数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方1(英語の問題)

今、連休中で不自由な状況だけど、先日

フレッシュ動画でライブ中継された数学

甲子園2018のマスバトル(普通の

テスト)の解説記事を始めてみよう。

予選で既に公開された問題3つは、

すぐに記事をアップしてある

 

放送時間内だけ問題が公開されて、答は    

発表されてないから、単なる参考記事。

放送時間内だけ問題が公開されて、答は    

過去間違えたことは(ほとんど)無い    

けど、一部の問題は解きにくい。

 

    

今回はまず、英語の問題6問の和訳と    

解き方、感想を書く。式は少ししか入力

しないし、答が間違ってる可能性も一応    

あるので、ご注意あれ。今使ってる端末

はiPadで、スマホ用に1行を短く    

入力する。PCの方、悪しからず。

 

   

 

  ☆    ☆    ☆

では、全18問中の13問から。    

まず簡単な3元連立方程式。

 

第13問    

Find the values of a for which    

the following system of    

equations has infinitely  many    

solutions.

xー2y+z=2    

x+yー3z=a    

2xーyー2z=a²

 

以下の連立方程式が無限に多くの解を    

持つようなaの値を求めよ。

 

解答(略解)    

式1と式2からzを消去して、    

4xー5y=a+6    

式1と3からzを消去して、

4xー5y=a²+4     

よって、無数の解を持つ条件は

a+6=a²+4    

  a=ー1,2  ・・・答

 

感想  大学レベルの線形代数の知識とか    

使うまでもない数 I の基本問題。時間と    

点数を稼ぎたい所。

 

 

  ☆    ☆    ☆   

次も数 I の基本、円の方程式と接線。

 

第14問    

For the circle    

x²+y²+6xー8y=0,

find the range of values of m    

for which the family of lines    

y=mxー1/3    

do not meet the circle.

 

円x²+y²+6xー8y=0

に対し、直線y=mxー1/3    

が共有点を持たないようなmの

値の範囲を求めよ。

 

略解    

接する時、m= 7/24,4/3      

7/24<m<4/3  ・・・答

 

感想  接線の傾きは、判別式より、点と

直線の距離の公式の方がちょっと楽。

出て来るmの2次方程式の因数分解

で焦るかも。不等号の下の等号は不要

だと思う(私が調べた限り)。

 

 

  ☆    ☆    ☆

次は、英語問題で唯一の難問。時間内に    

「解けなかった」参加者が多かったと思う    

けど、「答の推測だけ」なら綺麗な図で可能♪

 

第15問    

Point E lies on side CD of rectangle

ABCD.  Circle O is inscribed in

trapezoid ABCE. Circle P is tangent     

to AB, AE, and Circle O externally.    

Circle Q is inscribed in △ADE.    

Find the radius of Circle O if the

radii of circles P and Q are both 3.

 

点Eが長方形ABCDの辺CD上に

ある。円Oは台形ABCEに内接する。

円PはAB、AEに接し、円Oに外接。    

円Qは三角形AEDに内接。円P、Qの    

半径が共に3の時、円Oの半径を求めよ。

 

略解

円Pと辺ADの距離をpとし、円Oの    

半径をrとする。

まず、円P、Oと中心点2つ、辺ABに

ついて、三平方の定理と直角三角形の     

相似を用いて、

2√(3r)=(rー3)p/3

   

また、直角三角形AEDの面積を2通りに

表して等号でつなぐと、

(p+3)r     

=3(2p+3r+2√(3r)

2式から√ を消して整理すると

p=3r/(rー3)

この式を用いてpを消すと、

r=12 ・・・答

 

感想 最初、座標計算したら、惜しい所

まで行って挫折。大変な計算になる。

方針変更して図形的に解くとすぐだった。

 

 

  ☆    ☆    ☆

続いて空間のベクトル方程式の基本問題。

 

第16問    

Line L has equation (→r)=    

(ー1,4、0)+λ(1,1,ー1)    

and point A has coordinates

(3,ー2,7). Find the    

coordinates of the reflection of

the point A in L.

 

直線Lのベクトル方程式は、     

(→r) = (ー1,4,0)+λ(1,1,ー1) 、

点Aの座標は(3,ー2,7)。点A    

の、直線Lに対する鏡映点を求めよ。

 

略解    

L上で、点Aの正射影を点Mとする。

Mの座標はLの方程式を満たし、さらに    

ベクトルAMとLの方向ベクトルの内積     

が0だから、Mは(ー4,1,3)。

よって、鏡映点をBとすると、    

(→OB)=(→OA)+2(→AM)    

  =(ー11,4,ー1)・・・答

   

 

    

感想 英語の前置詞「in」につられて     

正射影を求めたくなるけど、鏡映のこと

らしい。直線を1次元の鏡と考えて、その    

鏡の中に鏡映点があるという発想かも。

 

 

  ☆    ☆    ☆

次は複素数平面と3次方程式の

標準的な問題。

 

第17問

The cubic equation 

z³ーaz²+ 3az+b =0    

has real root ー1 and complex    

roots  x±yi, where a, b, x     

and y are real numbers and y>0.     

Note that i represents the imaginary

unit.  If the three points -1, x+yi,    

and x-yi in the complex plane are    

the vertices of an equilateral triangle,       

find all pairs of a and b.

 

3次方程式z³ーaz²+ 3az+b =0    

が、実数解ー1と複素数解x±yi    

を持ち、a、b、x、yは実数、y>0    

である。ここでiは虚数単位。複素数平面上    

の3点ー1、x+yi、xーyiが     

正三角形をなす時、a、bの組を全て求めよ。

 

略解

ー1が実数解であることより、    

b=4a+1    

解と係数の関係より、     

a=ー1+2x    

x²+y²=b    

正三角形をなすための条件より    

x+1=±(√3)y     

以上4つの方程式の連立を解いて、     

(a,b)     

(0,1),(9,37)・・・答

 

感想  簡単な4元連立方程式で、計算

ミスだけがポイント。第2式と第4式を

用いてx、yを消去。a、bに絞り込む。

 

 

  ☆    ☆    ☆     

最後は整数(自然数)の標準〜発展問題。

 

第18問    

Find all three-digit numbers that are    

equal to the sum of the factorials    

of their digits.

 

3ケタの数の内、各ケタの数の階乗の和に    

等しいものを全て求めよ。

 

略解     

ケタの数字3つの内、最大の自然数を

考える。 7以上だと、7!=5040で

4ケタになってしまうから不適。

6だと、元の数は699以下なのに、

6!=720だから不適。

4以下だと、元の数は最大でも444で、      

各ケタの数の階乗の和が3ケタに届かない。

 

よって、ケタの数字3つの内、最大は5。    

5!×3=360だから、元の数はこれ以下。    

よって、元の数は355以下で、数字5の    

使用回数は1回か2回。

 

後はしらみつぶしに計算で調べて、     

条件を満たす例は    

145=1!+4!+5!のみ。    

したがって求める数は145のみ。・・・答

 

感想 1つしか見つからないのが不安

だけど、しらみつぶしの計算は簡単。数字

1を1つだけ含むなら元の数は奇数とか

考えてもよい。

 

 

残った日本語の問題は、また後ほど扱う予定。   

今週は僅かに制限オーバーで計15302字

今日のところはこの辺で☆彡

 

 

cf. 数学甲子園2018予選、

    正答率の低い3つの問題

  数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

          (計 3185字)

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数学甲子園2018予選、正答率の低い3つの問題の解き方と感想

☆追記: マスバトルの記事の1本目をアップ。

  数学甲子園2018本選Math Battle、

   問題と解き方1(英語の問題) )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2018の本選(9月16日)の

様子を、FRESH LIVEの動画が中継。

初の試みとして(?)、ライブ中継中だけ、

参加者が挑戦したMATH BATTLE

(マス・バトル)の全問題が公開された。

 

ところが予選の20問については、中継の

途中に3問解説しただけ。正答率が低い

問題の代表のようで、残り17問について

はまだ分からない。

 

一昨年は簡単だったけど、去年は難化。

今年はさらに難化して、平均点が大幅に

下がったとのこと。ひょっとすると、女子

選手がかなり減った(らしい)ことと関係

してるかも(単なる統計的な一般論)。

 

全体(2425人)の平均点は、4.3点。

本選出場者(159人)の平均は11.8点。

20点満点は0人、19点が2人。最も多い

点数(400人近く)は1点。来年は多少、

易しくなると予想する。

 

予選問題がすべて公開されるのがいつに

なるのか分からないけど、順番として先に

予選を3問だけ解説しとこう。以下の解答

は、数学検定協会の(?)スライドの略解

を参考に、私が少しアレンジしたものだ。

 

入力に使用してるのはPCだけど、スマホ

によるアクセスが多いと思われるので、

1行の字数を少なくしてある。

 

 

   ☆    ☆    ☆

番号順ではなく、ライブ中継の紹介順に

見て行こう。まず、全体の正答率7.6%

予選通過者の正答率22.6%の問題。

 

問題10

すべての辺の長さがaである正四角錘と、

1辺の長さがaである正四面体があります。

この2つの立体の正三角形の面をぴったり

とくっつけてできる立体は、何面体ですか。

 

解答

1辺の長さは1として一般性を失わない。

 

180917a

 

まず正四面体の2面がなす角α

(0°<α<180°、図の∠OMC)

について、余弦定理より、

 

cos α = 〔{(√3)/2}²+{(√3)/2}²

   -1²〕 / 2・{(√3)/2}²

   = 1/3

∴ sin α = (2√2)/3

 

180917b

 

次に正四角錘の正三角形の面同士が

なす角β(同上、図の∠AMC、前の図

と頂点の名前は合ってない)について、

余弦定理より、

 

cos β = 〔{(√3)/2}²+{(√3)/2}²

   -(√2)²〕 / 2・{(√3)/2}²

    = -1/3

∴ sin β =  (2√2)/3

 

よって、対応する正三角形をくっつけた

時、新たに隣接する正三角形のなす面

の角α+βについて、加法定理より、

 

cos (α+β) = (-1/3)×1/3

        ー  {(2√2)/3}×{(2√2)/3}

       = ー1

0°<α+β<360°より、

 α+β=180°

 

よって正四面体において、くっつけた

面の両隣の2面は、正四角錘の2面

(共に正三角形)と平らにつながって

一体化。一つの面へと統合される。

それ以外にも、元の2立体それぞれ

から、くっつけた1面が消滅。

 

∴ (くっつけて出来た立体の面の数)

  =(正四角錘の面の数ー1)

   +(正四面体の面の数ー1)-2

  =5

 

したがって新たな立体は五面体。・・・

 

 

感想  

180917c

 

実はわりと有名な話のようで、検索する

とあちこちに類題や解説がある。上図は

岐阜大学のpdfファイルより。幾何学的

(図形的)な議論を詳しく書いてた

 

私が参加者なら、簡単すぎて

 (5ー1)+(4ー1)=7面

はあり得ないと考えると思う。

その後、飛ばして別の問題に行くか、

直感的に6面とか5面と記入して、

チェックは後回しにするか。

 

正四面体を「2つ」合体させた立体を

2個作って、片方は90°回転させて

正方形の面でくっつけると、1辺2aの

正四面体になるとか解説。興味深い。

 

 

    ☆    ☆    ☆

続いて、最も難しかった問題。全体の

正答率はわずか1%通過者8.2%

全体の「無答」率は70.4%。

 

問題6

x=ω+2i を解にもつ整数係数の

n次方程式のうち、次数が最小でxの

最高次数の係数が1であるものを

求めなさい。ただし、ωはω³=1を

満たす虚数、iは虚数単位を表します。

 

解答 (記述式なら不完全)

ω³=1より、

(ωー1)(ω²+ω+1)=0。

ωは虚数だから、ω²+ω+1=0。

 

ω=xー2iを代入してωを消すと、

(x-2i)²+(xー2i)+1=0

iで整理して、 x²+xー3=(4x+2)i

両辺2乗でiを消すと、

(x²+xー3)²=ー(4x+2)²

∴ x⁴+2x³+11x²+10x+13=0・・・答

 

 

感想

ある程度以上の数学好き、理屈好きなら、

直ちに論証不足だと気付くはず。実際、

私は動画を見ながらすぐ突っ込んだ♪

「次数が最小」ということの説明がない。

 

ただ、予選は最後の答だけ出せばいいし、

ωでさえ3次方程式の解だから、4次で

十分低いと考えて済ませるのが実戦的。

 

本選での解説では、美人教師っぽい(笑)

田中さん(?)が(わざと)間違えて、6次式

を提示。ω³=1を利用してωを消したもの。

 

男性が突っ込んで、「最小」の解説をしてた

けど、あれでは不十分。とりあえず求めた

候補の方程式を因数分解したりして考察

しても、「他に」もっと低い次数の方程式が

ないことまでは示せてない。

 

モニック多項式⇒整数解以外の

有理数解を持たない」という話を付け

加えてたけど、使い方などの説明は無し。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では最後の3問目。全体の正答率

5.3%通過者39.6%。これはわりと

普通の問題で、もう少し時間があれば

解けた人が多かったと思う。

 

問題10

1からn(n≧2)までの相異なるn個の

整数の中から無作為に2個選びます。

大きい数をX、小さい数をYとするとき、

Xの期待値を求めなさい。

 

解答

まず、2個の選び方は全部で nC₂通り。

つまりn(nー1)/2通りで、これらは

同様に確からしい。

 

その内、X=k (2≦k≦n)である

組合せは、Y=1,・・・,kー1の時

だから kー1通り。

 

∴ (X=kである確率)

  =P(X=k)

  =(kー1)/{n(nー1)/2}

  =2(kー1)/n(nー1)

 

∴ (Xの期待値)

 = E(X)

 =∑k・P(X=k) (ただし1≦k≦n)

 ={2/n(nー1)}∑k(kー1)

 ={2/n(nー1)}×

  {n(n+1)(2n+1)/6ーn(n+1)/2}

 =2(n+1)/3 ・・・答

 

 

感想

私の第一感だと、大きい数と小さい数と

言っても、ほんの少しの差でいいから、

XもYもn個の自然数の平均値

(n+1)/2に近いと考えたくなるけど、

Xはかなり大きくなってる。

 

ちなみにYの期待値は(n+1)/3で、

Xの期待値の半分。大きく離れた2つの

期待値の平均が、全体の平均に一致。

 

要するに、2つの数の差の平均が

(n+1)/3で、その半分だけ全体平均

より大きいのがXの期待値、半分だけ

全体平均より小さいのがYの期待値か。

 

なお、この話は、「順序統計量」とか

ベータ分布」へと一般化されるとのこと。

自然数、整数みたいな離散的な確率変数

だけでなく、連続的なものも考える。

 

ともあれ、今日のところはこの辺で。

参加者とスタッフの皆さん、どうも

お疲れさま。。☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2017予選、

    全20問の問題、解き方、感想

  同・本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

  同・問題と解き方2

  同・問題と解き方3

 

 2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

           (計 2972字)

   (追記62字 ; 合計3034字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方 3~ニコリ、朝日新聞(あさひしんぶん)2018.7.21

きょうは、白い丸(しろいまる)と黒い丸

(くろいまる)を一つずつ直線(ちょくせん)

でつなぐパズル、「しろくろつなぎ」

ついてかきます。解き方(ときかた)や

考え方(かんがえかた)、コツです。

 

小学校(しょうがっこう)3年生くらいでも

よめるカンタンな記事(きじ)で、文字

(もじ)をすくなくしてます。スマホでも

読(よ)みやすいと思(おも)います。

 

きのう(2018年7月21日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度

(なんいど)☆2つのしろくろつなぎが

出てました。なんいどは、むずかしさ

のこと。☆2つなら、カンタンです。

 

しろくろつなぎは、きのうで3回目(さん

かいめ)です。1回目のパズルは、

こちらを見(み)てください。2回目の

パズルは、こちらを見てください。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、問題(もんだい)を見ましょう。

 

180722a

 

すぐわかる所(ところ)から、少しずつ

引(ひ)いていきましょう。図(ず)の

端(はし)角(かど)のあたりが

引きやすいです。真ん中(まんなか)

などは、あとまわしにしましょう。

 

180722b_2

 

まず5本だけ引きました。わかりやすい

向(む)きを矢印(やじるし)でかいてます。

 

たとえは①の線(せん)だと、しろまる

からは引きにくいけど、くろまるからは

すぐ引けるのです。

 

しめきりが水曜(すいよう)の午前(ごぜん)

0時だから、ここで説明(せつめい)を

とめます。つづきは明日(あした)月曜

(げつよう)の夜(よる)にかきます。

 

今週(こんしゅう)のブログは

12391字で、すくなめでした。

それでは、またあとで。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もう少しだけ、かきましょう。

 

180723d_2

 

左(ひだり)がわから少(すこ)しずつ

かけば、さいごまでかけます。しろ

とくろ、どちらから引(ひ)けばいい

か、それも考(かんが)えてください。

 

次(つぎ)はもう、土曜(どよう)に

します。ではまた。

 

 

     ☆    ☆    ☆

土曜になったので、さいごの答(こたえ)

までのせます。

 

180728l

 

たての線は、ぜんぶで6本(ほん)でした。

矢印(やじるし)のない線は、どちらから

ひいてもいいです。

 

それでは今回(こんかい)はこれで

終(お)わりにしましょう。。☆彡

   

         (暫定字数 716字)

   (追記 228字 : 合計 944字)

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Wolfram Alpha(ウルフラム・アルファ)日本語版、高校数学の質問にすぐ応答

数学の簡単な問題を解くフリーソフト、システム、プログラムといった

ものは、5年以上前に何か(Maxima=マキシマ?)を少し

オンラインで使って以来、ご無沙汰になってた。

 

英語だし、数式の入力の仕方も分かりにくかったし、出て来た結果

の表示も無味乾燥。慣れれば役に立つだろうけど、慣れるまで使い

続ける気がしないというか、1回試しただけで満足してしまった。

 

それに対して、先日たまたまネットで知った Wolfram Alpha

という質問応答システムは、数学以外もカバーする高性能に加えて、

見やすいデザイン。おまけに2018年6月18日には、数学関連

だけ日本語版が公開されたようだ。公式ツイッターでいきなり、直線

と放物線が囲む面積(高校2年、数学Ⅱ)を解いてみせてる。

 

180708l

 

というわけで、3週間遅れながらちょっと試してみた。以下、簡単に

紹介してみよう。ウルフラムというのは開発者の名前で、英語版

は2009年に開始。ウルフラム言語というものを使うらしい。

 

 

     ☆       ☆       ☆

180708a

 

上図がトップページ上段で、既に言語を英語から日本語に変更

した後。私は基本的にPCを使ってるけど、iPadでモバイル用

ページを見た時には言語を変更する場所が見当たらなかった。

「クエリ」という IT用語は、「質問」と書く方が分かりやすい。

 

180708b

 

わざわざ「高等学校 数学」という項目を作ってるのは、現在の性能

のレベルも関係してそうだけど、有料契約の勧誘もあるだろう。

 

180708k

 

普通の契約(Pro)だと、1ヶ月630円。答を出すまでの、

「ステップごとの解説」とかが加わるそうだ。手軽な家庭教師としては

良さそうだけど、高校生が使うスマホでの使いやすさが問題か。

 

 

    ☆       ☆       ☆

180708m

 

まずは元々サンプルとして挙げられてた、数学Ⅰの因数分解。

「既約因数分解」というのは、この問題では意味がないけど、

複素数範囲で(無理やり)1次式の積まで分解したものらしい。

 

180708c

 

驚いたのが、3Dプロットとか等高線プロット。要するに、元の

x,yの式をzとおいて、3次元の曲面を描いてるのだ。0.1秒♪

因数分解された式から考えて、y=xとかy=-xの時は

z=0となるから、等高線のバツ印の2直線はすぐ納得できる。

等しい高さz=0になるような、点(x,y)の集合ということだ。

 

180708f

 

続いて、分母の有理化。ご丁寧に、小数の近似値とか、最小多項式

まで一瞬で表示してくれる。最小多項式とは要するに、与えられた

数を解として持つn次方程式(右辺は0)の左辺の内、次数が

最低で、最高次の係数が1である式。たまに出題されるものだ。

 

 

     ☆       ☆       ☆

180708g

 

これも凄い。サイコロ5個の目の合計に関する、確率分布と期待値。

1個だったら、

 (1×1/6)+(2×1/6)+・・・+(6×1/6)

=3.5

5個なら5倍で、17.5。

 

180708h

 

ただ、日本語入力の解釈はまだ苦手なようで、「サイコロ5個の

和」とか、「・・・目の合計」とか入力すると処理不能。

「サイコロ5個の和」は、「サイコロ1個の目と、数5、との和」

と解釈してる。だから期待値は3.5+5=8.5なのだ♪

 

180708i

 

とはいえ、放物線の式の頂点やグラフも軽くこなすし、

数学Ⅲの定積分も可能。

 

下は、本来は有料の「ステップごとの解説」を、無料でサンプル表示

したもの。「微積分の基本定理を適用」という説明は余計というか、

書かない方が親切だ。「極限で評価」というのも、「上端のπと下端

の0でそれぞれ計算し」と書くところだろう。どうも、発想が大学以上

の数学になってる。答を枠で囲んで色を付けてるのは、親切。

 

180708j

 

 

     ☆       ☆       ☆

他に、論理学の真理値計算とか真理値表作成もやってくれる優れ

モノで、私が時々使ってるカシオの高精度計算サイトと比べても、

遥か上。とはいえ予想通り、まだまだ一般には普及してない。

 

「ウルフラム」でツイッター検索すると、もっぱら北海道すすきのの

新しいSFバーが話題になってた♪ やはり、理数系マニアよりサブ

カルチャー好きの方が遥かに多いということか。まあ、一部は重複

してるだろうけど。私も含めて♪

 

なお、今週はちょっと少なめ、計13395字で終了。

ではまた来週。。☆彡

 

             (計 1768字)

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パズル「推理」、表を使わずに答を出す解き方2(ニコリ作、朝日be、難易度3、18年6月23日)

今日は早起きして自転車に乗る予定

だったのに、雨が残ってたから、

代わりにパズル記事を書きます。

 

中学生~大人向けですが、小学校5、6

年生でも読めるでしょう。スマホ向け

に1行の字数を減らしています。

 

このブログでは今まで、朝日新聞・

朝刊別刷beのパズル「推理」の記事

を7本書いてます。

 

大人向け、パソコン向けが3本

 (1本目4本目)。

子ども向け、スマホ向けが3本

 (1本目2本目3本目)。

 

他に、同じタイプの問題として、

アインシュタイン式論理脳ドリルの

簡単な記事もあります。

 

今回は前回(大人向けの4本目)に

続いて、表を使わない解き方を解説

します。考え方、コツ、攻略法みたいな

ものです。余裕のある人は、頭の中

だけで解くと脳トレになるでしょう。

 

念のため、記事の後半に、表を使う

解き方も簡単に付け加えときます。

 

 

  ☆    ☆    ☆

昨日(2018年6月23日)掲載された

問題は、いつものように表とイラスト

が付いてましたが、ここではまず、

ヒントの文章だけ書いときます。元の

言葉を少し短くまとめたものです。

 

クイズ大会で、5人の正解数と得意

な問題(すべて別)を考えます。

 

高松くん 佐藤さんより2問多い。

佐藤さん 小林くんは芸能が得意。

小林くん 僕の正解数は、スポーツ

     が得意な人より多い。

森田さん 6問正解の人は文学が

     得意。私は3問正解。

原田くん 僕はスポーツの問題は

     得意じゃない。正解数は

     社会が得意な人と2問差。

 

 

   ☆    ☆    ☆

名前、正解数、得意科目という、

3種類のものを1つずつ(1対1で)

対応させるタイプの問題です。

 

ただし、正解数の5通り(1問、3問、

6問、8問、10問)には、多いとか

少ないとか、数の関係があるので、

そこを上手く利用します。

 

5人のうち、一番ハッキリとした情報

を教えてくれてるのは森田さんで、

彼女は3問。

 

さらに、高松くんの話を考えると、

「高松くんと佐藤さん」は、

「8問と6問」か、「10問と8問」

のどちらかになります。

 

ここで少し考えると、小林くんの

正解数が分かるのです。いつもの

ように、この記事は少しずつ更新

して行きましょう。

 

次は今日の夜遅くに更新します。

なお、表を使う解き方は、下の図と

説明を参考にしてください。

ではまた、後で。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では夜になったので先に進みます。

森田さんが3問なので、

「高松くん、佐藤さん、小林くん」は

「8問、6問、10問」か、「10問、

8問、6問」の組合せのはず。

 

ここで、6問の人は文学が得意

なので、芸能が得意な小林君では

ありません。したがって、

「高松くん、佐藤さん、小林君」は

「8問、6問、10問」となります。

 

次は明日の夜遅くに更新します。

なお、今週はここまで、合計

12179字で終了。忙しくて、

あまり書けませんでした。

ではまた来週。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もう少しだけ続けましょう。

 

佐藤さんは6問だから、森田さんの

話から、文学が得意。森田さんは

3問だから、原田くんは残った1問

のはず。

 

あとはもうカンタンなので、新聞

で答が出るまで止めときます。

ではまた。。

 

 

    ☆   ☆   ☆

土曜になったので最後まで書きます。

原田くんは、スポーツ・社会・芸能・

文学が得意な人ではないので、残る

科学が得意ということです。

 

よって、科学が得意な人の正解数

1問。これが「」です。

 

結局、すべて書くとこうなります。

 原田 1問 科学

 森田 3問 社会

 佐藤 6問 文学

 高松 8問 スポーツ

 小林 10問 芸能

 

 

   ☆    ☆    ☆

180624a

 

前から説明してるように、ここは違う

という場所に×(バツ)を付けるのが

簡単なコツ。

 

まず高松くんの話から、下のように

書けます。たとえば、彼が1問だと

すると、佐藤さんより2問多いという

話と合いません。だから、高松と

1問の所に、バツをつけるのです。

 

180624b

 

次に佐藤さんの話を使います。

 

180624c

 

さらに小林くんの話を使うと、彼は

1問ではないし、スポーツが得意な

人は10問ではないはずです。

 

180624d

 

表も一旦ここで止めときましょう。

今日(日曜)の夜に追加します。

ではまた。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もう1枚載(の)せときましょう。

森田さんの話から、次のように書け

ます。次は明日の夜に追加します。

 

180624e

 

では、もう少しだけ。原田くんは

スポーツが得意じゃないので×印。

さらに表より、芸能は6問ではない

ので、小林くんは6問ではない。

 

よって下のように書けます。ここで

佐藤さん、高松くん、小林くんが

何問かを考えれば、後は簡単。

最後はもう、土曜日にしましょう。。

 

180623f

 

    ☆    ☆    ☆

土曜日なので、これで最後にします。

 

180623g

 

佐藤さん・高松くん・小林くんの

正解数が、6問・8問・10問だと

わかります。すると原田くんは

残った1問。

 

あとは得意なものを考えれば答

が出ますが、この記事はそもそも

表を使わずに解く記事なので、もう

止めにしましょう。

 

それではこの辺で。。☆彡

 

 

            (計 1505字)

     (追記 516字 ; 合計 2021字)

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パズル「しろくろつなぎ」、カンタンなとき方 2~ニコリ、朝日新聞(あさひしんぶん)2018.6.2

(☆7/21のパズルについては、

 あたらしいきじにかいてます。)

 

きょうは、白い丸(しろいまる)と黒い丸

(くろいまる)を一つずつ直線(ちょくせん)

でつなぐパズル、「しろくろつなぎ」

ついてかきます。解き方(ときかた)や

考え方(かんがえかた)、コツです。

 

小学校(しょうがっこう)3年生くらいでも

よめるカンタンな記事(きじ)で、文字

(もじ)をすくなくしてます。

 

きのう(2018年6月2日)のあさひ

しんぶんのbe(ビー)に、難易度

(なんいど)☆2つのしろくろつなぎが

出てました。2回目(にかいめ)です。

 

はじめてだった2ヶ月前(にかげつまえ)

も、☆2つでしたが、今回(こんかい)の

ほうがちょっとだけむずかしいとおもい

ます。

 

前回(ぜんかい)のパズルについては、

こちらを見(み)てください。

 

 

   ☆    ☆    ☆

例題(れいだい)は今回はとばして、

すぐ問題(もんだい)にいきます。

 

180603a

 

すぐわかる所(ところ)から、少しずつ

引(ひ)いていきましょう。図(ず)の

端(はし)角(かど)のあたりが

引きやすいのです。

 

180603b

 

まず3本だけ引きました。わかりやすい

向(む)きを矢印(やじるし)でかいてます。

 

しめきりが水曜(すいよう)の午前(ごぜん)

0時だから、ここで説明(せつめい)を

とめます。つづきは今日(きょう)、つまり

日曜(にちよう)の夜遅く(よるおそく)に

かきます。それでは、またあとで。

 

 

   ☆    ☆    ☆

では、つづきを少(すこ)し、かきます。

 

180603c

 

先(さき)につないである所(ところ)の

ちかくから書くと、わかりやすいです。

ここでは、上のはしのあたりで線を

ふやしてます。

 

逆(ぎゃく)に、まんなかは、あとまわし

にするのがいいでしょう。

つぎはあした(6/4)の夜おそくに

すこしかきます。

 

今週(こんしゅう)のブログは

12237字で、すくなめでした。

ではまた。

 

 

    ☆    ☆    ☆

では、もうすこし進(すす)みましょう。

 

180602d

 

上(うえ)のほうから、すこしずつ

まんなかにちかづいてます。線(せん)

をひく向(む)き、矢印(やじるし)を

かんがえながら。

 

後(あと)はもうカンタンなので、次

(つぎ)は答(こたえ)がでてから

かきます。

 

このおなじもんだいを、はじめから

別(べつ)の順番(じゅんばん)で

ときなおすのもおもしろいでしょう。

 

さんすうと同(おな)じで、とちゅうの

ときかたは色々(いろいろ)あります。

ではまた。。

 

 

   ☆    ☆    ☆

6月9日、答が新聞(しんぶん)に出た

ので、ここにものせときます。

 

180609d

 

たての線は、1、2、7、10、11、12、

14、15、17だから、9本でした。

これでおわりにします。。☆彡

 

         (計 779字)

   (追記 344字 ; 合計 1123字)

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「サバイバー生存率」でガン患者に希望を~医学統計データと確率の計算式

2018年5月27日の朝日新聞・朝刊に、やや分かりにくいが興味

深い医学・医療記事が載ってた。私にとっては、初めて聞く言葉だ。

 

 前向き指標 サバイバー生存率

   診断から一定期間たった時点で算出

 

朝日デジタルの記事はこちら。執筆は編集委員・田村建二。

 

一言でまとめると、最大のポイントは患者に希望を与えることだろう。

1年とか2年とか生き抜いた患者に、「頑張りましたね。これだけ

生存率が上がりましたよ♪」と数字で示せる。だから「前向き指標」

という見出しが付けてあった。

 

 

     ☆       ☆       ☆

私の個人的興味は具体的なデータを用いた数式計算だが、先に

大まかな話をしとこう。計算だけ知りたい方は、しばらくスクロール

すると、この記事の終盤に書いてある。

 

普通の生存率というものは、年を追うごとに減っていく。少しずつ

死亡者が増えて行くから、1年生存率より5年生存率が低いのは

自然なこと。

 

ただ、患者の心理としては、生存率が下がるグラフを見るのは

プレッシャーだし、誤解も生じてしまう。「もう1年生き残ったから、

そろそろ死ぬ確率が高まって来たかな・・」といった感じで。

 

 

     ☆       ☆       ☆

本当は逆なのだ。簡単にいうと、診断後や手術後に1年生きた人は

病状がわりと良かった人(「予後」がよい患者)で、しかもこの1年で

さらに状態が改善してるだろうから、その後の生存率は上がるのが

自然。これ自体は数学的な話ではなく経験則。つまり統計的事実だ。

 

下図は朝日より引用。上側のグラフで、黒い「一般的な生存率」

のグラフは右下がりになってるけど、青い「サバイバー5年生存率」

のグラフは右上がりになってる。これなら、年を追うごとに希望や

安心が増すことになるだろう。

 

180528a

 

下側の「種類ごとのサバイバー生存率(女性)」のグラフを見ると、

甲状腺がん・胃がん・乳房がんだと徐々に100%に向かって上昇。

肺がんや膵臓(すいぞう)がんでも、80%くらいまで上昇している。

もっと詳しいグラフも朝日のHPに掲載されていた。

 

 

     ☆       ☆       ☆

さて、その計算方法。朝日の記事にも登場していた、大阪医科大

(おそらく現在の所属)の伊藤ゆり氏らによる短い論文がネットで

公開されていたので拝見。2012年頃の執筆だと思う。

 

 大阪府におけるがん患者のConditional Survival

    -がんX年サバイバーのその後の5年相対生存率

 

180528b

 

ちなみにサバイバー生存率の英語は、最後の「rate」(率)と

いう単語を省略してある。ネットで見る限り、省略が普通のようだ。

「相対」生存率というのは、「がんになってない普通の人と比べた

時の」といった意味だが、ここでは重要でないので省いておこう。

 

 

     ☆       ☆       ☆

一番基本的な数値は載せてなかったけど、計算方法は確認できた。

米国で「条件付き生存率」と呼ばれてることから予想できるように、

高校数学で習う「条件つき確率」の応用例。「普通の確率」を、「条件

が起きる確率」で割り算して求める。

 

教科書の例題レベルで、理屈は単純だし、数式も短くて簡単。ただ、

苦手とする人が多い分野で、専門家でもうっかりミスしてしまうことが

あるほど。当サイトの過去の数学記事でも何度か書いて来たことだ。

 

180528c

 

上で、「累積相対生存率」と書いてる箇所(上の段の数値)が、

ほぼ普通の生存率だ。ここでは、最初に100人の患者がいたと

仮定。数年後の生存者(サバイバー)の数へと書き直してみる。

 

 1年後 2年 3年 4年 5年  6年 7年

 77人 67人 63人 61人 60人 59人 58人

 

 

     ☆       ☆       ☆

最初から5年後には60人になるから、5年生存率は0.60。

つまり、60%。

 

ところが、1年後からの5年間(合計で6年後まで)を見ると、

77人が59人になってる。

 

 ∴ (1年サバイバーの5年生存率)

     = 59÷77

     ≒ 0.77 (つまり77%

 

元の小数をそのまま使うなら、0.59÷0.77で、答は同じ。

 

同様に、2年後からの5年間(合計で7年後まで)を見ると、

67人が58人になってる。

 

 ∴ (2年サバイバーの5年生存率

     = 58÷67

     = 0.87 (つまり87%

 

数学の公式の形でまとめると、一般に、

 (X年サバイバーの5年生存率)

   =(普通の X+5 年生存率)÷(普通のX年生存率)

 

 

     ☆       ☆       ☆

こうした簡単な割り算を色々と行ってまとめると、次の表になる。

 

180528d

 

一番最後(右下)、「5年生存者の5年相対生存率」は、0.97

と書かれてるが、上の表から計算する限りは0.95になる。

 

重要な数字みたいだから、入力ミスや計算ミスではなく、元の人数

データに遡って計算すると0.97になるのかも知れない。データ

Period analysis (特定の期間に注目

した分析)という特殊な集め方を使用。

 

なお、細かい話を追加すると、一つ前の図にある「期間生存確率」と

いうのは、1年目からの1年間の生存率、2年目からの1年間の

生存率・・などのこと。

 

 ∴ (1年サバイバーの5年生存率)

  = (1年後から6年後までの期間生存確率5つの掛け算)

  = 0.87×0.93×0.97×0.98×0.99

  ≒ 0.76 (つまり76%)

 

最後のケタの数が1だけ小さくなってるのは、期間生存確率を

求めた時の端数の処理のせいだろう(四捨五入など)。

 

 

     ☆       ☆       ☆

いずれにせよ、元の生存率から条件つき確率で求めればよい。

より正確には、元の生存者の人数データ(論文では非掲載)から

計算するのが最も正確な数字になる。ただ、誤差は僅かだから、

気にする必要はない。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

           (計 2251字)

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絵むすびの解き方13、小学生向け(ニコリ作、朝日be、2018年5月19日)

朝日新聞(あさひしんぶん)の「絵むすび」と

いうパズルについては、2年前と1年前に、

小学生向けのかんたんな記事を書いてます。

 

 絵むすびの解き方11(16年5月21日)

 絵むすぎの解き方12(17年5月2日

 

その前にも、大人向けの記事を10本

書いてます。

 

 第1回2回3回4回5回

 6回7回8回9回10回

 

今日は1年ぶりに、また小学生向けの

記事を書いてみます。5月19日の

難易度(なんいど)星4つの問題は、

むずかしかったようで、このサイトの

記事にたくさんアクセスが入ってます。

 

これはスマホ用に1行の字数を少なく

してるので、パソコンやタブレットの人は

見づらいかも知れません。

 

 

   ☆    ☆    ☆

今回は、春っぽい絵を結び合わせる問題

になってました。

 

靴(くつ)は「く」、ボトルは「ボ」、

グラブは「グ」、定規(じょうぎ)「じ」、

サクランボは「サ」、机(つくえ)は「つ」

と書きます。

 

180521a

 

考え方は色々ありますが、まず大きく

はなれてる2組だけ見るのがコツです。

ここでは、「く」(くつ)と、「じ」(じょうぎ)

の線がどうなってるか考えてみます。

 

180521b

 

上のように、「く」の線が、2つの「じ」の

間をとおってしまうと、ダメなのです。

 

「く」の線がジャマで、左上の「ボ」と

「じ」が、右下の方の「ボ」や「じ」と

つなげないからです。左はしのすきま

は、1マスしかあいてません。

 

だから「く」の線は、右下を大きく回るか、

左上を大きく回るか、どちらかです。

2つの場合(ばあい)をそれぞれ分けて

考えてみましょう。

 

 

    ☆    ☆    ☆

180521c

 

上の図のように、「く」の線が右下を大きく

回るとすると、左下の「サ」のまわりの

マス目がちょっとあまった感じになります。

マチガイかどうか、まだわかりませんが、

なれると、なんとなく変な気がするのです。

 

だから先に、「く」の線が左上を大きく回る

ときを考えてみましょう。

 

180521d

 

このとき、左上の「ボ」、「グ」、「じ」の線は

どのようになるでしょうか?

 

今夜はここまでにして、いつものように、

少しずつかいて行きます。次は、月曜の

夜10時くらいにつづきをかくつもりです。

ではまた。。

 

 

     ☆    ☆    ☆

では、つづきを少しだけ、やってみます。

 

180521e

 

左上の「ボ」と「じ」からは、上の図の

ように線がのびてるはずです。すると、

上側の「グ」からの線ものばせます。

 

グの線を、他の線のジャマにならない

ように引くためには、どうすべきか。

「く」の線と同じように、考えてください。

 

次はしめきりのすぐ前、火曜の夜に

かくつもりです。ではまた。。

 

 

     ☆    ☆    ☆

では、しめきりの前にもう1回だけ

書きます。

 

180522e

 

上の「ボ」と「グ」の線は、図のように

少し右にのばせます。

 

ほかに、左下と右下の線も、図の

ように書けます。マス目をのこさない

ためには、これしかないからです。

 

このように、すじ道をたてて少しずつ話

をすすめることを、「論理的(ろんりてき)

に考える」と言います。算数(さんすう)

でよくつかう方法(ほうほう)です。

 

次はもう、正解(せいかい)が新聞に

出たあとまでまちます。

ではまた。。

 

 

    ☆    ☆    ☆

今日は土曜日(どようび)で、答が

発表(はっぴょう)されました。だから、

さいごまで書いてみましょう。

 

180526a

 

上のように、グの線は、ほかの線を

ジャマしないように右下を大回りする

しかありません。

 

180526b

 

つぎは、「じ」の線。ほかの線を

ジャマしないために、☆を通ります。

だから、答は「定規」(じょうぎ)で、

6番です。

 

180526c

 

上が完成(かんせい)した図です。

まだ、「く」の線が右下を大回りする

ときのことをかんがえていませんが、

ここではもう、はぶきます。

 

それでは。。☆彡

 

          (計 1539字)

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数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方3

(☆18年9月追記: 翌年の記事アップ。

数学甲子園2018予選、正答率の低い

   3つの問題の解き方と感想 )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2017本選については、

既に3本の記事を書いてる。

 

 予選、全20問の問題、解き方、感想

 本選Math Battle、

    問題と解き方(abema動画)

 本選Math Battle、問題と解き方2

 

これから書くこの記事が最後で、本選マス

バトルの3本目。残った英語の問題4問を

簡単に紹介、英文和訳&解説する。全体

的に、日本語の問題よりは難易度レベル

が低め。

 

全問題と模範解答(最後の答のみ)は、

公式サイトで公開中。以下、スマホ用に

1行の字数を減らすので、読みにくい面

もある。悪しからず。

 

 

    ☆    ☆    ☆

問題14 In how many different

 ways can a convex heptagon be

 decomposed into triangles by

 diagonals which do not intersect

 within the heptagon?

 

 凸七角形を、内部で交差しない対角線

 によって三角形へと分解する方法は、

 何通りあるか。

 

解き方 個人的にはこれが二番目に

 難しい問題だった。場合の数は多くない

 けど、意外と数えにくい。以下の多角形

 は全てウィキメディアで公開されてる物。

 

 まず凸四角形だと、明らかに2通り

 凸五角形だと、ある特定の辺がどの頂点

 と三角形をなすかを考えて場合分けする

 と、5通りだと分かる。

180425a

 

 上図だと、赤い辺がピンクの三角形を

 作る場合、2通り(残った右下部分は

 四角形になることに注目)。赤い辺が

 緑の三角形を作る場合も2通り。青の

 三角形だと1通り。合計で5通り。

 

180425b

 

 凸六角形でも同様に、赤い辺が作る

 三角形で場合分け。ピンクと紫が5通り

 ずつ。青と緑が2通りずつ。計14通り

 四角形や五角形の分け方を利用する。

 

180425c

 

 最後に、凸七角形。ピンクと茶色が14通り

 ずつ。青と紫が5通りずつ。緑の場合、左

 の四角形で2通り、右の四角形で2通り

 分解できるから、2×2=4通り。

 

 したがって合計は、

 14×2+5×2+4=42通り ・・・答

 

 

問題15 The coefficient of x² in the

 expansion of (1+ax)ⁿ is 63 and

 the coefficient of x is 12. Find

 the values of a and n, where a

 is a real number and n is a

 positive integer.

 

 (1+ax)ⁿの展開において、x²の

 係数は63で、xの係数は12。

 実数aと、正の整数nの値を求めよ。

 

解き方 これは完全にサービス問題。

 二項定理で展開すると、条件より、

 (x²の係数)=n(n-1)a²/2=63

 (xの係数)=na=12

 

 ∴ a=3/2, n=8 ・・・答

 

 

問題16 For △ABC with AB=12

 and AC=16, a point D lies on

 the side BC such that BD:DC

 =2:3. Points E and F are taken

 on sides AB and AC, respectively,

 and two lines EF and AD intersect

 at G. If 2 AE=AF, find EG:GF.

 

 AB=12、AC=16である三角形

 ABCにおいて、BCを2:3に内分

 する点をDとする。AB、AC上に

 それぞれ点E、Fを取り、2直線

 EFとADの交点をGとする。

 2AE=AFの時、

 EG:GFを求めよ。

 

解き方 これもサービス問題。ベクトルの

 1次独立とか使うより、補助線と

 メネラウスの定理で解くのが速い。

 

180425d

 

 図形AHFGにおいて、

 (FI/IH)(HA/AE)(EG/GF)=1

 ∴ (3/2)・(1.5/1)・(EG/GF)=1

 ∴ EG/GF=4/9

 ∴ EG:GF = 4:9 ・・・答

 

 

問題17 Let D be the region bounded

 by y=1-x² and y=0. Find the

 volume of the solid obtained by

 revolving D about the line y=-3.

 

 y=1-x²とy=0で囲まれた領域

 をDとする。Dを、直線y=-3の

 まわりに回転させて出来る立体

 の体積を求めよ。

 

解き方 これも簡単。y軸方向に+3

 平行移動して、y=4-x²、y=3

 で囲まれる領域を、x軸のまわりに

 回転させればよい。定積分の区間

 は0≦x≦1で計算して、2倍する。

 

 (体積)=

 2π∫{(4-x²)²-3²}dx

 =2π×68/15

 =136π/15 ・・・答

 

 

以上ですべて終了。マスバトル全体

だと、適度な難しさになってた。今年

は統計の分野から出題されるかも。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

 

cf.2016本選1st Stage、全問題

 16予選、全20問の解き方、感想

 16(Abemaライブ)、前半感想

 2015準々決勝、全問コメント

 15予選、全20問の解き方、感想

 14準々決勝、全問コメ&問題10

 13予選ポイント、問題15解説      

 12、予選問題&3日ぶりのラン

 数学選手権にチャレンジ (11)

 

          (計 2002字)

 (追記54字、合計2056字)

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数学甲子園2017本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方2

(☆18年9月追記: 翌年の記事アップ。

数学甲子園2018予選、正答率の低い

   3つの問題の解き方と感想 )

 

 

    ☆    ☆    ☆

数学甲子園2017本選については、既に7ヶ月前に簡単な

解説記事をアップしてある

 

 本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

 

ただ、その時は動画で確認できた9問しか扱ってない。実際のマス・

バトルでは、日本語12問、英語6問、合計18問の出題だった。

すべて、最終的な答のみを求める客観的問題。

 

3日前(2018年4月18日)になってようやく、全問題と模範解答

(最後の答のみ)が公式サイトで公開されたので、続編記事を書く

ことにしよう。ただ時間が無いので、今日は日本語の残りの問題

5つのみ。英語の残りの問題はたぶん来週、3本目の記事で扱う。

 

なお、去年の予選については既に去年、記事をアップしておいた

 

 数学甲子園2017予選、全20問の問題、解き方、感想

 

 

      ☆        ☆        ☆

それでは、日本語の残りの問題を見てみよう。

 

問題2 三角形ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=c

   とします。右の図のように、各頂点から向かい合う

   辺に直線を引き、頂点Aから引いた直線と頂点B

   から引いた直線との交点をA´、頂点Bから引いた

   直線と頂点Cから引いた直線との交点をB´、頂点

   Cから引いた直線と頂点Aから引いた直線との

   交点をC´とするとき、

   三角形ABC ∽ 三角形A´B´C´となりました。

   このとき、比AA´:BB´:CC´をa、b、cを

   用いて表しなさい。

 

180421a

 

解き方 今回、私が一番難しいと思ったのはこの問題だった。

   やり方は色々思いつくけど、どれも面倒。もっと鮮やかな

   解法はないかと考えたけど、まだ思いついてない。三角形

   の相似とメネラウスの定理を使って解いておこう。

 

180421b

 

  上図で、青い小さな角3つが等しいことはすぐ示せる。

  また条件より、三角形A´B´C´の3辺の長さを

  上のように pa、pb、pc とおける(p>0)。

 

  ここで、三角形ABQ ∽ 三角形A´AQより、

  AB/AQ = A´A/A´Q

  ∴ A´A = AB×A´Q/AQ

       = c A´Q/AQ ・・・①

 

  一方、図形AA´B´Cでメネラウスの定理を使うと、

  (pa/CC´)(b/AQ)(A´Q/pc)=1

  ∴ CC´=(ab/c)A´Q/AQ ・・・②  

  ①②より、 AA´ = (c²/ab)CC´ ・・・③

 

  同様のやり方で、三角形CAPと図形A´BCC´

  について考えると、

  BB´ = (ca/b²)CC´ ・・・④

 

  ③④より、 AA´: BB´: CC´

   =(c²/ab): (ca/b²): 1

   =(c/a): (a/b): (b/c) ・・・答

 

 

    ☆       ☆       ☆

問題5 x = ³√(2+√3)+³√(2-√3)

   が方程式 f(x)=0 の解の1つとなるような

   整数係数の3次多項式f(x)を求めなさい。

   ただし、x³の係数は1であるとします。

 

解き方 特殊な定理や知識を使うとすぐ解けるのかも

   知れないけど、ここでは普通に計算する。

 

  求める多項式を x³+ax²+bx+cとおき、

  方程式に与えられた解を代入して整理すると、

  {³√(7+4√3)+2+³√(7-4√3)}a

   +{³√(2+√3)+³√(2-√3)}(b+3)

   +c+4=0

  ∴ a=0,b=-3,c=-4

  よって求める多項式は、

   x³-3x-4 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題7 [x]をx以下の最大の整数とします。このとき、

   第n項が An = [n]・{(-1)の n-1乗}

   で表される数列 {An} の初項A₁から

   第2017項A₂₀₁₇までの和を求めなさい。

 

解き方 初項から具体的に並べて行くと、すぐ

   単純な規則性が分かる。第n群の和が

   n{(-1)のn-1乗}である群数列で、

   第n群の末項までの全項数は(n+1)²-1。

 

   和を書きくだしてみると、      

   1-1+1

   -2+2-2+2-2

   +3-3+3-3+3-3+3・・・・・・

   =1-2+3-4+・・・・・・

 

   よって第43群まで、つまり第1935項

   までの和は、

   1-2+3-4+・・・+43 = 22

 

   その後の第44群で、第2017項までは、

   -44+44-44+44-・・・+44

   よって、この部分だけの和は0。

 

   ∴ (第2017項までの和)

     =22+0=22 ・・・答

 

 

      ☆       ☆       ☆

問題10 xy平面上の曲線

   13x²+7y²-6(√3)xy-12x

     -12(√3)y+20=0

   を、原点を中心として5π/3だけ回転

   させた曲線の方程式を求めなさい。

 

解き方 高校の学習指導要領とかカリキュラムは

    度々変わるので、本当に分かりにくい。

    今だと、行列と一次変換が使えないから、

    数学Ⅲの複素数平面を使うということか。

    まあ、本戦出場者なら色々と知識がある

    だろうし、正答さえ出せばいい。

 

    5π/3だけ回転させるということは、

    -π/3(つまり-60度)だけ回転

    させるということ。

 

    回転後の曲線上の点(X,Y)を60度回転

    させると、複素数の掛け算を利用しても、

    行列の掛け算を利用しても、こうなる。

     (x座標)=X/2-(√3)Y/2

     (y座標)=(√3)X/2+Y/2

 

    これが元の曲線の式を満たすのだから、

    与式に代入して長い式を整理すると、

    (X-3)²/4+Y²=1

 

    最後に変数の文字だけ変えると、求める

    曲線の方程式は、

     (x-3)²/4+y²=1 ・・・答

 

 

     ☆       ☆       ☆

問題11 1辺の長さが6cmの正方形の紙が

    あります。右の図のように、この正方形

    の四隅からそれぞれ x cm(0<x<3)

    だけ離れた点をとり、正方形の中心と

    結んでできる凧型の部分を切り取り、

    残りの部分を側面とする四角錘の容器

    を作ります(のりしろの部分を考える

    必要はありません)。この容器の容積

    を Vcm³ とするとき、Vの最大値とその

    ときの x の値をそれぞれ求めなさい。

 

180421c

 

解き方 四角錘の底面は、1辺 6-2xの正方形。

   斜辺は、√{(3-x)²+3²}。

   高さは √{9-(x-3)²}となるから、

   V=(4/3)(x-3)²√{9-(x-3)²}

 

   9-(x-3)²=t² (0<t<3)とおくと、

   V=(4/3)(9-t²)t

    =(4/3)(-t³+9t)

 

   微分すると、t=√3の時、

   最大値 8√3 ・・・答

   xの値は、3-√6 ・・・答

 

それでは、続きはまた後ほど。。☆彡

 

 

 

P.S. 4日後に残りの記事をアップした。

  本選Math Battle、問題と解き方3

 

 

cf.数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

  2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答      

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

           (計 2660字)

 (追記94字 ; 合計2754字)

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