ドーナツ型とボール型の区別～ポアンカレ予想の理解２

先日アップした記事、「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して、に続い

て、第二弾の記事をアップしよう。ポアンカレ予想に関する話には、ボール型とドー

ナツ型、２つの簡単な形がよく出て来るけど、これらを数式でハッキリ区別しようと

いう記事だ。ポアンカレ予想と関係なしに考えても、意味のある内容だと思う。

ネット上の説明を色々見ると、球面とドーナツ型の曲面（円環面＝トーラス）は違

うという話がよく持ち出されてる。でもほとんどは、曲面上にロープやループを張って

手元とか一点に引き締められるかどうかを語る大まかなイメージ的説明だ。「トポ

ロジー」の世界だからそれで済むと言えなくもないけど、話が一気に飛びすぎてる

感がある。数学なのに、どうして数式による説明が見当たらないのか。球面は数

式でさんざん扱ってるはずだし、教科書に載ってる話にすぎない。

多くの人が理解できる高校レベルの数式で、球とドーナツがどう違うのかを説明

したサイトがあればいいのに、なかなか見当たらない。ポアンカレ予想の説明で

は皆無だ。ポアンカレと無関係でも、円環面の方程式を書いてるサイトというの

が少なくて、しかも大部分は方程式を説明抜きで出している。少なくとも２００９年

３月２１日の時点において、Ｙａｈｏｏ！とＧｏｏｇｌｅで「円環面の方程式」、「トーラス

の方程式」などを検索した結果はそうだった（実際に見たりフレーズ検索したりし

て、無関係なものは除いた結果）。

この式は、高校数学で実際に登場することはないけど、理系の高校生が導ける

レベルなのは間違いない。実際、私は昔、自力で解いた覚えがあるし、ハイレベ

ルな高校参考書で見かけたことがあるような気もする。今日、久し振りに計算して

みたけど、簡単な計算にすぎないし、出てきた結果は確かに国内のサイトや英語

版ウィキの数式と一致した。

そこで以下、円環面の方程式（普通の２次元曲面の式）をまず簡単に導き、その

後で球面の方程式と比較しながら、ｎ次元へと拡張してみよう。なお、「円環面」と

か「トーラス面」という呼び方は珍しいので、今後は単に円環とかトーラスと呼ぶ

ことにする（たまに面という言葉も付ける）。一方、「球面」は球（中身を含む「球体」）

と分ける方が普通だと思うので、今後も基本的には球面と呼ぶ。「球の方程式」と

呼ぶ人も少なくないので、念のため。

あと、「２次」とか「３次」という次数の呼び名は、空間全体と、曲面と、方程式とで、

それぞれ別扱いとなる。誤解や混同の多い点なのでご注意あれ。たとえば普通

のドーナツとかトーラスの式は、３次元空間における２次元曲面で、４次方程式を

用いて表すことが多い。

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上の円環の図は「ウィキメディア」で公開されてるものを少しだけ処理したものだ。

余分なものを消去し、重要なものを強調して、ほぼ２分の１に縮小してある。やや

真ん中の穴が小さいけど、何とか分かるだろう。円環の中心軸（垂直の線）を ｚ軸

とし、図のように ｘ 軸、ｙ 軸を設定する。円環の太さを ｒ 、円環の空洞の中心を

一周する円の直径を Ｒとすると、Ｒ ＞ ｒ ＞ 0。

いま、ｚ 軸を含む平面による、円環の切り口を考える。例えば、本物のドーナツ

をナイフで真上から４等分とか切り分けた時のことをイメージすればいい。ただし、

　円環は本物のドー

　ナツと違って中身

　が空洞だから、切

　り口は円（丸い線）

　になる。円上の点

　Ｐ（ｘ，ｙ．ｚ）がみ

　たすべき方程式は、

　図の直角三角形で

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三平方の定理を考えて、

　　　　　　　{（√ｘ²＋ｙ²）－Ｒ }²＋ｚ² ＝ ｒ²　　（丸カッコ内の全体がルートの中）

これが直感的に一番分かりやすい円環（トーラス）の方程式だろう。ｚ の絶対値

記号（縦線２本）が消えるのは、２乗したからだ。ルートの記号（√）を消したい場

合は変形して（末尾のＰ．Ｓ．参照）次の４次方程式になる（ちなみに球面は２次）。

　　　　　　　（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋Ｒ²ーｒ²）² ＝ ４Ｒ² （ｘ²＋ｙ²）

英語版ウィキの「Torus」の項目には、この順で両方載せてあるけど、普通この種

の話でルートは使わないので、この下側の式を基本にしよう。実際、国内の２つ

のサイト（東大と愛知教育大）もルート無しの４次式を基本にしている。

ちなみに、この式を求めるには、ｚ 軸に垂直な水平面による切り口（二重の円）

を考えてもいいが、似たような話だから省略する。また、まったく別な形の式と

して、三角関数を使ったパラメーター（媒介変数）表示もあるけど、一般的ではな

いし必要でもないのでここでは扱わない。興味のある方は英語版ウィキその他を

ご参照あれ♪　（水平回転の角と垂直回転の角を、２つのパラメーターにする）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　

　もう一方の、球面の方程式（原

　点中心、半径ｒ ）は、高校の教

　科書の通り、

　　　　　　　ｘ²＋ｙ²＋ｚ² ＝ ｒ²

　より正確な表現は、この式を

　みたす点の集合と考えて

　 　　{（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝ｒ² }

だけど、この記事では全て省略する。ちなみに図は、英語版ウィキメディアから

頂いたものに少しだけ手を加えたものだ。また、中身も含む「球体」の場合は、

式の等号「＝」を不等号「≦」に変えればよい。

上の式は、我々が実際に住んでる３次元空間における２次元球面だ。３次元空

間とは、ｘ，ｙ，ｚの３文字（日常的表現なら縦、横、高さ）あるという意味。２次元と

は、方程式が１本あるから１文字消して２文字に出来ると考えてもしいし、面だか

らと考えてもいい。あるいは、地球の表面のように、経度と緯度の２つで場所が

決定するから２次元とも言える。同様に、最初に求めた円環は、正確には３次元

空間における２次元円環だ（省略して３次元の円環と言うこともある）。

この自然な拡張として、２次元空間における１次元球面（つまり円）の方程式は、

　　　　　　　　ｘ²＋ｙ² ＝ ｒ² 　　

すると、４次元空間における３次元球面の方程式ならこうなるはずだ。

　　　　　　　　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋ｗ² ＝ ｒ²

ｎ＋１次元空間におけるｎ次元球面なら、変数（アルファベット）をｎ個にすればよい。

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３次元球面を２次元と４次元に拡張した上で、元に戻って円環を考えてみる。３次

元でさえ少ないから、２次元の円環の式や４次元の円環の式は、ネット上でまだ

発見できてない。でも、もし球面と同様の自然な拡張を行うなら次のようになる。

２次元空間における１次元円環の方程式は、

　　　　　（ｘ²＋ｙ²＋Ｒ²ーｒ²）² ＝ ４Ｒ² ｘ²

これは （ｘ±Ｒ）²＋ｙ² ＝ ｒ² に変形できるから、半径 ｒ の円２つ（中心間の距離

２Ｒ）を表す。一方、ネットであちこち調べると、１次元トーラスは円とだけ書いて

ある。２つの円を区別せずに１つとみるのか、片方だけみるのか、あるいは数式

からの拡張に小さな問題があるのか、今のところ不明だ。まあ、球面のことを考

えても、基本的な考え方は正しいだろう。

続いて、４次元空間における３次元円環の方程式は

　　　　　（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋ｗ²＋Ｒ²ーｒ²）² ＝ ４Ｒ² （ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）

ｎ＋１次元空間におけるｎ次元円環なら、変数をｎ個に増やせばいいだけだろう。

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こうして、２次元の円環や球面の式を形式的に拡張することで、３次元円環とか、

３次元球面の意味も数学的に明確になるし、ドーナツ型とボール型の区別も明

確になる。また、イメージしにくいｎ次元への一般化も、理論的に可能となるわけ

だ。この後は、トポロジー（位相幾何）特有の議論を理解していく必要がある。

とりあえず、第二弾はこの辺で。第三弾はかなり後にずれ込みそうだ。

ではまた。。☆彡　　

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Ｐ．Ｓ．円環の方程式の変形は次の通り。右辺を√の項だけにして両辺２乗する。

　　　　{（√ｘ²＋ｙ²）－Ｒ }²＋ｚ² ＝ ｒ²　⇔　ｘ²＋ｙ²－２Ｒ （√ｘ²＋ｙ²）＋Ｒ²＋ｚ²－ｒ² ＝ ０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋Ｒ²－ｒ² ＝ ２Ｒ （√ｘ²＋ｙ²）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＋Ｒ²ーｒ²）² ＝ ４Ｒ² （ｘ²＋ｙ²）　

Ｐ．Ｓ．２　以上では「ドーナツ型トーラス」だけを考えていて、「平坦トーラス」と呼

　　　　　　ばれる奇妙な図形については考慮してない。普通はドーナツ型を考え

　　　　　　るし、ポアンカレ予想の話でもそうだから、差し当たり問題ないだろう、

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ｃｆ．「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して　　

　　「閉じた宇宙」と閉多様体～ポアンカレ予想の理解３　

　　ドーナツ（３次元円環＝トーラス）の体積

　　ドーナツ（円環＝トーラス）の表面積とパラメーター表示