数学甲子園2017本選Math Battle、問題と解き方(abema動画)

数学甲子園2017は、去年と違って動画配信の告知が無かったから、

早くも放送中止かと思ってたら、配信されてた。

 

公式HPを見ると、3日前の9月14日にニュースが掲示されたらしい。

台風18号のせいではないだろうから、単に放映の決定が遅れたと

いうことか。あるいは過去問の公開と同じく、サイト運営が全般的に

遅くなってるのか。去年まではもっと早かったのだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

とにかく、abemaの録画で序盤だけ見ると、去年は会場の様子を

風景みたいに映すだけだった第1ステージ(Math Battle

=マス・バトル)が、実況付きになってた。

 

サイエンスナビゲーター・桜井進と、ジャズピアニスト・中島さち子の

2人が担当。この世界だとどちらも有名人のようで、私は朝日新聞の

記事で知ってた。

 

マス・バトルは、日本語12問、英語6問、計18問をチームで60分

で解くステージで、去年より難易度がレベルアップ。終わった後の

感想でも、複数の選手が難しかったとか言ってた。

 

英語の問題で、実況2人が最初の1分間、誤解してたのが象徴的。

視聴者コメントの助けを借りてた。

 

「周長」という英単語(perimeter)を「直径」と混同しただけ

なら、文脈の解釈ですぐカバーできたはず。正多面体を面に平行な

平面で切断すると、特徴的な多角形ができるという話だ。やはり問題

が難しかったというべきか。

 

前から指摘してるように、プロもわりと普通の問題で間違えたり解け

なかったりするのは確かなこと。外国語が苦手な人も結構いる。これ

は学問や教育だけでなく、人間にとって本質的に重要な事実だと思う。

「有限性」の問題。コンピューター、AI、ロボットについても同様。

 

 

     ☆        ☆        ☆        

とりあえず、私が見た序盤の放送できっちり紹介された7問と、画面

から読み取れた1問について、問題文と解き方、考え方、感想を紹介

しよう。正答は1ヶ月後くらいに追記するので、実力試しにどうぞ♪

 

他の問題がその後の放送で紹介されたかどうか、正答発表があった

かどうかは知らないので悪しからず。長過ぎて全部見る余裕はない。

残りの問題は、また公開され次第、別記事で扱う予定。

 

ちなみに、優勝(文部科学大臣賞)は灘高校・バンジー改チーム。

準優勝は南山女子部、敢闘賞(3位)は大阪星光学院。詳しくは

数学検定facebookをご覧あれ。いずれもマス・バトルは

150点だから、満点なのか、あるいは18問中の15問正答か。

 

灘が優勝したのは、競技ルールを変更したからだと思う。今までと

比べると、普通に学力優秀な生徒が有利な大会になったのだ。

 

170918a

 

 

      ☆        ☆        ☆

問題1 次の式を整数係数の範囲で因数分解しなさい。

     x⁸-2x⁶-x⁴-2x²+1

 

解き方 最初の問題だから、簡単にしてくれたのかも。

    係数と次数が対称的になってるから、いきなり

    第一段階の因数分解ができる人もいるだろう。

    普通はまず、x⁴(x⁴-2x²-1-2/x²+1/x⁴)

    として、カッコ内で x²+1/x² をXとおくところか。

    途中で終わりにせず、最後まで因数分解しないと、

    減点かバツになる。

 

 

問題3 aをもっとも小さい数とする、連続するn個の正の整数

    があります。これらの和が1000であるとき、(a,n)

    の組として考えられるものをすべて求めなさい。ただし、

    nは2以上の整数とします。

 

解き方 等差数列の和の公式を使うと、aとnの方程式が出る。

    さらに整数という条件に着目。因数分解と素因数分解、

    積の形への分解、不等式による変域の制限などを使う

    と絞り込める。偶数と奇数にも注目したけど不要だった。

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題4 1個の白球と2個の赤球が入っている袋があります。

    この袋の中から中身を見ずに球を1個取り出します。

    取り出した球が白球なら、取り出した球に赤球を1個

    加えて袋に戻します。取り出した球が赤球なら、取り

    出した球に白球を1個加えて袋に戻します。この試行

    を繰り返すとき、n回めの試行で白球が取り出される

    確率Pnを求めなさい。 

         (注. 原文ではPは小文字)

 

解き方 球の個数に注目。漸化式を立てて変形して解く。

    k回目に白の確率がPkとすると、この記号を使って、

    k回目の直前の白と赤の個数を表せる。

    すると、k+1回目の直前の白と赤の個数も表せて、

    P k+1 をPkで表す漸化式が出る。

    この後、たまに見るテクニカルな変形をちょっと

    使うと、複雑に見える漸化式がキレイに解ける。

 

 

問題6 次の関数の最小値、およびそのときのxの値を求めなさい。

   y=2・{ 3の(3x-1)乗 }+2・{ 3の(-3x-1)乗 }

    -(1/2)・{ 3の(2x+1)乗 }

    -(1/2){ 3の(-2x+1)乗 }-2

 

解き方 これはわりと簡単。まず、3のx乗を X とおく。

    さらに X+1/X を t と置き換えればよい。

    自分で導入した文字の変域に注意。

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題8 ベクトルnを単位ベクトルとします。点A(ベクトルa)

    を通り、ベクトルnに垂直な平面をαとし、点B(ベクトルb)

    平面α上にないものとします。このとき、平面αに関して

    Bと対称な点Cの位置ベクトル「ベクトルc」を、ベクトルn、

    ベクトルa、ベクトルbを用いて表しなさい。

 

解き方 BCと平面の交点をHとすると、Hは垂線の足で、

    ベクトルc=ベクトルb+ベクトルBC

         =ベクトルb+2(ベクトルBH)

    ここで、ベクトルBHをベクトルnのt倍とおいて、

    AHとBHが垂直という条件からtを決定すればよい。

    ベクトルその他は成分表示せず、そのまま使う方が

    速いしハイレベル。内積を用いる。

 

    慣れてる人にとっては簡単というか、やったことのある

    問題だろう。司会の桜井進は答を覚えてると力説してた。

    情報バラエティなら、お笑い系の司会者が「何ですか?」

    と聞いて、間違いを誘って突っ込むパターンがお約束♪

 

 

問題9 次の確率密度関数f(x)を考えます。

   f(x)=(2/3)x (0≦x<1)

      =1-(1/3)x (1≦x≦3)

      =0 (x<0,3<x)

   これをグラフで表したとき、右の図のように

   三角形状になります。f(x)が定める確率分布

   は三角分布とよばれ、自然現象や社会現象

   を説明する統計モデルとしてしばしば登場

   します。

 

170918b

 

    f(x)を確率密度関数にもつ確率変数Xに

   ついて、その分散を求めなさい。

 

解き方  まず、xf(x)の積分で平均mを求めた後、

     (x-m)²f(x)の積分で分散Vを求める。

     ー∞<x<∞の区間を、f(x)の定義域に

     合わせて分割して定積分。単純計算だが

     意外と面倒。

 

     私は全く知らなかったけど、三角分布の

     平均や分散を求める公式もあったから、

     検算に使って、答が合ってるのを確認した。

     無限区間の積分だから、本来は大学の

     問題で、慣れてない生徒が多いと思う。

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題12 右の枠内は、あるプログラムを言葉で表現したもの

   です。とくに指示がない場合は、①から順に処理をします。

    ①でMに20000、Nに10、Rに1を入力したときに

   出力される値を求めなさい。

 

   (以下、枠内)

   ① 正の整数M、N、Rを入力する。

   ② Aの値を1とする。

   ③ Rに0.01をかけた後、1を加えた値を

     新しいRの値とする。

   ④ MにRをかけた値をPの値とする。

   ⑤ Aの値とNの値が等しいとき、有効数字3桁

     で表したPの値を出力して処理を終了する。

     Aの値とNの値が異なるとき、⑥へ進む。

   ⑥ MとPの値の和にRの値をかけた値を

     新しいPの値とする。

   ⑦ Aに1を加えた値を新しいAの値として、

     ⑤へ戻る。

 

解き方 自分でブログラム通りに少し計算してみると、何の話か

    すぐ分かる。大会の協力団体となってる日本公認会計士

    協会、日本アクチュアリー会に配慮したような、ビジネス

    の実用的問題。

    ポイントは、面倒な単純計算を正確にこなすこと。電卓

    とか使えば簡単だけど、人力だから「有効数字3桁」

    という条件を上手く活用する。

 

 

問題13 The graph of y=-2x³+4x is

    translated 3 units in the

    positive vertical direction and

    2 units to the left,and is then

   reflected in the x-axis.Find the

    equation of the resulting graph

    in the form y=ax³+bx²+cx+d.

 

解き方 3次関数のグラフを、y軸の正の向きに3、

    左向きに2、平行移動して、さらにx軸で

    折り返す。英語さえ読めれば、教科書の

    章末問題くらいの簡単なレベル。

    確か、参考書持ち込み可だから、チャート

    式とかに似た問題が載ってそうだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題18 A regular octahedron of edge

     length a is cut by a plane

     parallel to one of its faces.

     Find the perimeter of the

     section.

 

解き方 辺の長さaの正八面体を、一つの面に平行な

    平面で切る。切り口の周の長さを求めよ。

 

    どこで切るのか、指示が何も書いてないから、

    どこで切っても同じ定数だろうと予想できる。

    最後の答しか採点基準に入ってないのなら、

    八面体の面すれすれに切れば答が出る♪

    マジメに解くのなら、展開図に切り口を表す

    線を書くのが普通。

 

 

それでは、正答その他の追記はしばらく後回しにして、

今日はこの辺で。選手や引率の先生、スタッフの皆さん、

どうもお疲れさま。。♪☆彡

 

 

 

cf. 数学甲子園2016本選1st Stage、全問題の解き方

   2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ (2011)

 

            (計 3980字)

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パズル「セイムセット」、かんたんな解き方~ニコリ作、朝日新聞be

今日は、同じ6種類の絵の組み合わせをさがす

パズル、「セイムセット」の解き方、コツ、考え方

を書いてみます。小学生4年生くらいでも読める

カンタンな記事で、スマホ用に1行の文字数を

少なくします。

 

上図は、朝日新聞17年9月16日のbeパズル

で、ニコリ作。8種類のキャンプ用品のうちの

6種類で、一つのセットができてて、1~16の

16セットがあります。同じ組み合わせのセット

をさがして、それらの番号を答える問題です。

 

170917a

 

6種類の用品が同じかどうか、くらべてさがす

のは大変。だから逆に、入ってない2種類の

用品が同じかどうかでさがすと、すばやく答

を見つけられます。

 

 

   ☆     ☆     ☆

まず1番のセットは、テント、イス、カップ、寝袋

(シュラフ)、クーラーボックス、飯(はん)ごうの

6種類。だから入ってないのは、ランプとトング

(はさむ物)の2種類です。

 

2番~16番で、この2種類がどちらも入って

ないのをさがすと、見つかりません。たとえば

2番と3番にはランプとトングが入ってるし、

4番にはトングが入ってます。1つでも入って

たら、ダメです。

 

結局(けっきょく)、1番と同じ組み合わせは

一つもありません。

 

 

   ☆     ☆     ☆

次に2番のセットをよく見ると、中身はランプ、

トング、テント、イス、カップ、寝袋の6種類。

だから、入ってないのは、クーラーボックス

と飯ごうの2種類です。

 

もう1番は見なくていいので、3番~16番 

でその2種類が入ってないのをさがすと、

どうでしょうか。

 

3~8には2種類とも入ってるから、ダメ。

9番には飯ごうがあるから、ダメ。・・・

 

 

    ☆     ☆     ☆

残りの話は、来週、答が発表されてから

書くことにします。

 

1~16のそれぞれのセットに入ってない

2種類を、かんたんにメモしとくと早い

でしょう。

 

1番なら、ランプとトングだから、「ラト」、

2番なら、クーラーボックスと飯ごう

だから、「クハ」とか。

 

 

    ☆     ☆     ☆

ちなみに、高校に入ると、6種類の組み

合わせ方が28通りあることを学びます。

数学(ハイレベルな算数)で、こんな式

の計算をします。

 

Cは組み合わせを示す記号。高校でも、

ふくまれてない2種類に注目します。

 

8C6=8C2

  =(8×7)÷(2×1)

  =56÷2

  =28 (通り)

 

なお、今週のブログの文字数は

合計14902字で終了。

ではまた来週。。☆彡

 

 

      ☆     ☆     ☆

では、正解が発表されたので、残りの

話を書きたします。

 

2番と同じ、クーラーボックスと飯ごう

が無いのは、12番と14番。だから、

2番と12番と14番」がです。

 

今日(9月23日)の問題、「同じもの

探し」も、ちょっと似たやり方で解け

ます。どこかが他とハッキリ違う絵

を消していって、残ったものが答に

なります。

 

では、今回はこのへんで。。☆彡

 

          (計 990字)

 (追記169字 ; 合計1159字)

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数学甲子園2016本選 1st Stage、全問題の解き方と感想

(☆17年9月18日の追記: 2017年の記事を新たにアップ。

  数学甲子園2017本選Math Battle、問題と解き方 )

 

 

     ☆        ☆        ☆

去年(2016年)辺りから急に情報公開が遅くなってる数学甲子園。

1年後になってようやく、本選1st Stageの問題と解答(答のみ)

が公式サイトで公開されたので、全ての解き方と感想を書いとこう。

解法は私の第一感であって、速さや上手さ、美しさは別の話になる。

 

日本語10問、英語5問、計15問をチームで40分以内に解く

から、1チーム5人なら1人3問。何とか完答を狙えると思う。ただ

1チーム3人だと1人5問になってしまうから、かなり大変だろう。

 

なお、当サイトの過去の記事(2011~16年)は以下の通り。  

 

  数学甲子園2016予選、全20問の問題、解き方、感想

  数学甲子園2016(Abemaライブ配信)、前半感想

  数学甲子園2015準々決勝、全問コメント&解き方

  2015予選、全20問の問題、解き方、感想

  2014準々決勝、全問コメント&問題10解答・別解

  2013予選のポイント、問題15の解説&解答

  2012、予選問題&3日ぶりのラン、まだ暑い・・

  数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆  (2011)

 

 

     ☆        ☆        ☆

以下、問題文はそのままの引用ではなく、省略表現にしてある。図だ

けは縮小コピペさせて頂いた。著作権的に許容範囲の引用と考える。

 

問題1 aは正の定数。2a離れた定点PQを中心とする半径r

     の球2つの和集合(合併)の体積V(r)は?

 

 r<aのとき、共通部分が無いから、

  V=(8/3)πr³ ・・・答

 r≧aのとき、半分だけ定積分で求めて2倍。因数分解して、

  V=(2/3)π(r+a)²(2r-a) ・・・答

 

  ちなみに、rを大きくすると球1つの体積に収束。   

 

 

問題2 1辺が6の正三角形の内部に、下図のように3つの円を

    書き、面積和を考える。どちらがどれだけ大きいか?

 

170908a

 

 円の中心と接点、頂点を結ぶ補助線を引いて、

 各円の半径を求めればよい。

 (図1の円の面積和)={ 27-(27/2)√3 }π

 (図2の円の面積和)=(11/3)π

 図2が { (27/2)√3-70/3 }π 大きい ・・・答

 

これはかなり小さな差で、4ケタの計算が必要。

 

 

問題3 aは正の定数。複素数zが|z|≦aを満たす時、

    w=i(z+a²)の絶対値の最小値は?

 

複素数平面で、原点からの距離の最小値を考える。

i倍は単なる90度回転で無意味だから、無視。

z+a²は、点(a²,0)中心、半径aの円盤と考えると、

a²とaの大小関係、すなわちaと1の大小関係に

よる場合分けとなる。

 

  a>1 のとき、 a²-a

 0<a≦1のとき、 0 ・・・答

 

      ☆        ☆        ☆

問題4 四面体ABCDで、AB=CD=4、

    AC=BD=5、AD=BC=6。

    外接球の中心をO(オー)とし、ベクトル

    AB、AC、ADをベクトルb、c、dとおくとき、

    ベクトルAOをベクトルb、c、dで表せ。

 

ベクトルAO=p(ベクトルb)+q(ベクトルc)

         +r(ベクトルd)

とおいて、OA=OB=OC=ODの条件から

p、q、rを求める。辺の長さが分かってるので、

内積計算は簡単になって、連立1次方程式になる。

 

ベクトルAO=(1/4)ベクトルb+(1/4)ベクトルc

        +(1/4)ベクトルd ・・・答

 

キレイな答だし、もっと上手い解き方があると思う。

図形的に考えるとか、一般的な知識を適用するとか。

 

 

問題5 石とりゲーム必勝法を考える。ルールは3つ。

    n個の石を2人で交互にとる。1度にとる石は

    1コ以上、kコ以下。最後に石をとった者が勝ち。

    k=4のとき、先手必勝となる100以下の

    正の整数nは何個あるか?

 

n=1、2、3、4は、直ちに先手勝ち。n=5だと

先手必敗。n=6なら、先手が1コとれば残り5コ

で後手の手番になるから、後手必敗、先手必勝。

n=7なら、先手が2コとればよい。以下同様。

結局、nの条件は5の倍数でないことになり、

100以下だと、80個 ・・・答

 

実際の問題には、軽いヒントがついてる。厳密には帰納法で証明。

 

 

問題6 ある整数の平方で表される数を完全平方数という。

    完全平方数でない正の整数nに対して、

    f(n)を次のように定義する。

    n=a0とし、a0<a1<a2<・・・<akという

    正の整数列をつくって、すべての積が完全平方数

    になるようにする。このような列のうち、akが最小

    のものについて、f(n)=akとする。

    たとえば、f(2)=6。このとき、f(20)を求めよ。

 

20=2×2×5だから、完全平方数にするには5をかける

ことが必要。そこで、akの候補として、25、30、・・・と

考えていく。25は、5×5だから不適。30の場合、

20×24×30=(2²・5)×(2³・3)×(2・3・5)

         =(2³・3・5)²

で完全平方数になる。よって、f(20)=30 ・・・答

 

問題の意味を素早く正確に理解することが求められる。

基本は、簡単な例を具体的に書いてみること。

 

 

      ☆        ☆        ☆

問題7 nは4以上の整数。n人の生徒を2つの区別

    できない組に分け、どちらも2人以上にするとき、

    分け方は全部で何通りか?

 

n人それぞれを、A組かB組に振り分けるだけだと、

(2のn乗)通り。

このままだと、例えばア、イ、ウ、エの4人をA、A、B、B

とする場合と、B、B、A、Aとする場合を2通りとして

数えてしまうことになるが、これらは区別しない。

よって、2で割って、(2のn-1乗)通り。

 

さらに、0人の組ができる場合を避けるために、1を

引き、1人の組ができる場合を避けるためにnを引く。

以上より、全部で (2のn-1乗)-n-1通り ・・・答

 

問題文の「区別できない組」という書き方がまぎらわしいが、

話のパターンとしてはよくあるものだから、好意的に解釈。

 

 

問題8 音の強さのレベルを表す単位としてdB(デシベル)

    がある。振動数1kHzの音の最小可聴値の強さを

    I₀(=(10⁻¹²W・m⁻²)とすると、強さ I (W・m⁻²)の

    音のレベルα(dB)は次の式で表される。

     α=10log₁₀(I/I₀)

   80dBの音の強さは、75dBの音の強さの何倍か?

 

80dBの音の強さをp、75dBの音の強さをqとする。

80=10log₁₀(p/I₀)より、 p=10⁸ I₀

75=10log₁₀(q/I₀)より、 q/I₀=(10の7.5乗)I₀

∴ p/q=(10の0.5乗)=√10

よって、√10倍 ・・・答

 

物理的な意味や単位は深く考えず、数式で機械的に処理。

音の物理的な話はややこしい。

 

 

問題9 ある地域で収穫された人参のうち、規格外品である

    割合は15%と予想される。これを確かめるため、

    収穫した人参から無作為に何本か選び、規格外品

    である割合を調査したい。

    「規格外品である割合が13.5%以上16.5%以下」

    である確率を0.95以上であるようにするとき、

    少なくとも何本選べばよいか。一の位を切り上げて

    十の位までの概数で答えよ。

    ただし、次のことを仮定する。

    収穫する本数、選ぶ本数は十分多く、「規格外品で

    ある割合」は(近似的に)正規分布にしたがう。

    平均0、標準偏差1の正規分布に従う確率変数X

    において、P(|X|≦x)=0.95を満たすxは2。

 

二項分布を正規分布で近似する。15%は0.15。

区間 0.15-0.015 ~ 0.15+0.015 が

区間 0.15-2√{0.15(1-0.15)/n}

      ~ 0.15+2√{0.15(1-0.15)/n} 

と対応する。nは選ぶ本数。

∴ 0.015=2√(0.15×0.85/n)

∴ (0.015)²=4(0.15×0.85/n)

∴ n=2266・・・  よって、2270本 ・・・答

 

正直、忘れてたので、公式に当てはめて機械的に解いた。

たぶん合ってると思うけど、悪しからず♪ この実験で、

規格外が16%だと、最初の予想は正しそうだと判断。

20%だと、予想が甘かったと判断するのが確率統計学。

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題10 実数x、y、z、wが次の式を満たすとき、xの値は?

     x=2/(w-2), y=2/(x-3)

     z=2/(y-12), w=2/(z-3)

 

第2式を第3式に代入して、yを消去。zをxで表す。

それを第4式に代入して、zを消去。wをxで表す。

それを第1式に代入して分母を払い、整理すると、

 5x²-12x-12=0

この解のうち、与式の分母が0にならないものを求める。

∴ x=(6±4√6)/5 ・・・答

 

最後の分母のチェックは、もし記述式テストなら減点

ポイント。2次方程式の解は必要条件にすぎないから、

十分性のチェックを済ませて、はじめて完全な正解。

 

問題11 A rope of length 180m is

    cut several pieces,whose

    lengths form an arithmetic

    sequence with common

    difference d m.If the shortest

    piece is 1m long and the

    longest piece is 23m long,

    find the value of d.

 

180mの長さを、1mから23mまで、等差数列

をなす長さに分けるとき、公差は何mか。

項数をnとすると、 n(1+23)/2=180

∴ n=15

公差をdとすると、 23=1+(15-1)d

∴ d=11/7 ・・・答

 

等差数列という英語が分からなくても、公差dを

求める問題だと想像できる。

 

 

問題12 The positive difference between

    the zeros of the quadratic

    expression x²+kx+3 is √109.

    Find the possible values of k.

 

2次方程式x²+kx+3=0の2解の差が√109。

∴ {-k+√(k²-12)}/2

    -{-k-√(k²-12)}/2=√109

∴ √(k²-12)=√109

∴ k²-121=0   ∴ k=±11 ・・・答

 

「2次方程式の解」と書かず、「2次式の値をゼロにする

ような数」と書いてるが、気づかないまま解く人が多いかも♪

 

 

     ☆        ☆        ☆

問題13 Find the constant term

    in the expansion of 

    { x²-(2/x)}⁹.

 

9乗の展開式で、定数項を求める。

{(x²)の3乗} (-2/x)⁶の項だから、

9C3×2⁶=(9・8・7/3・2・1)×64

     =84×64

     =5376 ・・・答

 

最後、2の6乗を掛け合わせるのを忘れないように。

 

 

問題14 What base-10 fraction is

    represented by the base-5

    decimal 0.3₅(3の上に水平横棒)?

 

5進法の循環小数0.333・・・は、10進法の分数だと何か。

3×(1/5)+3×(1/5)²+3×(1/5)³+・・・

=3×{(1/5)/(1-1/5)}

3/4 ・・・答

 

問いも書き方も珍しいが、基本通りに計算するだけ。無限等比

級数の和の公式を適用。ここでのbaseは、位取り記数法

の底(てい)の意味。

 

 

問題15 There are four points in

    space,not all in the same

    plane.How many planes

    can be drawn such that

    they are equidistant from

    these points?

 

空間に4つの点があり、同一平面上ではない。

これらの点から等距離の平面はいくつ描けるか?。

 

両側に3点と1点が分かれる平面は、

1点の選び方で4つ。

平面の両側に2点と2点が分かれるものは、特定の

1点が他のどの点と組になるかを考えて、3つ。

∴ 4+3= ・・・答

 

2点と2点に分ける平面がいつでも描けるかどうか、迷う所。

四面体の図を書いて、各辺の中点を結ぶ線分を引くと分かる

(ような気がする♪)。ただ、証明するのはやや面倒だ。  

 

 

個人的には、問題4の計算と問題9の理論、問題15の

図形的イメージにちょっと苦しんだ。

とりあえず、今日のところはこの辺で。。☆彡

 

              (計 4739字)

     (追記 62字 ; 合計 4801字)

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米国MITのプログラミング教育ソフト「スクラッチ」、小学生向けの解説

この記事は、パソコンを少し使える小学生

向けに書きます。5、6年生なら読めるで

しょう。スマホで見やすい形にしときます。

説明はちょっと長いけど、カンタンです。

 

「スクラッチ」(Scratch)は、米国

マサチューセッツ工科大(MIT)が

作ったソフトやサイトのこと。朝日新聞

だと17年5月20日に紹介してました。

 

自分がやりたいことのために、必要なこと

をハッキリさせて、少しずつ組み立てること

を学びます。論理(ろんり)的に考えるため

の勉強、練習ということになります。

 

スクラッチという名前は、DJが音や映像

を変化させたりミックスしたりすることを

表す言葉。このソフトでも、色々と新しい

ものを創(つく)り出そうという意味です。

 

 

  ☆    ☆    ☆

170810a2

 

まず、公式サイトに飛んでみましょう。

検索もカンタンです。日本語になって

ますが、もとは英語なので、たまに英語

が入ってます。気にしないように♪

 

トップページの左上、「作る」をクリック

すると、下のような画面が出ます。

「やってみる」をクリックした時は、少し

だけ違いますが、似たようなものです。

 

170810b

 

左側のキャラクターは、「スプライト」

呼ばれてます。妖精(ようせい)とかいう

意味です。他のキャラに変えることも

できますが、ここではそのままやります。

 

170810c

 

画面の右側には、上のようなヒントが

出るでしょう。最初の「Scratch

をはじめよう」をクリックしてみます。

もともと下図が出てることもあります。

 

170810d

 

下の青い部分の「動かしはじめる」

クリックします。

 

170810e

 

ヒントの図は英語になってますが、自分

で操作(そうさ)する所は日本語です。

 

170810f

 

画面の中央の一番上に、「スクリプト」

書かれてます。ここで、「すること」、「やり

たいこと」を選(えら)んで行きます。

 

まず、「10歩動かす」を右側の場所に

ドラッグして、ドロップしました。クリック

すると、キャラが右に動きます。

 

 

    ☆    ☆    ☆

170810g

 

上の絵も英語になってますが、無視(むし)して

いいです♪ 下の「さあ、サウンドを追加しよう」

をクリックします。サウンドとは音のことです。

 

170810h

 

ここでもヒントの図は英語ですが、気に

しないように。画面の中央のスクリプト

で、「音」を選びます。

 

170810i

 

「1のドラムを0.25拍鳴らす」を右側

にドラッグして、さっきの「10歩動かす」

のすぐ下にドロップすると、くっつきます。

 

170810j

 

つづいて、ヒントにしたがって、「ダンスを

 

始めよう」に進みます。ダンスといっても、

ちょっと動かすだけです。

 

170810k_2

 

上の図はまた英語ですが、パソコン画面の

中央は日本語。スクリプトで「動き」を選んで、

前と同じ「10歩動かす」をドラッグ。くっつけた

後、「10」を「-10」に変えます。キーボード

の「0」の右のキーが「-」(マイナス)でしょう。

 

170810l

 

キャラが右に動いた後、音が鳴って、左に

動くことになります。さらに、前と同じやり方

で、音(ドラム)をくっつけます。スクリプト

で「音」を選んで、ドラッグ&ドロップです。

 

170810m

 

 

    ☆    ☆    ☆   

ヒントにしたがって、ドラムの種類を変えて

みましょう。黒い三角マークをクリックして、

(4)を選ぶと、シンバルの音になります。

 

170810m2

 

今度はスクリプトで「制御」(せいぎょ)を

選びます。全体的な動きを「コントロール」

するということです。

 

170810n

 

「10回繰(く)り返す」を右側にドラッグ。

今までの4段重ねをはさむようにして、

くっつけます。てきとうにやれば、自動で

形が変わるから、だいじょうぶです。

 

170810o

 

黄色の部分をクリックすると、たしかに

10回くりかえします。

 

170810p

 

「なにか言わせる」に進みますが、音では

なく、左側のキャラの図にセリフが出るの

です。

 

170810q

 

スクリプトで「見た目」を選んで、

「Hello!(ヘロー)と2秒言う」

を右側の一番上にドラッグします。

ここでは、セリフを日本語の「ダンス」

変えましたが、変えなくてもいいです。

 

170810r

 

クリックすると、キャラから「ダンス」という

セリフが出るでしょう。

 

170810s

 

 

    ☆    ☆    ☆ 

ヒントはまだ続きますが、長くなったので、

この記事はここで終わりにします。

 

今回はヒントにしたがってやりましたが、

もちろん自分で自由に作れるので、色々

とためしてみましょう。たとえば、キャラ

(スプライト)を日本人の「Maya

まや)ちゃんに変えることもできます。

 

170810t

 

ゲームみたいに遊んでるうちに、すぐコツ

や攻略法がつかめるでしょう。わからない

時は、学校や塾の先生に聞けば大丈夫

(たぶん♪)。

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

        (計 1957字)

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パズル「推理」、小学生向けの解き方3(ニコリ作、朝日be、難易度4、17年7月22日)

このブログでは7年近く前に、朝日新聞のパズル「推理」(すいり)

の記事を3本書いてます。大人向け、パソコン向けです。

 

 1本目  2本目  3本目

 

去年の秋には子供向けにカンタンに解説(かいせつ)しました

難易度(なんいど)4、☆4コの問題で、スマホ向けの書き方。

小学5年生でもわかると思います。

 

さらに5ヶ月前には、難易度5の問題について、小学生向けに

記事を書きました。むずかしい問題なので、記事は長めです。

他に、同じような問題として、アインシュタイン式論理(ろんり)

脳ドリルの記事もあります。

 

今回は、また難易度☆4コの問題で、表を使わない解き方

説明します。考え方、コツ、攻略法みたいなものです。一応、

表を使う解き方もオマケにつけときます。スマホなら、画面を

横向きにする方が見やすいかもしれません。

 

 

     ☆        ☆        ☆

まず、問題です。将棋好きの5人が集まってて、みんな

段位(だんい)も好きな駒(こま)もちがってます。

 

 稲葉(イナバ) 僕は桂馬が好き。

 菅井(スガイ) 僕は角が好きな人より段位が上。

 室田(ムロタ) 私が好きな駒は角じゃない。段位は二段。

 長谷川(ハセガワ) 三段の人は飛車が好き。それは私じゃない。

 豊島(トヨシマ)  僕は菅井さんより段位が上。

            四段じゃないし、好きな駒は銀じゃない。

 

 

では、始めましょう。解き方は色々ありますが、ここではまず、

「角が好きな人」とスガイとトヨシマが何段か、考えてみます。

 

角が好きな人」は、二段のムロタじゃないし、三段の飛車好きな

人でもないので、初段です。そして、スガイは三段か四段で、

トヨシマはそれより上の五段のはずです。

 

 

     ☆        ☆        ☆

そこで、スガイが何段なのかで、場合(ばあい)を分けて

みましょう。ためしに四段としてみると、どうなるでしょうか?

 

まだ、しめ切り前なので、いつものように記事は少しずつ書いて

行きます。次は今日(7月24日)の夜、書きことにします。

 

表を使う解き方は、下にのせておきます。今、すぐ分かること

だけ書きこんでいます。やり方が分からなければ、前の記事

の説明を見て考えてください。ではまた、夜に。。

 

 

     ☆        ☆        ☆

では、24日の夜になったので、先に進みましょう。

 

スガイが四段なら、トヨシマが五段だから、桂馬好きの

イナバは三段になります。ところがハセガワの話から、

三段は飛車好きのはず。

 

ということは、イナバの好きな駒について、話が矛盾

(むじゅん)してます。おかしい、そんなはずない、と

いう意味です。桂馬好きで飛車好きというのは変。

 

だから、スガイは四段ではなく三段。飛車好きです。

ここから答まではもうカンタンなので、29日に答が発表

(はっぴょう)されるまで、しばらく書かないことにします。

下のオマケの表は1枚つけたしました。

ではまた。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

29日の土曜になったので、最後まで説明します。

 

三段で飛車好きのスガイは、角が好きな人より

段位が上だから、角好きは初段です。

桂馬好きなイナバは、残った四段のはず。

 

すると、五段のトヨシマは、飛車好きでも角好き

でも桂馬好きでもないし、銀好きでもありません。

 

だから、五段の人が好きな駒は歩。これがです。

あと、わからない所がどうなるのかは、はぶきます。

下の表の説明から考えてみてください。

 

 

     ☆        ☆        ☆

ここから下はオマケ。表を使った解き方です。

 

170724a

 

上の表はすぐに書けるでしょう。さらに、スガイは角好きより上

だから、初段ではありません。二段でもないから、三段以上。

 

ということは、スガイより上のトヨシマ三段ではありません

結局、トヨシマは五段しかのこってないので、そこに丸をつけ

ます(下の表)。

 

170724b

 

29日になったので、最後まで書きます。

 

イナバとスガイとハセガワは五段ではないし、

五段のトヨシマは銀好きや桂馬好きではない

ので、下のように書けます。

 

170729a

 

二段のムロタは飛車好きでないし、角好きでも

桂馬好きでもないので、下のように書けます。

 

170729b

 

ここで、スガイが四段だと考えてみると、下のように、

三段のイナバが飛車好きで桂馬好きになって

しまいます。これはおかしいので、ありえません

 

170729c

 

だから、スガイは三段です。角好きはそれより下

だから、初段のはず。よって、下のようになります。

 

170729d

 

したがって、五段が好きな駒は歩。これがです。

桂馬好きのイナバは四段になります。あとはもう

簡単(かんたん)だから、はぶきましょう。

 

170729e

 

                 (計 1792字)

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新「大学入学共通テスト」数学、マークシート式のモデル問題の解説と感想(図形・円と直線)

2017年(平成29年)7月13日、大学入試センターが、新テスト

マークシート式問題のモデル問題例」及びモニター調査実施結果

発表した。

 

マークシートと言っても、記述式答案を原型にして作った問題だから

簡単ではないし、モニター(大学1年生)の結果を見ると、図形の問題

はあまり理解されてないように思われる。にも関わらず、最終的な答

(選択肢の番号)しか公表されてない。

 

そこで今回は、その問題(モデル問題例4、3つの円と直線の交点)

の解説と感想をごく簡単に書いてみよう。いつものように、何も参考

にせず、自力のみで書く。本試験前にネットで公表した資料なので、

著作権の問題は生じないと考える。

 

ちなみに記述式の問題例については、2ヶ月前に記事を書いてある。

 

 大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説

       ~銅像を見込む角と位置

 

 

     ☆        ☆        ☆

まず、問題文の前半。と言っても、設問と点数の大部分はこの箇所

にある。

 

途中の問題文や選択肢は少し省略したが、要するに、証明の途中の

空欄に語句を記入して完成させる問題であって、選択肢が無くても、

大まかな流れは理解できるし、解答も可能。コンピュータも不要だ。

 

170715c  

 

170715b

 

170715d

 

170715e

 

 

      ☆        ☆        ☆

まず、空欄ア。点CとSを通る直線がAを通ることを証明するには、

直線CSと円O1の交点D(S以外)が、「A」と一致することを示せば

よい。また、他に同等の答の選択肢は無い。   

よって答はA、つまり3。これは86%の大学1年生が正解。

 

次に空欄イ。∠SAQと∠SDQは、円O1において1つの弧に対する

円周角になってるから、等しいのは当たり前。つまり、3点C、S、A

が一直線上にあることの証明には役立たない。よって答は、4

 

続いて空欄ウ。ここからが証明開始で、円O1に内接する四角形の

性質より、∠ASP=∠BQP。答は、2。

 

ここまでは正答率60%以上だが、これ以降は一気に低くなって、

40%~20%まで落ち込む。選択肢の数は5コ前後しかないので、

でたらめに選んでも正答率20%前後になる。ということは、大部分

の学生が理解できなかったということだ。

 

 

      ☆        ☆        ☆

証明の流れをキレイにまとめ直すと、以下のようになる。

 

 ∠ASC=∠ASP+∠CSP

     =∠BQP+∠BRP (円O1とO3に内接する四角形の性質)

     =180°    (円O2に内接する四角形の内対角の和)

 

よって答は、エ(理由)が3オはCSPで、5カはBRPで、1

キ(理由)は2

 

上のように、等式の変形に、一連の流れを持たせれば理解しやすい。

最初の∠ASCを少しずつ書き直して、最後の180°という角度まで

到達させて行く。

 

 

      ☆        ☆        ☆

ところが、実際の設問の証明は、一連の流れを4つの文に分割して、

しかも接続詞も入れてないので、流れや意図、論理が読みにくい。

 

 四角形AQPSは円O1に内接するから、∠ASP=∠BQP

 四角形CSPRは円O3に内接するから、∠CSP=∠BRP

 四角形BRPQは円O2に内接するから、

    ∠BQP+∠BRP=180°

 よって∠ASPは180°なので、3点C、S、Aは一直線上にある。

 

このような分割した証明の書き方は、中学の教科書や参考書などでも

よく見かけるものだから、作成者にとっては普通の書き方なのだろう。

ただ、せめて2行目に「一方」、3行目に「ここで」と接続詞を入れるべき

だと考える。冒頭に、「∠ASC=∠ASP+∠CSP」という前置きを

書いてないのは、意図的に問題を難しくしたのだとしても。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

続いて、正答率わずか20%で、ほとんど出来なかった設問。時間

が無くなることを考えても、直前までの正答率とは極端な差がある。

 

170715f

 

170715g

 

170715h2 

 

 

     ☆        ☆        ☆

以下、以前の証明と同じような書き方で、新たに書き直してみよう。

あえて真似してるだけであって、わかりやすくはないし、滑らかでも

ないので、念のため。修正点はピンク色にした。

 

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠ASP=∠BQP

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠CSP=∠BRP

 一つの弧に対する円周角は一定であるから、

       ∠BQP=∠BRP

 よって、∠ASP=∠CSPなので、

 3点C、S、Aは一直線上にある。

 

こう書くと、接続詞がない不自然さが明らかだし、それぞれの弧の

名前(AP、CP、BP)も書いた方がいいはず。

 

いずれにせよ、(a)(c)(e)(f)(g)のみを修正したのだから、

答は3

 

 

      ☆        ☆        ☆  

実戦的には、たとえ証明が分からなくても、次のように考えれば、

答として3番を選択できることになる。

 

(f)、つまり∠BQP+∠BRP=180°は間違いであって、

修正する必要があるから、選択肢の0と1は不適。

 

また、(b)の箇所、つまり∠ASP=∠BQPは正しいから、

修正する必要はない。よって、選択肢の2は不適。

 

以上より、消去法によって、答は残る選択肢。つまり、3。

 

 

     ☆        ☆        ☆

ただし、いずれにせよ、前の設問の証明を理解してる必要はあるし、

選択肢3が本当に正しいのかどうかは示されてない。それを示すのは

非常に難しいことだろう。

 

つまり、それら5つ「のみ修正すれば十分」だと示されただけで、

5つ「のみ修正する必要がある」ことは示されてない

 

この辺りも、中学や高校の数学で省かれてしまってる重要な点だ。

十分条件と必要条件は異なるとか教えつつ、実際の解答の中では

いま一つ活かされてない。

 

 

      ☆        ☆        ☆

最後に、私自身の証明を添えておこう。∠ASPから∠CSPへと

少しずつ変形していく、一連の流れをつけてる点が最大の違いだが、

最後の一言も重要だ。

 

 ∠ASP=∠AQP   (弧APに対する円周角)

     =∠BQP

     =∠BRP   (弧BPに対する円周角)

     =∠CRP

     =∠CSP   (弧CPに対する円周角)

 

よって、∠ASP=∠CSP。

しかも、直線SPに対して点AとCは同じ側にあるので、

3点C、S、Aは一直線上にある。

             (Q.E.D. 証明終了)

 

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                    (計 2467字)

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温度と熱量、熱容量、比熱~物理の問題と解き方7

問題文を書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要問題

集』シリーズ、第7弾。また2ヶ月も間が空いてしまったが、今回も

数研出版が集めた過去の大学入試問題を解説してみよう。

 

これまでの6本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事は色々あ

るし、数学カテゴリーには多数の記事がある。相変わらずアクセス

は地味に続いてるので、受験生その他の需要はあるようだ。

 

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

 等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

 単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

 物体の衝突、運動量保存法則、はねかえり係数~物理6

 

 

今回は第7章、温度と熱量(p.43~)のA問題から3問。わりと

単純で簡単な分野だが、熱という特殊なエネルギーを扱う内容

だから慣れは必要だろう。

 

いつものように、式や説明は私が書いたもの。読みやすさと入力

環境のため、小文字を大文字に変えたり、添え字を小文字に変え

たりしてるが、言葉遣いは元のままだ。

 

 

     ☆        ☆        ☆

 66 (熱容量と比熱) 久留米工大

 次の各問いに、単位をつけて答えよ。

 

 (1) 比熱が0.1cal/g・Kである物体の温度を10℃から

    60℃まで上げるのに5000calの熱量が必要であった。

    この物体の熱容量はいくらか。

 (2) この物体の質量はいくらか。

 (3) 質量100gのある物体を80℃に熱して、容器に入れた

    温度10℃の水340gの中に落としてかきまわしたら、

    水と物体の温度は12度になった。物体から水に移動

    した熱量および物体の比熱を求めよ。ただし、容器の

    熱容量は無視する。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) 10℃から60℃まで50K上げる熱量が5000calだから、

    1K上げる熱容量は、

    5000 / 50 = 100(cal/K) ・・・答

 

 (2) 「熱容量=比熱×質量」だから、

    100=0.1×(質量)

    ∴ (質量)=100/0.1

           =1000(g) 

           =1(kg) ・・・答

 

 (3) (物体から水に移動した熱量)

       =(水が得た熱量)

       =(水の比熱)×(質量)×(上昇温度)

       =1×340×(12-10)

       =680(cal) ・・・答

 

    また、物体から移動した熱量が680calだから、

    (物体の比熱)×(質量)×(下降温度)=680

    ∴ (物体の比熱)×100×(80-12)=680

    ∴ (物体の比熱)=680/(100×68)

               =0.1(cal/g・K) ・・・答 

 

 

 (解説・感想)

 基本問題だが、問題文でわざわざ単位を求めてるので、単位を

 揃えて計算する。この種の問題では、質量の単位はgが普通

 なので、(2)では1000gのままでもいいはず。

 

 温度の単位は、 「℃」と「K」の違いを気にする必要はない。

 温度差が問題になる時は「K」が普通だろうが、問題文や説明文

 に「℃」と書いてることも多い。学校の場合は、先生に合わせる。

 (3)では、物体と水をハッキリ分けて考えればよい。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 67 (金属球の比熱) 東北歯大

 比熱がc1[cal/g・K]の金属で作った質量50gの

 容器に100gの水を入れて温度を測ったところ15℃で

 あった。これに80℃の湯70gを入れてよくかきまぜた

 ところ全体の温度が41℃になった。

 

 (1) この金属容器の熱容量a1はいくらか。

 (2) この金属容器の比熱c1はいくらか。

 

 引き続いて、この容器の中へ温度100℃で質量が200g

 の金属球を入れてよくかきまぜたところ、全体の温度が

 52℃になった。

 

 (3) この金属球の熱容量a2はいくらか。

 (4) この金属球の比熱c2はいくらか。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) (湯が失った熱量)

       =(金属容器が得た熱量)+(水が得た熱量)

    ∴ 1×70×(80-41)

         =a1×(41-15)+1×100×(41-15)

    ∴ 2730=26a1+2600

    ∴ a1=5(cal/K) ・・・答

 

 (2) (熱容量)=(比熱)×(質量)だから、

     5=c1×50

    ∴ c1=0.1(cal/g・K) ・・・答

 

 (3) (金属球が失った熱量)

       =(金属容器が得た熱量)+(水が得た熱量)

    ∴ a2×(100-52)

        =5×(52-41)+1×170×(52-41)

    ∴ 48a2=55+1870

    ∴ a2≒40(cal/K) ・・・答

 

 (4) (比熱)=(熱容量)÷(質量)

    ∴ c2=40/200

        =0.2(cal/g・K) ・・・答

 

 

 (解説・感想)

 金属容器と金属球、水とお湯、計4つの物質を合わせて考える

 ので、ミスが無いよう注意。(1)の熱容量は、比熱×質量で

 50c1と書いた受験生が少なくないと思うが、採点でどうなるか

 は不明。ただ、(2)が合ってれば、(1)は50c1でもいいはず。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 69 (熱量の保存) 近畿大

 

 3個の物体A、B、Cがあって、最初これらの物体の温度は、

 互いに異なっていた。まず、物体AとCとを接触させたら、

 物体Aの温度は41℃下がり、物体Cの温度は16℃上昇

 した。次に物体AをCから離して物体BとCとを接触させた

 ところ、物体Bの温度は2℃上昇し、物体Cの温度は10℃

 下がって、80℃となった。接触した物体の間だけ熱のやりとり

 があり、そのために両物体の温度が等しくなるものとする。

 

 (1) さらに物体CをBから離して、物体AとCとを接触

    させると、物体Cの温度は何℃になるか。

 (2) このようにして、物体Cを交互にAとBに接触させていく

    と、物体Cの温度は、しだいにある一定の温度に近づいて

    いく。この温度は何℃か。

 

 

      ☆        ☆        ☆

 (解答)

 (1) まず、Cの温度に注目すると、

     Aとの接触で74℃から90℃へと16℃上昇し、

     Bとの接触で90℃から80℃へと10℃下降。

 

    よってAはCとの接触で131℃から90℃へと41℃下降。

    BはCとの接触で78℃から80℃へと2℃上昇。

 

    ここで、A、B、Cの熱容量をそれぞれa、b、cとすると、

    41a=16c   ∴ a=16c/41

    2b=10c   ∴ b=5c

 

    よって、2度目のAとCの接触でt℃になったとすると、

    (16c/41)×(90-t)=c×(t-80)

    ∴ 16(90-t)=41(t-80)  (∵ c≠0)

    ∴ 4720=57t

    ∴ t≒83(℃) ・・・答

 

 (2) 無数の操作全体をまとめて考えると、

    (Aが失った熱量)=(Bが得た熱量)+(Cが得た熱量)

 

    よって、最終的に近づく温度をs℃とすると、

    (16c/41)×(131-s)

       =5c×(s-78)+c×(s-74)

    ∴ 16(131-s)=205(s-78)+41(s-74)

    ∴ 2096+15990+3034=(16+205+41)s

    ∴ 262s=21120

    ∴ 131s=10560

    ∴ s=80.6・・・

        ≒81(℃) ・・・答

 

 

 (解説・感想)

 やや問題文が読みにくいが、実力が問われるユニークな良問だと

 思う。質量も比熱も出てないので、熱容量だけで解く。変数3つは、

 条件を使って1つだけに絞る(ここではc)。最後は計算が面倒

 なので慎重に変形。

 

 おそらく、何か具体的な例があるのだろう。例えば、高温のAから

 低温のBに熱を移したいが、Bは高い温度に耐えられないから、

 Cを媒介にして熱を移動させるとか。Cは単なる媒介だからこそ、

 主役のAとBに続くアルファベットを選んでるのだと想像する。

 

 

毎度の事ながら、物理の記事は入力が大変だと痛感しつつ、

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                  (計 2972字)

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ツイッターで話題、引っ掛け算数クイズ♪&10km走

(22日) RUN 10km,52分26秒,平均心拍 147

   消費エネルギー  507kcal (脂肪 101kcal)

 

記事ローテーション的には、そろそろ物理か数学の記事を書くべき

タイミングなんだけど、とにかく色々あおられてるので余裕がない。

 

とか言いつつ将棋ニュースのチェックはしてるけど、これは数十年に

一度の出来事が続いてるから仕方ないのだ。私のせいじゃない♪

まあ、合理化と投影を組み合わせた自己防衛の例ってことで(笑)。

 

そう言えば、いつまで経っても数学甲子園2016の準決勝か何かの

問題が公表されないね。サイトだけ綺麗にして、中身がちょっと薄く

なってる。

 

どうして時代に逆行して、情報を出し惜しみするようになってるのか、

運営方針がよく分からない。数学検定の成功で、強気になってる

わけか。私がスタッフなら、せめてQ&Aとかで、なぜ情報を開示

しないのか簡単に説明するけどね。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

おっと、話が脱線気味かも (^^ゞ とにかく、すぐ書ける理数系の

コネタとしては、クイズかパズルの類になる。

 

つい最近もまた、「絵むすび」の解説記事を書きそうになったけど、

あまりに多いからガマンした♪ 小保方晴子日記の記事も、同様に

自重。初回から連続10回も書けば十分過ぎるでしょ。

 

で、結局、今日はこれにした。ねとらぼで紹介されてた、漫画家・

さんりようこさんのツイート(2017.6.11付)。リツイート数

5000超。

 

170623a

 

 

      ☆        ☆        ☆

私はフツー、あまり数学的ではないこの種の算数クイズには冷たい

んだけど、これは出来がいい♪ 学校の先生が作ったのか、参考書

か何かの引用なのか。

 

もし10秒以内の即答or速答だったら、私もうっかり間違えてたと思う。

 

 99-72=27  45-27=18  39-18=21

 36-21=15  28-15=13 

 よって、?の数字は15。

 

 

     ☆        ☆        ☆      

ところが、この引き算パターンだと、最後の右下の計算が合わない。

21-13=8だから、図の7にならないのだ。

 

そこで考え直すと、正解にたどりつく。30秒あれば大丈夫。あんまし

自慢になんないけど♪

 

 9+9+7+2=27  4+5+2+7=18

 3+9+1+8=21  3+6+2+1=12

 2+8+1+2=13  2+1+1+3=7

 よって、?の数字は12。

 

170623b

 

ちなみに図の一番右下は、私が直接ツイッターにアクセスした時

には表示されてなかった♪ 右下が無ければ15でも正解のはず。

 

なお、他にも答はありそうだけど、それを探すのは私の趣味じゃない。

むしろ、「他に答が存在しないことを証明してください」とか、「それが

証明できないのなら、出題が不適当だと思います」とか突っ込んで、

先生を困らせる方が私の趣味かも(笑)。問題児か!

 

ところが将棋の天才・藤井四段は、4つの数字と+-×÷で10を

作るゲーム「メイクテン」が今でも趣味とのこと。反省すべきかも♪

あれは全くハマらなかったけどな。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

最後に、昨日の走りについて一言だけ。時間が無くなって、よっぽど

サボリそうになったけど、前日の走りがサッパリだったし、サボリぐせ

がつきそうなので、10kmだけサラッと走って来た。

 

脚にも心肺にもダメージが残ってたけど、変な痛みはないから、徐々

にペースアップ。最後は、ブログの冒頭に「RUN」と書くために、無理

やりダッシュ。心拍171まで上げて、ぴったり1km5分15秒ペース

で終了♪

 

気温21度、湿度85%、風速1m。前日ほどじゃないけど、かなり

蒸し暑くて、序盤から顔の汗が流れ落ちてしまった。人力サウナ♪

 

もうそろそろ出かける時間だね。ブログより実生活! ではまた。☆彡

 

 

170623c

 

          時間  平均心拍  最大

往路(1.2km)   6分49秒 124 138

LAP1(2.2km) 12分08秒 139 145

  2        11分31秒 147 153

  3        11分23秒 153 158

復路(2.2km) 10分36秒 158 171

計 10km 52分26秒 心拍平均147(82%) 最大171(95%)

 

                  (計 1629字)

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大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説~銅像を見込む角と位置

センター試験の後継テストについては、今までも色々と情報が伝わっ

てるが、そろそろ方針が固まって来たようなので、記述式のモデル

問題例を見てみよう。

 

2017年5月16日、大学入試センターが公開。国語の方が、問題

も正答例も気になったが、ここでは数学を1問扱う。以下の解説や図

は、いつものように個人的なものであって、他のサイトは参考にして

ない。翌日の朝日新聞・朝刊に掲載された正答例だけはチェックした。

 

なお、今回は事前の問題例公開でもあり、著作権は気にせず、ほぼ

そのまま縮小コピペさせて頂いた。

 

 

      ☆        ☆        ☆

公園整備計画において、広場の大きさを決める前に、銅像の見やす

さを考える。三角比の表は省略。

 

170518a

 

170518b

 

(1) 解答

170518h

 

(見込む角の tan) = 4/12

            =0.33・・・

よって、三角比の表より、

 (見込む角) ≒ 18°

    答. 7 ・・・ 空欄ア

 

170518c

 

(2)(ⅰ) 解答

 余弦定理で、 

  cos∠APB=(AP²+BP²-AB²) / 2AP・BP 

 を計算し、正の値であることを確かめる。

 

170518d

 

 (ⅱ) 解答

  sin∠APB = AB / 2R

    (注. 正弦定理を変形して、Rを変数と見た式。

        別の形で答えても正答扱いのはず。)

 

170518e

 

 (ⅲ)① 解答

170518i

 

  上図より、

  (ベストスポットを与える最小のR)

    = 2+5

    = 7 (m) ・・・ 空欄イ

 

170518f

 

 ② 解答

  sin∠APB = AB / 2R

          = 4 / (2×7)

          = 0.285・・・

  よって三角比の表より、

    ∠APB ≒ 17°

   答. ③ ・・・ 空欄ウ

 

170518g

 

 ③ 解答

170518j

 

 三平方の定理より、

 (求める距離) = √(7×7-2×2)

          = √45

          = 3√5

          ≒ 3×2.24

          ≒ 6.7 (m)

  答. ③ ・・・ 空欄エ

 

 

      ☆        ☆        ☆

(感想・論評)

空欄イの7mを正しく答えた大学生は、僅か9.6%。ということは、

空欄ウやエの正答率20%弱は、単に選択肢から勘で選んだ人が

多かったということを示す数字だろう。

 

大まかな図を書くだけで、選択肢10個は5個くらいまで絞り込めて

しまう。折角、記述式にするのなら、ウやエも選択肢なしで出題する

方が良い。エがイとほとんど同じ値というのも、もう一工夫欲しい所。

 

ただし、(1)と少し設定が違うし、図形的・現実的にややイメージし

にくい問いだったのは事実。他にも、問題文が長いので、後半は

基本的な国語力がないと問い自体が把握できない。

 

もう少し難易度を下げた方が、共通テストとしては適切かも知れな

いが、テスト全体の構成にもよるだろう。他の問題が簡単なら、全体

的には適切なバランスになる。

 

 

      ☆        ☆        ☆

私が一番気になったのは、見込む角というものを上下の方向だけで

考えてる点と、台座が高い点。「左右方向の見込む角」を考えたり、

低い台座を考えたりすると、近づけば近づくほど見やすいという常識

的な答が導かれてしまう。

 

その場合、広場の大きさを決めるのに役立たないし、数学の有用性

も示せないから、この問題のような設定にしてあるわけだ。しかし、

現実社会でこのような議論を示された時、そうした問題点をすぐ見抜

くのは難しいだろう。

 

数学は、正しい誘導にも、間違った誘導にも使えるわけで、その辺り

の難しさに関する教育的配慮も必要なのだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

                    (計 1354字)

 

 

cf. 新「大学入学共通テスト」数学、

     マークシート式のモデル問題の解説と感想(円と直線)

 

        (追記 43字 ; 合計 1397字)

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絵むすびの解き方12、小学生向け(ニコリ作、朝日チャレクロ、2017年5月2日)

朝日新聞のパズル「絵むすび」については、1年前に小学生向けの

かんたんな記事を書いてます。

 

 絵むすびの解き方11、小学生向け(16年5月21日)

 

その前にも、大人向けの記事を10本書いてます。

 

 第1回2回3回4回5回6回7回8回9回10回

 

今日はゴールデンウィークなので、また小学生向けの記事を

書いてみます。5月2日に、連休の「チャレクロ」

シリーズの1本になってた問題です。難易度(なんいど

=むずかしさ)は☆2つか3つでしょう。

 

 

    ☆        ☆        ☆

今回はお花をむすび合わせる問題で、多分、パンジー、バラ、

菖蒲(しょうぶ)、カーネーション、チューリップで

しょう。それぞれ1文字で、パ、バ、シ、カ、チとだけ

書くことにします。

 

Img_8134

 

解き方のコツの一つは、隅(すみ)や4つの辺にある絵を考える

ことです。ここでは、パンジーから始めるのがベスト。大きく

はなれてるのも、やりやすいのです。

 

もしパンジーを結ぶ線が、図の真ん中あたりを通ってたら、

左側のバラとかチューリップとかを結べなくなってしま

います(バ、チ、ツ)。パンジーの線にジャマされるからです。

 

Img_8138

 

 

    ☆        ☆        ☆

だから、パンジーの線は上の端(はし)と左の端(はし)を

通るはず。ほかの花のジャマをしないためです。

 

Img_8137

 

まだ、しめきりの前なので、いつものように、ここで一度

記事を書くのを止めときます。次は、明日また続きを書く

ことにしましょう。 次は何の花がわかりやすいか、自分で

考えてみてください。

 

 

(しばらく書くのを止めてます。)

 

それでは、もう少し先に進みましょう。次は、右下の角にある

チューリップを結ぶ線を考えます。

 

Img_8142

 

上図のように結ぶと、左下あたりのツツジとショウブが結べなく

なってしまいます(ツとシ)。だから、下図のように結ぶはず。

 

Img_8141

 

後はもうカンタンなので、連休明けまで書かないことにしましょう。   

 

(しばらく書くのを止めてます。)   

                   (暫定 807字)

 

 

       ☆        ☆        ☆

連休が終わって、しめきりもすぎたので、最後まで書きます。

 

170513a2

 

ツの線とシの線が少し書けて、バの線も少し書けます。

 

170513b2

 

バの線は、カの線をむすぶのをジャマしないように、

下にのばします。すると、ツ、シの線ものばせます。

 

170513c

 

さらに、バ、ツ、シの線を少しのばせます。

 

170513d

 

右下のバからも、線を上にのばせます。

もう、ほとんど答です。

 

170513e

 

これで完成しました。それでは今回は終わりにします ☆彡

 

      (追記 179字 ; 合計 986字)

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