全国学力調査、伝説の確率の問題が登場♪

アハハ (^^)　いやぁ、久々に数学で爆笑させてもらった♪　昨日（２００９年４月２１

日）実施された、「平成２１年度全国学力・学習状況調査」。中学３年向けに知識

の活用を問う「数学Ｂ」問題の最後を飾ったのは、確率に関する有名問題だった。

国立教育政策研究所のＨＰを見ると、著作権に関して意外なほど厳しい制限が

書かれてるから、そのままの引用は避けとこう。ただ、この学力調査の問題自体

が、有名問題をほんの少しアレンジしただけのものだから、そんなに強気に出る

ほどのオリジナリティはない。そこで、私もほんの少しアレンジしただけで、この

学力調査問題の５番を「大まかに再現」してみよう。「引用」ではないので、関係

者の方、よろしくネ♪

　　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

それでは、伝説の問題を書くことにする（学力調査に似せたヴァージョン）。

司会者と挑戦者の２人で、賞品当てゲームを行う。３つの箱の内、１つだけ賞品

が入ってるから、挑戦者はとりあえず、どれか１つの箱を選ぶ（まだ開けない）。

そこで、答を知ってるみのもんた・・・じゃなくて司会者が、残りの２箱の内、ハズレ

の方の箱を開いて挑戦者に見せる。その上で、挑戦者はファイナル・アンサー

・・・じゃなくて最終的な答を選択する。

さて、挑戦者は最後に、選択を変えて残り１箱にすべきか、選択を変えずに元の

箱のままにすべきか。あるいは、どちらにせよ当たる確率は同じなのか。。

　　　　　　　　（注．　実際の全国学力テストは、もっと簡単な誘導問題になってる）

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この問題を初めて耳にしたのは、５年くらい前だったと思う。常連さんはご存知

の通り、私は半ば理系の人間だ。数学は今でも大好きで、大学レベルの数学・

物理の記事を何本も書いて来たし、周りにもそうゆう友人・知人が何人もいる。

その中の１人が、面白い問題を見つけたと前置きして話し始めたのが、上の問

題だったのだ。

その友人が問題を入手したのは、『放浪の天才数学者エルデシュ』（ホフマン著，

草思社，２０００）から。生涯に１５００本もの論文を書いた天才でさえ間違えてし

まった単純な確率の問題として、掲載されてたらしい。私は確認してないけど、今

ネットで検索すると、確かにその本に紹介されてるようだ。

（追記：　５月２２日に自分で確認した）

私もそうだけど、たぶん最初は多くの人が、同じだと考えるんじゃないだろうか。

挑戦者が最初に選んだ箱が当たりの確率は当然３分の１。また、最後に残った

１つの箱が当たりの確率も３分の１。したがって、最初の選択を変更してもしなく

ても確率は同じだろう。あるいは、少し話が変わるけど、司会者のヒントによって

３分の１ ｖｓ ３分の１の２者択一になったから、変更してもしなくても当たる確率

は２分の１、とも考えられる。さらにはもっと単純に、残った２つは「同様に確から

しい」から同じく確率２分の１、という考えも可能だ。

いずれにせよ、直感的（ｏｒ直観的）には、選択を変更してもしなくても同じような

気がしてしまう。でも、かなりモヤモヤする部分も残ってるし、わざわざ問題として

出して来たくらいだから、引っ掛けがあるんだろう。という訳で、私は最初、慎重

に解答を保留したのだ♪　数学好きのプライドにかけて、この程度の問題を間違

えるわけにはいかない。

で、しばらく後にもう一度その話題が出たから、改めて考え直してみた。あまりに

頭がモヤモヤする時、私は思わず笑ってしまう♪　ニヤニヤどころか、声を出し

て爆笑することもあるから、人前だと注意しないと通報されそうだ。

別の友人が「同じ」と答える中、私は結局「変えた方がいい」と答えた。その時は

確か、高校数学で習う「原因の確率」の計算を使ったと思うけど、どう使ったかま

では覚えてない。今日、久し振りに朝日新聞で問題を見た時には、モヤモヤして

爆笑しながらも、以前より要領よく考えることができた。

ポイントは、最後に残った１箱が当たる確率の計算だ。確か、ハンガリーの天才

エルデシュは、司会者が途中で言う事なんて関係なく、最初の時点で３分の１に

決まってると考えたんだったと思う。つまり、元々は３分の１ｖｓ３分の１の互角の

戦いだから、ハズレを１箱教えてもらった後でも同じという考えじゃなかったかな。

これに対して、今日の私はこう考えた。ヒントをもらった後の時点で「最後の１箱

が当たり」ということは、「挑戦者が最初に選択しなかった２箱のいずれかが当た

り」ということと同じだ（互いに必要十分条件）。したがって、その確率は３分の１で

はなく、３分の２。だから挑戦者は最初の答を変えて、最後の１箱を選択すべきだ。

実際これが正解なんだけど、天才エルデシュは納得できずに、実験してみろと

主張したんじゃなかったかな（記憶が曖昧）。まあ、最終的には、現実の確率計

算の根拠は経験（実験＆観察）だから、それほどおかしな事を言ってる訳でも

ない。ただ、ちょっと子供が駄々こねるみたいでカワイイね♪

（追記：　エルデシュの伝記によると、知人が多数のコンピューター・シミュレー

　　　　　ションを繰り返して、やっぱり理論通りになることを確認したようだ）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ちなみに、今回の学力調査の問題でも最後は実験の話になって、どうゆう実験

の仕方が正しいかという設問で終わってる。という事は、挑戦者がどうすべきな

のかという微妙な問題はギリギリで避けてるのだ。

まあ、これは当然の配慮だろう。エルデシュどころか、今ネットで見ると、多くの数

学系の人が間違えて話題になったとか書いてある。モンティ・ホール（Monty Hall）

という司会者のバラエティで同種のゲームがあったから、「モンティ・ホール問題」

「モンティホール・パラドクス」「モンティ・ホール・ジレンマ」という言葉まであるらし

い。標準的な形では、箱でなくドアで、当たりが車、ハズレが山羊（ヤギ）とのこと。

英語版ウィキペディアの「Monty Hall problem」の項目に、詳しい解説がある。日

本のウィキはその部分訳といった感じか。。

という訳で、確率の問題は面白いし、ちょっと怖いよねって話だ。特に本質的な

のは、確率計算の根本にある「同様に確からしい」という概念。この問題だと、最

後に残った２つのそれぞれが当たることは、「同様に確からし」くはないのだ。

まだ納得いかない人は、ズブズブとハマって頂きたい♪　ではまた。。☆

ｃｆ．　全国学力調査２０１２・中学数学Ｂ、スキー・ジャンプの問題（原田ｖｓ船木）

　　　ポアソン分布（過程）による地震の確率計算（ｂｙ政府・委員会）

　　　確率論の原点と教育～中学校・数学の教科書など

　　　ベルトランの箱のパラドクス～フランス語原文と日本語訳、確率の計算