Wolfram Alpha(ウルフラム・アルファ)日本語版、高校数学の質問にすぐ応答

数学の簡単な問題を解くフリーソフト、システム、プログラムといった

ものは、5年以上前に何か(Maxima=マキシマ?)を少し

オンラインで使って以来、ご無沙汰になってた。

 

英語だし、数式の入力の仕方も分かりにくかったし、出て来た結果

の表示も無味乾燥。慣れれば役に立つだろうけど、慣れるまで使い

続ける気がしないというか、1回試しただけで満足してしまった。

 

それに対して、先日たまたまネットで知った Wolfram Alpha

という質問応答システムは、数学以外もカバーする高性能に加えて、

見やすいデザイン。おまけに2018年6月18日には、数学関連

だけ日本語版が公開されたようだ。公式ツイッターでいきなり、直線

と放物線が囲む面積(高校2年、数学Ⅱ)を解いてみせてる。

 

180708l

 

というわけで、3週間遅れながらちょっと試してみた。以下、簡単に

紹介してみよう。ウルフラムというのは開発者の名前で、英語版

は2009年に開始。ウルフラム言語というものを使うらしい。

 

 

     ☆       ☆       ☆

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上図がトップページ上段で、既に言語を英語から日本語に変更

した後。私は基本的にPCを使ってるけど、iPadでモバイル用

ページを見た時には言語を変更する場所が見当たらなかった。

「クエリ」という IT用語は、「質問」と書く方が分かりやすい。

 

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わざわざ「高等学校 数学」という項目を作ってるのは、現在の性能

のレベルも関係してそうだけど、有料契約の勧誘もあるだろう。

 

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普通の契約(Pro)だと、1ヶ月630円。答を出すまでの、

「ステップごとの解説」とかが加わるそうだ。手軽な家庭教師としては

良さそうだけど、高校生が使うスマホでの使いやすさが問題か。

 

 

    ☆       ☆       ☆

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まずは元々サンプルとして挙げられてた、数学Ⅰの因数分解。

「既約因数分解」というのは、この問題では意味がないけど、

複素数範囲で(無理やり)1次式の積まで分解したものらしい。

 

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驚いたのが、3Dプロットとか等高線プロット。要するに、元の

x,yの式をzとおいて、3次元の曲面を描いてるのだ。0.1秒♪

因数分解された式から考えて、y=xとかy=-xの時は

z=0となるから、等高線のバツ印の2直線はすぐ納得できる。

等しい高さz=0になるような、点(x,y)の集合ということだ。

 

180708f

 

続いて、分母の有理化。ご丁寧に、小数の近似値とか、最小多項式

まで一瞬で表示してくれる。最小多項式とは要するに、与えられた

数を解として持つn次方程式(右辺は0)の左辺の内、次数が

最低で、最高次の係数が1である式。たまに出題されるものだ。

 

 

     ☆       ☆       ☆

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これも凄い。サイコロ5個の目の合計に関する、確率分布と期待値。

1個だったら、

 (1×1/6)+(2×1/6)+・・・+(6×1/6)

=3.5

5個なら5倍で、17.5。

 

180708h

 

ただ、日本語入力の解釈はまだ苦手なようで、「サイコロ5個の

和」とか、「・・・目の合計」とか入力すると処理不能。

「サイコロ5個の和」は、「サイコロ1個の目と、数5、との和」

と解釈してる。だから期待値は3.5+5=8.5なのだ♪

 

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とはいえ、放物線の式の頂点やグラフも軽くこなすし、

数学Ⅲの定積分も可能。

 

下は、本来は有料の「ステップごとの解説」を、無料でサンプル表示

したもの。「微積分の基本定理を適用」という説明は余計というか、

書かない方が親切だ。「極限で評価」というのも、「上端のπと下端

の0でそれぞれ計算し」と書くところだろう。どうも、発想が大学以上

の数学になってる。答を枠で囲んで色を付けてるのは、親切。

 

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     ☆       ☆       ☆

他に、論理学の真理値計算とか真理値表作成もやってくれる優れ

モノで、私が時々使ってるカシオの高精度計算サイトと比べても、

遥か上。とはいえ予想通り、まだまだ一般には普及してない。

 

「ウルフラム」でツイッター検索すると、もっぱら北海道すすきのの

新しいSFバーが話題になってた♪ やはり、理数系マニアよりサブ

カルチャー好きの方が遥かに多いということか。まあ、一部は重複

してるだろうけど。私も含めて♪

 

なお、今週はちょっと少なめ、計13395字で終了。

ではまた来週。。☆彡

 

             (計 1768字)

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パズル「推理」、表を使わずに答を出す解き方2(ニコリ作、朝日be、難易度3、18年6月23日)

今日は早起きして自転車に乗る予定

だったのに、雨が残ってたから、

代わりにパズル記事を書きます。

 

中学生~大人向けですが、小学校5、6

年生でも読めるでしょう。スマホ向け

に1行の字数を減らしています。

 

このブログでは今まで、朝日新聞・

朝刊別刷beのパズル「推理」の記事

を7本書いてます。

 

大人向け、パソコン向けが3本

 (1本目4本目)。

子ども向け、スマホ向けが3本

 (1本目2本目3本目)。

 

他に、同じタイプの問題として、

アインシュタイン式論理脳ドリルの

簡単な記事もあります。

 

今回は前回(大人向けの4本目)に

続いて、表を使わない解き方を解説

します。考え方、コツ、攻略法みたいな

ものです。余裕のある人は、頭の中

だけで解くと脳トレになるでしょう。

 

念のため、記事の後半に、表を使う

解き方も簡単に付け加えときます。

 

 

  ☆    ☆    ☆

昨日(2018年6月23日)掲載された

問題は、いつものように表とイラスト

が付いてましたが、ここではまず、

ヒントの文章だけ書いときます。元の

言葉を少し短くまとめたものです。

 

クイズ大会で、5人の正解数と得意

な問題(すべて別)を考えます。

 

高松くん 佐藤さんより2問多い。

佐藤さん 小林くんは芸能が得意。

小林くん 僕の正解数は、スポーツ

     が得意な人より多い。

森田さん 6問正解の人は文学が

     得意。私は3問正解。

原田くん 僕はスポーツの問題は

     得意じゃない。正解数は

     社会が得意な人と2問差。

 

 

   ☆    ☆    ☆

名前、正解数、得意科目という、

3種類のものを1つずつ(1対1で)

対応させるタイプの問題です。

 

ただし、正解数の5通り(1問、3問、

6問、8問、10問)には、多いとか

少ないとか、数の関係があるので、

そこを上手く利用します。

 

5人のうち、一番ハッキリとした情報

を教えてくれてるのは森田さんで、

彼女は3問。

 

さらに、高松くんの話を考えると、

「高松くんと佐藤さん」は、

「8問と6問」か、「10問と8問」

のどちらかになります。

 

ここで少し考えると、小林くんの

正解数が分かるのです。いつもの

ように、この記事は少しずつ更新

して行きましょう。

 

次は今日の夜遅くに更新します。

なお、表を使う解き方は、下の図と

説明を参考にしてください。

ではまた、後で。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では夜になったので先に進みます。

森田さんが3問なので、

「高松くん、佐藤さん、小林くん」は

「8問、6問、10問」か、「10問、

8問、6問」の組合せのはず。

 

ここで、6問の人は文学が得意

なので、芸能が得意な小林君では

ありません。したがって、

「高松くん、佐藤さん、小林君」は

「8問、6問、10問」となります。

 

次は明日の夜遅くに更新します。

なお、今週はここまで、合計

12179字で終了。忙しくて、

あまり書けませんでした。

ではまた来週。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もう少しだけ続けましょう。

 

佐藤さんは6問だから、森田さんの

話から、文学が得意。森田さんは

3問だから、原田くんは残った1問

のはず。

 

あとはもうカンタンなので、新聞

で答が出るまで止めときます。

ではまた。。

 

 

    ☆   ☆   ☆

土曜になったので最後まで書きます。

原田くんは、スポーツ・社会・芸能・

文学が得意な人ではないので、残る

科学が得意ということです。

 

よって、科学が得意な人の正解数

1問。これが「」です。

 

結局、すべて書くとこうなります。

 原田 1問 科学

 森田 3問 社会

 佐藤 6問 文学

 高松 8問 スポーツ

 小林 10問 芸能

 

 

   ☆    ☆    ☆

180624a

 

前から説明してるように、ここは違う

という場所に×(バツ)を付けるのが

簡単なコツ。

 

まず高松くんの話から、下のように

書けます。たとえば、彼が1問だと

すると、佐藤さんより2問多いという

話と合いません。だから、高松と

1問の所に、バツをつけるのです。

 

180624b

 

次に佐藤さんの話を使います。

 

180624c

 

さらに小林くんの話を使うと、彼は

1問ではないし、スポーツが得意な

人は10問ではないはずです。

 

180624d

 

表も一旦ここで止めときましょう。

今日(日曜)の夜に追加します。

ではまた。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もう1枚載(の)せときましょう。

森田さんの話から、次のように書け

ます。次は明日の夜に追加します。

 

180624e

 

では、もう少しだけ。原田くんは

スポーツが得意じゃないので×印。

さらに表より、芸能は6問ではない

ので、小林くんは6問ではない。

 

よって下のように書けます。ここで

佐藤さん、高松くん、小林くんが

何問かを考えれば、後は簡単。

最後はもう、土曜日にしましょう。。

 

180623f

 

    ☆    ☆    ☆

土曜日なので、これで最後にします。

 

180623g

 

佐藤さん・高松くん・小林くんの

正解数が、6問・8問・10問だと

わかります。すると原田くんは

残った1問。

 

あとは得意なものを考えれば答

が出ますが、この記事はそもそも

表を使わずに解く記事なので、もう

止めにしましょう。

 

それではこの辺で。。☆彡

 

 

            (計 1505字)

     (追記 516字 ; 合計 2021字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方 2~ニコリ、朝日新聞(あさひしんぶん)2018.6.2

きょうは、白い丸(しろいまる)と黒い丸

(くろいまる)を一つずつ直線(ちょくせん)

でつなぐパズル、「しろくろつなぎ」

ついてかきます。解き方(ときかた)や

考え方(かんがえかた)、コツです。

 

小学校(しょうがっこう)3年生くらいでも

よめるカンタンな記事(きじ)で、文字

(もじ)をすくなくしてます。

 

きのう(2018年6月2日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度

(なんいど)☆2つのしろくろつなぎが

出てました。2回目(にかいめ)です。

 

はじめてだった2ヶ月前(にかげつまえ)

も、☆2つでしたが、今回(こんかい)の

ほうがちょっとだけむずかしいとおもい

ます。

 

前回(ぜんかい)のパズルについては、

こちらを見(み)てください。

 

 

   ☆    ☆    ☆

例題(れいだい)は今回はとばして、

すぐ問題(もんだい)にいきます。

 

180603a

 

すぐわかる所(ところ)から、少しずつ

引(ひ)いていきましょう。図(ず)の

端(はし)角(かど)のあたりが

引きやすいのです。

 

180603b

 

まず3本だけ引きました。わかりやすい

向(む)きを矢印(やじるし)でかいてます。

 

しめきりが水曜(すいよう)の午前(ごぜん)

0時だから、ここで説明(せつめい)を

とめます。つづきは今日(きょう)、つまり

日曜(にちよう)の夜遅く(よるおそく)に

かきます。それでは、またあとで。

 

 

   ☆    ☆    ☆

では、つづきを少(すこ)し、かきます。

 

180603c

 

先(さき)につないである所(ところ)の

ちかくから書くと、わかりやすいです。

ここでは、上のはしのあたりで線を

ふやしてます。

 

逆(ぎゃく)に、まんなかは、あとまわし

にするのがいいでしょう。

つぎはあした(6/4)の夜おそくに

すこしかきます。

 

今週(こんしゅう)のブログは

12237字で、すくなめでした。

ではまた。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もうすこし進(すす)みましょう。

 

180602d

 

上(うえ)のほうから、すこしずつ

まんなかにちかづいてます。線(せん)

をひく向(む)き、矢印(やじるし)を

かんがえながら。

 

後(あと)はもうカンタンなので、次

(つぎ)は答(こたえ)がでてから

かきます。

 

このおなじもんだいを、はじめから

別(べつ)の順番(じゅんばん)で

ときなおすのもおもしろいでしょう。

 

さんすうと同(おな)じで、とちゅうの

ときかたは色々(いろいろ)あります。

ではまた。。

 

 

   ☆    ☆    ☆

6月9日、答が新聞(しんぶん)に出た

ので、ここにものせときます。

 

180609d

 

たての線は、1、2、7、10、11、12、

14、15、17だから、9本でした。

これでおわりにします。。☆彡

 

         (計 779字)

   (追記 313字 ; 合計 1092字)

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「サバイバー生存率」でガン患者に希望を~医学統計データと確率の計算式

2018年5月27日の朝日新聞・朝刊に、やや分かりにくいが興味

深い医学・医療記事が載ってた。私にとっては、初めて聞く言葉だ。

 

 前向き指標 サバイバー生存率

   診断から一定期間たった時点で算出

 

朝日デジタルの記事はこちら。執筆は編集委員・田村建二。

 

一言でまとめると、最大のポイントは患者に希望を与えることだろう。

1年とか2年とか生き抜いた患者に、「頑張りましたね。これだけ

生存率が上がりましたよ♪」と数字で示せる。だから「前向き指標」

という見出しが付けてあった。

 

 

     ☆       ☆       ☆

私の個人的興味は具体的なデータを用いた数式計算だが、先に

大まかな話をしとこう。計算だけ知りたい方は、しばらくスクロール

すると、この記事の終盤に書いてある。

 

普通の生存率というものは、年を追うごとに減っていく。少しずつ

死亡者が増えて行くから、1年生存率より5年生存率が低いのは

自然なこと。

 

ただ、患者の心理としては、生存率が下がるグラフを見るのは

プレッシャーだし、誤解も生じてしまう。「もう1年生き残ったから、

そろそろ死ぬ確率が高まって来たかな・・」といった感じで。

 

 

     ☆       ☆       ☆

本当は逆なのだ。簡単にいうと、診断後や手術後に1年生きた人は

病状がわりと良かった人(「予後」がよい患者)で、しかもこの1年で

さらに状態が改善してるだろうから、その後の生存率は上がるのが

自然。これ自体は数学的な話ではなく経験則。つまり統計的事実だ。

 

下図は朝日より引用。上側のグラフで、黒い「一般的な生存率」

のグラフは右下がりになってるけど、青い「サバイバー5年生存率」

のグラフは右上がりになってる。これなら、年を追うごとに希望や

安心が増すことになるだろう。

 

180528a

 

下側の「種類ごとのサバイバー生存率(女性)」のグラフを見ると、

甲状腺がん・胃がん・乳房がんだと徐々に100%に向かって上昇。

肺がんや膵臓(すいぞう)がんでも、80%くらいまで上昇している。

もっと詳しいグラフも朝日のHPに掲載されていた。

 

 

     ☆       ☆       ☆

さて、その計算方法。朝日の記事にも登場していた、大阪医科大

(おそらく現在の所属)の伊藤ゆり氏らによる短い論文がネットで

公開されていたので拝見。2012年頃の執筆だと思う。

 

 大阪府におけるがん患者のConditional Survival

    -がんX年サバイバーのその後の5年相対生存率

 

180528b

 

ちなみにサバイバー生存率の英語は、最後の「rate」(率)と

いう単語を省略してある。ネットで見る限り、省略が普通のようだ。

「相対」生存率というのは、「がんになってない普通の人と比べた

時の」といった意味だが、ここでは重要でないので省いておこう。

 

 

     ☆       ☆       ☆

一番基本的な数値は載せてなかったけど、計算方法は確認できた。

米国で「条件付き生存率」と呼ばれてることから予想できるように、

高校数学で習う「条件つき確率」の応用例。「普通の確率」を、「条件

が起きる確率」で割り算して求める。

 

教科書の例題レベルで、理屈は単純だし、数式も短くて簡単。ただ、

苦手とする人が多い分野で、専門家でもうっかりミスしてしまうことが

あるほど。当サイトの過去の数学記事でも何度か書いて来たことだ。

 

180528c

 

上で、「累積相対生存率」と書いてる箇所(上の段の数値)が、

ほぼ普通の生存率だ。ここでは、最初に100人の患者がいたと

仮定。数年後の生存者(サバイバー)の数へと書き直してみる。

 

 1年後 2年 3年 4年 5年  6年 7年

 77人 67人 63人 61人 60人 59人 58人

 

 

     ☆       ☆       ☆

最初から5年後には60人になるから、5年生存率は0.60。

つまり、60%。

 

ところが、1年後からの5年間(合計で6年後まで)を見ると、

77人が59人になってる。

 

 ∴ (1年サバイバーの5年生存率)

     = 59÷77

     ≒ 0.77 (つまり77%

 

元の小数をそのまま使うなら、0.59÷0.77で、答は同じ。

 

同様に、2年後からの5年間(合計で7年後まで)を見ると、

67人が58人になってる。

 

 ∴ (2年サバイバーの5年生存率

     = 58÷67

     = 0.87 (つまり87%

 

数学の公式の形でまとめると、一般に、

 (X年サバイバーの5年生存率)

   =(普通の X+5 年生存率)÷(普通のX年生存率)

 

 

     ☆       ☆       ☆

こうした簡単な割り算を色々と行ってまとめると、次の表になる。

 

180528d

 

一番最後(右下)、「5年生存者の5年相対生存率」は、0.97

と書かれてるが、上の表から計算する限りは0.95になる。

 

重要な数字みたいだから、入力ミスや計算ミスではなく、元の人数

データに遡って計算すると0.97になるのかも知れない。データ

Period analysis (特定の期間に注目

した分析)という特殊な集め方を使用。

 

なお、細かい話を追加すると、一つ前の図にある「期間生存確率」と

いうのは、1年目からの1年間の生存率、2年目からの1年間の

生存率・・などのこと。

 

 ∴ (1年サバイバーの5年生存率)

  = (1年後から6年後までの期間生存確率5つの掛け算)

  = 0.87×0.93×0.97×0.98×0.99

  ≒ 0.76 (つまり76%)

 

最後のケタの数が1だけ小さくなってるのは、期間生存確率を

求めた時の端数の処理のせいだろう(四捨五入など)。

 

 

     ☆       ☆       ☆

いずれにせよ、元の生存率から条件つき確率で求めればよい。

より正確には、元の生存者の人数データ(論文では非掲載)から

計算するのが最も正確な数字になる。ただ、誤差は僅かだから、

気にする必要はない。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

           (計 2251字)

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絵むすびの解き方13、小学生向け(ニコリ作、朝日be、2018年5月19日)

朝日新聞(あさひしんぶん)の「絵むすび」と

いうパズルについては、2年前と1年前に、

小学生向けのかんたんな記事を書いてます。

 

 絵むすびの解き方11(16年5月21日)

 絵むすぎの解き方12(17年5月2日

 

その前にも、大人向けの記事を10本

書いてます。

 

 第1回2回3回4回5回

 6回7回8回9回10回

 

今日は1年ぶりに、また小学生向けの

記事を書いてみます。5月19日の

難易度(なんいど)星4つの問題は、

むずかしかったようで、このサイトの

記事にたくさんアクセスが入ってます。

 

これはスマホ用に1行の字数を少なく

してるので、パソコンやタブレットの人は

見づらいかも知れません。

 

 

   ☆    ☆    ☆

今回は、春っぽい絵を結び合わせる問題

になってました。

 

靴(くつ)は「く」、ボトルは「ボ」、

グラブは「グ」、定規(じょうぎ)「じ」、

サクランボは「サ」、机(つくえ)は「つ」

と書きます。

 

180521a

 

考え方は色々ありますが、まず大きく

はなれてる2組だけ見るのがコツです。

ここでは、「く」(くつ)と、「じ」(じょうぎ)

の線がどうなってるか考えてみます。

 

180521b

 

上のように、「く」の線が、2つの「じ」の

間をとおってしまうと、ダメなのです。

 

「く」の線がジャマで、左上の「ボ」と

「じ」が、右下の方の「ボ」や「じ」と

つなげないからです。左はしのすきま

は、1マスしかあいてません。

 

だから「く」の線は、右下を大きく回るか、

左上を大きく回るか、どちらかです。

2つの場合(ばあい)をそれぞれ分けて

考えてみましょう。

 

 

    ☆    ☆    ☆

180521c

 

上の図のように、「く」の線が右下を大きく

回るとすると、左下の「サ」のまわりの

マス目がちょっとあまった感じになります。

マチガイかどうか、まだわかりませんが、

なれると、なんとなく変な気がするのです。

 

だから先に、「く」の線が左上を大きく回る

ときを考えてみましょう。

 

180521d

 

このとき、左上の「ボ」、「グ」、「じ」の線は

どのようになるでしょうか?

 

今夜はここまでにして、いつものように、

少しずつかいて行きます。次は、月曜の

夜10時くらいにつづきをかくつもりです。

ではまた。。

 

 

     ☆    ☆    ☆

では、つづきを少しだけ、やってみます。

 

180521e

 

左上の「ボ」と「じ」からは、上の図の

ように線がのびてるはずです。すると、

上側の「グ」からの線ものばせます。

 

グの線を、他の線のジャマにならない

ように引くためには、どうすべきか。

「く」の線と同じように、考えてください。

 

次はしめきりのすぐ前、火曜の夜に

かくつもりです。ではまた。。

 

 

     ☆    ☆    ☆

では、しめきりの前にもう1回だけ

書きます。

 

180522e

 

上の「ボ」と「グ」の線は、図のように

少し右にのばせます。

 

ほかに、左下と右下の線も、図の

ように書けます。マス目をのこさない

ためには、これしかないからです。

 

このように、すじ道をたてて少しずつ話

をすすめることを、「論理的(ろんりてき)

に考える」と言います。算数(さんすう)

でよくつかう方法(ほうほう)です。

 

次はもう、正解(せいかい)が新聞に

出たあとまでまちます。

ではまた。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

今日は土曜日(どようび)で、答が

発表(はっぴょう)されました。だから、

さいごまで書いてみましょう。

 

180526a

 

上のように、グの線は、ほかの線を

ジャマしないように右下を大回りする

しかありません。

 

180526b

 

つぎは、「じ」の線。ほかの線を

ジャマしないために、☆を通ります。

だから、答は「定規」(じょうぎ)で、

6番です。

 

180526c

 

上が完成(かんせい)した図です。

まだ、「く」の線が右下を大回りする

ときのことをかんがえていませんが、

ここではもう、はぶきます。

 

それでは。。☆彡

 

          (計 1539字)

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数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方3

数学甲子園2017本選については、

既に3本の記事を書いてる。

 

 予選、全20問の問題、解き方、感想

 本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

 本選Math Battle、問題と解き方2

 

これから書くこの記事が最後で、本選マス

バトルの3本目。残った英語の問題4問を

簡単に紹介、英文和訳&解説する。全体

的に、日本語の問題よりは難易度レベル

が低め。

 

全問題と模範解答(最後の答のみ)は、

公式サイトで公開中。以下、スマホ用に

1行の字数を減らすので、読みにくい面

もある。悪しからず。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題14 In how many different

 ways can a convex heptagon be

 decomposed into triangles by

 diagonals which do not intersect

 within the heptagon?

 

 凸七角形を、内部で交差しない対角線

 によって三角形へと分解する方法は、

 何通りあるか。

 

解き方 個人的にはこれが二番目に

 難しい問題だった。場合の数は多くない

 けど、意外と数えにくい。以下の多角形

 は全てウィキメディアで公開されてる物。

 

 まず凸四角形だと、明らかに2通り

 凸五角形だと、ある特定の辺がどの頂点

 と三角形をなすかを考えて場合分けする

 と、5通りだと分かる。

180425a

 

 上図だと、赤い辺がピンクの三角形を

 作る場合、2通り(残った右下部分は

 四角形になることに注目)。赤い辺が

 緑の三角形を作る場合も2通り。青の

 三角形だと1通り。合計で5通り。

 

180425b

 

 凸六角形でも同様に、赤い辺が作る

 三角形で場合分け。ピンクと紫が5通り

 ずつ。青と緑が2通りずつ。計14通り

 四角形や五角形の分け方を利用する。

 

180425c

 

 最後に、凸七角形。ピンクと茶色が14通り

 ずつ。青と紫が5通りずつ。緑の場合、左

 の四角形で2通り、右の四角形で2通り

 分解できるから、2×2=4通り。

 

 したがって合計は、

 14×2+5×2+4=42通り ・・・答

 

 

問題15 The coefficient of x² in the

 expansion of (1+ax)ⁿ is 63 and

 the coefficient of x is 12. Find

 the values of a and n, where a

 is a real number and n is a

 positive integer.

 

 (1+ax)ⁿの展開において、x²の

 係数は63で、xの係数は12。

 実数aと、正の整数nの値を求めよ。

 

解き方 これは完全にサービス問題。

 二項定理で展開すると、条件より、

 (x²の係数)=n(n-1)a²/2=63

 (xの係数)=na=12

 

 ∴ a=3/2, n=8 ・・・答

 

 

問題16 For △ABC with AB=12

 and AC=16, a point D lies on

 the side BC such that BD:DC

 =2:3. Points E and F are taken

 on sides AB and AC, respectively,

 and two lines EF and AD intersect

 at G. If 2 AE=AF, find EG:GF.

 

 AB=12、AC=16である三角形

 ABCにおいて、BCを2:3に内分

 する点をDとする。AB、AC上に

 それぞれ点E、Fを取り、2直線

 EFとADの交点をGとする。

 2AE=AFの時、

 EG:GFを求めよ。

 

解き方 これもサービス問題。ベクトルの

 1次独立とか使うより、補助線と

 メネラウスの定理で解くのが速い。

 

180425d

 

 図形AHFGにおいて、

 (FI/IH)(HA/AE)(EG/GF)=1

 ∴ (3/2)・(1.5/1)・(EG/GF)=1

 ∴ EG/GF=4/9

 ∴ EG:GF = 4:9 ・・・答

 

 

問題17 Let D be the region bounded

 by y=1-x² and y=0. Find the

 volume of the solid obtained by

 revolving D about the line y=-3.

 

 y=1-x²とy=0で囲まれた領域

 をDとする。Dを、直線y=-3の

 まわりに回転させて出来る立体

 の体積を求めよ。

 

解き方 これも簡単。y軸方向に+3

 平行移動して、y=4-x²、y=3

 で囲まれる領域を、x軸のまわりに

 回転させればよい。定積分の区間

 は0≦x≦1で計算して、2倍する。

 

 (体積)=

 2π∫{(4-x²)²-3²}dx

 =2π×68/15

 =136π/15 ・・・答

 

 

以上ですべて終了。マスバトル全体

だと、適度な難しさになってた。今年

は統計の分野から出題されるかも。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

cf.2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

           (計 2002字)

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数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2

数学甲子園2017本選については、既に7ヶ月前に簡単な

解説記事をアップしてある

 

 本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

 

ただ、その時は動画で確認できた9問しか扱ってない。実際のマス・

バトルでは、日本語12問、英語6問、合計18問の出題だった。

すべて、最終的な答のみを求める客観的問題。

 

3日前(2018年4月18日)になってようやく、全問題と模範解答

(最後の答のみ)が公式サイトで公開されたので、続編記事を書く

ことにしよう。ただ時間が無いので、今日は日本語の残りの問題

5つのみ。英語の残りの問題はたぶん来週、3本目の記事で扱う。

 

なお、去年の予選については既に去年、記事をアップしておいた

 

 数学甲子園2017予選、全20問の問題、解き方、感想

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは、日本語の残りの問題を見てみよう。

 

問題2 三角形ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=c

   とします。右の図のように、各頂点から向かい合う

   辺に直線を引き、頂点Aから引いた直線と頂点B

   から引いた直線との交点をA´、頂点Bから引いた

   直線と頂点Cから引いた直線との交点をB´、頂点

   Cから引いた直線と頂点Aから引いた直線との

   交点をC´とするとき、

   三角形ABC ∽ 三角形A´B´C´となりました。

   このとき、比AA´:BB´:CC´をa、b、cを

   用いて表しなさい。

 

180421a

 

解き方 今回、私が一番難しいと思ったのはこの問題だった。

   やり方は色々思いつくけど、どれも面倒。もっと鮮やかな

   解法はないかと考えたけど、まだ思いついてない。三角形

   の相似とメネラウスの定理を使って解いておこう。

 

180421b

 

  上図で、青い小さな角3つが等しいことはすぐ示せる。

  また条件より、三角形A´B´C´の3辺の長さを

  上のように pa、pb、pc とおける(p>0)。

 

  ここで、三角形ABQ ∽ 三角形A´AQより、

  AB/AQ = A´A/A´Q

  ∴ A´A = AB×A´Q/AQ

       = c A´Q/AQ ・・・①

 

  一方、図形AA´B´Cでメネラウスの定理を使うと、

  (pa/CC´)(b/AQ)(A´Q/pc)=1

  ∴ CC´=(ab/c)A´Q/AQ ・・・②  

  ①②より、 AA´ = (c²/ab)CC´ ・・・③

 

  同様のやり方で、三角形CAPと図形A´BCC´

  について考えると、

  BB´ = (ca/b²)CC´ ・・・④

 

  ③④より、 AA´: BB´: CC´

   =(c²/ab): (ca/b²): 1

   =(c/a): (a/b): (b/c) ・・・答

 

 

    ☆       ☆       ☆

問題5 x = ³√(2+√3)+³√(2-√3)

   が方程式 f(x)=0 の解の1つとなるような

   整数係数の3次多項式f(x)を求めなさい。

   ただし、x³の係数は1であるとします。

 

解き方 特殊な定理や知識を使うとすぐ解けるのかも

   知れないけど、ここでは普通に計算する。

 

  求める多項式を x³+ax²+bx+cとおき、

  方程式に与えられた解を代入して整理すると、

  {³√(7+4√3)+2+³√(7-4√3)}a

   +{³√(2+√3)+³√(2-√3)}(b+3)

   +c+4=0

  ∴ a=0,b=-3,c=-4

  よって求める多項式は、

   x³-3x-4 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題7 [x]をx以下の最大の整数とします。このとき、

   第n項が An = [n]・{(-1)の n-1乗}

   で表される数列 {An} の初項A₁から

   第2017項A₂₀₁₇までの和を求めなさい。

 

解き方 初項から具体的に並べて行くと、すぐ

   単純な規則性が分かる。第n群の和が

   n{(-1)のn-1乗}である群数列で、

   第n群の末項までの全項数は(n+1)²-1。

 

   和を書きくだしてみると、      

   1-1+1

   -2+2-2+2-2

   +3-3+3-3+3-3+3・・・・・・

   =1-2+3-4+・・・・・・

 

   よって第43群まで、つまり第1935項

   までの和は、

   1-2+3-4+・・・+43 = 22

 

   その後の第44群で、第2017項までは、

   -44+44-44+44-・・・+44

   よって、この部分だけの和は0。

 

   ∴ (第2017項までの和)

     =22+0=22 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題10 xy平面上の曲線

   13x²+7y²-6(√3)xy-12x

     -12(√3)y+20=0

   を、原点を中心として5π/3だけ回転

   させた曲線の方程式を求めなさい。

 

解き方 高校の学習指導要領とかカリキュラムは

    度々変わるので、本当に分かりにくい。

    今だと、行列と一次変換が使えないから、

    数学Ⅲの複素数平面を使うということか。

    まあ、本戦出場者なら色々と知識がある

    だろうし、正答さえ出せばいい。

 

    5π/3だけ回転させるということは、

    -π/3(つまり-60度)だけ回転

    させるということ。

 

    回転後の曲線上の点(X,Y)を60度回転

    させると、複素数の掛け算を利用しても、

    行列の掛け算を利用しても、こうなる。

     (x座標)=X/2-(√3)Y/2

     (y座標)=(√3)X/2+Y/2

 

    これが元の曲線の式を満たすのだから、

    与式に代入して長い式を整理すると、

    (X-3)²/4+Y²=1

 

    最後に変数の文字だけ変えると、求める

    曲線の方程式は、

     (x-3)²/4+y²=1 ・・・答

 

 

     ☆       ☆       ☆

問題11 1辺の長さが6cmの正方形の紙が

    あります。右の図のように、この正方形

    の四隅からそれぞれ x cm(0<x<3)

    だけ離れた点をとり、正方形の中心と

    結んでできる凧型の部分を切り取り、

    残りの部分を側面とする四角錘の容器

    を作ります(のりしろの部分を考える

    必要はありません)。この容器の容積

    を Vcm³ とするとき、Vの最大値とその

    ときの x の値をそれぞれ求めなさい。

 

180421c

 

解き方 四角錘の底面は、1辺 6-2xの正方形。

   斜辺は、√{(3-x)²+3²}。

   高さは √{9-(x-3)²}となるから、

   V=(4/3)(x-3)²√{9-(x-3)²}

 

   9-(x-3)²=t² (0<t<3)とおくと、

   V=(4/3)(9-t²)t

    =(4/3)(-t³+9t)

 

   微分すると、t=√3の時、

   最大値 8√3 ・・・答

   xの値は、3-√6 ・・・答

 

それでは、続きはまた後ほど。。☆彡

 

 

 

P.S. 4日後に残りの記事をアップした。

  本選Math Battle、問題と解き方3

 

 

cf.数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

  2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答      

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

             (計 2660字)

   (追記 40字 ; 合計 2700字)

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鉄道の列車運行ダイヤグラム、一次関数のグラフ~全国学力調査2018中学・数学Bの解説

「ダイヤグラム」という言葉は最近、ほとんど聞くことがないけど、

「ダイヤ」の改正なら毎年、春ごろに聞く気がする。

 

ダイヤグラムは普通、鉄道で複数の列車運行を表すグラフのこと。

横軸は時刻で、縦軸は駅や距離。ダイヤは普通、運行スケジュール

を表す省略語だろう。例えば、8時10分にこの駅で快速発車とか。

 

元々は英語の「diagram」で、語源的な意味は「書かれた

もの」。英語だと「図表」を表す一般的言葉であって、日本みたいに

列車のグラフを表す特殊な意味は(ほとんど)ない。

 

 

      ☆       ☆       ☆

というより、そもそも英語圏では、日本みたいなダイヤグラムは

かなりマイナーな存在のような気がする。実際、画像検索も含めて

英語の検索をかけても、日本みたいな図は少数で、しかも個人が

書いてる物が目立つのだ。

 

180418a

 

日本語版ウィキペディア(上図)は冒頭で、

 「英語では service planning diagram と呼び」

と書いてる。直訳すると、サービス計画表。

 

ところが、この英語でGoogle画像検索を行うと、日本的なグラフは

ほとんど表示されない。「train」(列車)という言葉を追加

しても、少ししか表示されないのだ。日本語で検索すると大量に

画像が出るから、かなり事情が違うのは明らか。

 

180418b

 

英語版ウィキで近い項目は「public transport timetable」

(公共交通機関の時刻表)。ただ日本的なグラフは1枚だけ(上図)

で、しかもフランスの鉄道に関して個人が作成したものにすぎない。

やはり、英語圏だとマイナーでマニアックな物ということだろう。

 

 

     ☆       ☆       ☆

というわけで、とりあえず言いたいのは、全国学力・学習状況調査

2018の数学Bの問題3が非常に日本的だということ。作成者が

鉄道オタクかも・・とまでは言わないけど、一部ファンだけ高得点

になるかも♪

 

180418c

 

180418d

 

問題は、国立教育政策研究所HPから引用させて頂く。ちなみに

朝日新聞・朝刊だと、今日(18年4月18日)は小学校の分の掲載。

明日が中学の掲載の予定。

 

 

     ☆       ☆       ☆

(1) 「列車の運行のようすを直線で表しているのは、・・・・・・

  が一定であると考えているからです」。

 

おそらく、どの選択肢でも当てはまると思った中学生が結構いる

はずだし、アだけは違うと思った生徒もいるはず♪ 列車の速さは

一定じゃない、発車と到着の時は遅いからと考えて(笑)。

 

真面目に解説すると、直線というのは傾きが一定の線のこと。横軸

が時間で縦軸が距離だと、傾きは速さとか速度を表す。それが一定

だから、空欄に入る言葉は選択肢の。「列車の速さ」。

 

実際には、電車のスピードは、駅から出る時と止まる時に遅いから、

グラフは「∫」の形を左右に引き伸ばしたようになる。ただ、それだと

分かりにくいし書きにくいから、スピード一定と考えて直線にするのだ。

 

最初のグラフで一番左端の線だと、 y=70x-435

くらいの一次関数のグラフ。もちろん数式まで求めなくても解ける。

 

 

     ☆       ☆       ☆

180418e

 

180418f

 

180418g

 

 

(2)はいわゆる「撮り鉄」、鉄道撮影マニア向けの問題♪

 

列車のすれ違いは、A駅からの道のりが・・①・・kmの地点

1回、A駅からの道のりが・・②・・kmの地点で2回起こる」。

 

すれ違いとは、向きの違う列車が同じ時刻に同じ場所を通ること。

グラフだと2直線の交点になる。3つある交点について、左側から

A駅からの道のりを見ると、それぞれ2km、4km、4km。

 

つまり、すれ違いは、2kmの地点で1回、4kmの地点で2回。

よっては、①が2、②が4

 

 

     ☆       ☆       ☆

180418h

 

(3)は、列車2本の写真撮影の間に何分待たされるかという問題。

 「A駅からの道のりが6kmの地点において、列車アが通って

  から列車エが通るまでにおよそ何分かかるかは、前ページ

  の太一さんが作ったグラフから求めることができます。その

  方法を説明しなさい」。

 

求めるやり方だけ書けば正解で、求めた時間も要らないし、なぜ

そのやり方でいいのか理由を書く必要もない。私が出題者なら、

最後に「理由も要らないので、方法だけを書いてください」と書く。

 

模範解答(例)は、

 列車アと列車エの2つのグラフについて、yの値が6のときの

 xの値の差を求める。

 

これ、私が採点者ならちょっと減点するかも♪ というのも、上の答

だとyの値は数字になってるから、xの値の差も数字のはず。それ

だと、問題は「何分かかるか」なのに、単位なしの「4」となってしまう。

あと、せっかくグラフを使うのに、線、点、距離といった図形の言葉

が入ってないのも気になる所。

 

 

      ☆       ☆       ☆

私なら、グラフと単位を意識して、次のように答える。

 

 y=6の所で水平の直線を引き、列車アとイの直線と交点を作り、

 それら2交点の間の距離を求める(単位は分)。

 

ちなみに過去、出題者、解答作成者からの応答は一度もない(笑)。

まあ、解説資料をチェックすると、上の答でも二重丸をもらえるようだ。

 

180418i

 

今年は別にいいとして、2017年の中学・国語Aと12年の数学B

は今でもおかしいと思ってる。どちらの記事も地味にアクセスが

続いてるから、同意してくれる人はそれなりにいるのかも・・と

思っとこう♪ 下にリンクを付けておいた。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 夏目漱石『夢十夜』の第六夜、問題と正答への疑問

    ~全国学力調査2017中学・国語A

  全国学力調査2012・中学数学B、

    スキー・ジャンプの問題(原田vs船木)

  全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪(2009)

 

            (計 2295字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方とコツ~ニコリ、朝日新聞(あさひしんぶん)be

きょうは、白い丸と黒い丸を一つずつ直線

(ちょくせん)でつなぐパズル、「しろくろつなぎ

の解き方(ときかた)やコツ、考え方(かんがえ

かた)をかいてみます。

 

小学校(しょうがっこう)3年生くらいでも

よめるカンタンな記事(きじ)で、文字(もじ)

をすくなくしてます。

 

おととい(2018年4月7日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度(なんいど)

☆2つのもんだいが出てました。はじめて

見たような気がします。

 

 

   ☆    ☆    ☆

まず例題(れいだい)から。

 

180409a

 

かならずクロとシロ1つずつ、まっすぐ

つなぎます。1つの丸からは、1本

線(せん)だけを引(ひ)きます。

 

180409b  

まず1本めは、上のように白から引き

ました。線をひく向(む)きをかんがえる

と、わかりやすいでしょう。

 

180409c

つぎに2本めと3本めをひきます。

3ばんはどちらむきでもいいでしょう。

 

180409d

こうして、5本すべて引けました。

答(こたえ)はタテの線のかずだから、

2本になります。

 

 

    ☆    ☆    ☆

180409e

 

では、今回(こんかい)のパズル。すぐわかる

所(ところ)から、少しずつ引いていきましょう。

 

180409f

 

まず4本、引きました。わかりやすい向き

を矢印(やじるし)でかいてます。

 

しめきりが水曜(すいよう)の午前(ごぜん)

0時だから、ここで説明(せつめい)を

とめます。つづきは今日(きょう)の夜

(よる)かきます。それでは、またあとで。

 

 

     ☆    ☆    ☆

では、つづきをもう少し。

 

180409g

 

5番(ばん)の線はどちらから引いてもいい

けど、6番と7番の線は向きを考えた方が

いいでしょう。

 

また、ここでとめます。つづきは明日(あした)

の夜、かきます。ではまた。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、しめきりの前(まえ)に、もう少しだけ。

 

180410f

 

もう、ほとんどおわりなので、つぎは答

(こたえ)が発表(はっぴょう)される土曜

(どよう)にします。ではまた。

 

 

     ☆    ☆    ☆

答が出たので、ここでも最後(さいご)の

図(ず)をのせときます。

 

180415a

 

タテの線は、あわせて9本でした。

これでおわりにしましょう。。☆彡

 

 

 

P.S. 「しろくろつなぎ」2~18.6.2

 

                              (890字)

   (追記 21字 ; 合計 911字)

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円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭中学2018入試・算数

2月4日の朝日新聞の朝刊に、2018年桜蔭

中学校の入試問題(算数)が出てました。解答

例(最後の答だけ)はSAPIXの提供です。

試験は2月1日にあったようで、四谷大塚HP

も問題と正解(最後の答)を公開してました

 

桜蔭の問題はどれも面白いのですが、この

ブログ記事では、問題Ⅱ(1)の図形の問題

の解き方、考え方を解説します。小学生

(5、6年)でも読めるように書いてるつもり

ですが、解き方は小学校や塾と違ってるかも

知れません。文はスマホ向けに短く改行

してます。

 

桜蔭学園は入試結果をほとんど公表して

ませんが、日本でトップクラスの女子校

なので、合格者の多くはこの問題を6分

くらいで解いてるのだろうと思います。

普通の高校生や大学生なら、10分でも

解きにくい難問でしょう。

 

ちなみに、桜蔭については過去2本の

記事を書いてます。大人向け、PC向け

の書き方ですが、参考までに。

 

 

cf.3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、

 距離と時間の計算~桜蔭2016算数

 

 ランニング(5人のリレー)の距離計算

  ~桜蔭中学2015入試・算数

 

 

   ☆     ☆     ☆

図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

 

(問題) 半径が3cmの円Aと、1辺の長さ

 が6cmの正方形Bを用いてできる次の

 3つの図形をA+A、A+B、B+Bと

 呼ぶことにします。

 

180220a

 

このとき、次の問いに答えなさい。

① A+A、A+B、B+Bの面積は

  それぞれ何cm² ですか。

② 同じように、AとBを合わせて10個

  用いて、下のような図形を作ります。

 

180220b

 

  両端にAを使うとき、Bをできるだけ

  少なく使って面積が250cm² 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、作った図形の面積は何cm²

  ですか。

 

 

    ☆     ☆     ☆

(解答)

 A+A、A+B、B+Bで、重なった 

 部分の面積をそれぞれ、aa、ab

 bbと呼ぶことにする。

 

 aa=(Aの4分の1)×2

    -(小さい正方形)

  =(3×3×3.14×1/2)-9

  =5.13

 

 ab=(Aの4分の1)

   =3×3×3.14×1/4

   =7.065

 

 bb=9

 

① A+A=(円2コ)-aa

    =3×3×3.14×2-5.13

    =51.39 (cm²) ・・・答

 

  A+B=円+正方形-ab

    =3×3×3.14+36-7.065

    =57.195 (cm²) ・・・答

 

  B+B=(正方形2コ)-bb

     =36×2-9

     =63 (cm²) ・・・答

 

 円Aだけ10個組み合わせてみると、

 (面積)=(円10コ)-aa×9

   =3×3×3.14×10-5.13×9

   =282.6-46.17

   =236.43

 

 よって、250cm²以上にするには、

 14cm²ほど増やせばよい

 

 Bを1個入れてA+B+Aの形を作ると

 (面積)=(円2コ)+正方形-ab×2

   =56.52+36-7.065×2

   =92.52-14.13

   =78.39

 

 それに対して、A+A+Aの形だと、

 (面積)=(円3コ)-aa×2

    =28.26×3-5.13×2

    =84.78-10.26

    =74.52

 

 つまり、Bを1個はさみ込むと、面積は 

 4cm² くらい大きくなる。

 よって、Bを4個はさみ込めばよい

 

 ab=7.065、bb=9だから、

 AとBだけ重ねて、BとBは重ならない

 ようにした方がムダが少なくて、Bの

 数も少なくできる。

 

 たとえば、ABABAABABAの順

 他の同様の順でも面積は同じになる。

 

したがって、

 (作った図形の面積)

  =(円6コ)+(正方形4コ)

     -ab×8-aa

  =28.26×6+36×4

    -7.065×8-5.13

  =169.56+144-61.65

  =251.91 (cm²) ・・・答

 

 

   ☆     ☆     ☆

「250cm²以上」というような問題を

解くとき、特に小学生なら、大まかな

計算を使うと良いでしょう。

 

上の解答では、14cm² ほど増やせばとか、

正方形Bを1個はさむと4cm² くらい大きく

なる、という話を使ってます。正確に3.87

大きくなるとか考えてもいいのですが、面倒

だし、逆に間違えやすくなります。

 

中学、高校になると、大小を表す不等号を

使った「不等式」も使います。ただ、最後の

答を出すだけのとき、あるいは、みんなに

分かりやすく説明するときは、大学以上

でも大まかな計算(近似)が役立つのです。

 

理科や社会の分野でも、実際の世の中で

役に立つ数字のかなりの部分は大まかな

ものです。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

            (計 1770字)

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