ホワイトデー３・１４は数学の日～円周率をめぐって

今さらホワイト・デーかよ！、と思ったそこのあなた。なかなかいい突っ込みだ♪　

ホントなら当日の夜か翌日にアップしたかったんだけど、荒川のレースで余裕が

無かったのだ。２日も過ぎたとはいえ、実質的内容にはあんまし関係ないので、

気にせず今からアップしよう。

２００９年３月１４日の朝日新聞・夕刊１面には、「３・１４は『数学の日』　円周率は

楽しい」という見出しの記事が掲載された。日本記念日協会によるとホワイト・デー

は「数学の日」にも認定されてるとのこと。漢検（漢字検定）、英検（英語検定）と

並ぶ３大検定を自称する数検（実用数学技能検定）というものがあって、その実

施財団が９７年に提案、認可されたらしい。もちろん、円周が円の何倍かを表す

円周率π（パイ）の、最初の３ケタである３．１４を意識したものだ。

ちなみにこの日本記念日協会というのは、公の機関ではなく任意団体にすぎない。

でも、多くの記念日が申請され、審査に合格したものは登録料を払って認定され

てるようだ。１件５２５００円で登録証は３１５００円。毎月の記念日だと１０５０００

円とのこと（税込）。長野県の一個人のビジネスとしては大成功かも知れない。

さて記事には、数学や円周率に関する４つの内容がある。お笑いネタ、音楽、数

検、歴史。まず、お笑いネタは、大輪（おおわ）教授という名で活躍中の、「数学

ピン芸人」。円周率１００ケタ暗唱が特技だそうで、芸名も円を意識したものだろ

う。ちなみに私は「３．１４１５９２６５３５」まで覚えてる。つまり、小数点以下・第１０

ケタまでってことだ。実際に数学で役立ったのは、おそらく「３．１４１５」までか、そ

の次の９までだったと思う。ハッキリ言って学校とか入試での数値計算はほとんど

３．１４で十分だ。

話を戻すと、その大輪教授は専門学校卒で、大学受験経験もないとのこと。つま

り、高校レベルか、その少し上かな。福山雅治『ガリレオ』の最終回でも話題に

なった「素因数分解」を使うネタだと、「国会議員＝バッジ×スーツ×恥×ヘンタイ」

とかホワイトボードに書いてるから、本物の数学とは程遠い内容だ。でも、「円周

率はおよそ３と言うより、３．１４から永遠に続いて終わりがないと言ったほうが、

がぜん興味がわく」という持論には、数学者の飯高茂が感動して、去年コンビで

『ウケる数学』という本を出版したらしい。１万２千部だから、まあボチボチかな。

続いて、音楽ネタ。息の長いフュージョンバンド『カシオペア』のキーボード奏者・

向谷実（名古屋芸術大）は、円周率音楽に取り組んでる。１から７までの数字を

ドレミの順に当てはめ、８は再びド、９はレ、０はシと当てはめる。円周率・小数

点以下９５ケタまでつないで、テンポや音色をかえるなどして、それなりの曲に仕

上げつつあるらしい。あとで自分で演奏してみよう。

３番目、数検の話。８級（小学４年生程度）から１級（大学卒業程度）まであって、

有級者を入試で優遇する大学も増えてるそうだ。受験者も近年は３０万人を超え

てるとのこと。それはなかなか盛況だね。ただ、ＨＰを見ると、漢検と比べて過去

の問題を出し惜しみしてるのが残念だった。もうちょっと公開してくれてもいいん

じゃないかな。まあ、１級なら受けてみたい気もするな。

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

そして最後の内容が、歴史の話。これは、記事の頭の図に書いてあるだけだ。

大昔の話としては、紀元前の古代ギリシャの数学者・アルキメデスが証明した

不等式、「３と１０／７１＜（円周率π）＜３と１／７」。少数で書くと「３．１４０８・・・

＜π＜３．１４２８・・・」。約２３００年前としては驚異の近似値だろう。最近の話

では、２００２年に日本の金田康正・東大教授らがスーパーコンピュータで１兆

２４１１億ケタまで計算して世界記録を打ち立てたこと。ウィキペディアでチェック

すると、コンピューターはＨＩＴＡＣＨＩ　ＳＲ８０００で、高野喜久雄の公式と呼ばれ

るπの計算式を用いたようだ。

記事中で一番気になったのは、アルキメデスの不等式。先日、この新聞記事を

読んだ友人と話した時、分数の部分を「１０／７１」、「１０／７０」と話したのを聞

いてハッとした。実は私自身は、記事のこの分数部分はサラッと流し見しただけ

だったのだ。細かい数だなって程度の感じでしかなかった。ところが、新聞記事

の「１／７」を「１０／７０」と考え直すと、分子１０に対する分母が７１と７０の間と

いう話で、非常に頭にしっくり入って来た。そこで、早速アルキメデスについて調

べてみたわけだ。

手元にあったのは、『世界の名著９　ギリシアの科学』（中央公論社）。この中に、

「アルキメデスの科学」という翻訳が入ってる（訳者・三田博雄）。これは幾つか

の論文を選んでまとめたもので、その中に「円の計測」と題する論文が見つかっ

た。内容は３つの命題の証明で、最初の２つが円の面積について。そして３つ目

が、朝日の記事の図にあった不等式の証明だ。

題して、「任意の円の周はその直径の３倍よりも大きく、その超過分は直径の

１／７よりは小さく、１０／７１よりは大きい」。古代の数学特有の書き方で、今な

ら簡単な不等式１本で済ませる所。翻訳は親切に、不等式を書き添えてるけど、

原文には無い。そもそも当時は、円周率とかπという言い方も無いのだ。

翻訳で４ページにわたるこの証明は、基本的には高校レベルの話であって、中

学生でも優秀で熱心なら一応理解できるだろう。けれども相当ややこしい話だし、

ここで丁寧に解説を加えると字数も時間も相当取られてしまうので、とりあえず

止めておく。ただ私は、『ガリレオ』の数式関連記事で見せてきたように、数学も

論理も大好きな人間だから、いずれ解説記事を書くかも知れない。

　基本的な発想としては、「円に接する正多

　角形の周」と円周とを比べるわけで、この

　方法はアルキメデス以前から存在した。

　例えば左図を見ると、「円に内接する正六

　角形の周」が半径の６倍だと分かる。つま

　り直径の３倍。それより円周の方が長い　

　から、円周率は３より大きいことになる。数式にすると、

　　　　　円周 ＞ 内接正六角形の周 ＝ 半径の６倍 ＝直径の３倍

　　　　　∴　円周 ÷ 直径 ＞ ３　　　　∴　円周率 ＞ ３

アルキメデスは内接する正９６角形を作って、円周率が３と１０／７１より大きい事

を証明。また外接する正９６角形を作って、３と１／７より小さい事を証明したのだ。

つまり円周率に関するアルキメデスの賢さは、話の精密さにあったと言えるだろう。

一応、翻訳の元になったアルキメデスの証明の最初と最後だけ、図で示しとこう。

　古代の著作は現存し

　ておらず、その写本

　（＝書き写した本）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　でさえ今現在は１つ

　しか無くて、しかも

　保存状態が極めて悪

　いから、解読作業中

　とのこと。その代わ

　りに権威を持ってる

　のが、デンマークの

　研究者ハイベア

　（Ｈｅｉｂｅｒｇ，ハイ

　ベルクとも読まれて

　る）によるラテン語

　訳で、これがｐｄｆ

ファイルでネット公開されてたから、苦労の末に該当箇所を見つけて、コピー＆

ペーストしたのだ。マニアックな方は、自分でチェックすることをお勧めしとこう。

ネット上で公開された１００年ほど前の著作だし、出典を挙げた部分的引用だか

ら、著作権の問題は無いと思ってる。これを見るだけでも、かなり細かい計算な

のは分かるだろうし、何となく崇高な感じもするだろう。印刷して、毎日礼拝する

のも悪くない♪　神社の御札よりはご利益（りやく）がありそうだ。

最後に、円周率をなぜπ（パイ）と呼ぶのか。それは、円周などを表すギリシア

語「ペリフェレイア」（ローマ字だとｐｅｒｉｐｈｅｒｅｉａ）の頭文字πを取ったとか言わ

れてるけど、そこまで限定できるかどうかは怪しいようだ。むしろ、円周に関わ

る幾つかのギリシア語の頭文字とだけ想像するのが無難だろう。１７０６年に

数学者ジョーンズが使ったのが最初とされてるらしい。。

という訳で、今日はもう時間だ。まあ、来年からは、３月１４日は数学の日って

ことで、円周率とか数学の崇高な歴史に思いをはせるのもいいだろう。

それでは、また。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．以前、「小学校で円周率が３と教えられるようになった」とか騒がれたこと

　　　　があったけど、今では教育方針が修正されてそんな事もないし、騒ぎも収

　　　　まってるようだ。笑えるのが、騒動が起きた翌年の２００３年、東大入試の

　　　　理系の数学で、「円周率πは、３．０５より大きいことを証明せよ」という

　　　　問題が出されてること♪　シニカルな笑いをこめた出題だね。

　　　　この問題、やや難しいと評価されてるようだけど、要するにアルキメデス

　　　　の発想をどこかでかじってたかどうかが大きいだろう。円に内接する正

　　　　１２角形を書いて、その周よりも円周は長いと考えて証明することになる。

　　　　分数で言うと、「３と１／２０ ＜ π」という話で、アルキメデスが行った計

　　　　算よりは遥かに簡単だ。腕に覚えのある方は、お試しあれ☆

Ｐ．Ｓ．２　アルキメデスの著作の写本については、次の書を参照。

　　　　　　『解読！アルキメデス写本』（ノエル＆ネッツ著，吉田晋治訳，光文社）

Ｐ．Ｓ．３　円周率を求めるやり方は、もっと大まかに言うなら、曲線に近い直線

　　　　　　を求めてるわけだ。曲がってると分かりにくいから、真直ぐにするという

　　　　　　こと。円に次ぐ代表的な曲線である放物線に対しても、アルキメデスは

　　　　　　直線で表す方法で巧みに扱ってる。