数学甲子園2019予選、解き方と感想4(問題13~15,17~20)

今年の数学甲子園・予選記事もようやくラスト。正直、パッと見で、残りの7問は簡単だろうと思ってたけど、問題14と問題19はそれぞれ30分くらいかかってしまった。問題19は、私が解き方を忘れてたのが大きいと思うけど、問題14は記述式で難関大学の入試問題に出してもいいレベルだろう。答は意外と簡単だけど、きっちり説明するのは大変だ。

  

解くだけで手間ひまかかったので、今回の記事はいつも以上に省略しよう。ちなみに過去の3本は以下の通り。これ以外にも、過去の数学甲子園記事だけで多数あって、毎年の全国予選前には大量のアクセスが入ってる。ところが、本選の後のアクセスはわずか♪ まあ、私もテスト前とかにならないとなかなか勉強しないタイプだったから、この状況はよく分かる。

     

 数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

 2019予選、解き方と感想2(問題1~6)

 2019予選、解き方と感想3(問題7~12)

   

   

    ☆     ☆     ☆

問題14 3直線y=(-3/4)x+8、y=(-5/12)x+16、y=(3/4)x+2によって囲まれてできる三角形の内接円の半径を求めなさい。

  

略解 直線の式を一般形に直すと、

 3x+4yー32=0、

 5x+12y-192=0、

 3x-4y+8=0。

  

内接円の中心(a,b)とし、

点と直線の距離の公式を用いて

半径を3通りに表した上で、

a、bの連立方程式を立てて解く。

絶対値記号を外す時には、図形的

考察も利用。a=4、b=10

 

∴(半径)

=|3・4-4・10+8|/√25

4 ・・・答

  

感想 もう少し上手い解き方があるような気もするけど、いずれにせよ実戦で数分で正しく答えるのはラクじゃない。レベル設定としては適度か。

 

    

   ☆    ☆    ☆

問題15 A、B、Cの3人が1対1形式のゲームを次々と行います。1回のゲームでAがBに勝つ確率は2/3、BがCに勝つ確率は2/3、CがAに勝つ確率は1/3で、引き分けはありません。第n戦(nは正の整数)の勝者と残りの人(第n戦に参加しなかった人)が第(n+1)戦で対戦し、2連勝した人を優勝とします。第1戦でAとBが対戦し、誰かが優勝するまでゲームを続けるとき、第3n戦でCが優勝する確率を求めなさい。

  

略解 n=1なら、Cが優勝の確率は

(2/3)・(1/3)・(1/2)+

(1/3)・(1/2)・(1/3)=1/6

  

n≧2の時、第3n戦でCの優勝なら、

第3(n-1)戦までの勝者だけ

並べると、ACBとBCAのいずれか

1種類をn-1コ並べた列になる。

例えば第3×2戦でC優勝なら、

ACB・ACCまたはBCABCC

この場合のC優勝の確率は、

(1/9)・(1/9)+(1/9)・(1/18)

=(1/9)・(1/6)

 

同様に考えて、

(第3n戦でCが優勝する確率)

={(1/9)のn-1乗}/6

3/{2(9のn乗)}

n=1でも成立するのでこれが

   

感想 難しいというより、まとめにくいし実験もやりにくい。ただ、手と頭は動かせるし計算も簡単だから、巧みな問題作成だなと感心。

   

  

   ☆    ☆    ☆

問題15 a>0、b>0とします。次の等式が成り立つとき、a/bのとり得る値をすべて求めなさい。答えが分数になる場合は、分母を有理化して答えなさい。

2log₂(a+b)=log₂a+log₂b+3

  

略解 与式を変形して、

log₂{(a+b)²/ab}=3

∴ (a+b)²/ab=8

∴{(a/b)+1}²=8(a/b)

∴ a/b=3±2√2・・・答

  

感想 これは教科書章末問題レベルのサービス♪ 1~2分か。

   

  

   ☆    ☆    ☆

問題17 次の整式を、係数が整数の範囲で因数分解しなさい。 x⁵+x+1

  

略解 因数定理より、1次式の

因数は持たない。よって与式は

(x²+ax+1)(x³+bx²+cx+1)

または、

(x²+axー1)(x³+bx²+cxー1)

とおける。それぞれ展開して

与式と係数比較。前者の式のみ

成功して、与式は

(x²+x+1)(x³ーx²+1)・・答

  

感想 これも簡単だけど、試験会場の緊張感の中だと動揺してしまうかも。キレイなわりに見慣れない因数分解で、適度な良問だと思う。

   

   

   ☆    ☆    ☆

問題18 aを定数とします。2次方程式x²+ax+a=0が異なる2つの実数解をもち、かつ1より大きくて2より小さい解は1つだけ存在するとき、aのとり得る値の範囲を求めなさい。

   

略解 f(x)=x²+ax+a

とおく。放物線y=f(x)が

1<x<2で重解以外の実数解

を1つだけ持つための条件は、

f(1)・f(2)<0

  

∴ (2a+1)(3a+4)<0

-4/3<a<-1/2 ・・答

   

感想 今回もっとも簡単で、1分以内に解答。チェックも含めて2分か。

  

  

   ☆    ☆    ☆

問題19 2つのベクトル(→a)、(→b)が |2(→a)+3(→b)|=8、|4(→a)+(→b)|=5 を満たすとき、|(→a)+(→b)|の最大値、最小値をそれぞれ求めなさい。

  

略解 |4(→a)+6(→b)|=16

|4(→a)+(→b)|=5

を満たすときの、

|4(→a)+4(→b)|の最大値、

最小値を考える。

つまり、論理的に同じ条件で、

本来の4倍のベクトルの最大・

最小を図形的に考える。

   

絶対値記号の中の3種の

ベクトルは、→b の係数のみ

異なる。2番目のベクトルに

5(→b)を加えたのが1番目で、

3(→b)を加えたのが3番目

  

∴(最大値)

=(→aと→b同じ向きの時)

=5+(16-5)・(3/5)=58/5

  

最小値)

=(→aと→bが逆向きの時)

=(16+5)・(3/5)-5=38/5

  

最後にそれぞれ1/4にして、

最大値29/10、最小値19/10・・答

   

感想 最初、計算で解こうとして行き詰ってしまったから、図形的に解いた。同じ向きと逆向きの時が答になることは、実は図形的にきっちり証明しようとすると、頭を使うことになる。直観的に明らかに近いけど、最大と最小でそれぞれ、向きがズレてる時との比較を行う。補助線を数本引いて角度や長さを考えれば分かるので、お試しあれ。後で計算に再挑戦してみたい。

  

  

   ☆    ☆    ☆

問題20 f(x)=(1/2)x²、g(x)=x²+2xー7とします。曲線y=f(x)上の点(a,f(a))におけるy=f(x)の接線と、曲線y=g(x)上の点(b,g(b))におけるy=g(x)の接線が一致しました。このような接線の方程式をすべて求めなさい。

  

略解 y=f(x)の接線

y=a(x-a)+(1/2)a²

 =ax-a²/2

がy=g(x)と接するため

の条件から、aを求める。

  

ax-a²/2=x²+2xー7

が重解を持つので、判別式は0。

∴ a=-8,4

よって接線は、

y=-8x-32,y=4x-8 ・・答

  

感想 これはサービス問題。私はbを相手にせずに解いたけど、単なる好みの問題かも。

   

  

今、公式HPを見ると、10月31日にYouTubeで本戦の動画が公開されてた。創作問題の様子だけのような気もするけど、いずれ内容をチェックしてみる予定。マスバトルの問題公開を待つ方が得策か。今日のところはこの辺で。。☆彡

    

       (計 2860字)

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数学甲子園2019予選、解き方と感想3(問題7~12)

一昨日に続いて、数学甲子園2019予選の第3弾解説をアップする。過去の2本は以下の通り。

  

 数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

  2019予選、解き方と感想2(問題1~6)

 (☆追記: 予選、解き方と感想4(問題13~15,17~20))

   

今回は直ちに本題に向かおう。

  

  

    ☆     ☆     ☆

問題7 次の等式を満たす正の整数a,bの組をすべて求めなさい。

 ab=(aのb乗)

  

解答 (1)a=1の場合

 与式は、b=1。

  

(2)a≧2の場合

 ① b=1の時

 与式は a=a となるから、

 aは2以上の任意の正の整数。

 ②b=2の時

 与式は、2a=a² ∴a=2

  

 ③b≧3の時

 まずb=3と仮定すると、

 (与式右辺)ー(与式左辺)

=a³ー3a=a(a²ー3)>0

 また、b=k(≧3)で

 (与式右辺)ー(与式左辺)

=(aのk乗)ーka>0と仮定する。

b=k+1の時、

(与式右辺)ー(与式左辺)

=(aのk+1乗)ー(k+1)a

=a{(aのk乗)-ka}

 +ka²ー(k+1)a

=a{(aのk乗)-ka}

 +a{k(aー1)ー1}>0

以上、数学的帰納法より、b≧3の

時、与式は等式として成立しない。

 

したがって、(1)(2)より

(a,b)=(k,1),(2,2)

 (kは任意の正の整数)・・・

  

感想 実戦では答だけ出せばいいから、正答に似たものなら多くの参加者が書けたと思う。ただ完全な正答となると、かなり減るはずで、部分点をどうつけるのかが気になる所。中堅大学の記述問題としてなら適度なレベル。

  

   

    ☆     ☆     ☆

問題8 右の図は、ある四面体の展開図で、△AECは正三角形です。AB=5、AC=12、BC=13、∠ABD=90°のとき、この四面体の体積を求めなさい。

  

191102a

    

略解 △ABCを底面として四面体を組み立てると、上の頂点で点Dは点Eと重なる。また、Dから底面の延長上に下ろした垂線の足をHとすると、直角三角形DHBは底面と垂直になる。さらに、BH=AC/2。

  

∴DH²=DB²ーBH²

 =(12²ー5²)ー6²

∴DH=√83

∴(体積)=△ABC×DH/3

 =10√83 ・・・

  

感想 個人的には適度な図形問題だと思うが、正答率は極端に低かったとのこと。立体のイメージが難しかったのか、あるいはうっかりAD=13で計算してしまったのか。△ABDは、△ABCより僅かに小さい。

  

  

    ☆     ☆     ☆

問題9 tan18°×tan54°の値を求めなさい。

  

解答 tan18°=aとおく(0<a<1)。

tan36°=2a/1-a²

tan54°=tan(36°+18°)

 =(-a³+3a)/(-3a²+1)

 

一方、tan54°=1/tan36°

 =(1-a²)/2a

 

∴ (-a³+3a)/(-3a²+1)

=(1-a²)/2a

∴ 5a⁴ー10a²+1=0

0<a<1より、

 a²=1-2√5/5

∴ tan18°×tan54°

=a×(1-a²)/2a=(1-a²)/2

√5/5・・

   

感想 時間が短い実戦だと、これは途中で捨てたと思う。tanの倍角公式、加法定理、余角公式を使うのだろうということは分かるけど、組み合わせ方にちょっと迷ってしまった。sin、cosの3倍角の公式も思いつくから、なかなか方針が一つに定まらない。

  

  

    ☆     ☆     ☆

問題10 数列{an}を、

 a₁=1,

(n+2)an₊₁=nan+4n+2

 (n=1,2,3,・・・)

によって定めるとき、第n項

anを求めなさい。

  

解答 漸化式の両辺をn+1して、

bn=(n+1)nan とおく。

b₁=2,

bn₊₁=bn+4n²+6n+2

∴bn=2+∑(4k²+6k+2)

  (1≦k≦n-1)

 =n(n+1)(4n-1)/3 (n≧2)

上式はn=1でも成立。

 

∴an=(4n-1)/3 ・・

 

感想 時々ある漸化式の変形で、サービス問題に近い。このレベルの問題で時間が数分だと、ちょうどいい差がつくと思う。以前はこのくらいのレベルの問題ばかりが並んでたから、逆に簡単すぎて疑問を感じてた。

  

  

    ☆     ☆     ☆

問題11 2つの袋A、Bがあります。Aの袋には10、20、30、40、50のカードが1枚ずつ入っています。Bの袋には0、1、2、5、10のカードがそれぞれ10枚、4枚、3枚、2枚、1枚入っています。

A、Bの袋から無作為に1枚ずつを取り出し、2枚のカードに書かれた数の積をXとするとき、Xの分散を求めなさい。

   

解答 Aの袋のカードはどれも確率1/5。Bの袋においては、0のカードは積が0になるから計算不要。1、2、5、10のカードを取り出す確率は、それぞれ1/5、3/20、1/10、1/20。

∴(Xの平均)=(10+20+30+40+50)/25+3(10+20+30+40+50) /50+(10+20+30+40+50) /10+(10+20+30+40+50) /10=45

  

(x²の平均)=(100+400+900+1600+2500)/25+3(100+400+900+1600+2500) /25+(100+400+900+1600+2500) /2+(100+400+900+1600+2500) /10=9130

  

∴ (Xの分散)

=(X²の平均)ー(Xの平均)²

=9130-2025

7105 ・・・

   

感想 これもわりと適度な問題だと思うが、正答率が極端に低かったとの事。問題文を読むだけで面倒そうに感じるから、パスした生徒が多かったのかも。あるいはx²の平均の計算に苦戦したのか。上の解答の式は、長く見えるけど計算はカンタンで、割り切れて正の整数になる。私が解いた時には、2種類のカッコは最初の1回だけ書いて、後は空欄のまま計算した。

    

   

    ☆     ☆     ☆

問題12 3次式f(x)が次の条件を満たすとき、f(x)を求めなさい。

f(0)=0,f(1)=1,f(x)+6f(x-1)+f(x-2)=f(2x-1)

  

解答 第3式にx=0とx=1を

代入し、第1式と第2式を利用

して簡単にすると、

5f(-1)+f(-2)=0

f(-1)=0

∴f(-2)=0

よって因数定理より、

f(x)=ax(x+1)(x+2)

とおける。x=1を代入して

1=6a ∴a=1/6

∴ f(x)

x(x+1)(x+2)/6 ・・

  

感想 これは完全なサービス問題。ただ、先行する11問で余裕が無くなってる状態だから、計算ミスしやすいかも。

  

というわけで、今日はこの辺で。。☆彡

   

     (計 2535字)

 (追記26字 ; 合計2561字)

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数学甲子園2019予選、解き方と感想2(問題1~6)

19年10月29日、公式サイトで数学甲子園2019の予選の問題と模範解答(最後の答だけ)が公開された。私が気付いたのはその日の夜遅くだったか。春まで公開されないかも・・と思ってたので、意表を突かれた。

  

今年は、SNSで予選問題が流出するという、初めての(?)不祥事が発生。ひょっとしたら、ずっと問題を公開しないかも・・と思ってたのだ。

  

191031a

  

今年はその後、「特別対応」で実施したそうだけど、ほとんどの高校生がスマホその他の端末を持ってて、LINEやツイッターを使ってる現在、同じ問題で日にちをずらして全国で予選を行うという形は、無理がある。すべての会場で(ほぼ)同じ日時に行うのが理想。もし、違う日時にせざるを得ないのなら、問題を変えるとか、対応を考えるべきだろう。

   

  

     ☆     ☆     ☆

公開された全問題を見て、なぜ不祥事が起きたのか、ちょっと分かったような気がした。毎年すべて自分で解いてブログ記事にしてる私の目で見て、今年は難しすぎると思う。特に、簡単だった昔と比べると、雲泥の差。

    

20問で1時間なら、1問あたり3分。実際の問題の平均的レベルだと、1問あたり5分でもいいはず。その方が得点分布がキレイになって、予選として上手く機能する。全20問の中には、簡単なのもあるけど、普通の「大学生」が10分かけても解けない(or間違える)ような問題がかなり入ってる。流出の背景には、先に予選を受けた参加者の衝撃や不満があったのではないか。

   

とにかく、今日は時間がない中、最初の6問の解き方と感想だけ、簡単にまとめとこう。ちなみに、正答率が低くて先に公表されてた問題16については、9月の本選直後に解説記事をアップしておいた

   

   

     ☆     ☆     ☆

問題1 次の式を因数分解しなさい。

 a²(c-b)+b²(a-c)+c²(b-a)

   

解答 (与式)

=(cーb)a²-(c²ーb²)a+bc(cーb)

=(c-b){a²ー(b+c)a+bc}

(aーb)(bーc)(cーa) ・・・

   

感想 これはウォーミングアップ用のサービス問題。ただ、解くスピードで差がついたか。与式は、a→b→c→a→b・・の順に並ぶ「輪環形」で書くと、a²(-b+c)+b²(-c+a)+c²(-a+b)。こう見えた人は、一瞬でいきなり答を書き込んだかも。

    

  

   ☆     ☆     ☆

問題2 数学定数の1つにネイピア数eがあり、その値は e=2.718281828459 と無限に続きます。eを近似する循環小数2.718281828・・・を既約分数で表しなさい。

  

解答 10000e-e=27180.1

∴ 99990e=271801 

∴ e=271801/99990 ・・・

  

感想 これもサービス問題。ただ、「既約分数で」と指示されてるから、99990=2・3²・5・11・101と素因数分解して、271801と比較する必要がある。11と101は、惜しくも共約数にならない。実際には、チェックせずにたまたま合ってた参加者が多いかも♪

  

  

   ☆     ☆     ☆

問題3 下の枠内の文章は、図の円柱、球、円錐の体積や表面積について述べたものです。ア、イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。 (枠内 円柱、球、円錐の体積の比は3:2:1で、表面積の比は3:ア:イです。)

 

191031b

  

解答 (円柱の表面積)

=2πr²+2πr×2r=6πr²

(球の表面積)=4πr²

一方、(円錐の母線)=r√5cm

「円錐の展開図の扇形の中心角」

をa°とすると、

2πr√5×a/360=2πr

∴ a/360=1/√5

∴ (円錐の表面積)

=πr²+π(r√5)²×1/√5

=(1+√5)πr²

以上より、表面積の比は、

6:4:1+√5

=3:2:(1+√5)/2

∴ ア=2、イ=(1+√5)/2 ・・

   

感想 時間に追われる中、円錐の計算にはちょっとプレッシャーがかかる。公式は一応あるけど、使う機会が少ないから、覚えて実際に使える人はごく少数だろう。円柱の表面積で、円を1つ足し忘れるというのもありがちなミス。

   

   

   ☆     ☆     ☆

問題4 3辺の長さがそれぞれAB=331、BC=341、CA=21である△ABCの内角の大きさを∠ABC=x°、∠BCA=y°、∠CAB=z°とします。このとき、x、y、zの中に、値が整数であるものが1つだけ存在します。それはどれですか。また、その値を求めなさい。

  

解答 cos∠BCA

=(341²+21²ー331)/2・341・21

=7161/(2・7161)=1/2

よって、値が整数であるものは

値は60。・・・

   

感想 カンタンな図を書くと、xは小さすぎるから、yが60か45、あるいはzが120か150なんだろう・・といった想像はつく。それにしても、余弦定理を用いた算数の計算も、時間が無い中だと間違えやすい。

   

  

    ☆     ☆     ☆

問題5 1辺の長さがaである正四面体Aと、1辺の長さがaである正八面体Bがあります。Bの体積はAの体積の何倍ですか。

  

略解 直角三角形に着目、三平方の定理

で計算して、Aの高さは a√6/3。

底面積は、a²√3/4。

∴(Aの体積)=a³√2/12

一方、Bの半分(四角錐)の

高さはa√2/2。全体だとa√2。

∴(Bの体積)

=a²×a√2×1/3

=a³√2/3

以上より、Bの体積は

Aの体積の4倍。 ・・・

   

感想 これも、3分で正確に計算するのは大変。出て来た答の4倍も、ちょっと大き過ぎるような気がするし、あまりにキレイな答で不安になるところだ。

   

  

    ☆     ☆     ☆

問題6 正六角形の板があります。その各辺に、以下の規則で赤、青、黒のいずれかの色をぬるとき、全部で何通りのぬり方がありますか。 (枠内 ・必ずしも3色すべてを使う必要はないが、隣り合う辺は別の色にする。 ・回転して同じになるぬり方は同一のものとして、区別しない。 ・裏返してはじめて同じ色の配列になる鏡像体は、別のぬり方とする。)

   

解答 下図の場合分けと数え上げより、14通り。 ・・

  

191031c

   

感想 何色使うか、また、それぞれの色を何本の辺で使うかで場合分けした。もし時間15分なら、シンプルで考えさせる良問だと思う。実際は、この問題に回せる時間はせいぜい5、6分のはず。ちなみに、私がこの分類方法に気づいたのは、考え始めて10分ほど経った後。実戦なら捨てて、ほぼカンで書いて間違えたと思う♪ イメージ的には10通りくらいに感じた。

   

というわけで、今日のところはこの辺で。。☆彡

  

  

cf. 数学甲子園2019予選、解き方と感想3(問題7~12)

   

     (計 2602字)

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パズル「ナンスケ」(ナンバースケルトン)の解き方4~ニコリ作、難易度4、朝日be

朝日新聞・土曜の別刷beで、昨日また「ナンスケ」というパズルが出ました。これが4回目、制作はニコリです。前回、難易度3(☆3コ)に上がりましたが、19年(令和元年)10月26日の問題は難易度4(☆4コ)。また星の数が増えて、ちょっと難しくなってました。

   

ナンスケ(ナンバースケルトン)とは、数を並べて作った骨組みという意味。クロスワードパズルの言葉の代わりに、数を入れるのですが、解くためのヒントは、入れる数の候補のみ。今回は、次の16コの数が与えられてました。

 

(3ケタ)111,112

(4ケタ)1010,1234,2103,2424,3312,3341,4241,4332

(5ケタ)11313,22443,31434,32444,33303,44223

  

骨組みを作る盤面は、下の通りです。応募する時の答は、赤枠のマス目2つに入る数の合計です。

  

191027a

  

  

   ☆     ☆     ☆

いつものように、今回も少しずつ記事を更新しながら、解き方、考え方、コツなどを解説して行きます。

  

最初に入れるのは、横に3つ並んだマス目2ヶ所の、最初の2つ。3ケタの数は、111と112の2つだけどちらも最初の2つは「11」なので、まず左上と右下の2ヶ所に11を入れます。少しの候補しかないケタ数(ここでは3ケタ)の共通点を見抜くということです。

  

次に、左上の縦(たて)の4ケタは、1から始まってるので1010か1234です。1010だと、下側で0から始まる4ケタの数を右向きに入れることになりますが、0から始まる4ケタはありません。だから、左上は1234です。

  

また、右下の縦の5ケタは、4番目が1だから、11313しかありません。

   

191027b

  

では、これに続いて何が書けるでしょうか? 次の更新は、今日(10月27日)の夜にします。

   

なお、このサイトでは過去の3回についても解説しています。19年5月11日の問題の記事と、6月29日の問題の記事と、9月7日の問題の記事。参考にしてみてください。ではまた。。

   

   

    ☆     ☆     ☆

夜になったので、少し先に進めます。

     

191027c

  

右上あたりで、まず、2番目が1の4ケタは、2103(横)。次に、4番目が0の4ケタは、1010(縦)。さらに、4番目が0の5ケタは、33303(横)。すぐにハッキリ分かる所だけを順に書いて、上の図まで来ました。

  

この問題が難易度4なのは、ここから最後まで、ちょっと頭を使うからです。次の更新は明日(月曜)の夜にします。なお、今週は制限字数をかなりオーバーして、16639字で終了となりました。ではまた。

   

   

    ☆     ☆     ☆

月曜の夜になったので、2回目の更新です。

  

Img_9603

   

まず上側の中央は、3番目が3の4ケタだから、4332(縦)です。

  

次に、その辺りで、5ケタの数が縦と横に2つ、つながった所をみます。この2つは、同じ数から始まってるから、31434と32444のはずです。どちらが縦でどちらが横かは、まだ分かりませんが、この2つの数はどちらも3番目が4、5番目も4だから、その数だけは書けます。

  

さらに、左側の真ん中あたりに、4で始まって3番目も4の4ケタがあるので、4241(横)と書き込みます。

  

この後しばらくはカンタンですが、最後は注意深く考えないと間違えてしまいます。もうアクセスが減ったので、次の更新は正解発表の後にします。ではまた。

   

  

   ☆     ☆     ☆

では、正解が発表されたので、最後まで書きます。

  

191102b

   

左下のあたり。2で始まる縦の4ケタは、2424。次に、2番目が2の5ケタ(横)は22443。だから、一番下の横の5ケタは、残った44223。3で始まる5ケタは、先に上で2コ使ってます。

    

191102c

   

最後は、下半分の3312(縦)、右の3341(縦)、左上の112(横)と32444(縦)、上の31434、と順に書いて、おしまい。答は赤枠の3と2を足して、5でした。

    

最後まできちんと考えないと、32444と31434を逆にして、答を6としてしまうでしょう。ではまた。。☆彡

     

     (暫定字数 1076字)

  (追記562字 ; 合計1638字)

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カプレカ数の求め方と証明~3ケタ495、4ケタ6174(『はじめアルゴリズム』)

たまたま知った数学マンガ『はじめアルゴリズム』の第1巻・無料公開部分(笑)を読んでると、天才少年はじめが自動車2台のナンバープレートの数を引き算し始めた。

 

9541-1459=8082

  

左辺は、1,4,5,9の4つの数を並べて出来る最大の4ケタ数と、最小の4ケタ数との引き算になってる。

  

ちなみに私の母は、走ってる車のナンバープレートを見て、前の2ケタと後ろの2ケタをすぐ足す脳トレを時々やってた。それはさておき、天才少年の操作を、引いた結果の数値の8082で再び行うと、8820-0288=8532

  

もう一度繰り返すと、8532-2358=6174

  

この後は、7641-1467=6174となって、右辺は再び6174になる。計算プロセスに、いわゆるループ(循環)が出来て、変化がなくなるのだ。

  

  

    ☆     ☆     ☆

このループする数を『カプレカ数』と言い『6174』は4ケタでは唯一の数である」という説明を読んで、私は早速、証明開始。考え方は単純で簡単、高校数学レベルだけど、場合分けが非常に面倒で長くて、全部やる気はしない。

  

試しに、日本語版ウィキペディアで紹介されてる数学論文を読んでみると、やっぱり具体的な説明は省略されてた。そこで、4ケタはあきらめて、1ケタ、2ケタ、3ケタのカプレカ数を求めてみよう。

  

1ケタは0のみ、2ケタはなし(00は除く)、3ケタは495のみ(000は除く)であることが証明できる。同じやり方で、4ケタも求めることができるし、6174のみであることが証明できるはず(0000は除く)。

  

ちなみに、日本語版ウィキはカプレカ数の定義を2つ載せてて、2つ目が上で見て来たものになってる。英語版ウィキで「Kaprekar number」を見ると、上で見て来たものとは別の定義のみ扱われてた。フランス語版ウィキの「Nombre de Kaprekar」も同様。

  

上で見て来たような数は、英語だと、「Kaprekar's constant」(カプレカの定数)と呼ばれてる。フランス語も同様の表現。4ケタの場合、最大で7回、最大数ー最小数の操作を繰り返すと、6174になるそうだ。「Kaprekar's routine」(カプレカの操作)という項目で、樹形図の形でまとめられてた。

  

190921a

   

では、順に解説してみよう。私が参考にしたのは、大阪経済大学・西山豊氏の論文「6174の不思議」。試しに、検索してすぐ出るサイトの説明を読むと、西山論文とも私のこの記事とも内容的に違ってた。なお、一応以下では、「カプレカ定数」のことを「カプレカ数」と書く。

 

190921b

  

     

   ☆     ☆     ☆

(1) 1ケタのカプレカ数

   

その数を仮にa(1~9の自然数)と書くと、a-a=a。すなわち、a=0。よって、1ケタのカプレカ数は、0のみ

  

  

(2) 2ケタのカプレカ数

  

その数を仮にab(a,bは1~9)と書く。また、以下、この記事でアルファベットを複数並べて書く時には、かけ算ではなく、2ケタや3ケタの並びを示すものとする。

  

a≧bの場合、ab-ba=ab  ∴ ba=0  ∴ a=b=0

  

b≧aの場合、ba-ab=ab  ∴ ba=2ab  ∴10b+a=2(10a+b)  ∴ 8b=19a

よって、bは19の倍数だから、b=0しかなく、この場合もa=b=0となる。

  

以上より、2ケタのカプレカ数は、00を除くと存在しない

   

  

   ☆     ☆     ☆

(3) 3ケタのカプレカ数

  

① 各ケタの数がすべて同じ場合

  aaa-aaa=aaa となるから、a=0。つまり、その数は、000となる。

 

② 2つのケタだけ同じ数の場合

 まず、aabのタイプについて(a≠b)。a>bなら、aab-baa=aab ∴ baa=0  a>bだから、これをみたすa,bの組はない。

一方、b>aなら、baa-aab=aab ∴ baa=2aab  ∴ 98b=209a これをみたすa,bの組もない。

  

よって、aabのタイプはない。同様に、abaのタイプも、baaのタイプもない。したがって、2つのケタだけ同じ数である、3ケタのカプレカ数は存在しない。

  

③ 3ケタとも異なる数の場合(仮にabcと書く)

  

(ア) a>b>cの場合  abc-cba=abc  ∴ cba=0。左辺は正のはずだから、これはあり得ない。

(イ) a>c>bの場合  acb-bca=abc  これまでと同様の式整理で、a+109b+c=0。左辺は正のはずだから、これもあり得ない。

(ウ) b>a>cの場合  bac-cab=abc  整理して、89b=100(a+c)。左辺は100の倍数にはならないので、これもあり得ない。

  

(エ) b>c>aの場合  bca-acb=abc  筆算で引き算する時の1ケタ目を考えると、a+10-b=c(b>aだから2ケタ目から10借りる)。2ケタ目より、9=b。3ケタ目より、(b-1)-a=a。

  

連立一次方程式を自然な流れで解くと、b=9,a=4,c=5  すなわち、abc=495

  

(オ) c>a>bの場合  (エ)と同様の計算で、解なしとなる。

(カ) c>b>aの場合  (エ)と同様の計算で、解なし。

  

(ア)~(カ)より、3ケタとも異なるカプレカ数は495のみ。

以上、①~③より、3ケタのカプレカ数は、000を除くと、495のみ

   

  

    ☆     ☆     ☆

上の連立方程式を立てる考えは、西山氏の論文に書かれていたもので、参考になった。

   

ただし論文では、4ケタを一般的に扱おうとして、「詳細は省略するが」と書いた後、直ちに唯一の解を求めていた。しかも、方程式を立てる際に必要となる、等号付き不等号と等号なしの区別(≧と>、≦と<)の話も、サラッと省略。細かい話だが、上のケタから10借りるかどうかに関わるので重要。論文はその後、パソコンでしらみつぶしに調べる作業に移ってる。

    

つまり、上で私が3ケタについて行ったような証明をもし4ケタで書いたら、単純な話とはいえ、面倒で長い解答になってしまうのだ。

    

私としては、1ケタ~3ケタについて、この程度示したところで終わりとしとこう。後はコンピューターかAIにお任せ♪ 実は、上手い式変形がないかと色々試してみたけど、平凡な人間の知性では思いつかなかった。今日のところはこの辺で。。☆彡

  

  

cf. 『デート』第9話、「どんな数字も各位の2乗を足すと1か89になる」ことの証明

   

       (計 2551字)

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数学甲子園2019予選、正答率の低い問題16の解き方と感想

毎年、秋の恒例となった数学甲子園。令和元年(2019年)は、全国で日程をずらして行われた予選問題の一部がSNSで流出してしまったことも影響したのか、ライブ動画の配信はどこにも見当たらず。

   

念のため、ツイッター検索もかけてみたけど、ライブや動画は話題にさえなってない。大会自体は盛大に開催されてるだけに、ちょっと残念な気はする。数学や論理への関心は、少なくとも低くはなってないと思うから、不思議な状況かも。

       

解説記事を書き続けてる私も、今年はあきらめかけたけど、試しに数学検定の公式twitterにアクセスしたら、動画で予選1問だけ紹介されてた(選手の創作問題は別)。正答率が低いし、ちょっと間違えやすい問題でもあるから、記事にしてみよう。私も間違えてる可能性は一応あるので、悪しからず♪

  

  

    ☆     ☆     ☆ 

190918a

   

予選 問題16。右の図のように、同じ大きさで同じ歯数の歯車4つを組み合わせます。いちばん上以外の3つの歯車を固定し、その周りを上の歯車が一周するとき、動かす歯車自体は何回転するか答えなさい。

  

正答率は、全体14.0%、予選通過者23.9%回答率(全体)15.8%しかないから、多くの参加者が手つかずのまま終えたらしい。「何回転するか」という答だけを問われてるのだから、何か書けば当たるかも知れないのに♪

    

常識的に考えて、整数回転だろうし、イメージ的に3回転~10回転の間だろう。選択肢8つだから、当たる確率は12.5%。サイコロや鉛筆を転がすのと同レベル。3の倍数に絞り込むなら、3回転、6回転、9回転しかない。もちろん、半端な回転数かも知れないけど。

  

  

    ☆     ☆     ☆

予選会場でコインを4枚出すわけにはいかないだろうけど、図は簡単に書ける。といっても、上の図は、無料の数学AIでお馴染み、ウルフラム(Wolfram)の図を借用したもの。円をぴったり詰めたものを、「hexagonal circle packing」(6角形の円の詰め込み)とか言うらしい。 普通は、箱や枠の中への配列。

  

190918b

  

歯車というのは、受験生にプレッシャーをかけるための設定で、要するに滑らずに転がるという条件。そもそも、下側の3つの歯車は、固定しなくても回らない♪

   

エピサイクロイド(epicycloid)をアレンジした問題で、固定円の半径と動円の半径の比は、1:1。図形全体の対称性を考えると、上図の赤い点線から赤い実線までの動円の回転数を、6倍すればいい。この範囲なら、固定円は1コだけでも同じこと。赤線は動点の軌跡。

   

190918c

   

分かりやすさのために、動円を黄色にして、その中心と動点を青い矢印で結んでみる。元の図は、英語版ウィキペディアにリンクが付いてたドイツの個人サイト(?)からお借りした。ゆっくりした回転速度で、パラメーターの設定も出来るアニメーションが公開中。Danke schon.(ダンケ・シェーン:ありがとうございます)♪

  

  

    ☆     ☆     ☆

190918d

上図のように、固定円の周りを動円が45度回転すると、動円そのものは2倍の90度だけ自転(スピン)する。2倍というより、45度+(45度×1)=90度。この「×1」の部分は、動円の半径が1/2なら、「×2」になる。数学Ⅲの媒介変数表示でも一般的に扱われる話で、その説明は色んなサイトにあるのでお任せしよう。

   

190918e

  

3枚をつなげて考えれば分かるように、上側の固定円の周りを90度回転する時、動円は180度自転する。つまり、半回転。

  

よって、固定円3つの周りを回転する時、動円の自転は、半回転×63回転。 ・・・

   

   

    ☆     ☆     ☆

図も使って論理的に解説しながらも、自分で今一つ確信を持てない♪ そこで、100円ショップで歯車のおもちゃを探してみたけど無かった。10円玉4枚だと、どうしても滑ってしまう。どこかに、問題そのもののアニメーションが無いかな。数年後には、高校の数学でその種のプログラミングも扱うのかも。

  

なお、9月15日の本選の優勝は、栄光学園・朝食会のToastチーム(神奈川県)。おめでとう! 他の皆さんも、どうもお疲れさま♪ それでは今日は、この辺で。。☆彡

   

   

cf. 数学甲子園2019予選、解き方と感想2(問題1~6)

 数学甲子園2019予選、解き方と感想3(問題7~12)

      

       (計 1683字)

   (追記56字 ; 合計1739字)

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パズル「ナンスケ」(ナンバースケルトン)の解き方3~ニコリ作、難易度3、朝日be

朝日新聞・別刷beで昨日また、「ナンスケ」というパズルが出てました。これが3回目で、制作はニコリです。これまでは難易度2(☆2コ)でしたが、19年(令和元年)9月7日の問題は難易度3(☆3コ)。ちょっとだけ難しくなってました。

   

ナンスケ(ナンバースケルトン)とは、数を並べて作った骨組みという意味。クロスワードパズルの言葉の代わりに、数を入れるのですが、解くためのヒントは、入れる数の候補のみ。今回は、次の14コの数が与えられてました。

 

(4ケタ)1250,2111,2255,2515,2555,5122

(5ケタ)10101,55000

(6ケタ)110222,122551,225115,511255,552222,555110

  

骨組みを作る盤面は、下の通りです。応募する時の答は、ピンク色のマス目2つに入る数の合計です。

  

190908a

   

  

   ☆     ☆     ☆

いつものように、今回も少しずつ記事を更新しながら、解き方、考え方、コツなどを解説して行きます。

  

最初に何を入れるか? それが一番むずかしいかも知れません。5ケタの数は、10101と55000の2つだけどちらも左から4番目の数字が0なので、まず0を2つ書きます。候補の数を絞って共通点を見抜くということです。

   

すると、左下の4ケタの数は1250だと分かります。0で終わる4ケタの数は、1250しかないからです。

   

190908b

   

では、これに続いて何が書けるでしょうか? 次の更新は、今日(9月8日)の夜にします。

   

なお、このサイトでは過去の2回についても解説しています。19年5月11日の問題の記事と、6月29日の問題の記事。参考にしてみてください。ではまた。。

   

  

   ☆     ☆     ☆

日曜の夜になったので、1回目の更新です。

  

190908c

   

5ケタの数2コをどう入れるかを考えます。もし右上が10101だと、2番目の数が0になってしまって、そこから右向きに4ケタの数を入れることができません。0から始まる4ケタの数は無いからです。だから、右上は55000、左下が10101になります。

  

ここからはもうカンタンでしょう。次の更新は、明日(9日・月曜)の夜にします。なお、今週は合計14910字となりました。ではまた来週。。☆彡

   

   

   ☆     ☆     ☆

月曜の夜になったので、2回目の更新です。

  

190908d

   

まず右上。5で始まる4ケタの数は5122だけ。次に中央下側の6ケタの数。先頭が1で、3番目が0の6ケタは、110222です。

  

この後はもう、6ケタの数の残りすべてがカンタンに書き込めます。ただ、最後に残る4ケタの数の入れ方には要注意。筋道立てて、論理的に考える必要があります。

  

次の更新はもう、土曜の正解発表の後にしましょう。ではまた。。

    

  

    ☆     ☆     ☆

土曜になったので、最後の更新です。まず右上と右下の6ケタが決まります。

 

190908e

   

さらに左側でも、6ケタが2つ決まります。

  

190908f

   

左上の6ケタを書いた後、慎重に4ケタを3つ書き込みます。あわてて右下を「2515」と書いて、答を「2+5=7」としまうのが、ありがちなミスで、この問題のひっかけ部分でもあります。正しくは、「2+1=3」。

   

190908g 

  

それでは今回はこの辺で。。☆彡

  

    (暫定 954字)

  (追記365字 ; 合計1319字)

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テレビ番組の世帯視聴率が下がっても、個人視聴率が上がる場合~カンタンな理由と計算例

相変わらず体調が悪いので、早めに今日の分のブログ記事をアップしとこう。先日(19年8月12日)、Yahoo!の個人ページで興味深いエンタメ記事を見かけた

  

 「石原さとみはピークを過ぎた!?~『5→9』から『Heaven?』までに見る視聴者の評価~」。

  

メディア研究者の鈴木祐司氏が、個人視聴率を独自に測定・集計するスイッチ・メディア・ラボのデータを分析した、マニアックな研究だ。小論文と言ってもいいほど。

   

   

    ☆     ☆     ☆

本題に入る前に、基本を再確認しとこう。世の中でよく「視聴率」と呼ばれてるのは、ビデオリサーチ調べによるデータで、特に関東地区の「世帯視聴率」が使われることが多い。

  

世帯視聴率とは、簡単に言うと、その番組を見た家の割合。10件に1件がそのテレビを見てれば(あるいは付けてれば)、

 世帯視聴率=1/10=10%

   

一方、その10件の家には、2人ずつ家族がいるとすると、個人の人数は合計20人。テレビを見た家の中では、1人だけが見たとすると、

 個人視聴率=1/20=5%

   

   

     ☆     ☆     ☆

要するに、「普通は」個人視聴率の方が低くなるのだ。既に9年近く前になるけど、当サイトでは、NHK独自の公表データを使って、世帯視聴率と個人視聴率の関係式を導いた。結論だけ簡単に言うと、

  

 個人視聴率=世帯視聴率×0.7 (昔)

  

くらいになってた。その後、多様化とか個別化が進んでることを考えると、今なら係数は0.7ではなくて、0.6くらいかも知れない。

 

 個人視聴率 ≒ 世帯視聴率×0.6 (今?) 

  

特殊な例外状況(大家族だけで全員見てるとか)では、個人視聴率の方が高くなる可能性もあるけど、大規模な統計調査ではまずあり得ないだろう。

      

どのくらいの割合の人が見たか?を表すのは個人視聴率のはずだし、測定も20年ほど前から行われてるけど、世の中では世帯視聴率が使われ続けてる。おそらく、放送局とか制作者サイドが高い数字をアピールしたいからだと思う。

   

   

     ☆     ☆     ☆

話を戻して、Yahoo!の個人視聴率記事。ビデオリサーチの数字から計算した場合と比べて、少し低めに出てるような気もする(係数0.5くらい)。ただ、詳細は不明だし、ここではその違いは問題にしない。

  

私が思わず計算でチェックしたのは、石原さとみの最近の主演ドラマについて、「直近2作は、世帯は低いが個人は悪くない」、「個人視聴率全体は右肩上がりとなっている」と書いてたから。

  

下のグラフで、赤い「女性」の折れ線と、青い「男性」の折れ線の中間あたりが、全体の個人視聴率となるから、確かに右上がりだ。女性の方が遥かにドラマを見てることも、ハッキリ読み取れる。

  

190814a

 

   

そもそも上で書いたように、個人視聴率の方が高くなる特殊な場合もあるくらいだから、世帯視聴率が下がって個人視聴率が上がる場合もあるというのは何となく分かる。ただ、具体例と特徴がすぐには分からなかったから、直ちに考えてみた。

   

   

    ☆     ☆     ☆

数学的に一般的な証明をするのは大変だけど、要するに、見てる世帯数が減って、見てる個人数が増えるのだから、

 

 (見てる個人数)/(見てる世帯数) → 上昇

  

つまり、1世帯あたりの個人視聴者が増えるということ。言い換えると、石原さとみのドラマは、家族みんなで見る番組になってるということだ。

  

   

    ☆     ☆     ☆

例えば、昔は100世帯の中で12世帯が見てたとしよう。世帯視聴率12%。それが今は、10世帯に減った場合、世帯視聴率は10%に下がる。

    

一方、その100世帯には2人ずつ家族がいて、昔はどの世帯でも1人だけ見てたとする。合計200人中、12人が見てるのだから、昔の個人視聴率は、12/200=6%。

   

今は1世帯あたり平均1.5人見てるとすると、10世帯合わせて15人。全体の200人中、15人が見てるのだから、今の個人視聴率は、15/200=7.5%。

    

表と矢印で推移を比較すると、次の通り。

  

190814b

  

   

    ☆     ☆     ☆

というわけで、年代別とか属性別(学生、OLなど)も考えると、視聴率というのはかなり複雑でむずかしいのであった。

  

なお、最新の『日本の統計 2019』(総務省統計局)のデータによると、人口1億2700万人にたいして、世帯数は5300万。よって、1世帯あたりの個人数はおよそ2.4人で、少しずつ減ってる(核家族化)。その中で、1人だけ見てるのか、2人見てるのかによって、個人視聴率は大幅に変わるのだ。

  

ではまた明日。。☆彡

  

     (計 1814字)

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全国学力調査(テスト)2019年、中学・数学の正答率の低い問題の感想、批判

春の全国学力調査(全国学力テスト)の結果が7月31日に発表されて、昨日・8月1日の朝日新聞・朝刊に大きく掲載されてたので、ごく簡単に感想を書いとこう。

   

中学の数学だと、式や最後の答だけなら、誰がやってもほぼ同じになる(以前の原田・船木問題は例外)。しかし、文章による説明だと、模範解答とされてるものにも疑問を感じてしまう。正直、私が模範解答を採点すると、あまり高い点数にはならない。必要な言葉が抜けてたり、逆に余計な言葉が入ってたりするからだ。

  

以下、正答率の低い2問を見てみよう。問題・答・分析などは、国立教育政策研究所HPで無料公開されてるので、縮小コピペで引用させて頂く。

    

   

    ☆     ☆     ☆

まず、朝日が大きく扱ってた中3数学の問題6。全体的なアイデア自体は、実用的・現実的で面白いと思う。

  

190802a

  

190802b

    

(1)真面目に書くと、やや面倒な話になる。

  (点Pのy座標)=(冷蔵庫Aの使用年数0年での総費用)=(冷蔵庫Aの本体価格)

  (点Qのy座標)=(冷蔵庫Aの使用年数8年での総費用)=(冷蔵庫Aの本体価格+8年間の電気代)

 ∴(点Pのy座標と点Qのy座標の差)=(点Qのy座標)-(点Pのy座標)=(8年間の電気代)

  よって、答はエ。

   

普通は、「8年間で増えた総費用だから、その間の電気代」とか、省略して考えて答える所だろう。実際の教室での授業だと、「修理代は入れないの?」とか生徒から突っ込みが入って、「冷蔵庫はあんまし故障しないだろ」とか先生が言い返すと、「ウチの冷蔵庫、壊れたよ」とか反論されることになる♪

   

この問題の正答率は4割弱(39.5%)。5割近い生徒が、オ(8年間の総費用)と答えてる。これは点Qのy座標だけ見てるわけで、要するに、2点のy座標の差という話が意外と分かりにくいということだ。裏を返すと、意外と教えにくいのかも知れない。教師にとっては当たり前のことで、しかも教えにくいとなると、授業では省略されがちになるかも。

   

   

    ☆     ☆     ☆

それより、次の(2)が引っかかる。

  

190802c

  

この問題。生徒にとってまず引っかかるのは、キレイな答が出ないこと。連立方程式にせよ、グラフにせよ、ちょっと嫌な感じになる。文章の説明力を見る問いだから、キレイな答が出る設定の方が親切で適切だと思う。

   

CはBより、本体価格が5万円高いけど、年間の電気代が4500円安い。ということは、11年ちょっとで総費用が同じになるけど、(100/9)年という年数は算数や数学の授業で出て来るだけで、日常的には全く出て来ない。

   

   

    ☆     ☆     ☆

それより問題なのは、模範解答(正答例)だ。アの方程式を選んだ場合だと、「冷蔵庫Bと冷蔵庫Cについて、使用年数と総費用の関係から連立方程式をつくり、それを解いて使用年数の値を求める。」

    

私は、この正答例の文章を読んで本当に解ける生徒は少ないと思う。というのも、BとCで年数と費用の関係を見るのなら、合計4つの値が出てしまうと考えても不思議はないからだ。

 

だからと言って、x₁とy₁、x₂とy₂、2組の変数を持ち出してそれぞれ方程式を立てて、2本の方程式に同じxとyを代入して連立方程式にする・・とか説明すると、ますますパニックが拡大する。

   

というわけで、本来なら説明の最初に、「総費用が等しくなる時の使用年数をx年、総費用をy円とすると」といった感じの前置きが必要なのだ。それだと長すぎると言うのなら、せめて正答例には、「使用年数x」と「総費用y」と書くべきだろう。直前のグラフでxとyを導入してるのに、直後のこの問いで使ってないのが不自然で不十分なのだ。

  

その意味で、正答例は、10点満点だと8点か9点だと考える♪ グラフを選んだ場合の正答例「・・・交点の座標を読み取り・・・」も、正確には「交点のx座標を読み取り」と書くべきところだから、8点か9点しか出せない。

   

   

     ☆     ☆     ☆

次に、図形と証明を扱ってる問題7。

  

190802d  

   

190802e  

  

(1)は余りにも有名な合同条件だからいいとして、(2)は微妙な問いだ。要するに、予想2を「・・・ならば~~~」という形の条件命題と考えて、高校以上の論理をこっそり想定してるのだ(「ならば」の真理値表の変化)。

     

この条件命題が間違ってるのは、「・・・」が正しいのに、「~~~」が正しくない場合のみ。つまり、①をみたしていのに、②をみたしていない図を示せば、予想2の間違いを示せる。

   

ただ、囲みの文章で後半に入る時の接続詞が「数学の文章的に」不自然なのだ。「また、図2は」と書くのではなく、「しかし、図2は」とか、逆接の接続詞(ところが、など)を入れないと、滑らかな日本語にならない。一歩ゆずっても、「一方」と書いて、流れの変化を示すべきところ。

     

ところが(笑)「また」と書いてしまってるのは、やはり高校以上の論理学の悪影響だろう。初歩的な論理では、「しかし」と「また」のどちらも、「かつ(and)」で単純に処理してしまうから。

    

   

     ☆     ☆     ☆

それより引っかかるのは、次の(3)。

  

190802f

   

「四角形ABCDがどんな四角形ならば、AF=CEになりますか。『~~ならば、・・・・・・になる。」という形で書きなさい。

  

こう指示されれば、「ひし形(の四角形)ならば、AF=CEになる」が自然な正答のはず。ところが、解答作成者たちは、これだと「記述が十分でなく」として減点するらしい。完全な正答例は、「四角形ABCDがひし形ならば、AF=CEになる」。

   

「四角形ABCDがどんな四角形ならば」と問われて、「四角形ABCDが・・・」と答える日本人はほとんどいないはず。日本語は分かり切った主語(特に直前に出たもの)は省く言語で、「日本語の論理」ではそれで正しい。主語をしっかり欧米的に入れさせたいのなら、例えば問いの側で、「四角形ABCDが~~ならば、・・・・・・になる。」という形で書きなさい、と誘導すべきだろう。

     

なお、主語の省略というのは、初歩的な論理学の一部でも(暗黙のうちに)行われてる形になってる。例えば、「人間は動物である」という命題は、現代の述語論理でより正しく言い直すなら、「xが人間ならば、xは動物である」(全称は省略)。この仮の主語xを省略して、「ならば」の代わりに「は」としたのが、元の伝統的な命題なのである。

  

  

     ☆     ☆     ☆

もちろん、これは選別のためのテストではなく、調査のためのテストだから、細かい減点(あるいは不十分という判定)は重要ではない、といった弁明はできなくもない。

   

ただ、少なくとも現場の中学の数学教師には、正答例と不十分とされた例をしっかり把握して授業に反映する人も一定数いるはず。歴史と権威のある全国調査なのだから。

    

もっと重要なのは、まもなく始まる新テスト(大学入学共通テスト)だ。こちらは入学者の選別に関わる試験問題だから、遥かに客観的で正確な問題、解答、採点が必要となる。ところが、なまじ記述式など取り入れるために、採点や採点者の余裕が無くなってしまいそうな気配だ。

   

英語の「聴く」「話す」も含めて、あと1年半で本当に上手く準備できるのか? もし先延ばしにするのなら、今がもうタイムリミットだろう。私は当事者ではないけど、不安なまま準備せざるを得ない受験生たちが気の毒になる。

  

ともあれ、今日はそろそろこの辺で。。☆彡

   

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映画の原作マンガ『アルキメデスの大戦』、天才数学者・櫂直の計算をチェック

今さら言っても遅いけど、どうも結果的に、私の狙いがピント外れだったかも (^^ゞ 天才数学者が活躍する物語ということだったから、『ガリレオ』とか『ハードナッツ』くらいの数学的内容があるのかと思って、原作をチェック。実際は、単純な算数の計算ばかりだった。桁数が多くて暗算しにくいだけで、基本的に、自然数かプラスの小数のかけ算、割り算なのだ。

    

映画公式サイトの数学クイズも、全5問の予定中、4問まで公開されてて、すべて小学校5年~中学2年程度のレベル。まあでも、せっかく調べたからには記事にしないと大損・・と思うのが小市民ブロガー♪ 以下、簡単に書いとこう。

    

  

    ☆     ☆     ☆

ではまず、第1巻から。映画公開キャンペーンということか、Yahoo!のebookで無料公開されてたから、全体を流し読みできた。ただ、第1巻ではまだ数学の話がちょっとしか出てない。ちなみに原作者は三田紀房で、今も週刊ヤングマガジンで連載中。

   

昭和8年の国家予算は22億5466万。藤岡案建造費1億3500万は5.9%にあたる」(説明文)

    

実際にパーセントの計算をしてみると、1万を基本的な単位として、

 13500÷225466×100=5.987・・・

これは普通、数学でも、自然科学や社会科学でも、6.0%と近似するはず。ところがマンガは、小数第2位以下の大きい数を切り捨てて5.9%としてある。多分、記念すべき最初の計算だから、わざと分かりにくい小数にしたんだと思う。

 

   

    ☆     ☆     ☆

上に続いて、「これを現代の国家予算に当てはめると5兆6841億円」(説明文)。

  

「現代の国家予算」というのは、漫画連載時だと2015年の96兆3420億円。1億円を基本単位として計算式を立てると、

 963420×5.9/100=56841.7・・・

  

1000万の位を四捨五入したら、5兆6842億円だけど、ここでも切り捨てを使ってる。先に割り算して近似した後にかけ算をするという発想もちょっと不自然だけど、まあマンガのコマ割りの問題と考えとこう。

   

さらに、「かたや平山案は6890万」(櫂直=かいただしのセリフ)。「現代換算なら約2兆8902億円」(説明文)。

  

これも2回に分けて計算してるようだ。

 6890÷225466×100=3.055・・・   

切り捨てで、約3.0%だから、現代の予算をかけると

  

 963420×3.0/100=28902.6

再び切り捨てして、2兆8902億円とされてる。

   

そして、「3倍」(櫂のセリフ)。「現代換算で約8兆6706億円」(説明文)。

 28902×3=86706

これは単に、そのまま3倍しただけの値だ。

  

この後、簡単な割り算が2つあったけど、省略しとこう。

    

   

    ☆     ☆     ☆

では、一気に話を飛ばして、最新の連載から。これはちょっと面白くて怪しい=妖しい話だ。

   

米国が誇るゴールデン・ゲート・ブリッジの総工費を、日本の軍艦と同様に見て計算してある。こんな大まかな近似計算を、現場で本当にやるのかどうかは不明だし、色んなケースで上手く当てはまるのかどうかもビミョー。

   

橋桁の高さも『飛龍』と同等 227.5メートルとして 飛龍の公試排水量2万16.5トン 1メートル当たりおよそ88トンとなる」(櫂のセリフ)

  

 20016.5÷227.5=87.98・・・

1巻だと切り捨てしてたのに、ここではなぜか普通に近似して(=まるめて)、88としてある。

   

金門橋の場合 場所によって密度が異なるので 平均を求めて0.45で計算するなら 1mあたり およそ40トンの鋼材」(櫂)

  

 88×0.45=39.6

ここでは普通に四捨五入して、40としたらしい。

   

  

    ☆     ☆     ☆

この橋は 全長2.737キロ・・・鋼材の総量は 10万9480トン」(櫂)

 40×2737=109480

  

戦艦『長門』の公試排水量は4万3589トンで 建造費は4390万円 単純計算で1トンあたり1007円」(櫂)

 43900000÷43589=1007.1・・・

  

普通に四捨五入しても、切り捨てでも、確かに1トン1007円。この後、本来なら、橋の鋼材の総量109480トンと掛け合わせて総工費を概算する。

  

 1007×109480=110246360

つまり、1億1024万円(または1億1025万円)になるはず。

   

   

    ☆     ☆     ☆

ところがマンガでは、1億773万円と書いてたのだ。これに600万円の物価変動をプラス・マイナスして、1億173万円から1億1373万円。

  

おそらく原作者か計算担当者は、109480トンを掛けるべき所を、間違えて106980トンを掛けてしまって、四捨五入したんだろうと想像する。試しに「アルキメデスの大戦 計算」でツイッター検索すると、現在何もヒットせず (^^ゞ 「ミス」で検索しても、つぶやきゼロ。「間違い」でも、実質的にはゼロ。まあ、過去も大体そうだった。マジメに計算を気にする人はほとんどいない。

   

逆に言うと、ガリレオはいまだに数式の検索が入るから、それだけ人気とインパクトがあるということか。『アルキメデスの大戦』も、映画はわりと難しそうな式を出してたみたいだから、盛り返しに期待しよう。

  

映画公式サイトの数学クイズの問題5にも期待しつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

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