「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して

先日ある友人が、「ポアンカレ予想って何？」と素朴に聞いて来たのには苦笑し

た。唐突だし、あまりに難しい質問だけど、尋ねたくなる気持ちは分かるからだ。

２００９年３月９日夜に放送された、ＮＨＫスペシャル『１００年の謎はなぜ解けた

のか～天才数学者　失踪の謎～』は、２００７年１０月２２日の番組の再放送。

前も見逃してたから、数学好きの私としては気になったけど、荒川のレースに向

けた最後の走り込みの方を優先させたから見れなかった。録画もしてないし今

日はもう１９日。とはいえ数学の歴史に残る大きな出来事でもあるし、遅まきなが

ら記事を書いとこう。今回はあくまで予備作業で、次の本格的考察がいつになる

かは見当がつかない。ただしこれだけでも、今現在ネット上にほとんど見当たら

ない記事にはなってると思う。

ちなみに私の今の実力は、理系的には大学レベルの数学や物理の基本問題を

何とか自力で解けるレベル。例えば福山雅治『ガリレオ』第３話の共振の微分方

程式、第５話の波動方程式、第１０話（最終回）の熱伝導方程式を解いて、かな

りのアクセスを頂いている。専門の人から見ればお遊び程度だけど、数式も論理

もそれなりに真正面から扱えるわけだ。

文系的には、英語、フランス語ならまずまずだし、ラテン語も最低限なら付いてい

ける程度。先日の円周率の記事でも、ラテン語でアルキメデスの論文をチェック

している。解釈力その他については、数々のドラマレビューで示してきた通りだ。

では、本題に移るとしよう。なお、いつものように、フランス語のアクセント記号は

省略するので念のため。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

Ｎスペでは、サブタイトルからも分かるように、ポアンカレ予想を解いた（とされる）

ロシアの数学者グリゴリ・ペレルマン（英語表記では Grigory Perelman，1966～）

の風変わりな人間ドラマを軸にして、ＣＧを駆使しながら数学と物理のハイレベル

な内容を簡単に説明したようだ。

Ｎスペに限らず、テレビのドキュメンタリーで学問の話（特に理数系）をする場合に

は、どうしてもイメージ的で直感的な話がほとんどになってしまう。演出的には正し

い戦略だろう。でもマニアックな私の場合、テレビを見る時間の何倍もネットや本

で調べまくることになることが珍しくない。もうちょっと、テレビ局側のＨＰで正確な

話を補足してくれればいいのに、なかなかそこまで手が回らないようだ。

今回まず、「ポアンカレ予想」とはそもそも何を指す言葉なのか、色々調べて感じ

たことは、実質的にはともかく、表面的にはかなりバラつきが目立つということだ。

最低限、「ポアンカレ自身による予想」と、「ポアンカレ予想と呼ばれるもの」とは

区別すべきだろう。

まず、手元にあった『現代数学小事典』（講談社，p.355）を見ると、こうなってる。

　　　「３次元閉多様体が、単連結のとき、３次元球面と同相になるであろう」

ただこれは、フランスの学者アンリ・ポアンカレ（Henri Poincare，1854-1912）の伝

記を２ページにまとめた中の一節にすぎず、数学的な解説にはなってない。小事

典の少し後の箇所にもポアンカレ予想という言葉はあるけど、やはり解説というよ

り数学史のエピソード的な扱いに近い。あと、初版が１９７７年の本だから、当然

ペレルマンの話は書かれてない。

そこで日本のウィキペディアをネットで見ると、冒頭に枠付きで、

　　　「単連結な３次元閉多様体は３次元球面Ｓに同相である」

と掲げられている（一般化した話は別）。これは先にみた事典とほぼ同じ文章だ。

普通の球面は２次元球面、{（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝ｒ² } で、それを数式的に拡張

したのが３次元球面、{（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）｜ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋ｗ²＝ｒ² } だという事については、

先日の『Ｑ．Ｅ．Ｄ』の記事に書いたばかりだから一応分からなくもない。でも、「単

連結」「閉多様体」「同相」という言葉は理解できない。それらの言葉の説明は別

項目になってる（小事典にもある）ものの、これまた非常に分かりにくい内容だ。

ウィキの直感的に分かりやすい説明はこうなっている。「数学的に厳密ではない

が、たとえて言えば、宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが

宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた

場合、宇宙の形は概ね球体（＝ドーナツのような穴のある形、ではない）と言える

のか、という問題である」。

これに似た説明はネット上のあちこちにあるから、有名なたとえ話なんだろう。確

かに、何となくイメージがつかめる気はする。ドーナツの表面で穴の周囲に添って

ロープ（または糸）を張り、それを引っ張ると、内側の穴の部分、つまりドーナツの

表面から離れた場所を通らない限り、ロープ（ｏｒ 糸）は回収できない。あるいは、

ドーナツの穴にロープを通して縛り付けても、そのロープを回収するためにはドー

ナツを切断しなければ無理だ。それに対して、球面にそってロープを一周させると、

必ず回収できるわけだ。表面でスルッと滑らせればいい。

ということは、ドーナツの表面なら回収できず、球面なら回収できるのだから、少

なくとも２つの曲面が区別できる。そして、球面ならもちろん回収できるけど、逆

に、回収できるなら球面に似た形と言えるのか？というのがポアンカレ予想だと

いうわけだ。でも、これでは「予想」じゃなくて「疑問」になってしまう。「予想」だか

ら、むしろ「球面に似た形だろう」という形の方が適切だ。

数学と言うより物理学的に考えると、表面のロープを回収する操作というのは、

我々がこの宇宙の中にいるままで、非常に大まかな宇宙の形を調べることに対

応する。ドーナツや２次元球面の形なら、我々は３次元の世界に生きてるので、

少し離れた位置から目で観察できるわけだ。別にロープは必要ない。ところが、

３次元球面やドーナツ（数学的にはトーラス＝円環、正確には円環面）だと、そこ

から離れて観察するには４次元の世界へ飛び出すことになるから、非現実的な

ＳＦやアニメの世界になってしまう。だからこそ、この３次元の世界の中でロープ

を張って調べる作業が重要となる。

ちなみにドーナツの表面でも、小さな箇所で小さい輪を作るだけなら、球面と同

じくスルッと回収できるから、先のウィキの説明は正確にはこう修正すべきだ。

「宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻っ

てきたとする。ロケットがいかなる飛び方をしても、ロープの両端を引っ張って全

て回収できた場合、宇宙の形は球体に似た形だろう」。

いかなる飛び方をしても、というのは実行不可能だから、現実の世界だと「色ん

な飛び方」で妥協して調べることになる。あと、繰返しになるけど、球面にせよドー

ナツの表面にせよ、所詮は２次元、つまり薄い紙のような世界だ。それに対して

ポアンカレ予想が本来扱ってるのは、３次元の球面だから、数学的に別の話だ

し、イメージすることもほとんど不可能。基本的には、数式上の話だ。

他に、日本のウィキで気になったのは、ポアンカレ予想の難しさに対して説明が

奇妙なほど簡単なこと。数学的解説というより、メディアのニュースをまとめた記

事のように見える。ペレルマンが数学のノーベル賞とも言われる「フィールズ賞」

を辞退したとか、米クレイ数学研究所の「ミレニアム懸賞問題」の一つだから、証

明が正式に認められれば賞金１００万ドルをもらえるとか。参考文献は邦訳の解

説本３冊のみだし、脚注も外部リンクも僅かで物足りない。ポアンカレ自身の論

文にも全く触れてないのだ。

一応、ペレルマンの３つの論文にはアクセスできるものの、ごく一部の専門家し

か理解できない超ハイレベルな内容で全く意味不明。また、彼はその論文でポア

ンカレ予想を証明したと主張した、とか言われてるけど、実はペレルマンの論文

の中で「ポアンカレ予想」（Poincare conjecture）という言葉は一度も使われてな

い。そして彼もまた、ポアンカレ自身の論文に全く触れてないのだ（理由は記事

末尾のＰ．Ｓ．２参照）。　　　　　　

ポアンカレがほとんど無名で、たまたま思いつきで予想を口にしただけの人間な

ら分かるものの、そうではない。数々の業績や受賞歴を持つ有名人だし、『科学

と方法』（岩波書店）という科学哲学的な著作なら、私も訳書で読んで感心した。

『トポロジー』という邦訳の数学論文集（斉藤利弥，朝倉書店）もちゃんと出版され

てるにも関わらず、余りにもポアンカレ予想の元祖とか原型が無視されてる。

そこで今度は、多くの場合に日本版より優れてる英語版ウィキを見ると、さすが

に説明も参考文献その他も詳しくなってる。まず冒頭には、日本版ウィキと少し

似たわかりやすい話が、ロケットとかロープの回収を使わず、より数学的に書か

れてる。「空間内のあらゆるループが一点へと縮小できるなら・・」。

その後、歴史の説明の箇所に、ポアンカレが１９０４年の論文で語った言葉が英

語で引用されて（後述）、その先に現在の標準的な形であるあの「単連結の３次

元閉多様体は・・」という文章が英語で書かれてる。でも、ポアンカレはフランス語

で書いたはずだし、その１９０４年の論文が何というタイトルなのかさえ触れてない。

という事は、論文そのものをチェックしてないのだから、あまり信用はできない。

そこで更に、フランス版のウィキを見てみると、さすがに１９０４年の言葉が一応

フランス語で書かれてたけど、これまた元の論文を挙げてないし、説明も英語版

より簡素。これだと、英語版その他から仏訳しただけの恐れもある。ウィキは匿

名の一般人がほぼ自由に編集できるのだから、信頼性に関しては十分すぎるほ

どの注意が必要だ。実際あとで、フランス版ウィキの言葉も元の文章とは違うこと

が判明した。

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

結局、ウィキの各種リンクや検索サイトを頼りにしてネット上を飛び回り、ようやく

ポアンカレ予想の原型がハッキリと確認できた。ポアンカレの1904年の論文名は

「Cinqieme compelement a l'analysis situs」。全集第６巻（Oeuvres，Tome6，Paris，

1953）に収録されていて、邦訳もある。前述の『トポロジー』第四章に収録された、

「位置解析への第五の補足」だ。

この「analysis situs」（位置の解析）というのはラテン語で、ポアンカレ独自の表現。

今現在の数学では、トポロジー（topology）とか位相幾何と呼ばれるものへと発展

している。大雑把に言うと、伸ばしたり曲げたりしても変わらない図形の性質を調

べるわけだ（ドーナツをつぶして穴の無いアンパンにしたり、粉々に変形したりす

るのは禁止）。

論文における本人の表現、つまりポアンカレ予想のフランス語原文は次の通りだ。

　　　「Considerons maintenant une variete [fermee] V a trois dimensions・・・

　　　　Est-il possible que le groupe fondamental de V se reduise a la　substitution

　　　　identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe?」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（全集第６巻，pp.486, 498）。

これは、ジョン・ミルナーという研究者が東大の公開講座向けに書いたｐｄｆファイル

からの孫引き（２次的引用）で、出典もページ数まで明記されてるし、このページ数

は他のサイトにもあちこち書かれてある。内容的にも、英語版ウィキが引用した英

語表現とほぼ一致してるから、信用していいだろう。

ただし、ミルナー氏もまた、この文章を現在の数学用語に直して訳している。

　　　「境界のないコンパクト３次元多様体Ｖを考えよう。Ｖが３次元球面でない

　　　　にもかかわらず、Ｖの基本群が自明となることがありえるか？」。

この問いはもちろん、強調のための「反語」であって、「あり得ない」というのがポ

アンカレの予想だ。

文法的な細かい話を補足すると、実はミルナー氏の訳は、フランス語の接続詞

「pourtant」（にもかかわらず）の訳し方が逆になってる。でも、論理的・数学的に

は「にもかかわらず」というのは単なる「かつ（英語の and、仏語の et ）」だから、

前から訳しても後ろから訳しても結局は同じことなのだ。つまり、「・・・，pourtant

～は普通「・・・、にも関わらず～」と前から訳すけど、ミルナー氏のように「～に

も関わらず・・・」と後ろから訳したとしても、数学の論理としては同じこと。要する

に「・・・ かつ ～」と前後を両立してるわけだ。

けれども、ポアンカレのフランス語を直訳するなら、次のようになる。

　　　「３次元の（閉じた）多様体を考えよう。Ｖの基本群が恒等置換へと縮小し、

　　　　それにも関わらず、Ｖが単連結でないということがあり得るだろうか？」。

いずれにせよ、「境界」「コンパクト」「基本群」「自明」という言葉の理解が必要に

なるわけだ。恒等置換だけは、何も変わらず元通りにするだけの変換（ある数

に１をかけるような操作）だとイメージできるけど、ポアンカレが使った「substitution

identique」という表現は今現在ほとんど使われないようだ。直訳的な英語「identity

substitution」もほとんど使われてない。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆
　　　
という訳で、大変な探求作業の末に、「ポアンカレ予想」の原型にはたどりついた。

しかし、その原型の意味も、現在の形に直せる理由も、現在の形の意味も、まだ

触れてない。また、予想をｎ次元に一般化した形とされてる

　　　　「ｎ次元ホモトピー球面はｎ次元球面に同相である」

という命題も後回しにしてある。もちろん、既にそこそこ調べてはいるんだけど、正

確な理解まではまだ相当な距離があるようだから、とりあえずこの辺で第一弾とし

てアップしとこう。

興味深いことに、ポアンカレは例の文章の後で、次の詩的表現を書き添えている。

　　　「Mais cette question nous entrainerait trop loin」。

直訳すると、「しかし、この問いは我々をあまりにも遠くへ連れて行くだろう」。

素人の私もこの記事の読者も、既にあまりにも遠くへ連れて行かれた気がする♪

でも、まだやっとスタート地点に辿り着いただけなのだ。ここから地道に、数学的

理解を進めるとしよう。数年かかるかも知れないけど、感触としては、「予想」の数

学的理解だけなら何とかなりそうだ。ペレルマンの証明の理解は、世界の優秀な

専門家にお任せするとしよう・・・とか言いつつ、密かに狙ってはいる。

ではまた。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．ミルナー氏はポアンカレの論文名を書いてないが、他の複数の専門的サ

　　　　イトを通して確認した。

Ｐ．Ｓ．２　ペレルマンの証明になぜ「ポアンカレ予想」という言葉がないかと言う

　　　　　　と、代わりに 「幾何化予想」（geometrization conjecture）というものを

　　　　　　証明してるからだ。「コンパクト３次元多様体は、幾何構造を持つ８つ

　　　　　　の部分多様体に分解される」という予想で、サーストン（W.P.Thurston）

　　　　　　という数学者によるもの。これを示せば、結果的にポアンカレ予想も証

　　　　　　明されたことになるらしい。

　　　　　　ちなみに、ペレルマンの証明論文とされる３本のうち２本目（おそらく中

　　　　　　心的論文）の冒頭は下の通りだ。「アーカイヴ」（arXiv）と呼ばれるネッ

　　　　　　ト上の保管場所に置かれて、物理を中心とする英語論文のプレプリント

　　　　　　（学術雑誌への投稿前の論文）が、世界中で自由に読めるようになって

　　　　　　いる。著作権は放棄されてないみたいだけど、この程度のコピーでクレー

　　　　　　ムを付けられるとは思えない。

　　　　　　投稿は２００３年３月１０日なのに、なぜか２００８年２月１日と書かれてる。

　　　　　　跡は見当たらないけど、修正したという意味か。「Grisha」（グリーシャ？）

　　　　　　という名前は時々使われるペンネームとのこと。タイトルを訳すと、

　　　　　　　　「３次元多様体の上での手術つきリッチ・フロー」。

　　　　　　「リッチフロー」とは、ハミルトンという学者による「発展方程式」のことで、

　　　　　　「手術」とは「空間の変更」を指す独特の表現。分からないことばかりで

　　　　　　本当に大変だ。。

Ｐ．Ｓ．３　ついでにペレルマンの残り２つの論文名も挙げとこう。タイトルの邦訳　

　　　　　　が見当たらないので、個人的な試訳を添えておいた。

　　　　　　「The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications」

　　　　　　　（ リッチ・フローに対するエントロピー公式とその幾何的応用　02.11.11 ）

　　　　　　「Finite extinction time for the solutions to the Rich flow on certain

　　　　　　　three manifolds」

　　　　　　　（ ある３次元多様体上のリッチ・フローの解に関する有限消滅時間

　　　　　　　　03.07.17 ）

Ｐ．Ｓ．４　２００９年１１月半ばから、この記事がツイッター（ｔｗｉｔｔｅｒ）を通じて

　　　　　　地味に流通してるようだ♪（今は２４日）。

　　　　　　皆さん、ようこそ、こんにちは☆彡

Ｐ．Ｓ．５　２０１０年３月２４日の朝日新聞・夕刊によると、米国・クレイ数学

　　　　　　研究所（ＣＭＩ）が、ペレルマンに賞金１００万ドルを贈ることを決

　　　　　　定したそうだ。「ミレニアム懸賞問題」の１つである、ポアンカレ

　　　　　　予想を解決した功績に対するものだけど、変わり者のペレルマ

　　　　　　ンが受け取るかどうかは疑問視されている。実際、国際数学者

　　　　　　会議によるフィールズ賞は辞退した。

ｃｆ．ドーナツ型とボール型の区別～ポアンカレ予想の理解２

　　「閉じた宇宙」と閉多様体～ポアンカレ予想の理解３