ツイッターで話題、引っ掛け算数クイズ♪&10km走

(22日) RUN 10km,52分26秒,平均心拍 147

   消費エネルギー  507kcal (脂肪 101kcal)

 

記事ローテーション的には、そろそろ物理か数学の記事を書くべき

タイミングなんだけど、とにかく色々あおられてるので余裕がない。

 

とか言いつつ将棋ニュースのチェックはしてるけど、これは数十年に

一度の出来事が続いてるから仕方ないのだ。私のせいじゃない♪

まあ、合理化と投影を組み合わせた自己防衛の例ってことで(笑)。

 

そう言えば、いつまで経っても数学甲子園2016の準決勝か何かの

問題が公表されないね。サイトだけ綺麗にして、中身がちょっと薄く

なってる。

 

どうして時代に逆行して、情報を出し惜しみするようになってるのか、

運営方針がよく分からない。数学検定の成功で、強気になってる

わけか。私がスタッフなら、せめてQ&Aとかで、なぜ情報を開示

しないのか簡単に説明するけどね。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

おっと、話が脱線気味かも (^^ゞ とにかく、すぐ書ける理数系の

コネタとしては、クイズかパズルの類になる。

 

つい最近もまた、「絵むすび」の解説記事を書きそうになったけど、

あまりに多いからガマンした♪ 小保方晴子日記の記事も、同様に

自重。初回から連続10回も書けば十分過ぎるでしょ。

 

で、結局、今日はこれにした。ねとらぼで紹介されてた、漫画家・

さんりようこさんのツイート(2017.6.11付)。リツイート数

5000超。

 

170623a

 

 

      ☆        ☆        ☆

私はフツー、あまり数学的ではないこの種の算数クイズには冷たい

んだけど、これは出来がいい♪ 学校の先生が作ったのか、参考書

か何かの引用なのか。

 

もし10秒以内の即答or速答だったら、私もうっかり間違えてたと思う。

 

 99-72=27  45-27=18  39-18=21

 36-21=15  28-15=13 

 よって、?の数字は15。

 

 

     ☆        ☆        ☆      

ところが、この引き算パターンだと、最後の右下の計算が合わない。

21-13=8だから、図の7にならないのだ。

 

そこで考え直すと、正解にたどりつく。30秒あれば大丈夫。あんまし

自慢になんないけど♪

 

 9+9+7+2=27  4+5+2+7=18

 3+9+1+8=21  3+6+2+1=12

 2+8+1+2=13  2+1+1+3=7

 よって、?の数字は12。

 

170623b

 

ちなみに図の一番右下は、私が直接ツイッターにアクセスした時

には表示されてなかった♪ 右下が無ければ15でも正解のはず。

 

なお、他にも答はありそうだけど、それを探すのは私の趣味じゃない。

むしろ、「他に答が存在しないことを証明してください」とか、「それが

証明できないのなら、出題が不適当だと思います」とか突っ込んで、

先生を困らせる方が私の趣味かも(笑)。問題児か!

 

ところが将棋の天才・藤井四段は、4つの数字と+-×÷で10を

作るゲーム「メイクテン」が今でも趣味とのこと。反省すべきかも♪

あれは全くハマらなかったけどな。。

 

 

      ☆        ☆        ☆

最後に、昨日の走りについて一言だけ。時間が無くなって、よっぽど

サボリそうになったけど、前日の走りがサッパリだったし、サボリぐせ

がつきそうなので、10kmだけサラッと走って来た。

 

脚にも心肺にもダメージが残ってたけど、変な痛みはないから、徐々

にペースアップ。最後は、ブログの冒頭に「RUN」と書くために、無理

やりダッシュ。心拍171まで上げて、ぴったり1km5分15秒ペース

で終了♪

 

気温21度、湿度85%、風速1m。前日ほどじゃないけど、かなり

蒸し暑くて、序盤から顔の汗が流れ落ちてしまった。人力サウナ♪

 

もうそろそろ出かける時間だね。ブログより実生活! ではまた。☆彡

 

 

170623c

 

          時間  平均心拍  最大

往路(1.2km)   6分49秒 124 138

LAP1(2.2km) 12分08秒 139 145

  2        11分31秒 147 153

  3        11分23秒 153 158

復路(2.2km) 10分36秒 158 171

計 10km 52分26秒 心拍平均147(82%) 最大171(95%)

 

                  (計 1629字)

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大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説~銅像を見込む角と位置

センター試験の後継テストについては、今までも色々と情報が伝わっ

てるが、そろそろ方針が固まって来たようなので、記述式のモデル

問題例を見てみよう。

 

2017年5月16日、大学入試センターが公開。国語の方が、問題

も正答例も気になったが、ここでは数学を1問扱う。以下の解説や図

は、いつものように個人的なものであって、他のサイトは参考にして

ない。翌日の朝日新聞・朝刊に掲載された正答例だけはチェックした。

 

なお、今回は事前の問題例公開でもあり、著作権は気にせず、ほぼ

そのまま縮小コピペさせて頂いた。

 

 

      ☆        ☆        ☆

公園整備計画において、広場の大きさを決める前に、銅像の見やす

さを考える。三角比の表は省略。

 

170518a

 

170518b

 

(1) 解答

170518h

 

(見込む角の tan) = 4/12

            =0.33・・・

よって、三角比の表より、

 (見込む角) ≒ 18°

    答. 7 ・・・ 空欄ア

 

170518c

 

(2)(ⅰ) 解答

 余弦定理で、 

  cos∠APB=(AP²+BP²-AB²) / 2AP・BP 

 を計算し、正の値であることを確かめる。

 

170518d

 

 (ⅱ) 解答

  sin∠APB = AB / 2R

    (注. 正弦定理を変形して、Rを変数と見た式。

        別の形で答えても正答扱いのはず。)

 

170518e

 

 (ⅲ)① 解答

170518i

 

  上図より、

  (ベストスポットを与える最小のR)

    = 2+5

    = 7 (m) ・・・ 空欄イ

 

170518f

 

 ② 解答

  sin∠APB = AB / 2R

          = 4 / (2×7)

          = 0.285・・・

  よって三角比の表より、

    ∠APB ≒ 17°

   答. ③ ・・・ 空欄ウ

 

170518g

 

 ③ 解答

170518j

 

 三平方の定理より、

 (求める距離) = √(7×7-2×2)

          = √45

          = 3√5

          ≒ 3×2.24

          ≒ 6.7 (m)

  答. ③ ・・・ 空欄エ

 

 

      ☆        ☆        ☆

(感想・論評)

空欄イの7mを正しく答えた大学生は、僅か9.6%。ということは、

空欄ウやエの正答率20%弱は、単に選択肢から勘で選んだ人が

多かったということを示す数字だろう。

 

大まかな図を書くだけで、選択肢10個は5個くらいまで絞り込めて

しまう。折角、記述式にするのなら、ウやエも選択肢なしで出題する

方が良い。エがイとほとんど同じ値というのも、もう一工夫欲しい所。

 

ただし、(1)と少し設定が違うし、図形的・現実的にややイメージし

にくい問いだったのは事実。他にも、問題文が長いので、後半は

基本的な国語力がないと問い自体が把握できない。

 

もう少し難易度を下げた方が、共通テストとしては適切かも知れな

いが、テスト全体の構成にもよるだろう。他の問題が簡単なら、全体

的には適切なバランスになる。

 

 

      ☆        ☆        ☆

私が一番気になったのは、見込む角というものを上下の方向だけで

考えてる点と、台座が高い点。「左右方向の見込む角」を考えたり、

低い台座を考えたりすると、近づけば近づくほど見やすいという常識

的な答が導かれてしまう。

 

その場合、広場の大きさを決めるのに役立たないし、数学の有用性

も示せないから、この問題のような設定にしてあるわけだ。しかし、

現実社会でこのような議論を示された時、そうした問題点をすぐ見抜

くのは難しいだろう。

 

数学は、正しい誘導にも、間違った誘導にも使えるわけで、その辺り

の難しさに関する教育的配慮も必要なのだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

 

                    (計 1354字)

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絵むすびの解き方12、小学生向け(ニコリ作、朝日チャレクロ、2017年5月2日)

朝日新聞のパズル「絵むすび」については、1年前に小学生向けの

かんたんな記事を書いてます。

 

 絵むすびの解き方11、小学生向け(16年5月21日)

 

その前にも、大人向けの記事を10本書いてます。

 

 第1回2回3回4回5回6回7回8回9回10回

 

今日はゴールデンウィークなので、また小学生向けの記事を

書いてみます。5月2日に、連休の「チャレクロ」

シリーズの1本になってた問題です。難易度(なんいど

=むずかしさ)は☆2つか3つでしょう。

 

 

    ☆        ☆        ☆

今回はお花をむすび合わせる問題で、多分、パンジー、バラ、

菖蒲(しょうぶ)、カーネーション、チューリップで

しょう。それぞれ1文字で、パ、バ、シ、カ、チとだけ

書くことにします。

 

Img_8134

 

解き方のコツの一つは、隅(すみ)や4つの辺にある絵を考える

ことです。ここでは、パンジーから始めるのがベスト。大きく

はなれてるのも、やりやすいのです。

 

もしパンジーを結ぶ線が、図の真ん中あたりを通ってたら、

左側のバラとかチューリップとかを結べなくなってしま

います(バ、チ、ツ)。パンジーの線にジャマされるからです。

 

Img_8138

 

 

    ☆        ☆        ☆

だから、パンジーの線は上の端(はし)と左の端(はし)を

通るはず。ほかの花のジャマをしないためです。

 

Img_8137

 

まだ、しめきりの前なので、いつものように、ここで一度

記事を書くのを止めときます。次は、明日また続きを書く

ことにしましょう。 次は何の花がわかりやすいか、自分で

考えてみてください。

 

 

(しばらく書くのを止めてます。)

 

それでは、もう少し先に進みましょう。次は、右下の角にある

チューリップを結ぶ線を考えます。

 

Img_8142

 

上図のように結ぶと、左下あたりのツツジとショウブが結べなく

なってしまいます(ツとシ)。だから、下図のように結ぶはず。

 

Img_8141

 

後はもうカンタンなので、連休明けまで書かないことにしましょう。   

 

(しばらく書くのを止めてます。)   

                   (暫定 807字)

 

 

       ☆        ☆        ☆

連休が終わって、しめきりもすぎたので、最後まで書きます。

 

170513a2

 

ツの線とシの線が少し書けて、バの線も少し書けます。

 

170513b2

 

バの線は、カの線をむすぶのをジャマしないように、

下にのばします。すると、ツ、シの線ものばせます。

 

170513c

 

さらに、バ、ツ、シの線を少しのばせます。

 

170513d

 

右下のバからも、線を上にのばせます。

もう、ほとんど答です。

 

170513e

 

これで完成しました。それでは今回は終わりにします ☆彡

 

      (追記 179字 ; 合計 986字)

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物体の衝突、運動量保存法則、はねかえり係数~物理の問題と解き方6

問題文を書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要問題

集』シリーズ、第6弾。約半年ぶりになってしまったが、今回も数研

出版が集めた受験問題を解説してみよう。

    

これまでの5本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事は色々あ

るし、数学カテゴリーには多数の記事がある。アクセスは地味に続

いてるので、それなりの需要はあるようだ。

    

 等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング~物理1

 運動の法則、浮力、物体の連結と分離~物理2

 動滑車、摩擦力(静止・動)、バネの弾性力~物理3

 等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星~物理4

 単振動、ばね振り子、水平ばね2本~物理5

     

今回は第6章、運動量の保存(p.36~)のA問題から3問。

いつものように、式や説明などはすべて私が書いたもの。

読みやすさと入力環境のため、小文字を大文字に変えた

り、添え字を小文字に変えたりしてるが、言葉遣いは元の

ままだ。

  

   

     ☆        ☆        ☆

 54 (一直線上の衝突) 関西学院大

  

 なめらかな水平面上をx方向に運動する2つの球A、Bが

 向心衝突した。A、Bそれぞれの衝突前の速度をVa、

 Vb、衝突後の速度をUa、Ub、質量をMa、Mbとする。

    

 (1) 反発係数(はねかえりの係数)eを上の記号を

    用いて表せ。

 (2) Va=26m/s、Vb=8m/s、Ma=0.4kg、

    Mb=1.8kg、e=0.8としてUa、Ubを求めよ。

 (3) この衝突によって失われた力学的エネルギー

    ΔEを計算せよ。

 (4) 失われた力学的エネルギーは何に変わったか。

   

   

      ☆        ☆        ☆

 解答

 (1) 定義式より、 

   e = -(Ua-Ub)/(Va-Vb) ・・・答

    

 (2) 反発係数の定義式より、

    0.8=-(Ua-Ub)/(26-8)

    ∴ -Ua+Ub = 14.4 ・・・①

    また、運動量保存則より、

    0.4×26+1.8×8=0.4Ua+1.8Ub

    ∴ 2Ua+9Ub=124 ・・・②

    ①②の連立方程式を解いて、

     Ua=-0.5 m/s,

     Ub=13.9 m/s ・・・答

    

 (3) ΔE={(1/2)×0.4×26²+(1/2)×1.8×8²}

  -{(1/2)×0.4×(-0.5)²+(1/2)×1.8×13.9²}

       =18.9 (J) ・・・答

    

 (4) 熱エネルギー、音のエネルギー、

    球の変形のエネルギー ・・・答

  

   

 (解説・感想)

  全くの基本問題で、小数や分数の計算ミスに注意すれば

  よい。数値がキレイに出ないし、有効数字も不明だが、

  (2)の問題文から、小数第1位までと考えておいた。2ケ

  タで答えても、ほとんど減点はないはず。

  

    

      ☆        ☆        ☆

 55 (走る台車からの打ち上げ) 上智大

   

 水平面上に固定されたなめらかなレール上を、質量

 500g(弾丸を含む)の台車が2.0m/sの速さで

 走っている。時刻t=0に、この台車から100gの

 弾丸を、水平面上の観測者から見て、鉛直方向から

 30度後方に向けて12m/sの速さで打ち上げた。

 弾丸が上昇して再びレール上に落下した瞬間の台車

 と弾丸との距離はいくらか。ただし、重力の加速度

 9.80m/s²、√3=1.73とする。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 解答

170502a_va_vix

    

 発射後の台車の速さを x m/sとする。

 水平方向の運動量保存則より、右向きを正として、

  0.5×2.0=0.4x+0.1×(-12×sin30°)

 ∴ 1=0.4xー0.6   ∴ x=4 

   

 また、弾丸の鉛直方向の初速は、

 12×cos30°=6√3=10.38

   

 鉛直方向・上向きを正とし、時刻t(>0)における

 位置が0とおいて、

 10.38t-(1/2)×9.8×t²=0

 ∴ 10.38=4.9t   ∴ t=2.12

   

 これが弾丸落下時の時刻だから、求める距離は、

 (台車の右向き移動距離)+(弾丸の左向き移動距離)

 =4×2.12+(12×sin30°)×2.12

 =10×2.12

 =21.2 (m) ・・・答

  

    

 (解説・感想)

 水平面上から台車の上の面までの高さが書いてないから、

 ゼロと解釈。問題文が3ケタの数字になってるから、tは

 4ケタで計算する方がいいかも知れないが、おそらく問題

 作成者でさえ3ケタで計算してるはず♪

 弾丸の打ち上げ角度を、水平方向に対して30度だと誤解

 しないように。。

   

    

     ☆        ☆        ☆

 56 (床との衝突 東京水産大

   

 高さ10mの所から、ボールを静かにはなして床に落とし

 たら、衝突してはね上がり、6.4m(最高点)までもどった。

 このあと再び床に落ちてはね上がることをくり返した。重力

 加速度を9.8m/s²とする。

    

 (1) はねかえりの係数を求めよ。

 (2) 手をはなしてから、床ではね返り、6.4mの最高点

    に達するまでにかかる時間を求めよ。

 (3) 2回目に床に衝突する直前の速度と直後の速度を

    求めよ。

 (4) 何回かくり返しているうちに、最高点はしだいに低く

    なるが、最高点が3.0mに達しないのは何回目の

    衝突のあとか。

   

   

     ☆        ☆        ☆

 解答

 (1) 衝突直前の下向きの速度を x m/sとすると、

     速度、加速度、距離の関係式より

     x²-0²=2×9.8×10

     ∴ x=14

     衝突直後の上向きの速度を y m/sとすると、

     0²-y²=2×(-9.8)×6.4

    ∴ y=11.2

    よって、 速度ゼロのまま動かない地面に関して、

    (はねかえりの係数)

      =-(11.2-0)/(-14-0)

      =0.8 ・・・答

    

 (2) (落ちる時間)+(上がる時間)

    =14/9.8+11.2/9.8

    =2.6 (s) ・・・答

    

 (3) 下向きを正とすると、

    (2回目の衝突直前の速度)

    =(1回目の衝突直後の速度の符号を逆にしたもの)

    =-11.2 (m/s) ・・・答

   (2回目の衝突直後の速度)

    =-(衝突直前の速度)×(はねかえり係数)

    =-11.2×0.8

    =-9.0 (m/s) ・・・答 

   

 (4) 上向きを正として、

    (3回目の衝突直後の速度)

    =(2回目の衝突直後の速度)×(はねかえり係数)

    =9.0×0.8

    =7.2 (m/s)

    最高点の高さをhとすると、

    0²-7.2²=2×(-9.8)h

    ∴ h=51.84/19.6 < 3 (m)

    よって、3回目の衝突のあと。 ・・・答

   

    

 (解説・感想)

 鉛直方向のはね返りの問題では、速度計算する時の符号の

 プラス・マイナスに注意する必要がある。

   

 2回目以降の衝突の計算では、はねかえり係数の定義式を

 使うのは省略した。もし時間があれば、真面目に定義に従う

 ところだが、多くの受験生は省略すると思う。

    

 (4)の問題文は、おそらく「はじめて3.0mに達しない

 のは・・・」という意味だろうと解釈した。文字通りに読むと、

 答は、「n回目の衝突(n≧3)」とかだろう♪

    

    

やはり、物理の記事は入力が大変だなと思いつつ、それでは

今日は この辺で。。☆彡

    

                    (計 2650字)

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米国の大学院入学テスト「GRE」2~言語的推論の問題(読解、数学の応用)

先日、米国の大学院に入るためのテスト「GRE

Graduate Record Examinations

:大学院進学適性試験)について書いた記事は、英語が

読める人にとっては簡単なものだろう。制度変更前のテストに関

する、簡単なサンプル問題を1問解いただけだ。

      

しかし、今日の記事は英語が読める人にとっても、ちょっと考えさ

せられる問題だと思う。

   

レベル的には、日本の大学入試センター試験の現代国語(評論)

や数学と同程度か、ハイレベルな高校の入試問題くらいだから、

英語のネイティブの大卒にとっては普通かも知れない。ただ、英語

を母国語としない人達にとっては、緊張するレベルの問題のはず。

   

それでは、公式サイト一般(General)テストの問題パターン

の1つとして紹介されてる、

verbal reasoning problem

(言語的な推論の問題)を1問だけ解説してみよう。専門テストと

は違って、一般的な教養を見る問題だ。

         

1949年からGREを運営するETS

(Educational Testing Service: 

教育試験サービス)のHPから引用させて頂いた。

国際交流のためにも、悪しからずご了承を。。

   

   

      ☆        ☆        ☆

170403a

   

丁寧な直訳は避けて、やや大まかに翻訳しておく。

   

 「政策作成者はジレンマに直面せざるを得ない。

  化石燃料はまだエネルギー源として不可欠だが、

  二酸化炭素で地球環境に悪影響を与えてしまう。

  現在の科学技術では、二酸化炭素を取り出して

  地底や海底に隔離すると、発電コストが2倍になる。

  しかし、送電コストは変わらないから、結局、

  電気代はせいぜい50%の上昇に留まる。

  より良い技術の研究でコストは更に下がるはずだ。

   

   

      ☆        ☆        ☆

それでは第1問。複数の選択肢から正しい1つを選ばせる問い。

   

170403b

   

上の文章は、現在の発電コストについて、以下のどれ

 意味しているか?」。

   

全部説明すると長くなってしまうので、正解だけを説明しておこう。  

元の発電コストが、電気代の半分を占めるとする。二酸化炭素の

隔離でこの部分が2倍になり、残り半分のコスト(送電)は元のまま

変わらないから、

    

  (0.5×2)+0.5=1.5

  

つまり、元の電気代の1.5倍、すなわち50%増になる。

  

問題文では、電気代はせいぜい50%増と書いてるから、元の発電

コストは電気代の半分以下ということ。よって、答はC

  

不等式できっちり書いて解くのなら、単位あたりの電気代をaとし、

発電コストの割合がx%として、次の通り。

   

 a×(x/100)×2+a×(100-x)/100≦1.5a

 ∴ 2x+(100-x)≦150

 ∴ x≦50 

   

   

      ☆        ☆        ☆

続いて、いくつか(1つ、または複数)の選択肢を選ばせる問い。

   

170403c

  

隔離を拡大すると、やがて次のどの結果になると示唆されてるか?」。

   

選択肢Aは、化石燃料の燃焼が二酸化炭素を出さなくなると書いて

るから、誤り。選択肢Cは、発電設備が次第に化石燃料を消費しなく

なると書いてる。これは引っ掛けで、常識とかイメージ的に正しいと

思ってしまいがちだけど、問題文にそこまで示唆されてないから誤り。

   

一方、選択肢Bは、電気代に占める発電コストの割合が上昇した

後、下降すると書いてある。隔離で短期的に上昇するけど、技術開

発が進んで下降するということで、問題文が示唆してると考えられる。

  

以上より、答はBのみ

   

   

     ☆        ☆        ☆ 

最後は、問題文の段落の中から、一つの文を選ばせる問い。

  

170403d_2

    

隔離の結果として予想されたかも知れない結果は、なぜ

 発生しないのか。それを説明する文を選べ」。

   

分かりにくい書き方だが、要するに、「二酸化炭素を隔離しても

電気代がそれほど上昇しないのはなぜか」を説明する文を選べ

ばよい。

  

よって、4つの文の3番目、「But because ・・・」が答

なぜかを説明する文だから、「because」だけ見ても答え

られるかも♪

    

    

     ☆        ☆        ☆

これ以外にも、まだまだGREの問題はあるし、私が先日の記事

執筆の際に見つけた論文の話はまた別にある。アクセスは少なく

ても、私自身にとって興味深いので、いずれまた記事を追加する

つもりだ。

    

ちなみにこの問題文、トランプ大統領はあまり喜ばない主張かも♪

今日のところはこの辺で。。☆彡

   

   

     

cf. 米国の論理パズル

   ~大学院入学テスト「GRE」のサンプル問題(英語) 

      

                     (計 1766字)

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米国の論理パズル~大学院入学テスト「GRE」のサンプル問題(英語)

(☆11日後の追記: 少しレベルの高い新記事を追加した。

  「GRE」2~言語的推論の問題(読解、数学の応用) )

   

   

     ☆          ☆          ☆

これから書く記事内容とは直接関係ないけど、私はここ最近、色々

な用事に追われてる内に、10年に1回も無いような失敗をしてし

まったらしい。

   

ついさっき気付いて、事後処理に追われるハメになってる。普通の

人の感覚だと大した事ないだろうけど、個人的には大ショック。これ

から夏に向けて数ヶ月は引きずることになりそうだ。

    

というわけで、今夜はマニアックな数学系記事をじっくり書いてる

場合ではない。ただ、こちらも以前から先延ばしにしたままのこと

だから、最低限の内容をアップしとこう。またいずれ、追加の記事

を書くと思う。既に、もう少しレベルの高い問題を扱った英語論文

を発見してある。

          

この種の話を日本語で書いてもアクセスは僅かだろうけど、私自

身が興味を持ってるし、勉強にも脳トレにもなるから構わない。

    

     

     ☆        ☆        ☆

さて、このブログは総合サイトだから、理数系の記事もかなり入っ

てて、論理パズル系の記事も10本くらいある。特に、朝日新聞・

土曜朝刊の別刷beに時々載ってる「推理」については丁寧に解説

して来た。

   

それと似た問題が、米国の大学院に入るためのテスト「GRE

Graduate Record Examinations

:大学院進学適性試験)に出てるという話を聞いて、検索をかけ

ると、ピッタリ来る問題がなかなかヒットしない。    

    

英語版ウィキペディアと日本語ウィキのごく簡単な情報によると、

GREには2002年まで、「Analytical Ability

 section」と呼ばれるセクションがあって、論理パズル

みたいな問題などで分析能力をチェックしてたようだ。

   

ところが2002年10月、制度や問題形式が変更されたらしい。

その後は、常識などを含めた総合的な推論能力を問う問題と、

算数・数学の問題に分かれて、純粋な論理的問題の類はほぼ

消えたのかも知れない。

   

とにかく、とりあえず今日は、制度変更前の問題らしきものを僅か

に発見できたので、それを紹介&解説してみよう。正直、出典が付

いてないし内容も乏しい商業サイトではあるけど、以下のサンプル

問題についてはおそらく信頼していいと思う。

    

 cf. GradMentor(Crack GRE Test)

   

   

     ☆        ☆        ☆

以下、日本語訳はかなり大まかな直訳なので、悪しからず。問題

を理解して解くだけなら、この程度の和訳で十分だと思う。明らか

な入力ミスがあるので、私の判断で修正した。解答は私が執筆。

    

170323a

     

あるゲームにおいて、6コのカップが逆さまになって、一列に並

んでる。それぞれの下には、1コのボールが隠されてる。カップ

には1から6まで、番号が付いてる。ボールはそれぞれ1色で

塗られてる。ボールの色は、緑、マゼンタ(赤紫)、オレンジ、紫、

赤、黄色。ボールは、以下の条件を満たすように隠されてる。

    

   

170323b_2

   

紫のボールは、オレンジのボールよりも小さな数のカップに

隠されてる。赤のボールはマゼンタのすぐ隣に隠されてる。

緑のボールは5番のカップの下に隠されてる。

  

   

     ☆        ☆        ☆

170323c

  

問1. 1番から6番までの色としてあり得るのは、次のどれか?

 (A) 緑、黄色、マゼンタ、赤、紫、オレンジ

 (B) マゼンタ、緑、紫、赤、オレンジ、黄色

 (C) マゼンタ、赤、紫、黄色、緑、オレンジ

 (D) オレンジ、黄色、赤、マゼンタ、緑、紫

 (E) 赤、紫、マゼンタ、黄色、緑、オレンジ

   

   

(解答) 緑は5番だから、(A)(B)は論外。

 また、赤はマゼンタの隣だから、(E)もあり得ない。

 さらに、紫はオレンジより小さい番号だから、(D)も不適。

 一方、残った選択肢の(C)はすべての条件を満たしている。

 よって、あり得るのは(C)。 ・・・答

   

   

(補足) もちろん(C)は「あり得る(could be)」順番であって、

論理的には単なる十分条件。つまり、必要条件ではない。別の

可能性(十分条件)としては、例えば「紫、赤、マゼンタ、オレンジ、

緑、黄色」が挙げられる。

   

   

     ☆        ☆        ☆

170323d

   

問2. もしマゼンタのボールが4番のカップの下にあるなら、

   赤のボールが隠れたカップの番号は、

 (A)1 (B)2 (C) 3 (D)5 (E)6

   

  

(解答) 4番のマゼンタの隣にある赤は、3番か5番のはず。

 この内、5番は緑だから、赤は残る(C)3番。 ・・・答

  

  

(補足) この答えは、論理的には単なる必要条件である。

 全ての条件を満たすためには、紫、オレンジ、黄色の順番

 も絞ることになる。

  

 ちなみに、朝日新聞・beのパズル「推理」の答えは全て、

 必要十分条件となってる。

   

   

     ☆        ☆        ☆

中学生以上の普通の日本人が、日本語の問題文を読むなら、あ

まりの簡単さに驚く所だろう。米国の大学院の入学テストなのに、

小学校の算数レベルだから。中学の入試問題としても簡単。

   

ただ、時間はあまり無いのでスピードが要求されるし、この前後に

載ってる他の問題は、これほど簡単な論理パズルではない。興味

のある方は上のリンクに飛んでお試しあれ。それらを英語で読ん

で解くのは、結構大変だと思う。英語圏以外からの留学生にとって

は、問題の理解だけでも難関だろう。

    

あと、「アメリカの大学は、入るのは簡単、出るのは難しい」という

のは、よく聞く話。大学院も似たようなものなのかも知れない。

   

    

     ☆        ☆        ☆

私は以前、米国の超有名大学に留学してた日本人に、あちらの数

学の教科書みたいな本(たぶん高校生用)を見せてもらったことが

ある。日本なら、明らかに小学校4年とか5年レベルの問題が並ん

でたけど、その人は難しくてよく分からないと言ってた。ちなみに、

文系の話なら、かなり難しくても分かるらしい人だ。

    

もちろん、米国人より日本人の方が賢いとは言いにくいし、活躍し

てるとも言いにくい。教育や学力のレベルや良し悪しを総合的に

判断するのは、意外なほど難しいことだと思う。理系と文系の溝も

かなりある。

    

だからこそ、日本の教育界も試験制度も延々と揺れ動いてるの

だろう。なお、GREの運営は、1949年からETS

(Educational Testing Service: 

教育試験サービス)が行ってる。

     

今日のところは、この辺で。。☆彡

   

    

   

cf. パズル「推理」、小学生向けの解き方2(朝日be、難易度5)

  『アインシュタイン式 子供の論理脳ドリル』、問題の解き方

          

                   (計 2517字)

       (追記 56字 ; 合計 2573字 )

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パズル「推理」、小学生向けの解き方2(ニコリ作、朝日be、難易度5、17年2月18日)

このブログでは6年半前に、朝日新聞のパズル「推理」(すいり)

の記事を3本書いてます。

   

 1本目  2本目  3本目

     

ただ、内容が大人向けだし、パソコン向けだったので、去年

の秋には、子供向けにカンタンに解説(かいせつ)しました。

難易度(なんいど)4、☆4コの問題で、スマホ向けの書き方。

小学5年生でもわかると思います。

     

今回は、難易度5、☆5コの問題を解説します。このブログ

の記事にたくさんのアクセスが入ってるので、むずかしかっ

たんでしょう。

   

スマホ向けの書き方ではありませんが、スマホを横にすれ

ばたぶん、フツーに読めると思います。大人の方には、む

かしの記事もおすすめします。考え方やコツのようなもの

を色々と書いてます。

     

ニコリの「推理」と同じようなものは、「アインシュタイン式 

脳ドリル」とか呼ばれてるようです。これについては1年

ほど前に、子ども向けの記事を書いてます。

   

   

   ☆     ☆     ☆

では、今回の問題。須山(すやま)、瀬川(せがわ)、久

保田(くぼた)、林、水野の5人が別々の物を買いまし

た。値段もすべて別。5人の話はこんな感じです。

ウソつきはいません(たぶん♪)。

     

 須山   ボクが買ったのは歯ブラシじゃない。

 瀬川   水野が買ったのはカイロじゃない。

久保田  私はマスクの人より20円高い物を買った。

  林   私は消臭剤(しょうしゅうざい)を買った。

       250円ではない。

 水野  ボクは歯ブラシより30円安い物を買った。 

    

170220a

   

まず、須山と瀬川の話から、上の表のように書けます。

   

170220b

    

次に、久保田の話から、上のように書けます。これが第一

のポイント。久保田はマスクを買ってません。また、マスク

が180円で久保田が200円か、マスクが230円で

久保田が250円か、どちらか。

   

だから上のように、×印を書けます。×よりも、〇をたくさ

ん書きたくなるかも知れませんが、おすすめしません。ほ

かの場所の〇の意味まで、あいまいになるからです。

   

きっちりと論理的(ろんりてき)に、筋(すじ)を通して問題

を解くようにすれば、算数や国語、コンピューターの勉強

にも役立ちます。

   

   

    ☆        ☆        ☆ 

170220c

   

さらに、林の話から、上のように書けます。林は消臭剤し

か買ってないし、他の人は消臭剤を買ってないから、

〇の上下左右に×印をたくさん書けるのです。

     

では、いつものように、ここで記事を中断しましょう。こ

の続きは明日(21日)の昼ごろに少し書くつもりです。

なるべく自分でがんばってください。

   

   

     ☆     ☆     ☆

1日たったので、続きに入ります。

   

170221a

  

水野は歯ブラシより30円安い物だから、歯ブラシは買っ

てないし、180円、230円、250円ではありません。

また、歯ブラシは150円、200円、250円ではありま

せん。だから、上のように黒い×印を書けます。

  

次が一番むずかしいところ。すぐには何も書けないので、

たとえば、久保田が200円の場合と250円の場合を

分けて考えてみます。

  

上図では、久保田が200円の場合について、それぞれ

のマス目の左上に小さく〇やバツを書いてます。この後、

続けて書いて行って、もし全部うまくいけば正解。失敗す

れば、久保田は250円ということです。

   

今日が応募の締(し)め切りなので、もうこれ以上は書き

ません。最後は、土曜日にもう少し説明します。

それでは。。  

     

    

     ☆        ☆        ☆

では、土曜のお昼になったので、続きの解説を書きます。

   

170225a

  

もし久保田が200円だとすると、上図のように進んで、

青い四角の所がおかしなことになってしまいます。

水野はマスクで150円のはずなのに、マスクは180円

となってるからです。話が矛盾(むじゅん)してます。

   

だから、久保田が200円の場合は間違い。久保田が

250円の場合が正しいことになります。もちろん、問題

そのものがまちがってなければ♪

   

170225b

    

   

     ☆        ☆        ☆

あとはもう、少しずつ進めて行くだけ。

   

170225c

    

上図の左下を見ると、250円は歯ブラシではないことが

わかります。だから左上で、久保田は歯ブラシではない

書けるのです(×印)。すると、瀬川が歯ブラシになります。

   

ここから先はもう簡単だから、説明は省(はぶ)きましょう。

ここまでの説明を参考(さんこう)にして、自分の手で書き

こんでみてください。見るだけでは、力はつきません。

   

170225d

   

170225e

     

170225f

     

170225g

    

170225h

    

170225i

   

結局、質問の答え、消臭剤の値段は200円です。

それでは。。☆彡

     

                   (計 1454字)

      (追記 406字 ; 合計 1860字)

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Google超難解パズルの解き方2~画像破損の十六進法表示以外♪

半月前、次の記事をアップしたら、予想通り、マニアック過ぎてほと

んど読む人がいなかった (^^ゞ アクセス数自体もかなり少ないし、

熱心に読んでることが分かるアクセスも非常に少ない。

   

 Googleの超難解パズルの解き方

      ~プロの開発者への暗号挑戦状

   

それでも、ひょっとしたら数ヶ月以内に誰か、理数系男子が残りの

解説を希望して来るかな・・・とは思ってたけど、まさか常連さんの

女性からリクエストが入るとはネ♪  

     

実は内心、もし希望者が登場しても、「後は自分で頑張ってくださ

い」と返答する予定だった(実話・・・笑)。しかし女子だと話は別♪

たまたま昨日、女性に対する紳士のたしなみを記事にした所だ

し、予定変更で、残りの謎の6~7割くらいを解説してみよう。

   

   

     ☆        ☆        ☆

以下、前回の記事の続きで、第4問。

   

170211a

   

これは「caves」と名づけられた画像で、下半分が「破損」

(corrupt)してる。ここでは圧縮したけど、元のデータは、

1224×918の24ビットJPEG画像だ。

   

この破損画像そのものを読み取るのか、あるいは、破損させて

る原因のデータを何とか取り出して読み取るのか、私にはそれ

さえ分からない。それでも、ネット情報によると十六進法表示と

いう話だったから、一応あれこれ試してみた。しかし、残念なが

ら、今の私には、次の正解らしきものにたどりつけないのだ。

   

170211i

  

2ケタの16進数がズラッと並んでて、2ケタ目はほとんど

2か3だから、同じような色だということかも知れない。

とにかく、これを例のアスキーで変換すると、次のような

アスキーアートもどきになる。アドバイスまで付いて♪

「数字はスゴイよ。カウントしてごらん」。

    

170211b

   

   

     ☆        ☆        ☆

この意味もかなり分かりづらいけど、多分こう考えるんだと思う。

   

左上の「1」がスタート地点で、右下の「9」がゴール地点。この

途中は、直前の数字の分だけ、上下左右いずれかの方向に

進んで、試行錯誤する。例えば、最初の3つは次の通り。

  

170211c

   

1から、下に1進んで、4。次に、4から、右に4進んで2。

もちろん、組合せは多数あるけど、ゴール地点が決まってて、

途中で緯度・経度を表すように進むから、ただ1通りの進み方

しかない(多分♪)。途中のピリオドやコンマも大切なヒント。

    

170211d

   

左上から、赤、青、赤、青・・・の順にカウントしながら進めば、

確かに右下の9にたどり着く。途中の数字を並べると、19番

のタイの北緯・東経になるのだ。

   

  14.2981, 101.2189

    

   

      ☆        ☆        ☆

いよいよ最後。チェス盤の画像が登場。

  

170211e

  

この画像には、次のような情報が付いてる。

   

170211j

  

最初の長くて変な名前は、base64(下に書いてくれてる)

というコードで書かれたもので、アスキーにデコード(変換)

すると、「Where have you been?」。

あなたは今までどこにいた?

    

170211k

   

というわけで、BRAZIL、ENGLAND、POLAND、

THAILANDという4つの地名を思い出す。これらのアル

ファベットを、チェス盤の4つの段に書かれた数字に従って

変換するのだ。

   

   

     ☆        ☆        ☆

170211f

   

最初のBRAZILについては、次のようにアルファベットを

ズラして、「LINE」へと変換する。

     

170211g

     

他の3つの地名も同様に変換すると、結局こうなる。

  

170211h

   

というわけで、ここまで来ると、プロの開発者にはお馴染みらしい。

順番を入れ替えて、つなぎ合わせると、

  

 SHORELINE AMPHITHEATRE

  

「最初からそう書けよ!」と突っ込みたくなる、グーグルの本拠

地みたいなイベント会場になって、めでたしめでたし♪

カリフォルニアの本社(Googleplex)のすぐ隣りだ。

    

170211l

      

最後は、偉大なる骨折り損のくたびれ儲けに対して、グーグル

のお褒めの言葉が贈られる。副賞は無し♪(たぶん)

      

170126b

   

よくやった、探検者。よくやった、マニアック・ブロガー♪

これで後は、破損画像を十六進数へと解読できればおしまい。

10年以内には何とかしたいね(笑)

    

Google本社の方、読んでたら、お褒めのコメントよろしく♪

「テンメイ」検索でウチを1位に戻してくれるだけでもOK(笑)

   

せめて英語で書けば、多少の読者はいるんだろうな・・とか

思いつつ、それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

                     (計 1714字)

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三角形の相似と比の応用~開成中学2017入試・算数・問題3

今日、2017年2月4日の朝日新聞の朝刊に、2017年

開成中学校の入試問題(算数)が出てました。解答例(最後の答

だけ)はSAPIXの提供です。試験は2月1日にあったようです。

   

3番の図形の問題が面白かったので、計算や解き方、考え方

をブログの記事にしてみます。小学生(5年、6年)でも読める

ように書いてるつもりですが、解き方は小学校や塾と少し違っ

てるかも知れません。

   

あと、問題文は少しカンタンにしてあるので、もとの問題をその

まま読みたい人は、ネットで検索すればすぐに出てきます

(四谷大塚HPとか)。

    

   

     ☆        ☆        ☆

(1) 下図で、四角形ABCDとABEFは長方形。GEの長さ

   が1cm、DFが9cmのとき、xの長さは?

  

170204a

  

 (解答) まず、BEの長さは x cm。

     また、三角形の相似より、

     GE : AF = BE : DF (=EH : FH)

     よって、 1:x = x:9

     つまり、 1/x = x/9

     x × x=9   

     したがって、 x=3 (cm) ・・・ 答

   

   

     ☆        ☆        ☆

(2) A地点とB地点の間に一本道がある。阿部君はAからBに

   向かって、分速50mで進む。馬場君はBからAに向かって

   一定の速さで進む。

   

   2人は同時に出発。Bから250mの地点ですれ違った。

   また、阿部君がBに着いてから46分12秒後に、馬場君

   はAに着いた。下図は、出発からの時間とA地点からの

   道のりの関係を示す。すれ違うまでにかかった時間を

   y分とすると、yの値は?

   

170204b

  

  

 (解答)  (1)に合わせて、下図のように書いて考える。

170204c

    

 阿部君は分速50mだから、すれ違った地点から

 Bまでの250mに5分かかる。

 その後、馬場君がAに着くまで、46分12秒、つまり

 46.2分かかるから、上図で

 DF=5+46.2=51.2

  

 あとは(1)と同じように、三角形の相似を使って、

 GE : AF = BE : DF

 5 : y = y : 51.2

 5/y = y/51.2

 y × y = 256   

 よって、 y=16 (分) ・・・ 答 

    

    

      ☆        ☆        ☆

(感想) 図を見ると、AGとBDが直角に交わってるような

    気がしてしまいますが、そうとはかぎりません。

    そもそも(1)だと、縦(たて)の長さは書いてません。

    (2)だと、縦と横は単位が違うから、長さを比べら

    れません(mと分)。

     

    だから、(1)も(2)も、横の長さだけで比の式を

    作って解くことになります。

   

    最後の答の数字だけでなく、途中の計算なども

    採点するようなので、(2)を解くときは、(1)と

    ピッタリ合わせるべきでしょう。だからこそ、点A

    と点Bは同じ場所になってました。

  

それでは今日はこの辺で。。☆彡

   

   

   

cf. ランニング(5人のリレー)の距離計算

          ~桜蔭中学2015入試・算数

   3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間の計算

          ~桜蔭中学2016入試・算数

       

                     (計 1117字)             

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データ分析(散布図、共分散、相関係数、箱ひげ図)~2017センター試験・数学ⅠA・第2問

体調不良で2週間遅れになったが、今年もセンター試験の数学の

データ分析を解説してみよう。去年と一昨年の記事は次の3本。

    

 データ分析(相関の強弱,変数変換と共分散)

      ~2016センター試験・数学ⅠA・第2問

 データ分析(四分位数、箱ひげ図、相関係数~2015センター数学

 データ分析2~2015センター追再試験・数学ⅠA・第3問

        

高校数学ではまだ目新しい分野だが、去年とほぼ同じ問題構成に

なってたから、勉強しやすいとも言える。求められてる能力が固定

されてるということか。

  

ちなみに数学ⅠAの確率と国語については、すぐに記事をアップ

してある。国語は小説中心だが、評論にも触れてある。

   

 くじ引きの順序は無関係、条件付き確率

         ~2017センター試験・数学ⅠA・第3問

   

 「春」の純粋さと郷愁が誘う涙、野上弥生子『秋の一日』

           ~2017センター試験・国語

   

   

      ☆        ☆        ☆

では、2017年のセンター数学Ⅰ・A、第2問〔2〕。グラフ

と図だけは河合塾HPからコピペさせて頂いた。毎年の事なが

ら、大学入試センターHPにはなかなか問題が掲載されない。

以前から、大手予備校中心の情報公開になってる。

  

以下、問題文や選択肢は私が短く省略して書いたものなので、念

のため。正解を求めるだけなら、十分だと思う。

     

 スキーのジャンプは、飛距離D(m)から得点Xが決まり、空中

 姿勢から得点Yが決まる。ある大会のジャンプ58回を考える。

   

 (1) 得点X、Y、飛び出し速度V(km/h)について、

    次の3つの散布図(図1)を得た。

    読み取れることとして正しいのは?

      

170128a

  

 (正解)  

  選択肢1  XとYの間には正の相関がある。

  選択肢  Yが最小のジャンプは、Xは最小ではない。

  選択肢  Yが55以上かつVが94以上のジャンプはない。

   

 (解説) 選択肢の1が正しいのは、3枚目の散布図が右上

       がりになってることから分かる。選択肢4が正しい

       のは、3枚目の散布図の左下あたりで分かる。

      

       選択肢1は、普通の見方やテレビ解説とかなら、

       「キレイな飛び方だと距離が伸びる」

      といった話になるが、数学だととりあえず正の相関

      を認めるだけ。さらなる考察へと進むことになる。

    

      選択肢6は散布図2の右上より。普通の言い方なら

       「スピードが速いと飛型をまとめにくい」

      とかいう話になるだろう。実際はむしろ、

      「飛び方が下手な選手はスピードを出すのが上手」

      ということかも知れない。

    

        

     ☆        ☆        ☆

 (2) 得点Xは、飛距離Dから次の計算式で算出される。

     X=1.80×(D-125.0)+60.0

    

    Xの分散は、Dの分散の ( ソ ) 倍になる。

    XとYの共分散は、DとYの共分散の ( タ ) 倍になる。

    ただし共分散は、2つの変量のそれぞれにおいて

    平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として

    定義される。 

    XとYの相関係数は、DとYの相関係数の ( チ ) 倍。

   

 (正解)

    ソ ・・・ 選択肢4 (3.24倍)

    タ ・・・ 選択肢3 (1.80倍)

    チ ・・・ 選択肢2 (1倍)

  

 (解説) 去年とほぼ同じ、 y=a x+bのタイプの変数変換。

      ここでは、 X=1.8D-165。

      すると、分散の定義式より、Xの分散はDの分散の

      (1.8)² になる。

      つまり、3.24倍。一般には、a² 倍。

     

      一方、XとYの共分散だと、Xの偏差だけが1.8倍に

      なって、もう片方のYの偏差は元のまま。

      よって、1.8倍。一般には、a倍。

      

      最後に、相関係数は変わらない。一般に、1倍。

      実際、公式を確認すると、

      相関係数

        =共分散 / {√(Xの分散)√(Yの分散)}

      分子が1.8倍になる一方、分母も√3.24倍、つまり

      1.8倍になるから、割り算で約分されて、1倍になる。

   

   

 (3) 58回のジャンプは、29名の選手が2回ずつ行ったもの。

    1回目の合計得点X+Yのヒストグラムと、2回目のヒスト

    グラムは、図2のA、Bのいずれか。

    また、1回目のX+Yに対する箱ひげ図と2回目の箱ひげ

    図は、図3のa、bのいずれか。

    ただし、1回目のX+Yの最小値は108.0。

    

170128b

   

170128c

  

 1回目のX+Yの値について、ヒストグラムと箱ひげ図の

 組合せとして正しいものは、 ( ツ ) である。

 また図3から読み取れることとして正しいものは ( テ )。

   

 (正解) 

   ツ ・・・ 選択肢0 (Aとa) 

   テ ・・・ 選択肢1 (1回目のX+Yの中央値は、

          2回目のX+Yの中央値より大きい)

    

 (解説) 1回目の最小値が108だから、Aとaになる。

     Bとbだと、最小値が100~105の間になってる。

     1回目の方が、風が良かったということだろう。

      

     また、箱ひげ図の箱(長方形部分)の中にある縦線

     の位置が中央値を示すので、a、つまり1回目の中

     央値の方が大きい。

   

     a(1回目)の縦線が、b(2回目)の縦線より右側に

     あるということ。

     ちなみに中央値とは、第二四分位数。データを小さい

     方から並べた時の中央になる値で、平均値ではない。

   

    

      ☆        ☆        ☆

なお、スキーのジャンプについては、5年前の全国学力テストで

奇妙な「模範解答」が示されて、当サイトで詳細に批判。いまだに

アクセスが地味に続いてるので、おかしいと思った人が少なくない

のだろう。

       

  全国学力調査2012・中学数学B、

     スキー・ジャンプの問題(原田vs船木)

    

流石に今回のセンター試験では、おかしな点はない。中学と高校

の差だろうか。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

         

                     (計 2150字)

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