『ガリレオΦ』の数式、ナビエ・ストークス方程式

（☆１３年４月追記：　新シリーズの記事をアップ。

　　　　『ガリレオ２』第１話の数式、

　　　　　　　誘電体のマイクロ波加熱における電力半減深度＆吸収電力　）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

福山雅治主演の人気ドラマ『ガリレオ』の数式や物理的説明に関する記事が、

相変わらず好調だ。検索サイト（Ｙａｈｏｏ！、Ｇｏｏｇｌｅ）にも助けられてるし、あち

こちにウチの記事へのリンクも張られてる。ブックマークしてる方も結構いらっしゃ

るようだ。既に本放送から１年経過、『ガリレオ』は完全にウチを代表するロング

セラー記事となった。

そこで、先日の『ガリレオΦ（エピソードゼロ）』の数式記事で話題となった、流体

（空気や水など、流れる物体）の有名な式、ナビエ－ストークス方程式（ナヴィエ・

ストークス方程式）について、説明を補足しとこう。湯川が塩野谷（長澤まさみ）の

　目の前で海に

　飛び込む直前

の頭に浮かんだ難解な式を、意味も分からないまま苦労して何とか読み取った所、

流体のご専門の方から、ナビエ－ストークスだろうというご指摘を受けたので、ネッ

トで調べて、どうも納得できないから流体の参考書まで買って来て、勉強したのだ。

正直言うと、今日９日の時点ではまだ完全には理解できてないし、これが本当に

ナビエ－ストークスなのかどうか、確信には至ってない。書き方は色々あるものの、

どうも少しだけ違ってるみたいで、それがスタッフのミスなのか、あるいは監修を

務めた専門家のかなり特殊な書き方のせいなのか、ひょっとして似て非なる方程

式だからなのか、までは分からないのだ。ちなみに、方程式の名前は、ナヴィエと

ストークスという２人の学者から来ている。

さて、そもそもこの式が難解なのは、複雑な物理現象を扱う高度な数式（偏微分

方程式）だからというだけじゃなくて、物理特有の書き方（ナブラ記号：∇など）のせ

いでもある。その辺りにも注意しながら、ポイントだけを押さえて、式が出てくる過

程を大まかに追ってみよう。先に、より簡単な「オイラー方程式」から始めて、それ

をさらに変形する。必要な知識は、高校の数Ⅲの初歩で十分だけど、出てくる文

字が普通の数（スカラー）かベクトルかに注意しなければならない。

まず、偏微分の計算を最低限確認しとこう。ｘ で偏微分するとは、それ以外の文

字を定数として固定して、ｘで微分するということだ。

たとえば、ｘ と ｙ の関数 ｆ ＝ ｘ³ ｙ² の場合、

∂ｆ／∂ｘ ＝ ３ｘ² ｙ²。また、∂ｆ／∂ｙ ＝ ２ｘ³ ｙ　となる。

いま、流体の微小な部分として、３辺がｄｘ、ｄｙ、ｄｚの直方体（体積はｄＶ）を考え

る。６つの面に加わる圧力Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ の実数値関数）をまず合計。次に加速度

∂ｖ／∂ｔ （ｘ，ｙ，ｚ の３次元ベクトル）を計算。さらに、微小部分の質量はρｄＶ

（ρ、つまりローは密度）。これら３つの要素を、運動方程式「質量×加速度＝力」

へと代入して両辺をｄＶで割ったのが、流体の圧力と速度に関するオイラー方程式

だ。下で、ｆ は単位質量あたりの外力（重力など３次元ベクトル）を表す。

　　

さらに、力を表す右辺に、単位体積当たりの流体に働く粘性力（摩擦力のように

面に並行に働く力を示すベクトル）η∇² ｖ を加えると、ナビエ－ストークス方程式

になる。ここでη（エータ）は、その流体特有の粘り気を表す粘性係数だ。０度の

空気の場合、０．０１７１。０度の水なら、１．７９だ（単位は、１０⁻³ Ｎ・ｓ／ｍ² ）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　

ここでさらに、外力 のベクトル ｆ をゼロとして無視。ベクトルを強調するために

矢印「→」をつけて、少し書き方を変えれば、次の式になる。

　　　

この式の文字 ｖ を u と書いて、η を μ（ミュー）と書いて、さらに間違えたか、

特殊な書き方を使ったかしたのが、冒頭に掲げたドラマの式だろう。∇（ナブラ）

の記号の右下に小さいゼロが付いてたのも気になる所。去年の本編について

何度か書いたように、専門家の監修はそれほど行き届いたものではなくて、実際

に明らかな間違いをいくつか発見しているから、スタッフが間違えてると考えるの

は、別におかしくない。映像的にも一瞬しか映らないから、チェックも当然かなり

甘いはずだ。もちろん、ここまで追求するドラマ視聴者は、全国でも僅かだろう。

ただし、似て非なる式の可能性もまだ捨てきれない。

いずれにせよ、ナヴィエ－ストークス方程式は専門家にとっても扱いにくい式で、

次の「連続の方程式」（流体に関する保存法則で、入って来る水と出て行く水の

和がゼロ）と合わせて、コンピューターの数値シミュレーションとかで何とか計算

していくらしい。そこまではまだ、勉強していない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　

まあ、今日はとりあえずこれでお茶を濁しとこう。この程度でも、なかなかネット上

にないはずだ。流体の力や加速度の求め方は省略したので、気になる方はネット

か参考書で補って頂きたい。そんなに難しいものではないけど、物理特有の近似

があちこち出て来るので、それに慣れてないと引っかかるかも知れない。近似の

部分まで数学的に厳密にやると、かなり面倒な話になるはずで、物理の専門書

でもなかなか書いてない。微小なものを扱いながらも、より小さな「高次の無限小」

は直感的に無視して話を単純化するわけだ。

ではまた、機会があれば。映画『容疑者 ｘ の献身』のＤＶＤが出ればまた書くか

も。柴咲コウや、天才数学者・堤真一の活躍も見たいしね。♪☆彡

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　　 ブランコとおにぎりでホカホカ～『ガリレオ』第３話

　　 科学と恋愛、２つの円端具流～『ガリレオ』第４話

　　 愛と矢、ひねくれた直進～『ガリレオ』第５話

　　 遠く離れたもののつながり～『ガリレオ』第６話

　　 つながりの中の細かい事～『ガリレオ』第７話

　　 結果が語る過剰なプロセス～『ガリレオ』第８話

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