間微分)に

マイナスの符号が付いてるのは、

地球の中心に向かうから。つまり、

中心からの距離が減る向きに

運動してるからだ。10分後なら。

 

それがプラスになる時。つまり、

中心を越えて地球の反対側に

向かい始めるのは、sinの式の

角度から考えると、約42分後。

本当は途中で溶けるけど♪ と

いうより、穴が掘れないけど(笑)

 

 

   ☆    ☆    ☆

新考察パズルについては、まだ

考察中。たぶん先手必勝か、

少なくとも引き分けにはできると

思うけど、変化が多くて証明は

大変。立体三目並べの方が簡単

だった。

 

今週は計14998字で終了。

ではまた来週。。☆彡

 

 

cf. 『頭脳王2018』解説2

 ~ブラックホール直径&

 小平選手の山手線一周

 

      (計 1994字)

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日テレ『頭脳王2019』決勝戦の計算式解説~水素原子の大迫選手のマラソン&クジラと関取の綱引き

☆追記: 翌日以降、続編をアップ。

 『頭脳王2019』解説2~

 ジグソー、数列パズル、太平洋の

 太陽光発電&地球中心の落下 

 

 『頭脳王2019』解説3~

 はさみ将棋チェス(新考察

 ゲーム)、結論は引き分け )

 

 

    ☆    ☆    ☆

この記事とは別の話に気を取られて、

アップに時間がかかってしまった

(言い訳♪)。

 

東大医学部の神脳、河野玄斗が

QRコードを見て「東北学院大学」

と答えた問題。

 

そう聞いてGoogle

検索(すべて、画像)をかけても、

たった一つSNS画像が出て

来るだけ。京大医学部の賢者・

木戸直人が答えた「Face

book」なら情報は多い。

 

一体どうやって河野はそんな知識

を覚えてたのかね? 日テレの

放送作家の台本?(笑)。それが

気になって、計算問題どころじゃ

ないのだ♪

 

 

   ☆    ☆    ☆

しかし、せっかく録画までしたから、

とりあえず2問解説しとこう。最後、

マラソン日本新記録を出した、

大迫傑選手の問題。スマホ向け

に1行の字数を少なくしてある。

 

190216a

 

170cmで2時間5分50秒

の大迫が、水素原子と同じ

1.06×10⁻¹⁰mの

サイズになったら、

42.195km走るのに

何年かかるか?

 

これは単純な算数の計算だけど、

疲れ切った状態でスタジオで

短時間に解くのは大変。編集なし

の生映像を見てみたいね♪ 一体

どのくらい速い計算なのか。

 

まあ、河野は1分あったら20人

の名前を書けると豪語してた

から、字を書くスピードも神レベル

なのかな? テレビを見てると、

人間レベルにも見えるけど。。

 

 

   ☆    ☆    ☆

考え方・解き方と計算式は次の

通り。わざと私の手書き文字で

筆算を掲載。

 

 170cm=1.7m

 2時間5分50秒

  =125分50秒

  =7550秒

 

1年=24×365時間

 =24×365×3600秒

 

(水素の大迫のマラソンタイム)

 =(7550×1.7)÷

(1.06×10⁻¹⁰×24×365×3600)

 =(755×17×10¹⁰)÷

   (106×24×365×36)

 =12835×10¹⁰÷33428160

 =(2567÷6685632)×10¹⁰

=(25670000÷6685632)×10⁶

 =3.84×10⁶ (年) ・・答

 

190216b

 

河野のテレビ映像を見ると、私

とほぼ同じ解き方だけど、割り算で

近似値を使って時間を稼いでた。

256700÷66856。

 

有効数字3ケタだから、5ケタで

割れば十分だと考えてるわけで、

流石に上手くて隙が無い。

 

 

   ☆    ☆    ☆

一方、江戸川乱歩の「南無阿弥

陀仏」を利用した点字暗号に

ついては、『頭脳王』とは無関係

の昔の解説記事参照。

 

 点字を「南無阿弥陀仏」で表す

 換字式暗号~乱歩『二銭銅貨』

 

番組途中からかなりアクセスが

入ってた。「りんねてんしょう」

(輪廻転生)が正解の問題。

 

 

    ☆    ☆    ☆

最後は、決勝戦の冒頭の問題。

シロナガスクジラが関取(雷電)

と綱引きをした場合、クジラに

勝つには何人の関取が必要?

 

190216c

 

クジラの体重は160t(トン)、

10秒間の等加速で時速

50kmに達する力。

 

 160トン=160000kg

 

10秒で時速50kmの加速

 =1秒で秒速 

  5000/3600mのv加速

 =加速度25/18(m/s²)

 

∴ (クジラの力)

 =160000×25/18(N)

  (注.単位はニュートン)

 

一方、関取の人数をx人と

すると、合計体重160x kg。

 

∴ (関取の力)

 =(静止摩擦係数×体重

  ×重力加速度μmg)

 =0.9×160x×9.8(N)

 (注.腕力や脚力は無関係)

 

よって、クジラと関取の力が

つり合う時

 160000×25/18

 =0.9×160x ×9.8

 

∴ =160000×25

  ÷(18×0.9×160×9.8)

 =40000000÷

 (18×9×16×98)

 =2500000÷

  (18×9×98)

=625000÷(9×9×49)

=625000÷3969

=157.4・・・(人)

 

よって、関取が「勝つ」には

158人」必要。 ・・・答

 

190216d

 

最後、四捨五入してしまった

らしい木戸に対して、河野は

冷静に切り上げしてた。

要するに、整数不等式

x>157.4・・ を満たす

最小の自然数xということ。

 

とにかく、12万1371人

参加者の頂点に立った2人とも

お疲れさま。特に神脳・河野君、

おめでとう!

 

 

    ☆    ☆    ☆

なお、地球の中心にスーパー

ロボットが飛び込んだ時の10分

後の速さは、ルートの付け方と

単位の取り方が曖昧だった。

あと、必要なのは数Ⅲの微分で、

積分は無関係。後ほど解説する。

 

チェスとはさみ将棋を合体させた

新考察ゲームは、おそらく先手

(挑戦者側)が最善を尽くせば

必勝だろう。しかも戦略は簡単。

証明できれば記事にする予定。

 

ではまた明日。。☆彡

 

 

cf. 『頭脳王2020』謎解き問題、

  考え方とヒント&プチラン

 

 『頭脳王2018』決勝戦の

 計算解説~大声スーパー怪獣

 の体長、100回転ロボット

     (他にも関連記事あり)

 

      (計 1921字)

  (追記39字 ; 合計1960字) 

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3人のゲームトーナメント、変わった時計~桜蔭中学2019入試・算数問題1,4

2月1日、女子の最難関である桜蔭

(おういん)中学入試が行われました。

6日の朝日新聞・朝刊に算数の問題

が掲載されたので、面白い2問を

解説してみます。

 

問題文が長くて、設定も複雑なので、

SAPIX(サピックス)の広告の縮小

コピペも付けておきます。解答(=

答の説明)は私が作ってるので、

塾や学校とは多少違うでしょう。

 

スマホ向けに1行の文字数を少なく

してるので、PCやタブレットだと少し

読みにくいかも知れません。

 

 

    ☆    ☆    ☆

まずウォーミング・アップとして、

問題1(3)を見ましょう。

 

190213a

 

必ず3人ずつで行って1人の勝者

が決まるゲームを、何回か行う

トーナメント戦を考えます。図1

のように、余った人は自動的に上

のレベル(準決勝とか2回戦)の

ゲームに進めます。

 

 

    ☆    ☆    ☆   

図2のように81人で始めると、

優勝者が1人決まるまでに合計

何回のゲームが行われるか?

 

優勝者が決まるまでに、80人が

負けたことになります。ゲーム1回

で2人負けるので、合計のゲーム

40回です。 ・・空欄アの答

 

また、最初235人だと、優勝者が

決まるまでに234人が負けるので、

ゲームは合計117回です。 ・・

 

式はこうなります。

 (235-1)÷2=117 (回)

 

さらに、計24回ゲームが行われた

のなら、優勝者1人が決まるまでに

48人負けてるので、トーナメント

の参加者は49人です。 ・・

 

式はこう書けます。

 1+24×2=49 (人)

 

解き方、考え方は、ゲーム1回で

何人減るかがポイント。なるべく

図を書かないのがコツです。

図3は、気にしない方が得。

         

数十人、数百人のトーナメント

の図を書くと、時間がかかるし、

むしろ考えにくいでしょう。高校の

算数(=数学)だと、普通の2人

ゲームの問題が時々出てます。

 

 

   ☆    ☆    ☆

つづいて本題の、問題4。意外と

難問で間違えやすいと思います。

 

190213b

 

7から17までの数字と目盛だけ

書かれた、かわった時計を考えます。

図は8時0分。

 

長針は7時から17時までは、

60分で1周。17時から翌日

7時までは、168分で1周。

 

長針が1周する間に短針が回転

する角度は一定のままで、短針は

24時間で1周します。

 

190213c

 

 

   ☆    ☆    ☆

(1) 長針が1周する間に短針が

回転する角度は何度か?

 

長針は、7時から17時までは

10周します。

一方、17時から翌日7時までは

14時間だから840分。

長針は168分に1周するから、

この間に5周します。

 

結局、24時間で長針は15周して、

短針は1周(=360度)回転。

よって、長針が1周する間に短針

が回転する角度は

 360÷15=24度 ・・(1)ア 

 

次に、12時45分だと、長針は

一番上から270度回転してます。

 

一方、短針はまず、一番上の7時

から12時までに、

 5×24=120度

回転します。

 

さらに45分(=4分の3時間)で

 24×3/4=18度

回転します。

 

合わせて、短針は138度回転。

だから、長針と短針のつくる角は

270-138=132度 ・・

 

 

    ☆    ☆    ☆

(2) 10時から11時までに

長針と短針のつくる角が60度に

なる時刻は何時何分か?

 

10時0分には、短針は

 24×3=72度

回転してます。

 

また、短針は1分に0.4度、

長針は1分に6度回転するので、

1分あたり長針の方が5.6度

多く回転します。

 

最初に60度になるまで、長針は

12度(=72度-60度)だけ

追い上げてるので、

 12÷5.6=(2と1/7)分

経ってます。だから答の1つ

 10時(2と1/7)分

 

次に60度になるのは、10時0分

から長針が132度(=72+60)

多く回転した時だから、

132÷5.6=(23と4/7)分

経ってます。だからもう1つの答

 10時(23と4/7)分です。

 

 

   ☆    ☆    ☆

(3) 17時から翌日7時までに

長針と短針が重なる時刻は何時

何分か?

 

長針は168分で1周(=360度)

回転するので、1分で

 360÷168=15/7度

回転します。

 

短針は、長針が1周する168分

で24度回転するから、1分で

 24÷168=1/7度

回転します。

 

よって、1分あたり、長針の方が

 15/7-1/7=2度

多く回転します。

 

17時0分には、一番上から見て、

短針だけ240度回転してるので、

最初に重なるまでに

 240÷2=120分

      =2時間

かかります。

つまりそれは、19時0分です。

 

次に重なるのは、長針が360度

多く回転してる時だから、

 360÷2=180分

      =3時間

経った後。つまり22時0分。

 

さらに翌日の1時0分、4時0分

に重なります。以上よりは、

19時0分、22時0分、1時0分

4時0分

 

 

   ☆    ☆    ☆

なお、17時から翌日7時まで、

短針は1分で1/7度回転する

から、1時間だと60/7度。

つまり(8と4/7)度回転します。

 

だから、時計の図の空欄では、

数字と目盛の間隔が狭まってる

ことになります。

 

190213d

 

この問題、そもそも時刻とは何か。

誤解した受験生もいるでしょう。

 

出題した先生は、どこかに本物の

時刻を示す別の時計を考えてるの

です。その時刻は「絶対時間」とか

「標準時刻」とか呼ばれます。

 

でも普通は、時刻とは身近な時計が

示してるもの。問題図なら8時7分と

読みたくなるはず。ちょっと不親切

な問題にも感じます。

 

 

   ☆    ☆    ☆

ちなみに問題1(3)も、参加者数

がたとえば10人だったら困ること

になります。

   

2で割れる「偶数」は困るのです。

2で割れない「奇数」(11人、

81人、235人など)でないと

ゲームが組めません。ところが

その点は、問題文で説明なし。

 

桜蔭中学校は、その辺りまで柔軟

に問題を理解する思考力を求める

のでしょう。大変ですね。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

cf. 円と正方形、10個重ねて作る

 図形の面積~桜蔭2018入試

 

 5人のカードゲームと背理法に

 よる証明~開成中学2019入試

 

       (計 2337字)

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簡単な線形計画法、問題例と解き方~深田恭子『初めて恋をした日に読む話』第4話

1シーズンに見るドラマは、以前なら基本的に1本(または2本)に

絞って、最初から最後までじっくりレビューしてた。

 

ところがスマホとSNSが急激に普及してから、長くて本格的な

ドラマ記事、テレビ記事などは避けられるようになってる。放送中

に、短くて瞬間的なツイートや書き込みを大量にやり取りして終了。

 

こうなると、ブロガーとしても、ドラマを真面目に深く解釈するより、

適当にあれこれ楽しみたくなって来る。今季は特にいろんなドラマ

をチョコチョコ流し見してるけど、その中でも目と心の保養になる

のはやっぱり深キョン♪ 

 

36歳になってもブリブリ(死語)の可愛い路線で全然通じるし、

出し惜しみもしない主演女優なんて、深田恭子だけだろう。あの

たどたどしくて甘ったるい喋り方でもあんまし女性に叩かれないし、

恋愛スキャンダルにも動じず♪ 視聴率が高くなくても使われ

続けてるから、スタッフ受けもいいってことか。

 

ちなみに一番ウケたドラマなら、NHK『トクサツガガガ』♪ 特撮

隠れオタクの小芝風花のおバカぶりが単純に笑えた。

 

欲を言えば、戦隊のメンバーに可愛いピンクとか入ってればもっと

良かったね。フルフェイスのマスクかぶった男性隊員だけ強調

されても困ってしまう。まだ1回しかチラ見してないけど、小芝が

ピンクになるのかな? ヒロインがピンチに陥る萌えシーンとか♪

NHKだと無理か。

 

 

     ☆       ☆       ☆

さて、『初めて恋をした日に読む話』は、鈍感な美人塾講師・順子

(深キョン)がイケメンに囲まれる、典型的な少女マンガ的ラブ

コメディ。順子に感情移入する女子はほとんどいないはず♪

みんな、ひたすら周囲のイケメン目当て(断言・・笑)。

 

第4話をチラ見してると、ブルゾンちえみのセクシー物真似とか

に紛れて、「線形計画法」なんて高級な用語が2回登場したから、

すぐ注目。英語は「liner programming」だから

直訳は線形プログラミング。機械的な情報処理なのだ。

 

簡単な問題は高校1年くらいで習うけど、複雑なものは大学以上

のレベルになる。実用的な応用数学で、オペレーションズ・

リサーチ(OR)の代表。

 

私の高校時代には、そんな難しい言葉は聞かなかった気がする。

「高校生の耳に念仏」(笑)。先生のありがたい念仏が、私の耳と

目をスルーしただけかも♪

 

190206a

 

 

     ☆       ☆       ☆

本格的に扱うと、かなりの理屈と字数が必要だから、ここでは

サラッと黒板・・じゃなくてホワイトボードの問題を解説しよう。

こんな魅力的な女教師なら、男子生徒ユリユリ(横浜流星)も

男性視聴者も、数学なんてそっちのけだろうけど♪

 

問 (x,y)が連立方程式

  x≧0

  y≧0

  x+2y≦10

  3x+2y≦18

 を満たしながら変化するとき、

 x+yの最大値を求めよ。

 

終盤の文章は推測だけど、グラフから考えてもほぼ合ってるはず。

よくある典型的問題で、日常生活とか経済の現場だと、例えば

こんな風に解釈できる。

 

お菓子Aをxコ、お菓子Bをyコ作る。

A1コあたり砂糖が1kg、B1コで砂糖2kg使うが、

砂糖は全部で10kgしかない。

A1コで小麦粉3kg、B1コで小麦粉2kg使うが、

小麦粉は全部で18kgしかない。

AとBを合わせた個数の最大はいくつか?

 

 

ちなみに「線形」とは、簡単に言うと、条件式や範囲を求める式

がx、yの「線形」結合とか呼ばれる形だから。3x+2y

とか、x+yとか、定数倍の和の形になってる。あと、2文字なら、

平面上の「線」の話になる。

 

もし3文字x、y、zなら、線形結合は4x-5y+7zとか。マイナス

が入ってもいい(4x+(-5)y+7zと考える)。難しい

話をすると「線形性」とは・・といった理屈になるけど、ここでは

省略しとこう。漢字で「線形」と書く人と、「線型」と書く人がいる。

 

 

    ☆       ☆       ☆

ドラマの問題に戻ろう。いろんな考え方、解き方があって、別に

グラフを使う必要はないけど、深キョンの教え方に即してみる。

 

まず、x+yは分かりにくいから、文字kでおいてみる。そして、

直観的に理解しやすいように、式の話をグラフ(図形)の話に

言い換える。

 

 条件をみたすx,yに対して、x+y=kである

⇔ 条件をみたす領域の点(x,y)を、直線x+y=kが通る

⇔ 条件をみたす領域の点(x,y)を、直線y=-x+kが通る

 

190206b

 

というわけで、まず不等式が示す領域を図示して(上の斜線部)、

その内部を通る傾き-1の直線を平行に色々引いてみて、

y切片kの最大値を求めればよい。要するに、無数の直線の

中で一番上に位置する線を探す。

 

190206c

 

 

     ☆       ☆       ☆

すると、直線が、領域の右上の角(かど)を通る時だと分かる

から、その点を求めればいい。下図の点Bの座標(4,3)。

 

境界線の方程式 x+2y=10(上側)、3x+2y=18(右側)

を連立して、 x=4、y=3。

最後はもう、直線は見なくてもよくて、

 (x+yの最大値)=4+3=7

 

190206d

 

 

    ☆       ☆       ☆

なお、グラフ無しで解いてる解答は滅多に見ないけど、

例えば次のような流れにすればよい。

 

x+2y≦10 かつ 3x+2y≦10

 ⇔ x+y≦(1/2)x+5 かつ x+y≦(-1/2)x+5

 ⇔ 「x≦4 かつ x+y≦(1/2)x+5」

  または 「x≧4 かつ x+y=(-1/2)x+5」

 

x≦4の範囲だと、

 x+y≦(1/2)x+5

    ≦(1/2)×4+5

 ∴ x+y≦7 (等号はx=4の時)

 

一方、x≧4の範囲だと、

 x+y≦(-1/2)x+5

    ≦(-1/2)×4+5 

 ∴ x+y≦7 (等号はx=4の時)

 

以上より、x+yの最大値は7 (x=4,y=3)。

 

 

    ☆       ☆       ☆

私自身、こんな解き方は初めてかも♪ ただやっぱり、昨日記事

にした開成中学の入試問題の方が難しいね(笑)。超エリート

小学生、恐るべし。

 

もっと恐ろしいのは、毎度お馴染みのAI(人工知能)。1秒で正解

を出した様子を最後にオマケしよう。なぜか本家の英語サイト

だと入力を上手く解釈してくれないな・・とかボヤキつつ、

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

190206e

 

P.S. 数時間後に英語入力成功! 融通が利かないけど、

 maximize x+y on x≧0,y≧0,・・・とか。

 

       (計 2471字)

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5人のカードゲームと背理法による証明~開成中学2019入試・算数・問題4

今年も朝日新聞・朝刊(2月5日)で、

開成中学の入試問題と解答例が公表

されたので、面白い問題を解説します。

解き方、考え方、図の変化などです。

 

小学生(5年、6年)でも読めるよう

書いてるつもりですが、解き方は塾

や小学校と少し違ってるかも知れ

ません。また、スマホ用に1行の

字数を少なくしてます。

 

過去2年の記事は下の通りです。  

 三角形の相似から四角形の

  面積比へ~2018問題1

 三角形の相似と比の応用

   ~2017問題3

 

 

   ☆    ☆    ☆

さて、目新しい難問の4番は複雑な

設定なので、朝日新聞のSAPIX

サピックス)の広告からコピペ

させて頂きます(半分ほどです)。

 

190205a

 

A、B、C、D、Eの5人が

10枚のカードでゲームします。

ハート♡1、3、5、7、9と、

スペード♠2、4、6、8、10

10はTと書きます(たぶん、

英語のTenの頭文字)。

 

最初はみんなハート1枚

スペード1枚。その後全員、数の

大きい方の手持ちカードを右どなり

の人にわたします(手順[1])。

 

それで、ハート2枚スペード2枚

になってしまった人は負けで退場

(手順[2])。残った人だけで次の

回に向かいます。

 

問題には具体例が1つあります。

Aが12、Bが67、Cが49、Dが

3T、Eが58から始めると、手順

[1][2]を2回繰返して、Aが

勝ち残ります。

 

190205b

 

 

   ☆    ☆    ☆

長いので、ウォーミングアップ

の問題(1)は省略。問題(2)を

見ましょう。

 

190205c

 

手順[1][2]を2回行った直後

勝ち残ったとします。

このゲームの最初と途中はどう

なってたのでしょう? 

 

問題では、まずDの途中(ケ)に

3があることを説明します。

「もし(ケ)に3がなかったと仮定

すると、おかしなことになる。だから

実際は3があったはず」という流れ。

 

高校で「背理法」(はいりほう)とか

呼ばれる、特別な証明です。背理

とは、おかしな理屈という意味。

「もし、ある事を仮定するとおかしな

事になるから、その仮定は誤り」と

いう形で、論理的思考力が必要です。

 

 

   ☆    ☆    ☆

190205d

 

まず、ケに3がないと仮定します。

 

最後にDが3と8を持っているの

だから、途中のCは3を持ってた

はず。それでCは退場してないから、

だったはず(ク・・(x))。

 

その時、Dはすでに8を持ってた

はずだし、もう1枚は8より大きい

数(次にEにわたすから)。しかも

Dは退場してないから、

だったはず(ケ・・(y))。

 

ということは、最初のCが8か9を

持ってて、Dにわたしたはずです。

 

最初のCが9を持ってたとしたら、

2と9。そこから9をわたして、3

を受け取って、23になったのです。

 

最初のCが8を持ってたとしたら、

3と8。そこから8をわたして、2

を受け取って、23になったのです。

 

結局、最初のCは29か、

・・・(z)。以上のxyzが、問題

(2)の(a)の解答です。

 

 

    ☆    ☆    ☆   

ところが一方、1回目には誰も負け

なかったのだから、全員が同じ

マークのカードをわたしたはず。

 

スペードのT(つまり10)は一番

大きい数で、必ずわたしたはず

だから、1回目は全員スペードを

わたしたことになります。

 

2をわたした人は12だったはず。

すると、4をわたした人は34。

さらに、6をわたした人は56。

8をわたした人は78。

T(=10)をわたした人は9T。

 

つまり、「スペードハートより

1大きい」・・・(2)(b)の答。

 

これは仮定とは関係ない真実

事実です。そして先ほどの(ウ)、

つまり最初のCが29か38だった

ということと話が合わない

 

だから(ケ)に3がなかったと仮定

したのは誤り実際は、(ケ)に

3があったことになります。

 

 

   ☆    ☆    ☆

ということは最初、Bが8を

持ってて、それが2回の操作で

Dまで来たことになります。

 

つまり最初の配置はB

。スペードはハートより

1大きいことを考えてます。

 

190205e

 

ここでCが12だと、1回目に2を

Dにわたしたあと、2回目にDが

3をわたすことになってしまいます。

よって、Cは12ではありません。

 

また、ここでCが9Tだと、1回後に

89となって、2回目にDに9を

わたすことになってしまいます。

よってCは9Tでもありません。

 

だから最初、Cです。

 

190205k

 

もし、AとEが9Tと12だと(下図)、

その後上手くいきません(試して

みてください)。

 

190205g2

 

正しいAとEは最初、

 

190205h

 

以下、2回の操作でDだけが勝ち

残ります。

 

190205i_2

 

190205j

 

 

   ☆   ☆   ☆

なお(2)(c)の答は次の通りです。

 

最初(下から3番目の図)の

A、B、C、D、E。 (ア)12

(イ)78(ウ)56(エ)34(オ)9T

 

1回目の後(下から2番目の図)

のABCDE。(カ)1T (キ)27

(ク)58 (ケ)36 (コ)49

 

これだけハイレベルの論理

パズルをわずかな時間で小学生

に解かせるというのは凄い中学

だと思います。4問で60分、1問

平均15分しかありません。

 

とにかく受験生の皆さん、どうも

お疲れさま。ではまた。。☆彡

 

 

cf. 3人のゲームトーナメント、

変わった時計~桜蔭中19入試

 

 

     (計 2011字)

 (追記30字 ; 合計2041字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方 4~ニコリ、難易度(なんいど)3、朝日新聞(あさひしんぶん)

きょうは、白い丸(しろいまる)と黒い丸

(くろいまる)を一つずつ直線(ちょくせん)

でつなぐパズル、「しろくろつなぎ」

ついてかきます。解き方(ときかた)や

考え方(かんがえかた)、コツです。

 

これが4本目(ほんめ)。小学校(しょう

がっこう)3年生くらいでも、スマホや

タブレットでよめる、カンタンな記事

(きじ)です。

 

きのう(2019年1月26日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度

(なんいど)☆3つのしろくろつなぎが

出てました。なんいどは、むずかしさ

のこと。たぶん☆3つははじめてです。

 

もし、むずかしいと思ったら、☆2つの

カンタンなパズルの記事があります。

 1本目は、こちら

 2本目は、こちら

 3本目は、こちら

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、きのうの問題(もんだい)です。

 

190127a

 

右側(みぎがわ)はちょっとむずかしい

ので、左から始(はじ)めましょう。

 

白い丸と黒い丸をつなぐとき、線を

引(ひ)く向きを考えるとわかりやすい

ことがあります。そのときは、矢印

(やじるし)で書くとよいでしょう。

 

 

    ☆    ☆    ☆

まず、5本だけ引いてみました。引く

順番(じゅんばん)を番号(ばんごう)

で書いてます。①、②、③・・・。

べつの順番でも書けます。

 

190127b

 

このあとは、もう少(すこ)し左下の

あたりを書いたあと、上側(うえがわ)

を書くとカンタンでしょう。

 

しめきりが水曜(すいよう)0時(じ)

なので、今日(きょう)はここでやめて

おきます。次(つぎ)は明日(あした)

の夜(よる)、もうちょっと先に進(すす)

みます。

 

今週(こんしゅう)は合計(ごうけい)

13327字(じ)書きました。

ではまた来週(らいしゅう)。。☆彡

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もうちょっと先に進みます。

 

190128_shi

 

左の半分(はんぶん)をすべて書き

ました。あとは、右上から書いて

いけばできます。

 

つづきはもう、土曜日(どようび)に

答(こたえ)が出(で)たあとにします。

ではまた。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では土曜になったので、最後(さいご)

の図(ず)を書きます。あわてて線を

引くと失敗(しっぱい)するので、順番

と向きを考えて、1つずつゆっくりと

引いてください。

 

190202

 

たての線の答は7本。それではこれで

終わりにしましょう。。☆彡

 

      (計 736字)

 (追記194字 ; 合計930字)

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開立法、³√(3乗根、立方根)の筆算~海軍兵学校の算術3

100年以上前の海軍兵学校の数学試験(算術)、第3弾。

最後は3乗根、立方根の筆算である開立法となる。珠算(そろばん)

の世界などでは、開立算とも呼ばれる。

 

一つ一つの計算は単純な算数だし、長くもないが、特殊な組合せ

による計算法なので、これだけを読んでもピンと来ないと思う。

平方根の筆算を知らない方は、まずウォーミングアップとして、

前の記事を読むことをお勧めする。

 

 √(ルート)の筆算、開平法~海軍兵学校の数学試験(算術)2

 

根本的には、答を1ケタずつ探していくわけで、別にやり方など

知らなくても、少し頑張って試行錯誤すれば解ける。それを工夫

して、スムーズな流れにするのが以下の方法。

 

ただし、その方法自体がちょっと覚えにくいし、使いにくい。私は

この記事のために1週間ぶりに解いたが、ちょっと忘れてた♪

 

 

    ☆       ☆       ☆

今回は、一般的な説明や試験問題の前に、簡単な実例で解説

しておく。私が作ったもので、一番簡単な部類だろう。

 

(問) 238328の立方根を求めよ。    

190123a

 

まず、1の位から左側に3ケタずつ区切る。そして、先頭(左端)

の3ケタ(以下)に対して、3乗すると同じか少し小さくなる数

を右側に書く。この場合だと、3乗して238より少し小さくなる

のは。そして、6³=216を引いて、次の3ケタを下ろす。

 

190123b

 

左側に、18(=3×)と、10800(3×100ײ)

を書く。これは、答の次のケタを求めるための準備。

 

190123c

 

答の次のケタの数(1ケタ目)は、上のような計算で右下が

22328以下になる数のうち、最大のものとする。

具体的には、右側に残ってる22328に対して、中央の下側は

ほぼ11000くらいだから、倍するのだろうと考える。

 

この時、18×=364

 10800+364=11164

 11164×=22328

ちょうど右側の数と差し引きゼロになって、答は6となる。

 

 

     ☆       ☆       ☆

海軍の問題に移る前に、理屈とか理由を少し考えてみよう。

上で、2を求める計算は何なのか。

 

6の次の数をaとすると、

 (60+a)³≦238328

∴ 60³+3×60²×a

  +3×60×a²+a³≦238328

∴ (3×60²+3×60×a)a

   ≦22328

 

最後の式の左辺で、カッコの中を計算してるのが

筆算の左側。そして筆算の中央下側さらにa倍(=2倍)

して、22328以下にする。この場合はちょうど22328

になって終了。

 

もちろん、ちょうど一致しなければ、次のケタに進んで同様の

計算を繰り返すことになる。

 

なお、最初に3ケタずつ区切るのは、答の数が1ケタ

(=10倍)上がるたびに、3乗すると3ケタ(=10³倍)

上がるため。

 

 

    ☆       ☆       ☆

それではいよいよ海軍兵学校の試験問題のラスト。第7問。

これまでと同様に、当時の解答に合わせて説明する。出典は

上のリンク(国立国会図書館デジタルコレクション)参照。

 

7. 0.028934443 ノ立方根ヲ求ム

   (注. 小数点の直前のゼロは省略してた)

 

190123d_2

 

小数を避けたければ、まず1000³=10億倍して

28934443にして解いた後、答を1/1000する。

ただ、ここではそのまま小数で解く。

まず答の小数第1位はで、28から3³(=27)を引く。

 

190123e

 

右側は次の3ケタを下ろして、1934にする。左側は、

9(=3×)と2700(=3×100ײ)を書く。

 

190123f 

 

2700より少し大きい数とかけ合わせて1934以下になる

数は、0~9の中だとのみ。そこで、答の次のケタ(小数

第2位)にと書き、左端の9の次にと書く(後で補足)。

 

190123g

 

答の3ケタ目(小数第3位)をとすると、上図のように

キレイに差し引きゼロになる。

 907×7=6349

 270000+6349=276349

 276349×7=1934443

 

 

    ☆       ☆       ☆

なお、小数第2位を求めた時の答の書き方は、上では省略

してある(当時の解説書がそうなってるから)。

 

省略せずに書くと、下のようになる。右上の答の所に

「0.」を書き忘れてるので、悪しからず。

 

190123h

 

最後に、答が0を含まない3ケタの場合も示しとこう。

9663597の立方根213の求め方。

左下には、3×21と3×21²を書く。

ちなみに検算は、例えばカシオのサイトが便利だ。

 

190123i

 

190123j

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

          (計 1735字)

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連続する3つの自然数の積と倍数、不定方程式の応用~2019センター試験・数学ⅠA・第4問(選択)

河合塾の分析によると、今年の数Ⅰ・

数Aの総合的な難易度は「昨年並み」。

ただし、「必答問題は計算量が少なく

易しいものが多かったが、選択問題は

誘導に気づきにくく難しいものがあった」。

 

以下で解説する選択問題・第4問の

(4)のラストは、確かに誘導に気づき

にくいというか、誘導を使いにくい。

 

これが時間の長い入試なら普通かも

知れないけど、センター試験は4問で

60分だから、1問平均15分。正確

には選択問題は配点20点だから、

単純計算だと12分。それでこの誘導

は不親切だろう。

 

せめて(3)を最初にして、その後で

(1)(2)を続けてれば、自然に(4)

を考えることができた。

 

ところが実際は(3)で不定方程式の

話の流れが一旦途切れるので、誘導

の流れを見失う。(3)の前半と後半

のつながりも分かりにくい。

 

特に、100点満点を取ろうと狙ってた

受験生は焦っただろう。ただし、難しい

のは一番最後だけなので、平均点には

それほど影響しないと思う。河合塾の

数Ⅰ・Aの予想平均点は60点で、去年

より2点弱下がっただけになってた。

 

なお、この記事はスマホで読む人の

割合が多いだろうから、1行の字数を

少なくする。PCやタブレットの方、

悪しからず。ちなみに私の入力はPC。

 

 

    ☆       ☆       ☆

問題はまだ大学入試センターで公開

されてないので、河合塾からコピペ

させて頂く。解答・解説は何も参考に

してない。厳密に書くと長いし、元々

マークシートだから、少し省略した。

 

190121a

 

解答(1)

 49x-23y=1

 49×8-23×17=1

(注. 8と17はアイウの単なる候補)  

辺々引いて、 

 49(x-8)-23(y-17)=0

 ∴ 49(x-8)=23(y-17)

49と23は互いに素だから、

x-8=23kと書ける。

 ∴ x=23k+8

よって最小の自然数xは8 ・・・ア

また、エオ23

 

x=23k+8を元の式に代入して

 49(23k+8)-23y=1

 ∴ y=49k+17

x=8の時、k=0だから、

 y=17 ・・・イウ

また、カキ49

 

 

    ☆    ☆    ☆

190121b

 

解答(2)

 A=49x、B=23yとし、

(1)を参考にして考える。

 

A-B=1の時、

 49x-23y=1

よって(1)より最小のAは49×8。

この時のBは23×17。

 

一方、A-B=-1の時

 49x-23y=-1

 49×8-23×17=1

辺々足して、

 49(x+8)-23(y+17)=0

∴ x=23k-8,y=49k-17

最小のAは49×15(k=1)で、

先ほどの8より大きくなってしまう。

 

以上より、AとBの差の絶対値が1なら 

(A,B)

=(49×,23×17) ・・クケコ

 

またA-B=2の時、上と同様にして

 x=23k+16

最小の自然数xは16だから、

最小の自然数Aは、49×16

 

一方、A-B=-2の時、

 x=23k-16

最小の自然数xは7(k=1)だから

最小の自然数Aは49×7。

これは先ほどの49×16より小さい。

この時、B=A+2=23×15 

 

以上より、差の絶対値が2なら

(A,B)

=(49×,23×15) ・・サシス

 

 

    ☆    ☆    ☆

190121c

 

解答(3)

 aとa+2の最大公約数は、

 aが奇数なら1、偶数なら2。

合わせると、1または2 ・・・セ

 

また、a=1の時を考えると、

 a(a+1)(a+2)=6

これがmの倍数だから、 m≦6

 

逆に、m=6としてみる。

連続する3つの自然数である

a、a+1、a+2の中には2の倍数

と3の倍数は必ず含まれるから、

3つの積は6の倍数。

 

以上より、条件をみたす最大の

mは6 ・・・ソ

 

 

    ☆    ☆    ☆

190121d

 

解答(4)

 6762=2××7²×23 ・・タチツテ

 

まず(3)より、b(b+1)(b+2)は

常に2×3(=6)の倍数。

よって、あと7²(=49)の倍数であって、

かつ、23の倍数であればよい

(正確には、bの必要十分条件)。

 

連続する3つの自然数b、b+1、

b+2のどれか1つが、単独で49の

倍数かつ23の倍数とすると、それは

49×23の倍数だから大きくなって

しまう。

 

そこで、49の倍数と23の倍数が

3つの中の別の数だとしてみる。

 

例えば、b=49x、b+1=23y

なら、49x-23y=-1

また、b=23y、b+2=49xなら、

49x-23y=2

 

結局、49の倍数と23の倍数の差

の絶対値が1か2だから、(2)の答

2種類を合わせて利用できる。

 

よって、49の倍数が最小になる

のは、それが49×7=343の時

((2)後半)。この時、23の倍数は

23×15=345。

 

したがって、345がb+2であり、

 b=343 ・・・トナニ

 

 

    ☆    ☆    ☆

なお、最初や途中の1次不定方程式

(整数解)を解く方法は色々ある。

 

例えば、49x-23y=1なら、

係数の絶対値が大きいxの側に

1,2,3,・・・と代入していく

のがコツで、x=8で成功する。

 

あるいは、まず

 23(2x-y)+3x=1

と変形して、2x-yの所に

1,2・・と代入していくやり方も

ある。2x-y=2ですぐに成功。

 

理論派の人なら、さらに

 3{7(2x-y)+x}

 +2(2x-y)=1

と変形したくなるかも知れない。

 

ただ、変形自体が面倒だし、

7(2x-y)+xの所に整数を

代入して成功しても、そこから

出て来るyが整数とは限らない

ので、あまり上手くはない。

 

最初の式から

 y=(49x-1)/23

  =2x+(3x-1)/23

と変形して行く方法は、さらに

面倒で、受験数学では損だろう。

 

ともあれ、数Ⅰ・Aの約40万人の

受験生の皆さん、お疲れさま♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.妻と再会できた夜、月見草の花畑

 ~上林暁『花の精』(2019国語)

 

二項分布と正規分布、標本による

  母集団の推測、信頼区間

 ~2018センター試験・数学ⅡB    

 

 陸上選手の体格指数BMI(散布図

 と補助線の傾き、箱ひげ図)

 ~2018センター試験・数学ⅠA

 

       (計 2356字)

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√(ルート)の筆算、開平法~海軍兵学校の数学試験(算術)2

今日は、昨日の記事の続きで、明治36年の海軍兵学校の数学

試験を解説する。最近の学校教育ではあまり見かけない特殊な

計算だし、まず前置きから入ることにしよう。不要な方はスクロール

すれば、すぐに問題と解答を読める。

      

自然数の√(ルート)や平方根は、誰でもそれなりには計算した

ことがあるだろう。最初に習うのが、1ケタや2ケタの数の√。

4の平方根は±2、√4=2とか、√49=7とか。

 

これらは九九(くく)を覚えてれば一瞬で解けるけど、元の数が

3ケタ以上になると、多少考えることになる。

 

 

     ☆       ☆       ☆

例えば、263が素数かどうかを考える時、2で割れるか、3で

割れるか・・と考えて行って、√263以下の最大の自然数

(=16)まで試せばいい(正確には素数13まで)。

 

私が√263の近似値を計算するなら、まず15²=225

を思いつく。続いて、16²=256、17²=289。

 ∴ 16²<263<17²

 ∴ 16<√263<17  

こんな感じで数秒ほど暗算。「16.・・」だなと考える。

 

要するに、2乗して、√の中身を超えないような最大の数を

探すのであって、普通は簡単な計算で済む。しかし、√の

中身が大きい数だったり、小数点以下が長い数だったりすると、

ちょっと面倒で、何か工夫をしたくなる。

 

 

     ☆       ☆       ☆

普通は「開平法」と呼ばれ、珠算(そろばん)だと「開平算」とも

呼ばれる方法も、√の計算をちょっと工夫して筆算しやすく

したもの。だから、工夫そのものが難し過ぎるとあまり意味は

ない。それなら普通に手探りで2乗して探してもいいことになる。

 

その意味で、以下に示す明治期の開平法(の一種)は、手頃な

工夫だと思う。ほどよく丁寧で、ほどよく省略されてるのだ。

もっと丁寧な筆算はあちこちで説明されてるし、極端に省略

した筆算は英語版ウィキペディアにあった。

 

最大のポイントだけ、先に数式で示しとこう。√263なら、

十の位が1というのはすぐ分かる。一の位をaとすると、

 (10+a)² ≦ 263

∴ 10²+(2×10+a)a≦263

∴ (2×10+a)a ≦ 263-100

 

最後の式は見慣れないものだけど、最初の式より両辺の値

が小さいし、右辺の263-100という計算は普通の割り算

と似た操作。

 

そこで筆算の左側に(2×10+a)aを書き、ギリギリ

右側の263-100以下になるようにaを決めるのが基本。

ただし、明治の解答では、筆算の左側に 2×10+a 

だけ書いてるのだ。慣れれば効率がいいと思う。

 

より一般的に言うなら、

 (2×「既に求めてる答の部分」+a)a

  ≦ 「残ってる数」

という式を利用して、答の次のケタであるaを決めていく。

 

 

     ☆       ☆       ☆

では、100年以上前の「算術」(算数)の入試問題。当時の

略解が国立国会図書館デジタルコレクションで公開されてる

ので、あえてそれを利用してみる。

 

問題6

 三百坪の正方形の地面あり 其(その)一辺の長さ幾間

 (いくけん)幾尺なるか、但し尺の小数第二位以下

 四捨五入せよ

  (注. 今の言い方なら、小数第三位を四捨五入して

    小数第二位まで求める。)

 

解説込みの解答

 (三百坪)=300×(6尺×6尺)

     =10800 (平方尺)

 よって、√10800を求めればよい。

 (注. 当時の解答に合わせるため60√3には変形しない

 

190116a2

 

10800.0000と書いて、小数点の左右を2ケタずつ

縦線で区切る。その右側に、カギカッコで区切って答を書く。

   

2乗して、左端の1以下になる0以上の整数は、1しかない。

そこで、まず右上に1と書き(答の百の位)、その2乗

(=1)を元の数から引くと、8になる。

 

190116b2

 

答の最初のケタの1を2倍すると、2。

「2a」(つまり20+a)と掛け合わせて8以下になるような

aは、0しかない(0以上の整数では)。

 

そこで、右上に0(答の十の位)を書くと共に、左下は20と

書く。そして、8の右側に上から00を降ろして、800にする。

190116c2

 

さらに、「20b」(つまり200+b)と掛け合わせて

800以下となるような最大のbは、3。

 

190116d2

 

そこで、右上に3(答の一の位)を書き、

203×3(つまり609)を800から引いて191。

左端は、203に3を加えて206。要するにこれは、

既に求めてる答の部分「103」を2倍した数。

 

 

     ☆       ☆       ☆

190116e2

 

さらに同様の操作で、答の小数第一位である9を求め、

2069×9(つまり18621)を19100から引く。

 

190116f2

 

全く同様に、答の小数第2位が2と分かる。第3位は3

になるから、四捨五入によって切り捨てられる。

 

6尺が1間(けん)だから、は、

 103.92尺=17間1尺92

 

190116g2

 

 

     ☆       ☆       ☆

もちろん今なら、

 60√3=60×1.73205・・

と計算する問題だ。明治時代に、上の変形や√3の近似値を

使ってよかったかどうかは不明。

 

上図の下から3行目、「47500」は些細なミスというより

誤植か。正しくはもちろん「47900」で、その後の引き算

と結果は正しい。

 

なぜかこの解答(金刺芳流堂等)だと、小数点は今と同じ「.」

(点)になってるけど、前回の記事の問題文では「,」(コンマ)

だった。両方が混在してたということか? とりあえず保留。

 

ちなみに解答の最後は、「92強」と書いてた。切り捨てた時に

そう書き添えるのが当時の慣例だったのかどうか、これも保留

しとこう。なお、10√108

 

記事をまとめるのにずいぶん手間ヒマかかったので、最後の

問題の開立法(立方根の計算)はしばらく後回し。オマケの

具体例として、√5と√263の計算を付けとこう。   

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

190116g

 

190116h

 

         (計 2250字)

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海軍兵学校の数学試験(算術)~明治36年度(1903年)の問題と解説・解答

たまたま今週末はセンター試験が実施されるけど、これはテレビ

がキッカケで書くもの。ある意味、ドラマ関連記事だ。

 

NHK大河ドラマ『いだてん』第2話で、海軍兵学校の試験前に

数学の勉強をする姿が少し映されたので、試しに検索したら、

国立国会図書館デジタルコレクションで公開されてた。所官立

学校入学試験問題集、東華堂。著作権は消滅済み。

 

その時はドラマレビューに追われてあまり調べなかったけど、今

調べ直すと大量の情報が公開されてて驚くほど。赤本みたいな

解説の本まで出版されてる。明治時代の受験生も、今とそれほど

変わらない状況で受験勉強してたということか。

 

以下では、先日のレビューで問題の画像だけ掲載した明治36

年度の試験を扱う(試験日は7月8日)。要するに『いだてん』

主人公が受験した頃という大まかな意味であって、金栗四三の

受験年度を正確に選んだわけではない。そもそも彼は身体検査

(視力)ですぐ落とされてるし♪

 

万が一、ある程度のアクセスがあるようなら続きの記事を書く

かも知れないけど、流石にそれはないと思う♪ そもそも私自身、

この種のものは今まで1回しか見たことがない。10年前くらいに

コメント欄で解き方の質問を受けた時が最初で最後になってた。

 

 

     ☆       ☆       ☆

190115a

 

2時間で7問の「算術」試験(現在の算数)。カタカナはひらがなに

変更、漢字も現在の形に直す。文章の書き方は、意外なほど今と

変わらない。

 

第一問

 1107,3075,7421の最大公約数を求む

 

解答  それぞれ素因数分解すると、

 1107=3³×41

 3075=3×5²×41

 7421=41×181

  よって最大公約数は、41 ・・・

 

感想・補足

 実戦的には、一番小さな1107をまず素因数分解して、

41を見つけて、他の2つの数を割ってみるのが賢い解き方。

その後で、記述式の解答をキレイにまとめる。

 

 

第二問

 0.425÷(3と2/5)+(4と7/12)×

  (2と3/11)-(10と5/24)

 を最も簡単なる分数に直せ。

 

解答

 (与式)=(425/1000)÷(17/5)

  +(55/12)×(25/11)-245/24

  =1/8+125/12-245/24

  =(3+250-245)/24

  = 1/3 ・・・

 

 

第三問

190115b

 

(12.3123123・・)÷(3.4555・・)

の値を小数点以下五位まで計算し以下四捨五入せよ

 

解答

 x=12.3123・・とおくと、

 1000x=12312.3123・・

下の式から上の式を引いて、

 999x=12300

 ∴ x=12300/999=4100/333

 

 また、y=3.455・・とおくと、

  10y=34.55・・

 ∴ 9y=31.1

 ∴ y=311/90

 

 ∴(与式)=(4100/333)÷(311/90)

    =(4100/333)×(90/311)

    =41000/11507

    =3.563048・・・

    ≒3.56305 ・・・

 

感想・補足

 解説本を見ると、割る側の数を単に3.45として解いてた。

循環小数を表す数字の上側の黒い点を、単なる汚れと勘違い

したわけか♪ 当時はコンピューターを使えないから、桁数の

多い単純計算の能力は重要だったのだろう。

 

ちなみに当時の日本では、小数点は「.」(点)ではなく

「,」(コンマ)を使ってたようだ。フランス式の表記法。

 

 

     ☆       ☆       ☆

第四問

 昨日の正午に正しき時刻に合せ置きたる時計が今日の

正午には十一時五十二分を示せり 此(この)時計が

明朝午前八時を示す時の正しき時刻を問う

(但し今日の正午には合せ置かざりしものとす)

 

解答

この時計が23時間52分進む間に、正しい時間は8分

多く進む。つまり時計が1432分進む間に正しい時間

は8分多く進む。

 

時計が今日の11時52分から明日の8時まで進むという

ことは、時計が20時間08分(=1208分)進むということ。

その間に正しい時間は、

 1208×8/1432=1208/179

   =6と134/179(分)

多く進む。

秒まで考えると、6分44秒164/179。

 

よって求める時刻は、今日の正午から

 1208分+6分44秒164/179

だけ進んだ時刻。

したがって、午前8時14分44秒164/179 ・・・

 

 

感想・補足

解き方は、時計を基準にするか、あるいは正式な時刻を基準に

するか、どちらでもOK。答は変な数字だから、念のために別の

解答書を読んで確認した。一応、今だと小学校6年生の算数で、

難関中学の入試問題に相当する。あるいは日テレ『頭脳王』♪

 

ただ、今の大学生でも8割くらいは、間違えるかほぼ白紙だろう。

問題の意味を取り違える学生も多いはず。それを言うなら、現在

のAIも問題文の読解に苦労しそうだ♪

 

 

     ☆       ☆       ☆

第五問

 金五百二十五円を甲乙丙三人に分ちその所得甲と乙

との比が5:4 乙と丙との比が3:2なる様にせよ

 

解答

 5:4=15:12。また、3:2=12:8だから、

連比でまとめると、

 (甲の金):(乙の金):(丙の金)

 =15:12:8

 =225:180:120

 

よって甲225円、乙180円、丙120円 ・・

 

 

     ☆       ☆       ☆

残り2問はルートと三乗根の筆算だから、後で別記事にする。

立方根の手計算は今までやったことがないし、平方根の計算も

小学校6年か中1の頃、1回か2回やっただけなのだ。しかも

参考書の真似をしただけで、理屈は理解してなかったと思う。

 

なお、「算術」は単なる算数だから、他に代数や平面幾何など

の問題もある。制度の全体はまだ把握してないけど、かなり優秀

な生徒でないと受験する気さえしないだろう。兵学校とか軍隊の

体育会系イメージが大幅に変わった。文武両道とはこうゆう事か。

 

とりあえず今日のところはこの辺で。。☆彡

 

          (計 2297字)

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