『Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了』のタイトルバック、ｎ次元の球の体積

分かった！　今週からスタートのＮＨＫドラマ８、高橋愛（モーニング娘。）＆中村蒼

主演『Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了』のタイトルバックに映されてる数式の意味を、ほぼ解

読できた♪　去年の福山雅治＆柴咲コウ『ガリレオ』の数式よりもっと瞬間的な映

像で、スロー再生＆静止画でもなかなか上手く見えないし、数式の量も多くて雑多

な並べ方になってる。ただ、数式のレベルは『ガリレオ』より少し低いし、物理では

なく単なる数学だから、その意味ではラクだった。

一言でいうなら、あのオープニングは「ｎ次元の球の体積」を求めてるのだ。と言っ

てもＳＦとかトンデモ科学みたいなお遊びではなくて、ちゃんとした数学の求積だ。

まず普通の球、つまり３次元の球は、原点中心・半径１として、高校数学で

「ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝１」という式で表してた。これは球面の式だから、球の中身まで含

めて正確な書き方をするなら、{（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ²＋ｙ²＋ｚ²≦１}。つまり、不等式を満

たす点（ｘ，ｙ，ｚ）の集合だ。

続いて原点中心・半径１の円（中身も含む）を考えてみると、{（ｘ，ｙ）｜ｘ²＋ｙ²≦１}

と表される。この式は、球の式を２次元ヴァージョンにした形になってるから、円は

「２次元の球」と呼び、円の面積は「２次元の球の体積」と呼ぶことにしよう。もちろ

んここで、「体積」という言葉の意味が拡張されてるわけで、円の体積はπとなる。

同様に考えると、「１次元の球」というのも定義できる。つまり、{（ｘ）｜ｘ²≦１}で、

要するにｘ軸の２点、（－１）と（＋１）両端とする線分のことだ。すると、「１次元の

球の体積」とはこの２点間の距離のこと。つまり、２だ。

新しい記号を導入して、ここまでをまとめてみよう。まず、拡張された意味での体

積を表すのに「ｖｏｌ」という記号を使う。英語の「ｖｏｌｕｍｅ」（ヴォリューム）の省略

だ。また、３次元の球をＳ³と表す。英語の「Ｓｐｈｅｒｅ」（スフィア）の省略から造っ

た記号だ。同様に、２次元の球（つまり円）をＳ²、１次元の球（つまり線分）をＳ¹

とする。Ｓの右上の数字は、普通はこうではないようだけど、ここではドラマの映

像に合わせておこう。この時、次のようにまとめられる。

　　（１次元の球の体積）：Ｖ₁＝ｖｏｌ（Ｓ¹），　Ｓ¹＝{（ｘ）｜ｘ²≦１}

　　（２次元の球の体積）：Ｖ₂＝ｖｏｌ（Ｓ²），　Ｓ²＝{（ｘ，ｙ）｜ｘ²＋ｙ²≦１}

　　（３次元の球の体積）：Ｖ₃＝ｖｏｌ（Ｓ³），　Ｓ³＝{（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ²＋ｙ²＋ｚ²≦１}

美しい！　これぞ数学の形式美というもんだ♪　で、ここから先は機械的に４次

元、５次元・・・ｎ次元と拡張していくことになる。普通の感覚だと非現実的かも知

れないけど、数学にとってはリアルな存在。これらの球の体積を、積分計算を使っ

て求めてたのがあのタイトルバックなのだ。画面では４次元まで映ってた。

今晩はもう時間がないから、簡単なＶ₂までの式だけを再現しとこう。高校の教

科書レベルの簡単な定積分（Ｖ₂は数Ⅲの置換積分で、ｘ＝ｓｉｎθと置いてる）に

すぎない。残りのＶ₃やＶ₄については来週以降のお楽しみってことで♪　大学

レベルの数学が登場することになる。

　　　

さて、この後はいよいよ、山Ｐ＝山下智久＆新垣結衣＆戸田恵梨香＆比嘉愛未

＆浅利陽介の『コード・ブルー　新春スペシャル』が登場だ。明日中にはレビュー

をアップする予定。『Ｑ．Ｅ．Ｄ．』で時間を使いすぎちゃったから、どの程度マジメ

にレビューするか、ビミョーだけどね。

ではまた。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　４年半後、ｎ次元の球の体積を証明する記事をアップした。

　　　　ｎ次元の球の体積（帰納法による証明）と、ｃｏｓθのｎ乗の部分積分

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ｃｆ．『Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了』というタイトルバックの正確な意味

　　『Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了』第１話、黒板の数式の解説