テンメイのＲＵＮ＆ＢＩＫＥ

　　　津波で死んだ妻の幻への情愛～柳田国男『遠野物語』第９９話

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆

最後に、昨夜の走りについて。やたら熱くて、ノドも渇くから、今まで避けて

た体温測定を渋々と実行。高い体温を見ると気力が失せるから、普段は

避けてるのだ。現実逃避とか現実否認というのは、必ずしも悪いわけじゃ

ない。減量の辛さを聞かれたボクサーが「大丈夫」と答えるのは、ありがち

なことだろう。ただ、今夜は妙に熱っぽかったし、微熱がかなり長引いてる

気もするから、試しに測ってみたわけ。

電子式なのに、しっかり１０分ワキに挟んで取り出すと、「３７．０」度。う～

ん、３６．８度か３６．９度だと思ったけどな。いや、この僅かな違いは大き

いのだ。３７．２度とかになると、もう寒気がして来る。ま、今も暑いのに寒

いけどネ (^^ゞ

とはいえ、足はそれほど重くないし、ノドの腫れも治まってるから、少しス

ピードを出すことに決定。公園２周目から口呼吸でハーハーゼーゼー。そ

のくせ、たかが１ｋｍ４分半ペースを切るのが精一杯だったけど、まあ心肺

に負荷をかけるトレーニングと考えれば、そこそこ意味はあった。トータル

では１ｋｍ４分３５秒ペース。う～ん、先日のハーフ２１．１ｋｍと同レベル。

イマイチか、イマニか。。左足ふくらはぎは相変わらず痛いけど、右膝はか

なり回復した感じだ。

今夜はたぶん、時間が無くて走れないし、明日も土曜出勤だから苦しいか

も。ま、その場合は日曜日に頑張るとしよう・・・とか言いつつ、夜はドラマ

『南極大陸』を見なきゃいけないのか。義務って所が笑えるかも (^^ゞ　総

合マニアック・ブロガーというものは大変なのだ。放射線の話もしなきゃい

けないし、キムタク＝木村拓哉ファンへの気遣いもしなきゃいけない♪　走

るだけなら超～ラクなのになぁ・・・とボヤいた所で、それではまた明日 ☆彡

　　往路（２．４５ｋｍ）　１２分３１秒　　　　心拍１３０　

　　１周（２．１４ｋｍ）　　１０分１０秒　　　　　　　１４７　　　　　　　　　

　　２周　　　　　　　　　　　９分４３秒　　　　　　１５２　　　　　

　　３周　　　　　　　　　　　９分３４秒　　　　　　１５７

　　４周　　　　　　　　　　　９分２９秒　　　　　　１５８

　　５周　　　　　　　　　　　９分４４秒　　　　　　１５７

　　６周　　　　　　　　　　　９分３１秒　　　　　　１５９

　　７周（０．２６ｋｍ）　　　１分１８秒　　　　　　１５９

　復路　　　　　　　　　　１０分２８秒　　　　　　１５５　　　　

計　１８ｋｍ　１時間２２分２６秒　　心拍平均１５１　最大１６５（ゴール前）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３０７８文字）

2011年10月14日 (金) 07時30分ランニング, 物理, 社会 | 固定リンク | コメント (0)
Tweet

津波の物理学～浅い海、水面波の波動方程式と速度

ＰＣデータのバックアップをするために、外付けＨＤＤの周囲を片付けてたら、

たまたま津波の簡単な説明が目に留まった。問題形式で、与えられた式３

本から波動方程式を導き、津波の速度を求めるというもの。解説文は無い

し、私も流体力学の計算は久々だったから、まず自力で解くのに手間取っ

た後、参考書を引っ張り出して来て、一応の理解に到達した。

まったく予定外のことだけど、折角だから記事にまとめとこう。使った参考

書は標準的なもので、恒藤敏彦『弾性体と流体』（岩波書店）。参照箇所は

主として、ｐ．６３～７０（連続の方程式とオイラー方程式）と、ｐ．１５８～１６０

（水面の波；　浅い場合）だ。ただし、私の判断や計算で、大幅に加筆修正

してある（重要な式は元のまま）。また、時間の余裕が無いので、図は手書

きで済ませておいた。悪しからずご了承を。。

なお、０８年１月に書いた福山雅治『ガリレオ』関連の記事は、以下の議論

と密接に関係しており、数学的には、以前の記事の方がややレベルが高い。

手書きだらけで読みにくいのは恐縮だが、一応リンクを付けとこう。

　　ｃｆ．　『ガリレオ』第５話、波動方程式の導出と一般解

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、津波というのは、沖合での波長（隣り合った波の間隔）が１００ｋｍと

か非常に長く、高さはたかが数十ｍなので、物理学的には、「浅い海」で

の「水面」波として扱われる。海底までの水深は数ｋｍレベルだから、波長

に比べると浅い。しかし、津波の高さはこれより遥かに低いから、水面だ

けの波として考えられるのだ。

既にこれだけでも、非常に大まかな「近似」が行われている（この場合は

グループ分け）。数学と比べた時、物理の大きな特徴は、この種の大まか

な近似を多用すること。その近似が妥当かどうかは、比較的気にしないが、

必要なら数学を援用するし、近似で求めた結果を観測その他と比べてチェッ

クすることになる。

水の波のような流体の運動を扱う時の基本は２つ。まず、「連続の方程式」

とか「連続の式」などと呼ばれる法則で、簡単に言うと、「ある領域における

ものの増加＝流入」ということだ。何かが増えるとは、それが流入したこと。

逆に、何かが減るとは、流出したことだ。増減には必ず流れがある。

これをまず、（増加）＝（流入）と書いて、変形すると

　　　　　　　　（増加）－（流入）＝０。

流入と流出は単なる符号（プラス・マイナス）の違いと考えられるから、

　　　　　　　　（増加）＋（流出）＝０

こう書き直すと、左辺の和が常に０に保存されてる形になってるから、大ま

かに「保存則」とも言われる。例えば、道で１００円拾ったとしよう。すると手

持ちの増加は１００円。また、流「入」した金は「＋１００円」だから、流「出」

した金は「－１００円」。この時、増加＋流出＝１００円＋（－１００円）＝０。

こうゆう基本的な話なのだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この話を津波に当てはめてみよう。図のｘ方向に進行し、ｚ方向に上下す

110915b

　　る波を考える。

　　ｙ方向（図に垂直

　　な方向）には一様

　　な波とする。つま

　　り、図の奥側や手

　　前側にも、全く同

　　じ形の波が続いて

　　るという意味で、

　　実際に津波の映像

　　を、進行方向の真

　　横から見ても、ほ

ぼそんな感じのはずだ。

波の高さは、ｘ（水平方向の位置）とｔ（時間）の関数ｈ（ｘ，ｔ）と考えられる。

要するに、岸からどれだけ離れてて、時刻は何時何分何秒か、この２つの

条件で波の高さは決定するという話なのだ。

110915c

　　今、図の赤くて非

　　常に薄い部分に注

　　目しよう（厚さｄｘ、

　　奥行きｗ、高さは

　　ｈ₀＋ｈ）。水の密

　　度、つまり単位体

　　積当たりの質量を

　　ρ（ロー）とすると、

　　　（赤い部分の水の質量）＝（密度）×　（体積）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　ρ　×（ｈ₀＋ｈ）ｗｄｘ

よって、（単位時間あたりの質量の増加）＝ρ ｗｄｘ・（∂ｈ／∂ｔ）

一方、水のｘ方向の運動速度をＶｘ（ｘ，ｔ）とすると、高さは約ｈ₀と近似して、

　　（単位時間あたりに流出した水の質量）

　　　　　　　　　　＝ ρ×{（右側面からの流出）－（左側面からの流入）}

　　　　　　　　　　≒ ρ { Ｖｘ（ｘ＋ｄｘ，ｔ）ｈ₀ ｗ－Ｖｘ（ｘ，ｔ）ｈ₀ ｗ }

　　　　　　　　　　＝ ρ { Ｖｘ（ｘ＋ｄｘ，ｔ）－Ｖｘ（ｘ，ｔ） } ｈ₀ ｗ

　　　　　　　　　　≒ ρ（∂Ｖｘ／ ∂ｘ）ｄｘ・ｈ₀ ｗ　　　　　（一次近似を利用）

よって、連続の方程式より、単位時間当たりの増加＋流出はゼロだから、

　　　　ρ ｗｄｘ・（∂ｈ／ ∂ｔ）＋ρ（∂Ｖｘ／ ∂ｘ）ｄｘ・ｈ₀ ｗ＝０

　　　∴　∂ｈ／∂ｔ＋ｈ₀ （∂Ｖｘ／ ∂ｘ）＝０　　　

両辺をｔで偏微分して、∂²ｈ／∂ｔ² ＋ｈ₀ ∂（∂Ｖｘ／∂ｘ）／∂ｔ＝０

　　　∴　∂²ｈ／∂ｔ² ＋ｈ₀ ∂（∂Ｖｘ／∂ｔ）／∂ｘ＝０　・・・・・・①

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、連続の法則と並ぶ流体力学の基本は、「運動の法則」とも呼ばれる

オイラー方程式。詳しい説明は省略するが、要するにニュートンの運動方

程式、「力＝質量×加速度」の応用だ。

ｘ方向とｚ方向だけ考え、圧力Ｐ（ｘ，ｚ，ｔ）、微小体積ｄＶ、重力加速度ｇとして、

　　　　－（∂Ｐ／∂ｘ）ｄＶ＝ ρｄＶ（∂Ｖｘ／ ∂ｔ）

　　　　－（∂Ｐ／∂ｚ）ｄＶ－ρｇｄＶ＝ ρｄＶ（∂Ｖｚ／∂ｔ）　　

　∴　－∂Ｐ／∂ｘ＝ ρ （∂Ｖｘ／ ∂ｔ）　・・・・・・②

　　　　－（∂Ｐ／∂ｚ）－ρｇ＝ ρ（∂Ｖｚ／∂ｔ）　・・・・・・③

いま、津波は主にｘ方向に動くから、③の右辺の∂Ｖｚ／∂ｔ（ｚ方向の速

度変化）は無視してゼロとすると、

　　　　－（∂Ｐ／∂ｚ）－ρｇ＝ ρ×０

　∴　　∂Ｐ／∂ｚ＝－ρｇ

ｚで積分して、Ｐ（ｘ，ｚ，ｔ）＝－ρｇｚ＋ｆ（ｘ，ｔ）　・・・・・・④

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｆはｘとｔの関数で、ｚについては定数）

ここで、「境界条件」として、ｚ＝ｈ（波の一番上）では、水圧Ｐ＝大気圧Ｐ₀

と考える（表面張力は無視）。すると④より、

　　　　Ｐ（ｘ，ｈ，ｔ）＝－ρｇｈ＋ｆ（ｘ，ｔ）＝Ｐ₀

　∴　ｆ (ｘ，ｔ)＝Ｐ₀＋ρｇｈ

④に代入して、ｆを消すと、Ｐ＝－ρｇｚ＋Ｐ₀＋ρｇｈ

これを②に代入、Ｐを消して計算すると、

　　　－ρｇ ∂ｈ／∂ｘ＝ ρ ∂Ｖｘ／∂ｔ

∴　∂Ｖｘ／∂ｔ＝－ｇ∂ｈ／∂ｘ　・・・・・・⑤　　（Ｖの話をｈの話で表す操作）

⑤を①に代入してＶを消すと、

　　　∂²ｈ／∂ｔ² ＋ｈ₀ ∂（－ｇ∂ｈ／∂ｘ）／∂ｘ＝０

　∴　∂²ｈ／∂ｔ² －ｇｈ₀ ∂²ｈ／∂ｘ² ＝０

　∴　∂²ｈ／∂ｘ² －（１／ｇｈ₀） ∂²ｈ／∂ｔ² ＝０　・・・・・・⑥

⑥は非常に有名な、一次元の波動方程式の形である。一次元とは、波の高

さｈがｘ（と時間ｔ）だけで変化して、ｙやｚとは関係ないという意味だ。こ

の波動方程式で表される波は、ｘ方向の速度「√ｇｈ₀」を持つことが知られて

いる（例のガリレオ記事における解を参照）。やや意外かも知れないが、水

深ｈ₀ が深い方が、波は速いのだ。

従って、遥か沖、水深の深い太平洋で発生した津波は、超高速で岸に向かっ

て来る。太平洋の平均の水深を約４０００ｍとすると、

　　　　ｇｈ₀ ＝９．８×４０００≒４００００　（ｍ²／ｓ²）

　∴　√ｇｈ₀ ＝ √４００００＝２００　（ｍ／ｓ）

つまり、秒速２００ｍだから、３６００倍して、時速７２００００ｍ＝７２０ｋｍ。

新幹線の３倍程度のスピードで、この値がウィキペディアに掲載されている。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、参考書のコラム「コーヒーブレイク」には、面白い余談（？）もある。

波が岸（つまり浅瀬）に押し寄せるに連れて、スピードは下がり、波長が縮

まって、高さは増す。この時、もはや「水面波」ではなくなるから、上で使っ

たような比較的簡単な議論は出来ないが、そこを無理して使ってみる。

すると、波の山の一番上は、波の高さの分だけ、下の方より「水深」が増

すから、スピードが大きいことになる。だから、葛飾北斎の浮世絵みたい

110915

　に、波は頭から

　崩れるのだ。。

　ちなみに図は、

　ウィキメディア・

　コモンズから拝

　借したもので、

　富嶽三十六景・

　「神奈川沖　浪

　裏」。昔は、富

士山の５倍の大波もあったようだ♪

今のところ、私には、この大まかな議論が正しいのかどうか分からない。

その筆者も、「無理をして」、「・・・であろう」と推測してるに過ぎないのだ。

まあでも、面白くて、一応の筋が通っていて、他に有力な代案も見当たら

ないので、しばらくはそう思っておくことにしよう。

波動方程式を導く考えも含めて、物理学的説明というものは一般に、大な

り小なり、そういった性格のものだと思ってる。それで「通常」はかなり上手

く行くのだ。「想定外」の事態は別として。。では、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　震災後の青空文庫で人気、寺田寅彦『津浪と人間』

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３３８４文字）

2011年9月15日 (木) 23時44分数学, 物理 | 固定リンク | コメント (2)
Tweet

外部被曝におけるベクレルとシーベルトの計算式（ｂｙＩＡＥＡ）

時間に追われる中、前から引き延ばしにしたままの放射線記事を、軽く書

き上げておこう。原発事故から５ヶ月半経っても需要の多い話、ベクレルと

シーベルトの関係だ。

この問題については、３月半ばにアップしたロングセラー記事、「シーベルト、

グレイ、ベクレル～放射線・放射能の単位について」で扱って以降も、度々

言及して来たが、ベクレル（放射能）とシーベルト（放射線量、正確には実

効線量）の「物理的な関係式」（吸入や飲食を除く）については、一度も書

いてなかった。と言うのも、今の日本の状況だと、あまり実用的な話では

ないからだ。実際、マスメディアで正確に報じられることも（ほとんど）ない。

たとえば、当サイトへの検索アクセスを見てると、「○○ベクレルは何シーベ

ルトか？」といった質問文をよく見かける。これが、「○○ベクレルの放射性

物質を体内に取り込むと何シーベルトの『内部』被曝なのか」という意味なら、

かなり実用的な話で、もちろん当サイトでも度々書いて来た。身体の内部

で、長時間、至近距離から放射線を浴びることが避けられないからこそ、

重要な問題なのだ。

例えば、Ｃｓ１３７（質量数１３７のセシウム）なら、関係式は次の通り。

　Ｂｑ（ベクレル数）×０．０１３（実効線量係数）＝μＳｖ（マイクロシーベルト）

ただし、こうして求めたシーベルトは、成人が飲食した場合の５０年分の

被曝量（経口摂取による預託実効線量）で、子供だと別だし（年齢に応じて

不規則な変化）、１年分なら少し減る（以前のセシウム牛肉の記事を参照）。

ベクレルに掛け合わせる実効線量係数は、ヨウ素１３１なら０．０２２、セシ

ウム１３４なら０．０１９が、現在よく使われてる数字だ（別の説については、

以前のシーベルト記事参照）。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それに対して、「○○ベクレルは何シーベルトか」という質問が『外部』被曝

に関するものなら、多くの市民にとって、ほとんど実用性はない。これはた

とえば、セシウム牛肉の「売り場」を通り過ぎるとどれだけの放射線を浴

びるか、というような話で、あまりに小さい値だからだ。そうでなければ、テ

レビでいわゆる「ホットスポット」（空間線量が異常に高い場所）の測定な

ど、気軽にするはずはない。

ただ、原発事故の現場処理の作業者とか、福島県の一部地域の住民に

とっては、小さい値とは限らないし、純粋に物理的・科学的な興味を持つ

人もいるだろう。あるいは、一部には、福島から来た人や物に近づくと危

ないような気がしてる人もいるようだ。心情的な側面もあるだろうが、正

確な知識があれば、そういった誤解や偏見を持つこともないと思う。

そこで、以下では、信頼できる公の文書を参照して、外部被曝における

ベクレルとシーベルトの関係を解説し、具体的に計算してみよう。ポイン

トは、放射性物質との距離、接近時間、遮蔽物（普通は空気）、これら３

つの要素だ。いわゆる距離の「逆二乗法則」、たとえば距離が３倍にな

れば線量は９分の１になるといった話を、厳密に定式化したものだと言っ

てもいいだろう。ちなみに逆２乗法則の基本的な話については、３月に

既に記事をアップしてある。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　☆　　

出典は、ＩＡＥＡ（国際原子力機関）の２０００年の文書、「放射線緊急事

態時の評価および対応のための一般的手順」（Generic Procedures

for Assessment and Response during Radiological Emergency）。この

日本語訳が、国の唯一の研究機関とされる放射線医学総合研究所に

よって、ｐｄｆファイルで公開されている。英語原文も簡単にダウンロード

可能だが、以下では基本的に邦訳を使用し、英語原文は補助的に示

すことにしよう。

全１８５ページの本格的文書の中盤、８１ページから始まる「セクション

Ｅ　線量評価」の冒頭は、総実効線量を求める簡単な足し算になってる。

邦訳に続いて、参考までに原文も挿入しておこう。まさか著作権を問われ

ることはないと確信している。

110826a

110826a2

要するに、全放射線量＝外部被曝＋内部被曝（呼吸＆飲食）という当た

り前の話だ。ここから、「外部放射線からの実効線量」（つまり外部被曝）

を求める話へと移行する。もっとも基本的な、「点状線源」（狭い空間に集

まった放射性物質）の場合、その関係式は、次の通りだ。

110826b

110826b2

これを見ると、線量はベクレル数（Ａ）や被曝時間（Ｔ）に比例し、距離（Ｘ）

の２乗に反比例してるのが分かるだろう。表Ｅ１の換算係数というのは、

Ｃｓ１３７の場合、６．２×（１０の－８乗）。Ｃｓ１３４なら、１．６×（１０の

－７乗）、Ｉ（ヨウ素）１３１なら、３．９×（１０の－８乗）だ。

また、「半価層」とは、線量を半分（０．５）にしてくれるような遮蔽物の厚み

のことで、物の種類によって異なるが、表Ｅ２で「大気」の項目を見ると、

Ｃｓ１３７なら０（ゼロ）とされている。これは０．９９ｃｍ未満という意味だから、

多めに１．０としとけば十分だ。式の右上、「０．５」の部分は、遮蔽の効果

を示している。例えば半価層の３倍の「遮蔽厚」の遮蔽物があれば、０．５

の３乗倍、つまり０．１２５倍（＝１／８）まで線量が減ることを示すわけだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　

では最後に、具体的な外部被曝の実効線量を計算してみよう。４０００ベ

クレル（＝４ｋＢｑ）の放射能を持つ牛肉から１ｍ（＝１００ｃｍ）の場所に、

６分（＝０．１時間）いたとすると、上の公式を用いて、次のように計算で

きる。公式の指定に合わせた単位の取り方に、注意して頂きたい。

110826c2

これは要するに、ほとんどゼロということだ。この計算で大きい役割を果た

してるのは遮蔽の部分で、これを考え合わせるなら、線量は距離の逆２乗

よりも更に小さいことになる。ただし、これについては元の文書に、「遮蔽

は考慮できるが過小評価になるかも知れない」といった内容の話や、「遮

蔽を無視するためには遮蔽厚をゼロに設定する」という文も書かれてる。

そこで、遮蔽を無視して計算し直すと、２．５×（１０の－５乗）μＳｖ、

つまり、０．００００２５マイクロシーベルトとなって、ほんの僅かに意味の

ある数字となる。とはいえ、セシウム牛肉を大量に取扱った業者でさえ、

この１０万倍程度の被曝だろうから、ほとんど実害は無いはずだ。

なお、原発の事故現場では、放射性物質が空気中（つまり身体のすぐ近

く）に大量に浮遊している可能性があるので、距離や遮蔽厚はゼロに近

づくし、ベクレル数も桁違いに上がる。すると、実効線量は数ミリ～数百

ミリシーベルトの危険域にまで達してしまうわけだ。もちろん、外部被曝以

外に、吸入による内部被曝も相当あるだろう。したがって、高性能な防護

服（つまり遮蔽物）に身をつつみ、時間を短く制限することになる。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　☆　　　　

「ベクレル　危険度」とか、「ベクレル　危険値」といった感じの検索アクセ

スがよくあるが、ベクレルの値だけでは、危険かどうか分からない。放射

性物質の種類、距離、時間、遮蔽物に応じて、個別に計算・判断する必

要があるのだ。放射線の話は、きわめて定量的なものであって、しかも

計算の多くは単純な算数レベル。今こそ、目を背けず、みんなが正面か

ら向き合うべき事だろう。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　被曝する年間放射線量すべての計算方法（自然・医療、外部・内部、屋外・屋内）

　　久々に涼しい１日＆放射線量の「ホットスポット」など

　セシウム牛肉、食後１年間での内部被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）

　　津波の物理学～浅い海、水面波の波動方程式と速度

　　放射性ラジウムその他と崩壊系列＆３７度微熱ラン

　　放射線被曝のがんリスクを帳消しにする運動量の計算など

　　福島のスギ花粉の放射能による内部被曝の計算式（ｂｙ林野庁）

　　朝日の甲状腺被曝８７ミリシーベルト報道の意味～実効線量と等価線量

　　ＷＨＯ（世界保健機関）による被曝線量の推定（全国、年代・経路別）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３７８０文字）

2011年8月26日 (金) 20時24分医学・医療, 物理, 環境 | 固定リンク | コメント (0)
Tweet

放射性物質の半減期、壊変定数、質量（重さ）～微分方程式の初歩など

これから書く内容は、かなり前から準備が出来てたけど、数式の入力に時

間がかかるから、ずっと先延ばしにしてたものだ♪　今、自転車その他に

時間をかけてるので、Ｗｏｒｄで長い数式を入力して微調整する気にはなれ

ない。そこで、とりあえず手書きでアップしとこう。後で余裕が出来たら、ワー

ドで打ち直すかも知れない。

　（☆追記：　さっそく翌日、Ｗｏｒｄ入力への変更を実施。）

大震災以降、ウチでは原発・放射線関連の記事を多数アップして来たけど、

まだ書けてない話も沢山ある。今日アップするのは、分かりやすくまとめるな

ら、放射性物質の半減期（物理学的）と質量に関する解説だ。主要な部分は、

何も見ずに自分で導いて解いたが、念のために色々とチェックはしてある。

110818b

　例えば、『現代物理学小事典』（講談社）、

　『第１種放射線取扱主任者試験　徹底研

　究』（オーム社）、『改訂版　高等学校　物

　理ⅠＢ　（教科書）』（数研出版）だ。すべ

　て個人的な所有物なので、証拠として写

　真を小さく載せとこう。他にも、参考書と

　か英語版ウィキペディアとか見ている。

110818a

　放射線関連の話について、今現在まず理

　解しとくべき事は、ベクレルとシーベルトだ

　ろう。ウチでも早くから色々と書いてるけど、

　一般人にとっては、「ベクレル」の方がより

　奇妙な言葉＝概念だと思う。

　ありがちな説明だと、放射能（＝放射線を

出す性質）の単位ということになってるけど、実際にはもっと単純に、放射

性物質の量を示す目安として使われてる。それなら、どうして「ｋｇ」や「ｇ」

といった質量（いわゆる重さ）の単位を使わないのだろうか。

110818c

　　おそらくそれは、質量よりも放射能で表

　　す方が実用的だからだろう。何ｇある

　　のかという事より、どれだけの放射線

　　を出すのか。これが問題だから、１秒

　　に１回、放射性崩壊によって放射線を

　　出す性質を１ベクレルと呼ぶわけだ。

　　ちなみに、ベクレル（Ｂｅｃｑｕｅｒｅｌ）とは

　　放射能の発見者とされるフランスの

　　科学者の名前で、１９０３年、有名

なキュリー夫妻と共に、ノーベル物理学賞を受賞している。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、半減期と質量とベクレルの関係だけなら、ほとんど「算数」のレベル

で済んでしまう。それだと、簡単過ぎて私も退屈だし、数学系の常連読者

の方々も、パスする人が多いだろう♪　ブロガーとして興味深いことに、数

学系の読者は、物理系の記事をパスすることが目立つのだ。アクセス解

析から、すぐに読みとれる。

そこで、以下ではまず、壊変定数（ｏｒ崩壊定数： dｅcay constant）と呼ば

れるものを用いて、微分方程式を導入して解く。次に、その解を、壊変定数

の代わりに半減期を用いて書き直し、最後に、与えられたベクレル数から、

元の放射性物質の質量を計算してみよう。

物理学史の正確な流れをまだチェック出来てないが、おそらく話の始まり

は、「放射性崩壊の法則」とか呼ばれるものだと思う。つまり、「放射性物質

の崩壊（＝壊変）の速度は、その時に存在する物質量に比例する」というも

のだ。これは、ごく限られたデータから実験的に求めた法則だが、物理学で

はしばしば、そこから一般的な数式を仮定する。つまり、数学的な仮説を導

入して、その後の展開が上手くいけば、「仮説は実証された」と考えるわけだ。

110819b

　　　　　崩壊の法則から仮定した数式

　　　　　は左の通りで、微分を含んだ

　　　　　方程式だから、微分方程式と

　　　　　呼ばれてる。Ｎは、時刻ｔにお

ける原子数。λ（ラムダ）が壊変定数だ。最初の式の左辺が、崩壊または

壊変の速度で、それが右辺と等しいのだから、その時の原子数Ｎに比例

することになる。λが比例定数の役割を果たしてるわけだ。二番目の式、

「ｄＮ／ｄｔ＝－λＮ」の方がよく見かける気がするので、以下ではこちら

を基準に解くが、マイナス記号は左辺か右辺のどちらかにあればよい。

　（☆補足：ブリタニカ百科事典のサイトなどによると、この辺りの理論は、

　　　　　　　　ラザフォードとソディが１９０２年から０３年頃に築いたものらし

　　　　　　　　い。後にそれぞれ、ノーベル化学賞を受賞している。）

これを、一昔前の高校の数学Ⅲレベルで、丁寧に解いてみよう。今現在は

微分方程式は教えてなくて、映画『ガリレオ　容疑者Ｘの献身』の天才数学

者（犯人）・石神（堤真二）も残念がってた（９６年の高校３年生以降）。

Ｎ≦０の場合は、物理的に無意味なので、Ｎ＞０という前提条件で、微分方

程式を解くと、下の通り。∫（インテグラル）記号を用いた不定積分では、ｔ

からＮへの置換積分を用いてある。大学レベルなら、「変数分離形」として、

ビミョーに異なる扱いをする所だ（結果は同じ）。ちなみに、「ｌｏｇｅＮ」とは、

ｅ≒２．７１８（ネイピア数）を何乗したらＮになるかを表す数。Ｎの自然対数

と呼ばれるもので、「ｌｎ　Ｎ」と略記することもある。

110819c

Ｎがｔの式で表せたから、これでほぼ解けてる。あとは、初期条件と呼ばれ

110819d

　　　　　るものを用いて、右辺の

　　　　　ジャマな「ｅのｃ乗」を

　　　　　消せばいい。ｔ＝０、つ

　　　　　まり「初期」の原子数を

Ｎ₀ とすると、微分方程式の最終的な解、「Ｎ＝Ｎ₀×（ｅの－λｔ乗）」が

決定する。

ここでＮの半減期をＴとすると、時刻Ｔにおいて、原子数ＮがＮ₀の半分に

110819a2

　　　なるのだから、

　　　λとＴの関係は

　　　左の通り。

　　　λＴ＝０．６９３

　　　だから、λとＴ

　　　の一方が分かれ

ば、他方は簡単に求められる。

このλとＴの関係式を用いて、前に書いた微分方程式の解からλを消し、

代わりにＴを使うと、次の通り。最後の式、「Ｎ＝Ｎ₀×（１／２のｔ／Ｔ乗）」

は、非常に有名で簡単なもので、高校１年の教科書にも太字で掲載され

てた（ただし両辺をＮ₀で割った形）。

110819e

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では最後に、ベクレルの値から、放射性物質の質量（グラム数）を求めるこ

とにしよう。ここ最近、食品の内部被曝でよく話題になってるのがＣｓ１３７

（セシウム１３７；数字は「質量数」）で、数百Ｂｑ（ベクレル）とか数千Ｂｑと

いった数字がよく出てるから、以下では、１０００Ｂｑのセシウム１３７の質

量を求めてみる。

110819f

　　　　ベクレル数とは、ｔ＝０

　　　　（初期）における崩壊

　　　　速度（ｏｒ速さ）だから、

　　　　この記事の序盤に書い

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　た微分方程式でｔ＝０

の時を考えて、１０００＝λＮ₀ となる。

ここで、λ＝０．６９３÷（半減期）。セシウム１３７の半減期は３０年だから、

ベクレルの時間単位である「秒」に直して計算すると、

　　　λ＝　０．６９３÷（３０×３６５×２４×３６００）

また、初期の原子数Ｎ₀は、初期の質量ｘ（エックス）を用いて次のように

書ける。セシウム１３７がもし１３７ｇあれば、原子数は「１モル」、つまり

６．０２×（１０の２３乗）個であることを用いた簡単な算数だ。６．０２×

（１０の２３乗）というのはアボガドロ定数と呼ばれるもので、より簡単に

６．０とする場合もあるが、ここでは６．０２で計算しておく。

　　　　　　Ｎ₀ ＝（ｘ／１３７）×６．０２×（１０の２３乗）　　　

したがって結局、以下のようにｘ (エックス)を計算できる。

110819g

答は、３．１１グラムの１００億分の１♪　つまり、ものすごく微小な量であっ

て、いちいち飲食物の放射能を測定するのがいかに大変な作業なのか、

想像できるだろう。人間には見ることも触ることも出来ない、僅かな量が問

題なのだ。高価で高性能の計測器を使って、正確に測定する必要がある。

なお、放射性物質のベクレル数から質量を求める式を一般的に書くと、

次のようになる。「質量数」とは、物質の質量という意味ではなく、上のセ

シウム１３７なら１３７のこと。その核種（＝原子核の種類）における、陽子

と中性子の個数の和だ。

　　　質量（ｇ）＝ { ベクレル数×半減期（秒）×質量数 }

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷（０．６９３×６．０２×１０²³ ）

逆に、質量からベクレル数を求める式は、以下の通り。

　　　ベクレル（Ｂｑ）＝ { 質量（ｇ）×０．６９３×６．０２×１０²³ }

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　÷ { 半減期（秒）×質量数 }

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　被曝する年間放射線量すべての計算方法（自然・医療、外部・内部、屋外・屋内）

　　久々に涼しい１日＆放射線量の「ホットスポット」など

　セシウム牛肉、食後１年間での内部被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）

　　津波の物理学～浅い海、水面波の波動方程式と速度

　　放射性ラジウムその他と崩壊系列＆３７度微熱ラン

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３８３８文字）

2011年8月18日 (木) 23時58分数学, 物理 | 固定リンク | コメント (0)
Tweet

セシウム牛肉、食後１年間での内部被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）

放射線の被曝量の計算については、先日のまとめ記事を始めとして、これ

までに何本も記事を書いてるし、先日の牛肉セシウム事件の後にも、新た

な話を追加する必要はないと思ってた。ただ、かなり前に書いた生物学的

半減期や有効（ｏｒ実効）半減期に関する記事へのアクセスが急増してるし、

今の所、細かい具体的計算を新聞・ネット等で見る機会はほとんどない。

そこで、これまでの話の応用編として、新たに記事を書くことにしよう。主た

る目的はただ一つ。この牛肉を食べた人が、「今後１年間に」受ける内部

被ばくの計算だ。もちろん、既にあちこちに書かれてる話（実効線量係数

を使った単純な掛け算）は、今後５０年間に被曝する線量（預託実効線量）

であって、今後１年間だけの分ではない。

大まかな結論から言うと、今後５０年間の被曝線量と、今後１年間の被曝

線量は、あまり変わらない。つまり、最初の１年で急激に放射性物質が

減少するから、残りの４９年間はほとんど関係ないのだ。

それは、簡単な算数と図でイメージ的に説明できなくもないけど、正確に

は高校３年の数学（数Ⅲ）の「定積分」が必要になる。とはいえ、高校２年

の数学（数Ⅱ）の定積分がよく分かってれば、話の流れは十分理解でき

るだろう。つまり、理系・文系に関わらず、高卒レベルの話であって、専門

家も専門書も必要ないのだ。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆

まず、最低限の事実の確認から。７月１４日までに各メディアで発表され

たニュースによると、最もセシウム汚染が進んだ牛肉で、４３５０Ｂｑ／ｋｇ

の放射能濃度だった。安全のために、多めに見て、これを１ｋｇ食べた人

がいたとすると、摂取したセシウムは４３５０Ｂｑ（ベクレル）となる。

このセシウム（Ｃｓ）の中に、Ｃｓ１３７とＣｓ１３４がどれだけの割合で入っ

てたのか、発表には示されてないが、仮に半々としてみよう（違う割合で

も計算・結果ほぼ同じ）。すると、それぞれ２１７５Ｂｑの摂取となる。つまり、

それぞれ１秒間に２１７５個の原子（核）が崩壊して、放射線を出すわけだ。

原子１個の崩壊から、平均してどれだけの内部被曝が生じるかは、セシ

ウムの種類ごとに違っている。そこで今、Ｃｓ１３７が１個崩壊するごとに、

平均してｐマイクロシーベルト（μＳｖ）、Ｃｓ１３４の場合はｑマイクロシー

ベルトの内部被ばくが生じるとしておく（計算の最後にｐ，ｑは消える）。

また、物理学的半減期と生物学的半減期の両方を考慮して求めた、実

効半減期（以前の記事を参照）については、Ｃｓ１３７が約１／５年（＝７３

日）、Ｃｓ１３４が約１／４年（≒９１日）と考えて良さそうだ。あちこちに、

微妙に異なる実効半減期（あるいは生物学的半減期）が、ほとんど根拠

なしに書かれてる状況だが、自治体ＨＰや英語版ウィキペディアも含めて、

大まかに一致した期間になってるから、１／５年と１／４年でいいと思う。

もちろん、計算や結果を単純にするための配慮にすぎない。

気になる人は、以前の記事で説明した公式を使って、物理学的半減期

と生物学的半減期のデータから計算すればいい。要するに、両方の掛け

算を両方の足し算で割った値（「和」分の「積」）だが、人間の排泄という曖

昧なものが関わるし、年齢によってもかなり違うから、７３日と７０日の違

いとか、細か過ぎる区別には意味がないのだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それでは、Ｃｓ１３７とＣｓ１３４に分けて、被曝線量を計算してみよう。

１年＝２４時間×３６５日＝８７６０時間＝８７６０×３６００秒＝３１５３６０００秒。

よって、３１５３６０００を文字ａとおくことにすると、５０年なら５０ａ秒、半減

期１／５年ならａ／５秒と表せることになる。これは、時間の単位をベクレ

ル（１秒あたりの崩壊個数）と同じく「秒」にするという事だ。　

　（１）　Ｃｓ１３７について

　　　　単純に、経口摂取の実効線量係数０．０１３を使って５０年分を計算

　　　　すると、

　　　　　　０．０１３×２１７５ ≒ ２８．３（μＳｖ）

　　　　これが５０年（＝５０ａ秒）の放射線の定積分だから、下の式が成立。

　　　　ちなみに、指数（１／２の右肩）の５ｔ／ａとは、ｔ÷（ａ／５）という意味。

　　　　ｌｏｇ２とは、２の「自然対数」で、ｅと呼ばれる数（約２．７１８）を何乗

　　　　したら２になるかを示す定数だ。約０．６９３のこと。

110714a

　　　　上の式の最後の等号（＝）は、正確には近似の記号（≒）だが、ほとん

　　　　ど誤差はない。よって、１年分なら次のように、５０年分の３１／３２

　　　　（つまり１－１／２⁵）、したがって２７．４μＳｖとなる（ｐもａも消える）。

110714b

　　（２）　Ｃｓ１３４について。

　　　　　　単純に、経口摂取の実効線量係数０．０１９を使って５０年分を

　　　　　　計算すると、

　　　　　　　　　０．０１９×２１７５ ≒ ４１．３（μＳｖ）

　　　　　　ここから、Ｃｓ１３７の時と同様に考えると、１年分なら５０年分の

　　　　　　１５／１６（つまり１－１／２⁴）となる（ｑもａも消える）。

　　　　　　∴　（１年分）＝４１．３×１５／１６ ≒ ３８．７（μＳｖ）

　　以上、（１）（２）より、今後１年間に内部被曝する放射線量の合計は、

　　　　　　２７．４＋３８．７＝６６．１（μＳｖ） ≒ ０．０６６（ｍＳｖ）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この０．０６６ミリシーベルトという値は、厳しく見積もった年間基準値の

１ミリシーベルトと比べても１／１５に過ぎないから、これ以上摂取しなけ

れば、健康の心配はまず無いと言える。ただし、食べ物や飲み物は毎日

必ず一定量摂取するものだから、政府・自治体、生産者、販売者、消費

者、みんなが今後、相当な注意を払い続けないと危険だろう。

この記事で示したかったのは、１年分の被曝量の計算方法。要するに、

実効半減期を１／ｃ年として定積分すれば、５０年分の被曝量と比べて

１－（１／２のｃ乗）倍になるということだ。ヨウ素やセシウムの場合、こ

の値は１より少し小さい程度。つまり、実効線量係数の掛け算で求めた

５０年分の値が、ほぼ今後１年間の被曝線量だと考えてよいということ

なのだ。

では、今日はこの辺で。。☆彡

　被曝する年間放射線量すべての計算方法（自然・医療、外部・内部、屋外・屋内）

　　久々に涼しい１日＆放射線量の「ホットスポット」など

　　外部被曝におけるベクレルとシーベルトの計算式（ｂｙ　ＩＡＥＡ）

　　津波の物理学～浅い海、水面波の波動方程式と速度

　　朝日の甲状腺被曝８７ミリシーベルト報道の意味～実効線量と等価線量

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３１０３文字）

2011年7月14日 (木) 19時04分医学・医療, 数学, 物理 | 固定リンク | コメント (9)
Tweet

被曝する年間放射線量すべての計算方法（自然・医療、外部・内部、屋外・屋内）

（☆７月１４日追記：　セシウム汚染牛肉に関する計算記事をアップ。

　セシウム牛肉、食後１年間での被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）　）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

人間が生きていく中で、あまりに基本的過ぎて忘れがちな事が２つある。

１つは、何かを信用すること。もう１つは、リスクを取ることだ。この２つは

密接につながるものでもある。と言うのも、信用するということは、裏切られ

るリスクを取ることだし、逆にリスクを取ることは、リスクの推定に関わる色

んなものを信用することだからだ。

東日本大震災＆福島第一原発事故以来、情報が激しく対立・錯綜する中、

何を信じて、どれだけのリスクを取るかは結局、各個人、各自治体、政府

など、それぞれの主体に応じて違って来る。ただ、いずれにせよ、出来た方

がいいのは、自らに関する数値データの計算だ。

健康に影響する放射線被曝量というものが、それぞれの人や場所でかな

り違うことが分かって来た以上、自分の生活に関するデータを自分で処理

できた方がいいのは当然だろう。もしそれが出来なければ、実質的に無意

味な数値だけ見て右往左往するか、あるいは誰か他人の（大まかなｏｒ信

頼性の低い）話を信じるしかなくなってしまう。

そこで今回は、自分の年間被曝量をどう計算すればいいのか、その全体

をまとめてみよう。一つ一つの話はあちこちにあるが、これほどまとまった

形の解説は、現在なかなか見当たらないと思う。以下、朝日新聞の報道（特

に６月１９日の別刷ＧＬＯＢＥ）と、独立行政法人（国立）・放射線医学総合

研究所ＨＰ（以下、放医研）を主たる参考資料として、具体的に見て行こう。

ただし、単なる請け売りではなく、独自の突っ込んだ見方も示してあるし、

数値設定もかなり変えてある。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆

まず、意外にまだ、実質的には知られてない話から確認しておこう。被曝

には、自然放射線と人工放射線（医療＆その他）があって、この内、普通

１ｍＳｖ（ミリシーベルト）とされてる年間基準値に関わるのは、その他の人

工放射線だけだということだ。

自然放射線については、あちこちに世界の年間平均値２．４ｍＳｖが書か

れてるけど、日本では１．４ｍＳｖとされてるらしい（朝日１９日）。同じ朝日

でも、５月１１日の特集では１．４８ｍＳｖとされてたが、ほとんど同じ値だし、

新しい方の１．４ｍＳｖ＝１４００μＳｖ（マイクロシーベルト）を採用しよう。

１年は、２４時間×３６５日＝８７６０時間。

　　∴　（１時間の自然放射線）＝１４００÷８７６０ ≒ ０．１６μＳｖ　　

世界のデータを見ると、この内の８分の３弱が外部被曝と推定されるから、

　　　（１時間の自然放射線の外部被曝）＝０．１６×３／８＝０．０６μＳｖ。

実際には、朝日も放医研も、（東京の値として）０．０５μＳｖを採用してい

る。要するに、事故前の平常値という意味で、ほぼ０．０６と同じ値だから、

以下でもこの０．０５μＳｖという値を採用して、屋外の計測データから差し

引くことにしよう。繰り返すが、自然放射線は元々浴びてたものだから、基

準値と比較するための計算には入れないのだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、医療の放射線量を確認しとくと、あちこちに書かれてるのが、胸部

Ｘ線ＣＴスキャンの６．９ｍＳｖ。年間基準値の７倍近くもある大きい数字だ。

もちろん、スキャン自体が危険だと言う意見もあるわけだが、それは震災

以前には全く少数派だったはず。したがって、私も含めて、こうした大量の

医療放射線を浴びてない人は、その分、被曝量に余裕があることになる。

ただし、そうゆう話は公には語れないようだ。と言うのも、それでは実質的

に、年間基準値を大幅に緩めることになってしまうし（１＋６．９＝７．９ｍＳｖ

とか）、適切な医療行為を受けないように勧めることにもなってしまうからだ

ろう。でも市民として、その辺りの数字まで冷静に計算しとくべきだと思う。

少なくとも私は、１回０．０５～０．１ｍＳｖ程度の普通の胸部Ｘ線検査とか、

１回０．６ｍＳｖ程度の胃の集団検診を受ける程度だから、被曝量には多少

の余裕があると考えてる（６ミリとまでは言わない）。もちろん、自己責任だ

が、合理的判断だろう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

自然放射線と、医療による人工放射線について見た所で、いよいよ問題の、

その他の人工放射線の計算に入る。当初は、文科省データくらいしか信頼

できそうなデータが無かったけど、現在では、各自治体や、大学、「有志」の

データなど、様々なデータが揃って来た。

文科省が毎日更新する詳細なデータも、批判を受けて、今では地上１ｍの

測定値を追加。さらに、普通の測定値が地上何ｍのものかという数値も公

表している。週刊誌などで大きく騒がれたわりには、高さによる差はさほど

大きくない、という印象を私は受けた。ただ、測定地点の高さの話を知らな

かった人は、違いに驚いたかも知れない。

ここでは、文科省データの代表例として、東京・新宿の２２日のデータを使っ

てみよう。しばらく大きな変化は見られない。地上１ｍで、０．０７μＳｖ／ｈ

（毎時マイクロシーベルト）。ここから、自然放射線量の分を差し引くと、

　　０．０７－０．０５＝０．０２μＳＶ／ｈ。これは屋外の値。

屋内ではその４割として、

　　０．０２×０．４＝０．００８μＳｖ／ｈ、としとこう。　　　　　　　

ここから、年間の外部被曝量を計算する時に問題となるのは、１日当たり、

屋外に何時間いるかということだ。当然、人によってかなり違うはずで、おそ

らく平均的な人は６時間以下だと思う。ただ、朝日も放医研も屋外８時間で

計算してるし、安全のためには少し厳しめの計算をしとくべきだから、ここで

も屋外８時間としとく。すると、屋内は１６時間で、

　　（年間の屋外の外部被曝）＝０．０２×８×３６５＝５８．４μＳｖ

　　（年間の屋内の外部被曝）＝０．００８×１６×３６５ ≒ ４６．７μＳｖ

　　∴　（年間の外部被曝量）　＝５８．４＋４６．７ ≒ １０５μＳｖ

つまり、年間で約０．１ｍＳｖ（ミリシーベルト）だから、１ミリという基準値に

はたっぷり余裕があるようにも見える。ところが、まだ内部被曝の計算が

残ってて、これが色んな意味で厄介なのだ。。

（☆追記：　局所的に線量が高い場所、「ホットスポット」についての記事

　　　　　　　を追加したが、年間線量の計算で特に気にする必要はない。）　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

内部被曝は、大きく分けると、呼吸、飲み物、食べ物の３種類に分けられる。

この内、呼吸による内部被曝は、（原発周辺を除いて）ほとんど無視できる

量にすぎないことは、先日の記事で示しておいた。実際、メディアその他で

も、呼吸による内部被曝はほとんど話題になってないので、以下でも、飲み

物と食べ物に絞って計算してみよう。大まかに言うなら、次の計算式だ。

　　実効線量係数（μＳｖ／Ｂｑ）×放射能濃度（Ｂｑ／ｋｇ）×摂取量（ｋｇ）

なお、原発周辺の方は、以前の記事をご参照頂ければ、呼吸による内部被

曝の計算方法が分かるはずだが、居住地の基本的なデータ（空気中の放

射性物質の濃度）が手に入るかどうかまでは分からない。残念ながら、全国

的にはまだ、ほとんど公開されてない（ｏｒ測定されてない）ようだ。　　　　　　　

さて、飲食物に関しては、「暫定規制値」なるものが事故後に定められ、そ

の後そのままになってる。今現在、実際には規制値より遥かに低い測定値

が多いようだけど、規制値未満なら出荷されて口に入る可能性があるわけ

だから、以下、規制値の約１０分の１のものを飲食したと仮定する。

規制値ギリギリまで許容されるのだから、規制値で計算すべきだという考え

には一理あるが、現状では非現実的だと思う。もし必要なら、下の計算を

１０倍すればいい（微妙な大きさの数字に到達）。

計算は、放射性ヨウ素（Ｉ１３１）と、放射性セシウム（Ｃｓ１３４，１３７）に分

けて行う。摂取物の単位は基本的に、Ｂｑ／ｋｇ（１ｋｇ当たりのベクレル）。

「Ｂｑ」（ベクレル）とは、放射能（物質が放射線を出す能力）の単位で、計算

の最後に、線量の単位・シーベルトへと換算。その辺りは３ヶ月前の記事で

詳しく説明しておいた。

　（１）　ヨウ素　　　

　　　　　規制値　　　水，牛乳など　３００　　　　　野菜類，魚介類　２０００　　　

　　　　　想定値　　　　　　　　　　　　　３０　　　　　　　　　　　　　　　　２００

　　　　　水・牛乳は１日１．５ｋｇ（ほぼ１．５Ｌ）、野菜・魚介は１日０．２ｋｇ

　　　　　としてみよう（根菜・芋類は地面の下だから除く）。すると、１年では

　　　　　　（水・牛乳）＝３０×１．５×３６５ ≒ １６４００Ｂｑ

　　　　　　（野菜・魚介）＝２００×０．２×３６５ ≒ １４６００Ｂｑ

　　　　　　（飲食合計）＝１６４００＋１４６００＝３１０００Ｂｑ

　　　　　これに、成人の「実効線量係数（経口摂取）」０．０２２（μＳｖ／Ｂｑ）

　　　　　を掛けて、シーベルトに換算すると、年間基準値に接近して来る。

　　　　　　　（ヨウ素の内部被曝量）＝０．０２２×３１０００

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ≒ ６８０ μＳｖ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ≒ ０．６８ｍＳｖ

　　（２）　セシウム

　　　　　　　　規制値　　水・牛乳など　　　野菜・魚介・肉・穀類・その他

　　　　　　　　　　　　　　　　　２００　　　　　　　　　　５００

　　　　　　　　想定値　　　　　２０　　　　　　　　　　　５０

　　　　　　　　水・牛乳や、野菜・魚介などについては先ほどと同じと仮定。

　　　　　　　　穀類は年間１２０ｋｇと仮定する（米８０ｋｇ、その他４０ｋｇ）。

　　　　　　　　（水・牛乳）＝２０×１．５×３６５ ≒ １１０００Ｂｑ

　　　　　　　　（野菜・魚介）＝５０×０．２×３６５＝３６５０Ｂｑ

　　　　　　　　（穀類）＝５０×１２０＝６０００Ｂｑ

　　　　　　　　（飲食合計）＝１１０００＋３６５０＋６０００ ≒ ２１０００Ｂｑ

　　　　　　　　これに、成人の実効線量係数（Ｃｓ１３７が０．０１３、Ｃｓ１３４

　　　　　　　　が０．０１９）の平均値０．０１６（μＳｖ／Ｂｑ）を掛ける。つまり、

　　　　　　　　二種類のセシウムが同じ量だけ含まれてたと仮定すると、

　　　　　　　　（セシウムの内部被曝量）＝０．０１６×２１０００

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３３６μＳｖ　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ≒ ０．３４ｍＳｖ

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ここで注意すべきなのは、こうして計算した内部被曝量は、「預託実効線量」

と呼ばれるもので、５０年分の放射線量の蓄積（＝預託）だということだ。ヨウ

素の場合は、「物理学的半減期」が８日、つまり物質そのものが短期間でほ

ぼゼロになるから、５０年分と言っても、結局は１年分の線量と考えてよい。

でもセシウム１３７の場合、物理学的半減期が３０年と長く、生物学的半減

期（排泄で半減するための期間）が７０～９０日程度である（若いほど短い）。

実質的には、生物学的半減期だけで考えていいから、１／４年で半減する

と考えると、１年後でも（１／２）⁴＝１／１６は残ってる。よって、５０年分の

蓄積（＝普通の計算結果）よりも、１年分の方が少ない。セシウム１３４につ

いても、同様の計算で１年分の方が少なくなる。

不思議なことに、こうした話は（ほとんど）見聞きしないが、当サイトで以前

実行したような積分計算が面倒で分かりにくい（高３教科書レベルの数学）

こともあって、多めにそのまま５０年分を受けとめようという事なのだろう。

一応ここでも、「１年分の内部被曝だから数値が減る」という話は使わない

ことにしとこう。

すると、以上（１）（２）より、たまたま分かりやすい数字（近似値）が出る。

　　　　　（年間の内部被曝量）＝０．６８＋０．３４ ≒ １．０ｍＳｖ

結局、外部被曝０．１ｍＳｖと合わせると、

　　　　　（年間の全被曝量）＝０．１＋１．０＝１．１ｍＳｖ

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

僅かに基準値１ミリを超えてしまったが、実際には１ミリ以下にギリギリ収まっ

てると思う。というのも、例の自然放射線の中に、１割ほどは飲食の内部被

曝が含まれてるからだ。１．４×０．１＝０．１４ｍＳｖとして、これを先ほどの

値から引くと、１．１－０．１４＝０．９６ ≒ １．０ｍＳｖとなる。

まあ、ここまで差し引く計算は見たことないので、年間１．１ｍＳｖをそのまま

受け取ってもいい。基準値１ミリを僅かに超えてるだけだから、ほとんど問題

ないだろう。

以上より、色々なデータが大幅に上がらない限りは、全ての被曝量を合計

しても、十分安全だと思っていい（特に医療被曝が僅かの場合）。もちろん、

引き続きデータの変化は注視したいと思ってる。あと、内部被ばく独特の

特殊な危険性については、また機会を改めて考えるかも知れない。

なお、内部被曝の話には、普通の「実効線量」より遥かに大きな値である

「等価線量」が、時々紛れ込んでしまってる。明らかに大き過ぎる値を見た

ら、まずはその混同（または説明不足）を疑ってみていいだろう。朝日新聞

でも時々あることで、当サイトの以前の記事で既に説明しておいた。

では、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　６月２６日のフジテレビ『Ｍｒ．サンデー』で、千葉県野田市の独自

　　　　　基準である０．１９μＳｖ／ｈ（毎時マイクロシーベルト）が使われた。

　　　　　この数字は、１日に屋外８時間、屋内１６時間（屋外の４割の線量）

　　　　　いるとして、外部被曝を年間１ｍＳｖ＝１０００μＳｖ以下にするため

　　　　　の数値だろう。

　　　　　数式は次の通りだが、自然放射線量を差し引いてないし、内部

　　　　　被曝も考慮してないから、科学的にはあまり意味のない基準に

　　　　　すぎない。実測値より少しだけ低い、実現可能な値になる式を採

　　　　　用したのではなかろうか。ちなみに、数式は以下の通り。

　　　　　１０００÷｛（８＋０．４×１６）×３６５｝＝１０００÷５２５６

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ≒ ０．１９　　　　

　　セシウム牛肉、食後１年間での被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）

　　外部被曝におけるベクレルとシーベルトの計算式（ｂｙ　ＩＡＥＡ）

　　放射性ラジウムその他と崩壊系列＆３７度微熱ラン

　　放射線被曝のがんリスクを帳消しにする運動量の計算など

　　福島のスギ花粉の放射能による内部被曝の計算式（ｂｙ林野庁）

　　朝日の甲状腺被曝８７ミリシーベルト報道の意味～実効線量と等価線量

　　ＷＨＯ（世界保健機関）による被曝線量の推定（全国、年代・経路別）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　６０１４文字）

2011年6月23日 (木) 23時59分医学・医療, 物理, 社会 | 固定リンク | コメント (2)
Tweet

体内摂取した物質の放射線量の計算～物理学＆生物学的半減期

（☆７月１４日追記：　セシウム汚染牛肉をめぐる関連記事をアップ。

　セシウム牛肉、食後１年間での被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）　）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

忙しくて時間がとれない中、久々に放射線関連の記事をアップしてみよう。

簡潔にまとめたものだけど、今現在ネット上に（ほとんど）見当たらないマ

ニアックな内容にはなってると思う。

東京電力・福島原発の事故が、いずれ何とか収まるとしても、放射線の問

題はその後も長く残るだろう。ヨウ素はすぐ消えるとしても、セシウムやプ

ルトニウムは延々と放射線を出し続ける。放射性物質や放射線への関心

も、当然続くだろう。

放射性物質や、それが含まれる野菜・水が、どれだけの放射線を出すの

か。その放射する能力（＝狭義の放射能）を示す単位がベクレル。また、

我々が体重１ｋｇ当たりで吸収する放射線量を表す単位がグレイ。さらに、

その線量がどのくらい人体に実害を与えるかを考慮した「実効線量」の単

位がシーベルトだ。これら３つは、以前の記事でわりと詳しく書いてる。

人々の関心は当然、何をどれだけ摂取したら危ないのかという問題に向

かうことになるわけだが、理数系の話が好きな人間にとっては、何ベクレ

ル摂取すると何シーベルトになるか、という話が気になる。

この換算は、一般には「実効線量係数」（effective dose coefficient）という

ものを掛ければいいと言われてる。例えば、ヨウ素１３１の経口摂取なら

ベクレル×０．０２２＝マイクロシーベルト。これも、既に前の記事に書いて

ることだ。係数の一覧表は、例えば「緊急被ばく医療研修のホームページ」

にある。

（☆追記：　４月５日の朝日・朝刊は係数０．０１６を採用。詳しくは、下の記

　　　　　　　事のＰ．Ｓ．３、４、５を参照。

　　　　　　　シーベルト、グレイ、ベクレル～放射線・放射能の単位について　）

ただ、この係数が、放射性物質の種類や摂取方法によって違うのはいい

としても、それほど厳密なものではないという点は語られることが少ない。

ＩＣＲＰ（国際放射線防護委員会： International Commission on Radiological

Protection）が１９９６年に示した報告書（Ｐｕｂｌ．７２）の数値が出回ってる

が、あれは一つの参考に過ぎないのだ。そもそも医学・生理学が絡む複

雑な問題だし、実験も観察も非常にしにくいことなのだから。

早い話、長期間の人体実験を大勢の被験者で行うことなど不可能だ。考

えれば明らかなことだし、実際、帝京大学の「複合災害救援の基本的考

え方と放射線被曝防護」と題するｐｄｆファイルでも、人体への影響を計算

する困難さが強調されている。もちろんウチでも、最初からハッキリ書いて

たことだ。

とはいえ、ベクレルからシーベルトを求める際の長い理論的プロセスには、

数学的に明快な部分も一応ある。それは、半減期と放射線量に関わる部

分だ。以下では、その点について、数式計算でハッキリさせておこう。　

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、高校１年・物理の教科書レベルからスタートする。

　　放射性物質（ヨウ素１３１，セシウム１３７など）のベクレルの値

　　　　　　　　　　　＝　１秒間に崩壊する原子核の数

　　　　　　　　　　　≒　１秒間に出る放射線（β線、γ線など）の量

「≒」は近似を表す記号で、本当は比例だから「∝」と書くべきだけど、等号

「＝」に似た「≒」で書く方が分かりやすいだろう。上の式から、もしベクレル

の値が変わらないならば、「（ベクレル）×（秒数）≒（放射線量）」だ。

しかし実際には、ベクレルの値（≒放射能の強さ≒放射性物質の量）は、

「半減期」の時間が経つごとに、１／２になって行く。つまり、ベクレルは時

間ｔの関数だから、Ｂ（ｔ）と書くことにしよう。すると最初（つまりｔ＝０）のベク

レル数は、Ｂ（０）と書ける。さらに半減期をＴと書けば、ｔ＝１Ｔの時に１／２、

ｔ＝２Ｔの時に（１／２）の２乗になるから、以下同様に考えれば、以下の式

が成立する。と言うより、これが半減期Ｔの定義式だ。

110402e

　　　　
時間ｔにしたがって刻々と変わるＢ（ｔ）に、非常に短い時間を掛け合わせたも

のを、長い時間にわたって合計すれば、全体の放射線量（とみなせるもの）

が求められる。ｘ年後までの全放射線量をＲ（ｘ）と書けば、５０年後（＝１５７

６８０００００秒後）までの全放射線量Ｒ（５０）は、次の「定積分」で表される。

110402g

難しく見えるが、実は計算のレベルも答えも高校３年の教科書レベルだ。

計算結果は下の通り。莫大な秒数は関係ない。中央の「＝」は、本当は

「≒」だが、誤差はほとんど無視できるから等号「＝」にしてある。

110402h

つまり、Ｂ（０）Ｔ／ｌｏｇ２が答。したがって、半減期Ｔに比例する。ちなみ

に分母のｌｏｇ２は、約０．６９３。分子の半減期Ｔは秒で表した数字だか

ら、かなり大きい数。半減期の短いヨウ素１３１でさえ約８日間だから、約

７０万秒。セシウムなら約３０年だから、遥かに大きい数字だ。ただし、人

体への影響を考えてシーベルトの値を求める時に、数字は一気に小さく

なる。そこの計算部分は、まだブラックボックスだけど、もはや数式計算

のように明快な話が出来なくなるレベル、人間的な話なのだ。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

私自身の興味は、実はこの先の僅かな部分にあった。ここからは、物理

の高１教科書レベルを少しはみ出す話だが、数学的には高１の教科書レ

ベル。ただし、考えたことが一度もなかったから面白かったのだ。半減期

が２種類ある場合を考えてみよう。

現在の日本社会も含めて、普通に話題とされるのは物理学的な半減期だ。

つまり、原子核の崩壊による半減期。ヨウ素が８日、セシウムが３０年といっ

た数字はすっかりお馴染みだろう。一方、生物の体内に取り込んだ放射性

物質がどうなるかという点も少しだけ話題になってるが、計算式を見ること

はない。それどころか、朝日・読売・毎日新聞のサイトで検索する限り、生

物学的（な）半減期といった言葉は見当たらない。

体内に摂取された放射性物質は、少しずつ体外に排出されて減って行く。そ

のプロセスで半減する期間が生物学的半減期だ。いま、物理学的半減期を

Ｔ₁、生物学的半減期をＴ₂とすると、　　　

110402a

ここで、右辺を指数法則にしたがって変形すると、
　

110402b

一方、トータルの半減期というものを想定して単にＴと書くなら、一番最初

の式と同じだが、少しだけ書き方を変えて、

110402c

上の２式の右辺、１／２の右肩部分を見比べれば、２種類の半減期の組合

せに関する公式が導ける。同じ意味の式が、日本語版ウィキペディアの「被

曝」や、英語版ウィキ「Ｈａｌｆ－ｌｉｆｅ」にも、結果だけ掲載されている。要するに

私は、それらの式を見て、導き方を考えたのだ。　

110402d

ちなみに、原子力資料情報室によると、ヨウ素１３１の生物学的半減期は

ヨウ素１２９と同じのようで、甲状腺で１２０日、その他の組織で１２日。一

方、セシウム１３７の生物学的半減期は曖昧な書き方だったので、英語版

ウィキペディアで調べると、数ヶ月らしい。大まかな値だけど、一応の参考

にはなるだろう。プルトニウムも数ヶ月となってるが、別の場所には２００年

なんて凄い数字が出てたから、とりあえず保留しとこう。論争中なのかも。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

上のような理数系の考察は、目先の生活の指針にはならないが、理解や

安心感の手助けにはなる。訳の分からないまま、メディアが出して来る多

様な情報に惑わされるよりは、少しでも理解できた方がマシだろう。少なく

とも、私自身はモヤモヤが少し晴れた気がする。

原発や放射線に関しては、引き続き注目し続けるので、またしばらく後で

記事を追加するかも知れない。とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｃｆ．放射線（放射能）の危険性と距離～２つの逆二乗法則（情報源明示）

　　原発から各地までの距離と、放射線の年間総量（ｂｙ文科省データ）

　　原発事故評価レベル７と、セシウムのヨウ素換算値の計算式（ｂｙ　ＩＮＥＳ）

　　雨の長距離ランニングで浴びた放射性物質の計算

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｂｙ定時降下物データ）

　　原発事故はみんなが無責任、だけどね・・～東電社員の息子・ゆうだい君への応答

　　被曝する全放射線量の計算方法（自然・医療、外部・内部、屋外・屋内）

　　セシウム牛肉、食後１年間での被曝線量の計算方法（定積分＆実効半減期）