数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2

数学甲子園2017本選については、既に7ヶ月前に簡単な

解説記事をアップしてある

 

 本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

 

ただ、その時は動画で確認できた9問しか扱ってない。実際のマス・

バトルでは、日本語12問、英語6問、合計18問の出題だった。

すべて、最終的な答のみを求める客観的問題。

 

3日前(2018年4月18日)になってようやく、全問題と模範解答

(最後の答のみ)が公式サイトで公開されたので、続編記事を書く

ことにしよう。ただ時間が無いので、今日は日本語の残りの問題

5つのみ。英語の残りの問題はたぶん来週、3本目の記事で扱う。

 

なお、去年の予選については既に去年、記事をアップしておいた

 

 数学甲子園2017予選、全20問の問題、解き方、感想

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは、日本語の残りの問題を見てみよう。

 

問題2 三角形ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=c

   とします。右の図のように、各頂点から向かい合う

   辺に直線を引き、頂点Aから引いた直線と頂点B

   から引いた直線との交点をA´、頂点Bから引いた

   直線と頂点Cから引いた直線との交点をB´、頂点

   Cから引いた直線と頂点Aから引いた直線との

   交点をC´とするとき、

   三角形ABC ∽ 三角形A´B´C´となりました。

   このとき、比AA´:BB´:CC´をa、b、cを

   用いて表しなさい。

 

180421a

 

解き方 今回、私が一番難しいと思ったのはこの問題だった。

   やり方は色々思いつくけど、どれも面倒。もっと鮮やかな

   解法はないかと考えたけど、まだ思いついてない。三角形

   の相似とメネラウスの定理を使って解いておこう。

 

180421b

 

  上図で、青い小さな角3つが等しいことはすぐ示せる。

  また条件より、三角形A´B´C´の3辺の長さを

  上のように pa、pb、pc とおける(p>0)。

 

  ここで、三角形ABQ ∽ 三角形A´AQより、

  AB/AQ = A´A/A´Q

  ∴ A´A = AB×A´Q/AQ

       = c A´Q/AQ ・・・①

 

  一方、図形AA´B´Cでメネラウスの定理を使うと、

  (pa/CC´)(b/AQ)(A´Q/pc)=1

  ∴ CC´=(ab/c)A´Q/AQ ・・・②  

  ①②より、 AA´ = (c²/ab)CC´ ・・・③

 

  同様のやり方で、三角形CAPと図形A´BCC´

  について考えると、

  BB´ = (ca/b²)CC´ ・・・④

 

  ③④より、 AA´: BB´: CC´

   =(c²/ab): (ca/b²): 1

   =(c/a): (a/b): (b/c) ・・・答

 

 

    ☆       ☆       ☆

問題5 x = ³√(2+√3)+³√(2-√3)

   が方程式 f(x)=0 の解の1つとなるような

   整数係数の3次多項式f(x)を求めなさい。

   ただし、x³の係数は1であるとします。

 

解き方 特殊な定理や知識を使うとすぐ解けるのかも

   知れないけど、ここでは普通に計算する。

 

  求める多項式を x³+ax²+bx+cとおき、

  方程式に与えられた解を代入して整理すると、

  {³√(7+4√3)+2+³√(7-4√3)}a

   +{³√(2+√3)+³√(2-√3)}(b+3)

   +c+4=0

  ∴ a=0,b=-3,c=-4

  よって求める多項式は、

   x³-3x-4 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題7 [x]をx以下の最大の整数とします。このとき、

   第n項が An = [n]・{(-1)の n-1乗}

   で表される数列 {An} の初項A₁から

   第2017項A₂₀₁₇までの和を求めなさい。

 

解き方 初項から具体的に並べて行くと、すぐ

   単純な規則性が分かる。第n群の和が

   n{(-1)のn-1乗}である群数列で、

   第n群の末項までの全項数は(n+1)²-1。

 

   和を書きくだしてみると、      

   1-1+1

   -2+2-2+2-2

   +3-3+3-3+3-3+3・・・・・・

   =1-2+3-4+・・・・・・

 

   よって第43群まで、つまり第1935項

   までの和は、

   1-2+3-4+・・・+43 = 22

 

   その後の第44群で、第2017項までは、

   -44+44-44+44-・・・+44

   よって、この部分だけの和は0。

 

   ∴ (第2017項までの和)

     =22+0=22 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題10 xy平面上の曲線

   13x²+7y²-6(√3)xy-12x

     -12(√3)y+20=0

   を、原点を中心として5π/3だけ回転

   させた曲線の方程式を求めなさい。

 

解き方 高校の学習指導要領とかカリキュラムは

    度々変わるので、本当に分かりにくい。

    今だと、行列と一次変換が使えないから、

    数学Ⅲの複素数平面を使うということか。

    まあ、本戦出場者なら色々と知識がある

    だろうし、正答さえ出せばいい。

 

    5π/3だけ回転させるということは、

    -π/3(つまり-60度)だけ回転

    させるということ。

 

    回転後の曲線上の点(X,Y)を60度回転

    させると、複素数の掛け算を利用しても、

    行列の掛け算を利用しても、こうなる。

     (x座標)=X/2-(√3)Y/2

     (y座標)=(√3)X/2+Y/2

 

    これが元の曲線の式を満たすのだから、

    与式に代入して長い式を整理すると、

    (X-3)²/4+Y²=1

 

    最後に変数の文字だけ変えると、求める

    曲線の方程式は、

     (x-3)²/4+y²=1 ・・・答

 

 

     ☆       ☆       ☆

問題11 1辺の長さが6cmの正方形の紙が

    あります。右の図のように、この正方形

    の四隅からそれぞれ x cm(0<x<3)

    だけ離れた点をとり、正方形の中心と

    結んでできる凧型の部分を切り取り、

    残りの部分を側面とする四角錘の容器

    を作ります(のりしろの部分を考える

    必要はありません)。この容器の容積

    を Vcm³ とするとき、Vの最大値とその

    ときの x の値をそれぞれ求めなさい。

 

180421c

 

解き方 四角錘の底面は、1辺 6-2xの正方形。

   斜辺は、√{(3-x)²+3²}。

   高さは √{9-(x-3)²}となるから、

   V=(4/3)(x-3)²√{9-(x-3)²}

 

   9-(x-3)²=t² (0<t<3)とおくと、

   V=(4/3)(9-t²)t

    =(4/3)(-t³+9t)

 

   微分すると、t=√3の時、

   最大値 8√3 ・・・答

   xの値は、3-√6 ・・・答

 

それでは、続きはまた後ほど。。☆彡

 

 

 

cf.数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

  2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答      

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

              (計 2660字)

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鉄道の列車運行ダイヤグラム、一次関数のグラフ~全国学力調査2018中学・数学Bの解説

「ダイヤグラム」という言葉は最近、ほとんど聞くことがないけど、

「ダイヤ」の改正なら毎年、春ごろに聞く気がする。

 

ダイヤグラムは普通、鉄道で複数の列車運行を表すグラフのこと。

横軸は時刻で、縦軸は駅や距離。ダイヤは普通、運行スケジュール

を表す省略語だろう。例えば、8時10分にこの駅で快速発車とか。

 

元々は英語の「diagram」で、語源的な意味は「書かれた

もの」。英語だと「図表」を表す一般的言葉であって、日本みたいに

列車のグラフを表す特殊な意味は(ほとんど)ない。

 

 

      ☆       ☆       ☆

というより、そもそも英語圏では、日本みたいなダイヤグラムは

かなりマイナーな存在のような気がする。実際、画像検索も含めて

英語の検索をかけても、日本みたいな図は少数で、しかも個人が

書いてる物が目立つのだ。

 

180418a

 

日本語版ウィキペディア(上図)は冒頭で、

 「英語では service planning diagram と呼び」

と書いてる。直訳すると、サービス計画表。

 

ところが、この英語でGoogle画像検索を行うと、日本的なグラフは

ほとんど表示されない。「train」(列車)という言葉を追加

しても、少ししか表示されないのだ。日本語で検索すると大量に

画像が出るから、かなり事情が違うのは明らか。

 

180418b

 

英語版ウィキで近い項目は「public transport timetable」

(公共交通機関の時刻表)。ただ日本的なグラフは1枚だけ(上図)

で、しかもフランスの鉄道に関して個人が作成したものにすぎない。

やはり、英語圏だとマイナーでマニアックな物ということだろう。

 

 

     ☆       ☆       ☆

というわけで、とりあえず言いたいのは、全国学力・学習状況調査

2018の数学Bの問題3が非常に日本的だということ。作成者が

鉄道オタクかも・・とまでは言わないけど、一部ファンだけ高得点

になるかも♪

 

180418c

 

180418d

 

問題は、国立教育政策研究所HPから引用させて頂く。ちなみに

朝日新聞・朝刊だと、今日(18年4月18日)は小学校の分の掲載。

明日が中学の掲載の予定。

 

 

     ☆       ☆       ☆

(1) 「列車の運行のようすを直線で表しているのは、・・・・・・

  が一定であると考えているからです」。

 

おそらく、どの選択肢でも当てはまると思った中学生が結構いる

はずだし、アだけは違うと思った生徒もいるはず♪ 列車の速さは

一定じゃない、発車と到着の時は遅いからと考えて(笑)。

 

真面目に解説すると、直線というのは傾きが一定の線のこと。横軸

が時間で縦軸が距離だと、傾きは速さとか速度を表す。それが一定

だから、空欄に入る言葉は選択肢の。「列車の速さ」。

 

実際には、電車のスピードは、駅から出る時と止まる時に遅いから、

グラフは「∫」の形を左右に引き伸ばしたようになる。ただ、それだと

分かりにくいし書きにくいから、スピード一定と考えて直線にするのだ。

 

最初のグラフで一番左端の線だと、 y=70x-435

くらいの一次関数のグラフ。もちろん数式まで求めなくても解ける。

 

 

     ☆       ☆       ☆

180418e

 

180418f

 

180418g

 

 

(2)はいわゆる「撮り鉄」、鉄道撮影マニア向けの問題♪

 

列車のすれ違いは、A駅からの道のりが・・①・・kmの地点

1回、A駅からの道のりが・・②・・kmの地点で2回起こる」。

 

すれ違いとは、向きの違う列車が同じ時刻に同じ場所を通ること。

グラフだと2直線の交点になる。3つある交点について、左側から

A駅からの道のりを見ると、それぞれ2km、4km、4km。

 

つまり、すれ違いは、2kmの地点で1回、4kmの地点で2回。

よっては、①が2、②が4

 

 

     ☆       ☆       ☆

180418h

 

(3)は、列車2本の写真撮影の間に何分待たされるかという問題。

 「A駅からの道のりが6kmの地点において、列車アが通って

  から列車エが通るまでにおよそ何分かかるかは、前ページ

  の太一さんが作ったグラフから求めることができます。その

  方法を説明しなさい」。

 

求めるやり方だけ書けば正解で、求めた時間も要らないし、なぜ

そのやり方でいいのか理由を書く必要もない。私が出題者なら、

最後に「理由も要らないので、方法だけを書いてください」と書く。

 

模範解答(例)は、

 列車アと列車エの2つのグラフについて、yの値が6のときの

 xの値の差を求める。

 

これ、私が採点者ならちょっと減点するかも♪ というのも、上の答

だとyの値は数字になってるから、xの値の差も数字のはず。それ

だと、問題は「何分かかるか」なのに、単位なしの「4」となってしまう。

あと、せっかくグラフを使うのに、線、点、距離といった図形の言葉

が入ってないのも気になる所。

 

 

      ☆       ☆       ☆

私なら、グラフと単位を意識して、次のように答える。

 

 y=6の所で水平の直線を引き、列車アとイの直線と交点を作り、

 それら2交点の間の距離を求める(単位は分)。

 

ちなみに過去、出題者、解答作成者からの応答は一度もない(笑)。

まあ、解説資料をチェックすると、上の答でも二重丸をもらえるようだ。

 

180418i

 

今年は別にいいとして、2017年の中学・国語Aと12年の数学B

は今でもおかしいと思ってる。どちらの記事も地味にアクセスが

続いてるから、同意してくれる人はそれなりにいるのかも・・と

思っとこう♪ 下にリンクを付けておいた。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 夏目漱石『夢十夜』の第六夜、問題と正答への疑問

    ~全国学力調査2017中学・国語A

  全国学力調査2012・中学数学B、

    スキー・ジャンプの問題(原田vs船木)

  全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪(2009)

 

            (計 2295字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方とコツ~ニコリ、朝日新聞(あさひしんぶん)be

きょうは、白い丸と黒い丸を一つずつ直線

(ちょくせん)でつなぐパズル、「しろくろつなぎ

の解き方(ときかた)やコツ、考え方(かんがえ

かた)をかいてみます。

 

小学校(しょうがっこう)3年生くらいでも

よめるカンタンな記事(きじ)で、文字(もじ)

をすくなくしてます。

 

おととい(2018年4月7日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度(なんいど)

☆2つのもんだいが出てました。はじめて

見たような気がします。

 

 

   ☆    ☆    ☆

まず例題(れいだい)から。

 

180409a

 

かならずクロとシロ1つずつ、まっすぐ

つなぎます。1つの丸からは、1本

線(せん)だけを引(ひ)きます。

 

180409b  

まず1本めは、上のように白から引き

ました。線をひく向(む)きをかんがえる

と、わかりやすいでしょう。

 

180409c

つぎに2本めと3本めをひきます。

3ばんはどちらむきでもいいでしょう。

 

180409d

こうして、5本すべて引けました。

答(こたえ)はタテの線のかずだから、

2本になります。

 

 

    ☆    ☆    ☆

180409e

 

では、今回(こんかい)のパズル。すぐわかる

所(ところ)から、少しずつ引いていきましょう。

 

180409f

 

まず4本、引きました。わかりやすい向き

を矢印(やじるし)でかいてます。

 

しめきりが水曜(すいよう)の午前(ごぜん)

0時だから、ここで説明(せつめい)を

とめます。つづきは今日(きょう)の夜

(よる)かきます。それでは、またあとで。

 

 

     ☆    ☆    ☆

では、つづきをもう少し。

 

180409g

 

5番(ばん)の線はどちらから引いてもいい

けど、6番と7番の線は向きを考えた方が

いいでしょう。

 

また、ここでとめます。つづきは明日(あした)

の夜、かきます。ではまた。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、しめきりの前(まえ)に、もう少しだけ。

 

180410f

 

もう、ほとんどおわりなので、つぎは答

(こたえ)が発表(はっぴょう)される土曜

(どよう)にします。ではまた。

 

 

     ☆    ☆    ☆

答が出たので、ここでも最後(さいご)の

図(ず)をのせときます。

 

180415a

 

タテの線は、あわせて9本でした。

これでおわりにしましょう。。☆彡

 

                              (890字)

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円と正方形、10個重ねて作る図形の面積~桜蔭中学2018入試・算数

2月4日の朝日新聞の朝刊に、2018年桜蔭

中学校の入試問題(算数)が出てました。解答

例(最後の答だけ)はSAPIXの提供です。

試験は2月1日にあったようで、四谷大塚HP

も問題と正解(最後の答)を公開してました

 

桜蔭の問題はどれも面白いのですが、この

ブログ記事では、問題Ⅱ(1)の図形の問題

の解き方、考え方を解説します。小学生

(5、6年)でも読めるように書いてるつもり

ですが、解き方は小学校や塾と違ってるかも

知れません。文はスマホ向けに短く改行

してます。

 

桜蔭学園は入試結果をほとんど公表して

ませんが、日本でトップクラスの女子校

なので、合格者の多くはこの問題を6分

くらいで解いてるのだろうと思います。

普通の高校生や大学生なら、10分でも

解きにくい難問でしょう。

 

ちなみに、桜蔭については過去2本の

記事を書いてます。大人向け、PC向け

の書き方ですが、参考までに。

 

 

cf.3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、

 距離と時間の計算~桜蔭2016算数

 

 ランニング(5人のリレー)の距離計算

  ~桜蔭中学2015入試・算数

 

 

   ☆     ☆     ☆

図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

 

(問題) 半径が3cmの円Aと、1辺の長さ

 が6cmの正方形Bを用いてできる次の

 3つの図形をA+A、A+B、B+Bと

 呼ぶことにします。

 

180220a

 

このとき、次の問いに答えなさい。

① A+A、A+B、B+Bの面積は

  それぞれ何cm² ですか。

② 同じように、AとBを合わせて10個

  用いて、下のような図形を作ります。

 

180220b

 

  両端にAを使うとき、Bをできるだけ

  少なく使って面積が250cm² 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、作った図形の面積は何cm²

  ですか。

 

 

    ☆     ☆     ☆

(解答)

 A+A、A+B、B+Bで、重なった 

 部分の面積をそれぞれ、aa、ab

 bbと呼ぶことにする。

 

 aa=(Aの4分の1)×2

    -(小さい正方形)

  =(3×3×3.14×1/2)-9

  =5.13

 

 ab=(Aの4分の1)

   =3×3×3.14×1/4

   =7.065

 

 bb=9

 

① A+A=(円2コ)-aa

    =3×3×3.14×2-5.13

    =51.39 (cm²) ・・・答

 

  A+B=円+正方形-ab

    =3×3×3.14+36-7.065

    =57.195 (cm²) ・・・答

 

  B+B=(正方形2コ)-bb

     =36×2-9

     =63 (cm²) ・・・答

 

 円Aだけ10個組み合わせてみると、

 (面積)=(円10コ)-aa×9

   =3×3×3.14×10-5.13×9

   =282.6-46.17

   =236.43

 

 よって、250cm²以上にするには、

 14cm²ほど増やせばよい

 

 Bを1個入れてA+B+Aの形を作ると

 (面積)=(円2コ)+正方形-ab×2

   =56.52+36-7.065×2

   =92.52-14.13

   =78.39

 

 それに対して、A+A+Aの形だと、

 (面積)=(円3コ)-aa×2

    =28.26×3-5.13×2

    =84.78-10.26

    =74.52

 

 つまり、Bを1個はさみ込むと、面積は 

 4cm² くらい大きくなる。

 よって、Bを4個はさみ込めばよい

 

 ab=7.065、bb=9だから、

 AとBだけ重ねて、BとBは重ならない

 ようにした方がムダが少なくて、Bの

 数も少なくできる。

 

 たとえば、ABABAABABAの順

 他の同様の順でも面積は同じになる。

 

したがって、

 (作った図形の面積)

  =(円6コ)+(正方形4コ)

     -ab×8-aa

  =28.26×6+36×4

    -7.065×8-5.13

  =169.56+144-61.65

  =251.91 (cm²) ・・・答

 

 

   ☆     ☆     ☆

「250cm²以上」というような問題を

解くとき、特に小学生なら、大まかな

計算を使うと良いでしょう。

 

上の解答では、14cm² ほど増やせばとか、

正方形Bを1個はさむと4cm² くらい大きく

なる、という話を使ってます。正確に3.87

大きくなるとか考えてもいいのですが、面倒

だし、逆に間違えやすくなります。

 

中学、高校になると、大小を表す不等号を

使った「不等式」も使います。ただ、最後の

答を出すだけのとき、あるいは、みんなに

分かりやすく説明するときは、大学以上

でも大まかな計算(近似)が役立つのです。

 

理科や社会の分野でも、実際の世の中で

役に立つ数字のかなりの部分は大まかな

ものです。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

            (計 1770字)

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三角形の相似から四角形の面積比へ~開成中学2018入試・算数・問題1(7)

2月6日の朝日新聞の朝刊に、2018年開成

中学校の入試問題(算数)が出てました。解答

例(最後の答だけ)はSAPIXの提供です。

試験は2月1日にあったようで、四谷大塚HP

も問題と正解(最後の答)を公開してました

 

問題1(7)の図形の問題が面白かったので、

計算や解き方、考え方をブログの記事にして

みます。小学生(5、6年)でも読めるように

書いてるつもりですが、解き方は小学校や

塾と少し違ってるかも知れません。文は

スマホ向けに短く改行してます。

 

去年も図形の問題で記事を書いてます。      

 三角形の相似と比の応用

 ~開成中学2017入試・算数・問題3

 

今年の方が単純だと思いますが、受験生が

どう思ったかは分かりません。ただ、算数は

85点満点で、合格者の平均は73.9点。

合格した人のほとんどは、下の問題を3分

くらいで解いてると思います。

 

 

   ☆     ☆     ☆

入試問題を見る前に、基本的な考え方や

コツを例題で見ておきましょう。すぐ分かる

人はスクロールで飛ばしてください。

 

180212a

 

上図で、△ABEと△ACDの面積比は

どうなるでしょうか?

 

△ABE=(3/5)×△ABD

   =(3/5)×{ (1/2)×△ACD }

   =(3/10)×△ACD

 

よって、 3:10 になります。この面積

計算を2回使うのが下の試験問題です。

 

 

   ☆     ☆     ☆

図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

「∴」という記号は、「よって」とか「ゆえに」

を表します。「△」は「三角形」を表します。

 

180212b

 

図において、四角形ABCDは正方形で、

BE=EF=FC、CG=GDです。

(i) 三角形AIJと四角形ABCDの面積比

  を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(ⅱ) 四角形HIJKと四角形ABCDの

  面積比を最も簡単な整数比で答え

  なさい。 

 

 

   ☆     ☆     ☆

(解答) (ⅰ)

180212c

 

点Fを通ってCDに平行な線FLを引くと、

△BLFと△BGCは相似で、

△JLFと△JBAも相似。

 

∴ LF=(2/3)×GC

   =(2/3)×{(1/2)×AB}

   =(1/3)×AB

∴ AJ : JF = 3 : 1

 

同様に考えて、

 AI : IE = 6 : 1

 

∴ △AIJ

 =(3/4)×(6/7)×△AEF

 =(9/14)×△AEF

 =(3/14)×△ABC

 =(3/28)×四角形ABCD

 

∴ △AIJ : 四角形ABCD

   = 3 : 28 ・・・答

 

 

(ⅱ)

180212d

 

点Fを通ってCDに平行な線FMを引くと、

△BMFと△BDCは相似で、

△KMFと△KBAも相似。

 

∴ MF=(2/3)×DC

   =(2/3)×AB

∴ AK : KF = 3 : 2

 

同様に考えて、

 AH : HE = 3 : 1

 

∴ △AHK

 =(3/5)×(3/4)×△AEF

 =(9/20)×△AEF

 =(3/20)×△ABC

 =(3/40)×四角形ABCD

 

(1)の結果と合わせて、

 四角形HIJK

  =△AIJ-△AHK

  ={(3/28)-(3/40)}

     ×四角形ABCD

  =(9/280)×四角形ABCD

 

∴ 四角形HIJK : 四角形ABCD

  = 9 : 280 ・・・答

 

 

   ☆     ☆     ☆

(ⅰ)は、(ⅱ)のヒントになってます。

上の解答で「同様に考えて」と書いてる

2ヶ所は、同じような線を自分で書いて

考えてください。

 

その時々の計算で不要なことを消した図

を自分で描くと分かりやすくなります。

下図の赤線(または青線)を引いても

解けます。

 

180215b_2

 

中学なら、上の解答のような証明の文章を

自分で書くことがあります。高校なら「座標

計算」や「ベクトル」(矢印)という道具を

使う方法も習います。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. ランニング(5人のリレー)の距離計算

    ~桜蔭中学2015入試・算数

 3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間

   ~桜蔭中学2016入試・算数

 

            (計 1504字)

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『頭脳王2018』計算解説2~ブラックホールの直径&小平奈緒選手の山手線一周タイム

日本テレビ『頭脳王2018』の放送終了直後、昨日0時過ぎに、

第一弾記事をアップした。

 

 日テレ『頭脳王2018』決勝戦の計算解説

 ~大声怪獣の体長、100回転ロボットのジャンプの高さ

 

今日は第二弾として、ブラックホール問題と山手線問題の

解き方を具体的に説明してみよう。

 

テレビ番組ではほとんど答だけになってるけど、ここでは途中

の式や考え方も示してある。スマホの場合は、画面を横向き

にした方が見やすいかも知れない。

 

 

     ☆        ☆        ☆

ではまず、準決勝のブラックホール問題。東大・京大の天才

たち4人がチャレンジ。正解は東大医学部の「神(かみ)脳」・

河野玄斗のみだった。今年の出演者の中では飛び抜けてた

から、優勝はもっともだ。

 

ただ、数理系の問題は全て、テレビのクイズ番組のレベル。

計算や暗記の速さ、正確さが問われるけど、考え込む難問

はない。

 

一応、今年一番解きにくかったのはブラックホール問題だと

思う。高校物理の教科書レベルの知識が必要だし、高校や

大学受験ではあまり出ないタイプの問題だった。

 

大学以上の物理学だと、「シュワルツシルト半径」とか

「シュヴァルツシルト半径」として有名で、公式も簡単だ。

万有引力定数G、星の質量M、光速cを使って、

 

 (半径) R = 2GM / c²

 

以下では、上の公式は使わず、普通に計算する。まず

複雑な条件の画面を示しておこう。非営利の個人ブログ

の記事における、出典を明示した限定的引用なので、

著作権法の許容範囲だと考える。

 

180204b

 

 

    ☆        ☆        ☆

ブラックホールの半径の定義は、要するに、いくらスピード

を上げても重力によって引き戻されてしまう範囲という

意味だ。光速でさえ脱出できないから、あらゆるものが

脱出できない。では、計算していこう。

 

(重力源となる星の質量)

 M = 太陽の質量の210億倍

  =(1.99×10³⁰)×(210×10⁸)

  =1.99×21×10³⁹

 

中心からR(m)離れた所で、質量N(kg)の物体を

光速c(m/s)で放つ時、

 

 (運動エネルギー) = Nc² / 2 

 

 (位置エネルギー)

  = -(万有引力定数G)×(星の質量)

     ×(物体の質量N) / R

  = -GN×(星の質量) / R

 

ちなみに位置エネルギーがマイナスなのは、半径が

中心から伸びていく向き(つまり外向き)とは逆に、

中心へと引きつけるからだ。

 

上の2つのエネルギーの総和がゼロだから、

 

 Nc²/2-GN×(星の質量)/R=0

 ∴ Nc²/2 = GN×(星の質量)/R

 

Nはゼロでないから、両辺をNで割って整理すると

 R=2G×(星の質量)/c²  ・・・(これが公式)

  =2×(6.67×10⁻¹¹)×(1.99×21×10³⁹)

       / (3×10⁸)²

  =13.34×13.93×10¹² / 3

  =1.858262×10¹⁴ / 3

 

 ∴ (直径)=2R

      =3.716524×10¹⁴ / 3

      =1.238・・・×10¹⁴ (m)

      ≒1.24×10¹¹ (km) ・・・答

 

 

割り算するのはなるべく遅らせて、四捨五入は最後

に行う。最後の有効数字が3桁だから、もし途中で

小数を省略する時は4ケタ以上書く。

 

 

    ☆        ☆        ☆

続いて、スピードスケートの小平奈緒選手が世界記録

ペースで山手線を一周すると、何分何秒かかるか?

「不可能!」とか答える人は、クイズには向かない♪

 

180204a

 

1000mで1分12秒09だから、

1kmで72.09秒。

 

∴ (山手線一周34.5kmのタイム)

    =72.09×34.5

    =2487.105 (秒)

    =41分27.105秒

    ≒41分27.11秒 ・・・答

 

 

時間がないので、今日はこの2問にしとこう。数日先に、

もう第三弾記事を書くかも知れないけど、後はほとんど

去年と同じような問題だったから、去年の記事だけでも

十分のような気もしてる。下のリンクを参照。

 

今週は合計14182字で終了となった。

ではまた来週。。☆彡

 

 

 

cf.『頭脳王2016』、太陽にスマッシュしたシャトルが届く時間

          &立方体の体積の解説

 『頭脳王2016』問題・解説2~大谷のホームランの

       飛距離、数列8パズル、ジグソー不足ピース

 『頭脳王2016』問題・解説3

   ~立体三目並べの先手必勝法&テレビの対局内容

 

   ・・・・・・・・・・

 頭脳王2018、1次予選・謎解き問題の解き方&短距離ラン

 『頭脳王 2017』実力テスト「謎解きクイズ」、問題と考え方

 『頭脳王2016』1次予選クイズの問題、解き方、感想

 

             (計 1792字)

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日テレ『頭脳王2018』決勝戦の計算解説~大声スーパー怪獣の体長、100回転ロボットのジャンプの高さ

☆翌日の追記: 第二弾の記事も別にアップした。

 『頭脳王2018』計算解説2

  ~ブラックホールの直径&小平奈緒選手の山手線一周タイム )

 

 

    ☆        ☆        ☆

去年・・じゃなくて一昨年の『頭脳王2016』に続いて、さきほど放映

が終了した日本テレビ『頭脳王2018』決勝戦の計算と解説をアップ

する。スマホで読む場合は、画面を横にした方がいいかも知れない。

ちなみに『頭脳王2017』は謎解きクイズだけで、本戦開催はなし。

 

ではまず、問題の条件の画面を静止画キャプチャーさせて頂こう。

非営利の個人サイトの記事における限定的引用なので、著作権法

の許容範囲と考える。

 

180203a

 

映画『ジュラシック・パーク』を遥かに上回るスーパー怪獣の

「声」が、東京から自由の女神まで届く時、体長は何mになるか?

 

正確に出題するなら、最低で何mあればよいか、ということだ。

「体長」と「身長」の違いとか、「音」と「声」の違いも気にしては

いけない♪ 物理的性質も深く考えず、計算問題だと考える。

ただし、上手く計算しないと三乗根が出て来るから、間違えて

しまうだろう。

 

 

      ☆        ☆        ☆

まず、音は声量に比例し、声量は肺活量に比例し、肺活量は

体重に比例し、体重は身長の3乗に比例する、という条件。

要するに、音は身長の3乗に比例するということだ。

一方、音は距離の2乗に反比例する。

 

身長の単位はm、距離の単位はkmとしてよい。どちらかに

合わせる方が普通だが、クイズでは時間のムダになる。

音の単位デシベルも不要だから無視。

 

条件より   

 60 = (総合的な比例定数)×1.7³ / 0.1²

 

また、怪獣の体長をX(m)とすると、

 60 = (総合的な比例定数)×X³ / 11059.2²

 

上の「総合的な」という言葉は無くてもいいけど、

4つの比例定数と1つの反比例の定数を合算

して1つにまとめたという意味だ。

 

上の2式の左辺は同じだから、右辺を見比べると、

 1.7³ / 0.1² = X³ / 11059.2²

 ∴ 11059.2²/0.1² = X³/1.7³

 ∴ (X/1.7)³=(110592)² ・・・①

 

このまま計算してもいいけど、

110592の素因数分解を使うと、

 110592 = (2の12乗)×3³

 

①の右辺に代入して、  

 (X/1.7)³ = {(2の12乗)×3³}²

        = (2の24乗)×3⁶

        = {(2の8乗)×3²}³

 

当然、Xは実数だから、

 X/1.7=(2の8乗)×3²

      =2304

 ∴ X=2304×1.7

    =3916.8 (m) ・・・答

 

 

もちろん、この程度の体長だと、東京からニューヨークの

自由の女神まで声を届かせるのは無理♪

 

とはいえ、めでたく東大医学部の神(かみ)脳、河野玄斗

が優勝。ルックスも甘いイケメンで、神の人気になるかも♪

 

 

     ☆        ☆        ☆

一方、その少し前に出たのが、100回転ジャンプできる

スーパーロボットのジャンプの高さを求める問題。

 

180203b

 

こちらの方が文章も計算も簡単だが、京大の井上良は疲れ

とプレッシャーのせいか、2つとも大きく間違えてた。

 

4回転で0.7秒なら、100回転だと

 0.7×100/4=0.7×25=17.5秒

 

上昇の時間と落下の時間は半々と考えて、

 落下時間=17.5/2

      =35/4 (秒)

 

よって、これだけの時間で自由落下する時の

落下距離を求めればよい。小数ではなく分数

で表しとくのが計算のコツ。

 

落体の法則の一番簡単な公式を利用すると

 

 (落下距離)=(1/2)gt²

      =4.9×(35/4)²

      =4.9×1225/16

      =375.156・・・

 

四捨五入して小数第1位まで求めると、

  375.2 (m) ・・・答

 

 

     ☆        ☆        ☆

もちろん、上のロボットが自由落下で着地すると、

リンクの氷が割れて大騒ぎになるはず♪

 

明日、追加で別記事もアップする予定。既に理数系の計算

問題はすべて解いた。立体三目並べは去年と同じルール

だったから、下のリンクから去年の記事に飛ぶと、先手

必勝法の説明がある。立方体の総体積もジグソーも去年

の記事を参照。

 

とりあえず今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

P.S. 18年3月4日、日テレ『行列のできる法律相談所』に

    河野玄斗が出演したようで、この記事にもかなりアクセスが

    入ってた。ツイッター検索をかけると、ほとんどの反応は肩書

    とルックスを絶賛するものになってた。

 

 

cf. 『頭脳王2016』、太陽にスマッシュしたシャトルが届く時間

          &立方体の体積の解説

  『頭脳王2016』問題・解説2~大谷のホームランの

       飛距離、数列8パズル、ジグソー不足ピース

  『頭脳王2016』問題・解説3

   ~立体三目並べの先手必勝法&テレビの対局内容

 

    ・・・・・・・・・・

  頭脳王2018、1次予選・謎解き問題の解き方&短距離ラン

  『頭脳王 2017』実力テスト「謎解きクイズ」、問題と考え方

  『頭脳王2016』1次予選クイズの問題、解き方、感想

 

             (計 1869字)

     (追記 102字 ; 合計 1971字)

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二項分布と正規分布、標本による母集団の推測、信頼区間~2018センター試験・数学ⅡB・第5問

今年(2018年)の大学入試センター試験も無事終了。ムーミン問題、

携帯バイブ問題、試験官の居眠りなど、多少のトラブルや不祥事は

生じたが、志願者だけで全国60万人近くだから仕方ないだろう。

 

どれほど努力しても、ミスやエラーの確率は決してゼロにはならない。

例えば、1人当たりのトラブル発生率が0.1%で独立とするなら、

 60万人×0.1%=600人

 

実際は問題作成者やスタッフも大勢関係するし、独立ではなく従属

だから、トラブルに巻き込まれる人数はさらに増えることになる。

 

 

     ☆        ☆        ☆

自分については正常な出来事が起こるはず、と考えるような楽観的

発想については、先日のドラマ『BG~身辺警護人~』第1話だと、

「正常性バイアス」と呼んでた。私だけは大丈夫という主観的な判断・

心理を正しいと思い込む、確証バイアスの一例とも考えられる。

 

もちろん、「ケセラセラ」(なるようになるさ)と達観するのも、一つの

生き方だろう。しかし一般的な正論としては、確率と統計を冷静に

把握し、可能性の低いリスクにもそれなりに考慮する必要がある。

 

例えば、意外と起伏に富む首都圏で数年ぶりの大雪が降った時、

車を運転すると、一部で何が起きるのか。昨日、今日のニュースを

見てれば実感できる。自分の車が大丈夫でも、他の車に問題が

生じたら巻き込まれてしまうのだ。スリップとか坂道を登れないとか。

 

今日は、草津国際スキー場で白根山の噴火も起きてる。世界遺産

ブームでにぎわう夏の富士山なら、遥かに大きな騒動だったはず。。

 

 

     ☆        ☆        ☆

というわけで、前置きがやや長くなったが、地道に確率・統計を解説

することにしよう。今年は既にセンター数学記事を1本アップしてある。

 

 陸上選手の体格指数BMI(散布図と補助線の傾き、箱ひげ図)

   ~2018センター試験・数学ⅠA・第2問

 

上の記事で扱ったのは数学ⅠAの必答問題だが、これから書くのは

数学ⅡBの選択問題。つまり、理解してる人がかなり少ない分野の

話だ。だからこそと言うべきか、難易度レベルは低くて、教科書の

章末問題Aといった感じ。発展問題ではない。河合塾の分析でも

標準とされてた。

 

以下、解き方はもちろん、問題文もコピペではなく私が簡単にまとめ

直したもの。原文は河合塾その他、大手予備校などで公開されてる

ので、そちらを参照。下図のようなpdfファイルで無料配布されてる。

ちなみに、大学入試センターの公式発表はなぜかいつも遅い。

 

180123a

 

 

    ☆        ☆        ☆

第5問 必要に応じて、正規分布表を用いてもよい。

 (1) aは正の整数。2,4,6,・・・,2aの数字が1つずつ

   書かれたa枚のカードが箱に入っている。1枚を無作為

   に取り出す時、書かれた数字を表す確率変数をXとする。

   X=2aとなる確率を求めよ。

 

   次に、a=5とする。Xの平均(期待値)と分散を求めよ。

   また、sX+tの平均が20、分散が32となるように、定数

   s(>0)、tを定めよ。さらにその時、sX+tが20以上で

   ある確率を小数で求めよ。

 

 (解答) まず、 確率 P(X=2a)1/a ・・・ア、イ

 

   次に、a=5の時、

   平均 E(X)=(2×1/5)+(4×1/5)+・・・

          =(2+4+6+8+10)/5

           ・・・

 

   ∴ 分散 V(X)

        =(2-6)²×1/5+(4-6)²×1/5+・・・

        =(16+4+0+4+16)/5

        = ・・・エ

 

   さらに、(sX+tの平均)=s・(Xの平均)+t、

   (sX+tの分散)=s²・(Xの分散)だから、

   与えられた条件を連立方程式に直すと、

    s×6+t=20 

    s²×8=32

   s>0より、 s=2 ・・・、 t=8 ・・・

 

   ∴ (sX+tが20以上の確率)

      =P(2X+8≧20)

      =P(X≧6)

      =P(X=6)+P(X=8)+P(X=10)

      =0. ・・・

 

 

 (2) (1)でa≧3とする。箱から3枚同時に取り出し、横1列に

   並べた時、左から小さい順に並んでいる事象をAとして、

   Aの起こる確率を求めよ。

 

  この試行を180回繰り返す時、Aが起こる回数を表す確率

  変数をYとする。Yの平均m、分散σ²を求めよ。

  さらに、回数が大きいので正規分布と考え、

  Z=(Y-m)/σ とおいて標準化する。

  P(18≦Y≦36)を、Zの確率を利用して求めよ。

 

 

 (解答) 並び方は全部で、 3P3=3×2×1=6通り。

   これらは同様に確からしいので、

   P(A)1/6 ・・・ク、ケ

 

   Yは、180回中にAが起こる回数だから、二項分布に従う。

   ∴ 平均 m=180×1/6

          =30 ・・・コサ

     分散 σ²=180×(1/6)×{1-(1/6)}

          =25 ・・・シス

 

   よって Z=(Y-m)/σ=(Y-30)/5 だから、

    Y=5Z+30

 

   ∴ P(18≦Y≦36)   

    =P(18≦5Z+30≦36)

    =P(-2.40≦Z≦1.20) ・・・セ、ソタ、チ、ツテ

    =P(0≦Z≦2.40)+P(0≦Z≦1.20)

    ≒0.4918+0.3849 (正規分布表の数値より)

    ≒0.88 ・・・トナ

 

180123b

 

 (3) ある都市の世論調査で、無作為に400人の有権者を選び、

   ある政策の賛否をたずねると、320人が賛成だった。全体の

   賛成者の割合(母比率)pを推測する。

 

   まず調査での賛成比率(標本比率)を求めよ。また二項分布

   の正規分布による近似を用いて、pに対する信頼度95%の

   信頼区間を求めよ。

 

   続いて、その区間の幅をL₁とする。また、標本の大きさ400、

   比率0.6の時の信頼区間の幅をL₂とし、大きさ500、比率

   0.8の時の信頼区間の幅をL₃とする。L₁、L₂、L₃の不等式

   を求めよ。

 

 

 (解答) 標本比率は、  320/400=0. ・・・

 

    また、信頼度95%の信頼区間は公式より、

    0.8-1.96×√0.8×0.2/400

     ≦ p ≦ 0.8+1.96×√0.8×0.2/400

    ∴ 0.8-1.96×0.02

       ≦ p ≦0.8+1.96×0.02

    端数を四捨五入して、信頼区間は

    0.76 ≦ p ≦ 0.84 ・・・ヌネ、ノハ

 

    さらに、 L₁=2×(1.96×√0.0004)=0.08。

 

    また、標本の大きさ400、比率0.6の時、同様の計算で

    信頼区間の幅を求めると、

    L₂=2×(1.96×√0.6×0.4/400)

     =2×(1.96×√0.0006) > L₁

 

    標本の大きさ500、比率0.8の時、信頼区間の幅は、

    L₃=2×(1.96×√0.8×0.2/500)

     =2×(1.96×√0.00032) < L₁

 

    以上まとめると、 L₃ < L₁ < L₂ 

    つまり、答は4番。 ・・・

 

 

     ☆        ☆        ☆

なお、最後のL₂やL₃を真面目に計算すると時間の浪費になる。

 

また信頼区間の公式は、標準正規分布表などから近似的に求めた

もの。変数が0~1.96の区間に入る確率が0.475だから、

-1.96~1.96の区間に入る確率が0.95。

つまり95%ということになる。

下の正規分布(ガウス分布)表で、色付きの数値を参照。

 

180123c

 

その変数を、ここでは

 (p´-p)/√p(1-p)/n (p´は標本比率)

と考えると、95%信頼区間は

-1.96≦ (p´-p)/√p(1-p)/n≦1.96

∴ p´-1.96×√p(1-p)/n

    ≦ p ≦ p´+1.96×√p(1-p)/n

 

さらに、不等式の左と右のpを標本比率で近似して、

95%信頼区間の公式が完成。

 

 p´-1.96×√p´(1-p´)/n 

   ≦ p ≦ p´+1.96×√p´(1-p´)/n

 

 

    ☆        ☆        ☆  

上の覚えにくい不等式を暗記してそのまま使うのが、高校数学とか

大学受験数学ということになる。試験場で自分で導くのは困難。

 

しかし、この理論は近似だらけだし、説明も省略されてるので、他の

話と比べると説得力に乏しい。もし本格的に近似を正当化する証明

を行うと、完全に大学(以上)の数学のレベルになる。少なくとも中心

極限定理や確率密度関数が必要で、経験的正しさを主張するには

大数の法則という厄介な問題も絡んで来る。

 

というわけで、公式データは発見できてないが、この問題の選択者

は少ないはず。学研のサイトでは、「あまりおすすめはできません」

とアドバイスされてた。

 

だから逆に、マニアック・ブログが進んで扱うことになるわけだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

            (計 3315字)

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陸上選手の体格指数BMI(散布図と補助線の傾き、箱ひげ図)~2018センター試験・数学ⅠA・第2問

大規模な入試改革が徐々に近づく中、現行の大学入試センター試験

にも思考力や応用力を見る意欲的な問題が入って来た。

 

巷(ちまた)で話題の地理B・ムーミン問題は、狙いは面白いし一応

解けるけど、詰めが甘い。出題ミスを早めに認めて、全員正解扱いに

してもいいと思う。おそらく、作成者らは固定的な現実に慣れていて、

フィクションの表現や解釈の多義性には慣れてないのだろう。長い

幻想的アニメの「舞台」を一つの国に限定するのは、大変な作業だ。

 

(☆追記: 出題ミスではないが今後さらに注意する、という

      ような回答が16日、朝日新聞に送られた。アニメ

      画像の背景や服装まで見ることを求めてるようだ。)

 

それに対して、今年の数学ⅠAのデータ分析はよく出来ていて、ミス

はない。ただ、受験生がどの程度対応できたのかは微妙。河合塾の

分析では、「散布図には補助線が描かれており、その利用の仕方に

戸惑った受験生もいただろう」とされてた。結果の公表に注目しよう。

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは第2問(必答問題)〔2〕の解説。陸上競技大会の出場選手

の身長(cm)と体重(kg)を、男子・女子、短距離・長距離で

グループ分けしてデータ分析する。グラフだけ縮小コピーさせて頂く。

 

180116a

 

180116b

 

180116c

 

 

(1)は身長だけだから、簡単な問題。上の図1(ヒストグラム)、図2

(箱ひげ図)から読み取れる内容として正しいもの2つを選ぶ。

 

まず選択肢の1番。「四つのグループのすべてにおいて、四分位 

範囲(箱の横の長さ)は12未満である」。箱ひげ図より明らか。目盛

6つ分より短いということだ。

 

次に6番。「男子短距離グループの中央値(箱中の縦線の値)と男子

長距離グループの第3四分位数(箱の右端の値)は、ともに180

以上182未満である」。これも箱ひげ図だけで分かる。

 

よっては、サが1、シが6。逆順でもよい。

 

「ガーディアン社のWebページにより作成」という出典表示は、少し

調べてみたけどまだ確認できてない。単にガーディアンと言えば

普通、英国メディアのことだから、もう少し明確に表示するべきだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

(2)は身長と体重の関係で、この分析が目新しい設問だった。

身長H(cm)に対して、X=(H/100)²と定義。要するに、単位

をmに変換して2乗したということ。

 

体重はW(kg)として、Z=W/Xを考える。結局、

 Z=体重(kg) / {身長(m)の2乗}

 

なぜか問題文では説明してないが、体格指数BMI(Body

Mass Index)の話だ。ツイッター検索から考えると、

理解できた受験生はかなり少ないようで、年齢的に当然だろう。

健康器具大手のタニタHPでは、「18.5以上25未満が標準範囲

とされ・・」と書いてる(厚労省の基準)。

 

 

     ☆        ☆        ☆

180116d

 

180116e

 

180116f

 

 

散布図には、「原点を通り、傾きが15、20、25、30である

四つの直線L1、L2、L3、L4も補助的に描いている」。

 

傾きでZを表してるわけだが、滅多に見ない直線だし、図の原点辺り

も省略されてるから、分かりにくいだろう。この4本の線は要するに、

下から、痩せ過ぎ、標準、やや太り気味、太り過ぎ(肥満)の目安を

表してる。

 

したがって、長距離走とか持久系スポーツというものを理解して

いれば、長距離選手が一番下のL1(痩せ過ぎ)に近づくのは分かる。

BMIの最小値は女子長距離選手だろうということも、想像できなく

はない。テレビや写真で女子マラソンや女子駅伝の選手を見ると、

痩せた選手が多いから。

 

 

     ☆        ☆        ☆

問われているのは、上の図3(散布図+補助線)と図4(箱ひげ図)

から読み取れる内容。

 

まず、選択肢の4番。「女子長距離グループのすべてのZの値は

25より小さい」。と言うより、女子長距離選手のほとんどはZが

20より小さい。つまり、どちらかと言うと痩せてるということで、

当然の結果だろう。

 

次に、選択肢の5番。「男子長距離グループのZの箱ひげ図は 

(c)である」。

 

散布図より、女子の方が直線L1に近い、つまりZが小さい。女子

短距離が(b)、女子長距離が(d)。また、男子短距離は直線L2

とL3の間に点が集まってて、Zの値が明らかに大きいから、(a)。

消去法で、男子長距離の箱ひげ図は残る(c)となる。

 

したがっては、4と5(ス、セ)

 

 

     ☆        ☆        ☆

男子短距離選手の体格ががっちりしてる(つまりZが大きい)のは、

五輪や世界選手権の100m決勝を見れば分かりやすい。

 

その中で、引退したボルトはBMIがそれほど高くない選手だったが、

最近は体重が増えてBMIが増加してたようだ。タイムが落ちて来た

ことと関係してるかも知れない。

 

なお、この後の設問は普通の共分散で、簡単な計算問題だから

省略しよう。数学の問題と正解を掲載した朝日新聞・朝刊(1月

15日)には、河合塾の全面広告が載ってた。中央に1行、熱い

言葉を配置。

 

 「自分の夢まで、自己採点しないでください。

 

いいね♪ まあ、自分の夢を他者に採点されるのもビミョーだけど。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf.二項分布と正規分布、標本による母集団の推測、信頼区間

    ~2018センター試験・数学ⅡB・第5問

 

  自転車というキュウリに乗って、馬よりゆったりと♪

  ~井上荒野『キュウリいろいろ』(2018センター・国語)

 

               (計 2152字)

       (追記 46字 ; 合計 2198字)

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簡単な最大カット問題2~NTT量子ニューラルネットワーク(QNN)のクラウドの使い方

年末でバタバタとあおられる中、今日は1ヶ月近く前の記事の続編を

書いとこう。NTTの量子ニューラルネットワーク(QNN)が、ネットの

クラウドシステムとして公開されてる。QNNは、Quantum

 Neural Networkという英語の略だ。

 

その高度な使い方はともかく、ゲーム遊び的な使い方なら少しずつ

分かって来た。「PLAY GROUND」(遊び場)と呼ばれてる

一般向けのページがあって、脳トレにいいのだ。ちょっと難しいし、

説明が無いけど♪

 

わざと謎かけみたいにしてるのかね? あるいは、多少知ってる人

が見れば、すぐ分かるのか。。

 

 

     ☆        ☆        ☆

まずウォーミング・アップとして、前回扱ったチャレンジ問題を新たに

1問やってみよう。問題のバリエーションが非常に多いからなのか、

あるいは、私のPCをクッキーか何かで識別してるのか、毎回違う

パターンで出題される。

 

171229a

 

 「子どもたちの関係を見ながら、できるだけ仲が悪いもの同士が

 同じバスとならないようにバスAとバスBに振り分けてみましょう」。

 

まず1番を1回クリックしてバスAに乗せる。ちょっと微妙だが、3番

は1番と仲が悪いから、バスB。1番と4番は仲良しで、4番と2番

は仲が悪いから、4番をバスA、2番をバスBに振り分ける。すると、

微妙な5番もバスBの方が少し良さそうだ。

 

よって、バスAは1番と4番、バスBは2番・3番・5番と私は回答した。

念のため確認して、ファイナル・アンサー♪

 

171229b

 

すると、「正解です!」。上図の左上の「COM」は、コンピューター

が出した答という意味で、私の答と一致。

 

この問題なら、計算でも一応出せる。同じバスに仲が良い2人がいる

時に+1、仲が悪い2人がいる時に-1、関係がない2人がいる時に

0として、合計点を計算すると、正解の場合に最大値3になるのだ。

 

しかし、「車内の円満度」はなぜか、1。まだ、この計算方法は解読

できてない。やはり途中の映像を動画撮影で録画するしかないか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

さて、NTTの説明を今回も引用しとくと、「最大カット問題」(Max

-Cut問題)とは次の通り。

 

 複数のノード(点)と、ノードを結ぶエッジ(線)からなるグラフに

 おいて、ノード群を2つの部分集合に分割する際、異なる

 グループに属するノード間に張られたエッジの数が最大となる

 分け方を求める問題。

 

この説明と、本来の数学の説明との関係も、まだ解明できてない。

ただ、要するに複数の要素(上の問題なら5人)を最適な方法で

2つのグループに分割する問題だろうし、チャレンジ問題の後に

出るシステムの使い方なら少し理解できた。

 

 

     ☆        ☆        ☆

171229c

 

上図が、QNNクラウドによって問題を解く画面。少なくとも私の

端末だと何の説明もヘルプも出て来ないから、試行錯誤で推測

するしかない。画面右上のパラメーターは意味不明だからAuto

(自動)のまま。

 

171229d

 

まず画面左上で、点の数(つまり人数)とつながり方(関係)を選択。

グラフ・トポロジー(位相幾何学)という高級な数学用語を使ってる

が、要するに点のつながり方のこと。ここでは2人、関係1を選んだ。

 

171229e

 

これは、0番と1番の関係が仲良し(赤系の色の線)という意味だと

思う。それなら、2人を同じグループ(またはバス)にして、もう一つの

グループは何も無しにすればいい。

 

実際、画面右上の「RUN」ボタンを押してシステムを作動させると、

0番と1番が同じグループとされる。

 

171229f

 

0番を表す青線と、1番を表すオレンジ色の線が、重なって下側

に進んでる。このグラフが、0番と1番を同じグループにすべきと

いうことを指導してくれてるようだ。

 

ちなみに画面左端の「TUTORIAL」(チュートリアル)は「指導」。

グラフの「Pump」とは、ポンプを上下に動かして吸い上げる

という意味だから、システムが超高速で場合分けして計算してる

のだろうと想像する。

 

最適な状態になったら、「pump rate」(吸い上げの割合)

は1。「cut」の数字(左側の軸を見る)はまだ意味不明。

 

171229g

 

計算結果が出た後は、問題の側の色も変化する。0番と1番

が青色になってるのは、グラフの下側に分けられたという意味

だと思う。 線の色の変化はまだ意味不明。

 

 

      ☆        ☆        ☆

続いて、3人の場合の関係4を見てみよう。

 

171229h_2

 

色が見にくいが、0番と1番の線だけが青系の色で、他の2本は

赤系になってる。ということは、0番と1番を別グループに分けて、

2番はどちらのグループに入れても同じ評価になるはず。

 

171229i

 

結果のグラフでは、0番の青線だけが上側で、1番と2番の線が

下側になった。序盤で、「cut」のピンク色の線が激しく上下に

揺れてるのは、おそらく本当は最適解が2通りあるからだろう。

 

問題の図では、グラフ上側の0番だけが赤色に変化して、グラフ

下側の1番と2番は青色に変化した。

 

 

        ☆        ☆        ☆

最後に、4人の問題の関係1。

 

171229j

 

0番と1番の間の線だけが青系だから、0番だけを別グループに

すればいいはず。

 

171229k

 

結果のグラフでは、0番の青線だけ上側で、1番・2番・3番の

線は下側へと振り分け。したがって問題の図では、0番の点だけ

赤色、他は青色へと変化した。

 

171229l

 

 

最大カット問題というのは、かなり分かりやすいのに奥が深いし、

量子コンピューターにも興味があるので、もう少し追求する予定。

とりあえず、今日のところはこの辺で。。☆彡

 

 

 

cf. 簡単な「最大カット問題」

  ~NTT量子ニューラルネットワーク(QNN)のクラウド

 

             (計 2307字)

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