ドーナツ（３次元円環＝トーラス）の体積

先日の「４次元の球の体積」に続いて、今回はドーナツ（３次元の円環＝トーラス）

の体積を求めてみよう。体積というくらいだから当然、円環面（表面だけ）ではなく

円環体（中身も含む）のことだ。基本的には、ワードで数式を入力する練習にすぎ

ないけど、知的好奇心の豊かな方には参考になるかも知れない。意外にこうゆう

記事はネットだと少ないのだ。私は何の参考書も見てないけど、最後の答だけは

キレイな値として中学時代から知ってたし、考え方も計算も合ってるはずだ。

　まず、空間的イメージを用

　意しよう。左の円環の図は

　「ウィキメディア」で公開され

　てるものを少しだけ処理し

　たもので、先日のポアンカレ

　予想の記事に挿入したもの

　とほぼ同じだ。円環の中心軸

　（垂直の線）を ｚ軸とし、図の

ように ｘ 軸、ｙ 軸を設定する。小半径（チューブの太さ）を ｒ 、大半径（チューブ

の中心を一周する円の半径）を Ｒとすると、Ｒ ＞ ｒ ＞ 0。

この体積は、（切り口の円の面積）πｒ² ×（大円の周の長さ）２πＲ、すなわち

２π² ｒ² Ｒとなる。昔から知られていた有名な事実として、先に書いておこう。以下

ではその証明を、まず高校レベルの積分で行って、さらに大学レベルに進む。

　　　　　　　

上の図で、ｙ軸は画像（あるいはＰＣモニター）に垂直な方向に伸びている。ドー

ナツをｘｚ平面で切ると、左右対称に半径 ｒ の円（正確には円板）が生じる。この

右側の円をｚ軸中心に回転させて出来る立体がドーナツだから、高校数学で「回

転体の体積」を求める式を用いれば、体積Ｖは求まる。Ｖ＝π∫{ｆ（ｘ）}² ｄｘ とか

書かれてる公式の簡単な応用だ（回転軸の周りに穴があるタイプ）。

上では、２行目の積分の意味を考えて半円の面積としたが（常套手段）、もし積分

のまま計算するのなら、ｚ＝ｒ ｓｉｎ θ と置換すれば簡単な置換積分となる（教科

書の例題レベル）。

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続いて大学１年レベルで考えると、トーラスの体積は３重積分∫∬ｄｘｄｙｄｚで定義

し、それを累次積分∫ｄｚ∬ｄｘｄｙに直して計算することになる。「中身まで含めた

トーラス（円環体）の式」は、以前の記事で求めた「トーラスの表面（円環面）の式」

の等号を不等号に変えたもの。すなわち、

　　　　　　{（√ｘ²＋ｙ²）－Ｒ }²＋ｚ² ≦ ｒ²　　（丸カッコ内の全体がルートの中）

したがって、以下のように計算すればいい。ブログの横幅の制限で、４行目の式

を２段に分けざるを得なかったけど、悪しからずご了承を。。

　　　　　　　　

これで、高校レベルの積分と同じ式になったから、以下は先ほどと同じ計算に

なる。上で「２重積分 ∬dxdy 」を、「２つの円の面積の差」（穴あきコインの形）

としているが、これを真面目に積分計算するのなら、さらに累次積分∫dy∫dx

に直せばいい。ただ、かなり不自然だと思う。

という訳で、今回はこれにて終了。数学や物理のネタなら無限にあるし、ウチの

過去の記事をキレイに打ち直すだけでも相当な量になる。時々こうして数式入力

すれば、やたら使いにくい数式エディター「Microsoft 数式 ３．０」にも慣れてくる

だろう。あとは、ｐｄｆファイルにして、さらにエクセルでグラフに挑戦かな。

ではまた。。☆彡

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ｃｆ．ドーナツ型とボール型の区別～ポアンカレ予想の理解２

　　ドーナツ（円環＝トーラス）の表面積とパラメーター表示

　　４次元の球の体積

　　ワードで数式をＰＣ入力する練習