４次元の球の体積

ワード付属の数式エディター、Microsoft 数式 3.0 を使ってＰＣ入力する練習の第

二弾として、半径ｒの４次元球の体積Ｖ₄（ｒ）を求める計算式を書いてみよう。もち

ろん４次元というのは理論的なものであって、２次元の球（つまり円）と３次元の球

の式から自然に拡張したものだ。下の最初の等式（４重積分）が、定義となる。こ

うした話については、３ヶ月前にドラマ『Ｑ．Ｅ．Ｄ．』の記事で既に書いておいた。

まだ慣れてないせいなのか、エディターに問題があるのか、とにかくもの凄く苦労

して、何度もやり直しになった。一番ショックだったのは、途中でいきなり全部消え

てしまったこと。どうも字数制限とかデータ量制限みたいなものがあるようで、それ

を超えた途端、何の警告もなく消去されるのだ。もちろん自動保存もされてない。

仕方なくやり直して、分割保存するハメになった。

あと、なぜか意味不明なスペースが入ったりして、しかも修正不能なので、気に

せず読んで頂きたい。途中の日本語に句読点を入れることも出来なかった（変な

事態になる）。ともかく大きな流れとしては、４重積分→累次積分（一部）→置換

積分という風に進む。∬∬dxdydzdw → ∫dx ∬∫dydzdw → ∫dx → ∫dθ。

途中、３次元の球の体積Ｖ₃が（4/3）π×（半径）³ であることを利用してるが、

もし利用しない場合は累次積分だけで処理することになるので、かなり長くなる。

レベル的には大学１年程度にすぎないけど、意外にネット上だとこうゆう記事は

少ないと思う。一応、『微積分ハンドブック』を参照（井上正雄，聖文社）してるが、

半分くらいは私自身の表現だ。完全に合ってる自信がある。

ちなみに今後は、福山雅治『ガリレオ』の数学・物理記事を全てキレイに打ち直す

作業に移るか、別の話にチャレンジするか、まだ検討中。いずれにせよ、かなり

面倒な作業だという事が身にしみて分かった。ラクなのはやっぱ、手書きだね。。

Ｐ．Ｓ．実は、ＮＨＫスペシャル『マネー資本主義』で記事を書こうかな、とか思って

　　　　たのに、うっかり居眠りしてしまった (^^ゞ　春眠あかつきを覚えず♪

　　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　

Ｐ．Ｓ．　リクエストにお答えして、より一般的な球について別記事をアップ。

　　　　　　　ｎ次元の球の体積、帰納法による証明