ε－δ論法による極限の定理（線型性）の証明

雨が止まない。。今日はまたランニング記事の予定だったのに、これだけ本降り

が続いたんじゃ、傘ランもする気がしない。代わりに、サラッと見た『夜光の階段』

第６話の軽～い感想を書くのもいいけど、最近お堅い「ε－δ論法」の記事が地

味にヒットしてるから、続編の記事を追加しとこう。ま、藤木直人が木村佳乃を殺

して夏川結衣とくっつく話を書いた方がウケがいいんだけどネ。

イプシロン－デルタ論法を使った問題と答を求める検索が時々入ってるから、

適当な例題を解説しようかとも思ったけど、それより先に、私が高校数学で引っ

掛かった極限（ｌｉｍｉｔ＝リミット）の定理の証明を済ませておきたい。それは、数Ⅱ

の教科書に枠付きか太字で書かれてた、関数の極限の「線型性」（または線形

性）を示す次の定理、あるいは公式だ（もう一つの定理は記事後半で）。

簡単に言うと、関数 ｆ の値が ｐ に近づき、関数 ｇ の値がｑに近づくなら、和（足

し算）の関数「 ｆ＋ｇ 」の値は ｐ＋ｑ に近づくという話。つまり、「関数の和」の極限

は、各「関数の極限」の和ということで、ｌｉｍ （ｆ＋ｇ）＝ｌｉｍ ｆ ＋ｌｉｍ ｇ と単純化して

もいい。普通の人なら、当たり前に思える話だろう。でも、昔から理屈屋だった私

は気になったので、数学のＮ先生に質問した。すると、まず「当たり前だろ」とか

言って来たから、「そうですか？」と更に食いつくと、大学レベルの数学でないと

証明できないという感じの説明をしてくれた。

私はそれ以降、その証明を見たことも、自分でやったこともなかったけど、いい

機会だから今回やってみた。すると、確かにきっちり証明できたのだ♪　なるほ

ど、やっぱりこの論法には価値があるね。イプシロン・デルタ論法、強力な論証

方法だ☆　それでは以下、証明してみよう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

題意を示すには、次のことを導けばよい。

　　　　　任意の正のεに対して、ある正のδが存在し、

　　　　　０＜｜ｘ－ａ｜＜δ ならば ｜{ ｆ（ｘ）＋ ｇ（ｘ） } －（ ｐ＋ｑ ）｜ ＜ ε

さて、いま任意の正のεが与えられた時、２つの極限の仮定より、次の２つのこと

が言えるはず。

　　ある正のδ₁が存在して、０＜｜ｘ－ａ｜＜δ₁ならば｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ε／２

　　ある正のδ₂が存在して、０＜｜ｘ－ａ｜＜δ₂ならば｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε／２

したがって、δ₁とδ₂のうち小さい方（同じならその値）をδとすると、

　０＜｜ｘ－ａ｜＜δならぱ、｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ε／２ かつ ｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε／２

　辺々加えて、｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＋｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε

更に、一般に成り立つ「三角不等式」、｜ｍ＋ｎ｜≦｜ｍ｜＋｜ｎ｜を用いると、

　｜{ ｆ（ｘ）－ｐ }＋{ ｇ（ｘ）－ｑ }｜≦｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＋｜ｇ（ｘ）－ｑ｜＜ε

　両端を見比べれば、 ｜{ ｆ（ｘ）＋ ｇ（ｘ） } －（ ｐ＋ｑ ）｜ ＜ ε

以上で題意は示された。（証明終）

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

という訳で、鮮やかに証明できるわけだ。ポイントだけ、青色にしておいた。ちな

みに、絶対値記号（二本の縦線）に関する三角不等式は、この論法で非常によ

く使う基本定理だ（証明は高校１年レベルだから省略）。ついでに線型性を表す

もう一つの定理についても証明しとこう。それは、次の定理だ。

　　　

簡単に言うと、「定数倍した関数」の極限は、「元の関数」の極限の定数倍という

ことで、ｌｉｍ ｋ ｆ ＝ ｋ ｌｉｍ ｆ と単純化してもいい。これまた、常識的には当たり前

のことだが、上と同じく正確に論証できるのだ。以下、実際にやってみよう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、ｋ＝０の時には両辺０だから明らかに正しい。よって以下、ｋ≠０とする。

題意を示すには、次のことを導けばよい。

　　　　　任意の正のεに対して、ある正のδが存在し、

　　　　　０＜｜ｘ－ａ｜＜δ ならば ｜ｋ ｆ（ｘ）－ｋ ｐ｜＜ε　　　　　　　　　　　　　　　　　　

さて、いま任意の正のεが与えられた時、極限の仮定より次のことが言えるはず。

　　ある正のδが存在して、０＜｜ｘ－ａ｜＜δ ならば ｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ ε／｜ｋ｜

　　　　　　　　　　　　　　　 ∴ ｜ｋ｜｜ｆ（ｘ）－ｐ｜＜ε

　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　 ｜ｋ ｆ（ｘ）－ｋ ｐ｜＜ε

以上で題意は示された。（証明終）

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

こうして、関数の極限に関する「線型性」（ｏｒ 線形性）を表す２つの基本定理を

証明することができた。「当たり前」として天下り式に認めるより、遥かに理論

的な対応だろう。そもそも高度なレベルでは、「当たり前」と思われる事柄が間

違ってることも珍しくない。なお、関数の積（掛け算）や商（割り算）についての

定理も、似たようなやり方で証明可能だ（上で示した和や定数倍よりは少し難

しい）。

　（☆２年後の追記：　積の定理の証明記事を追加。下のリンクからどうぞ。）

という訳で、今日はここで終了。また次回をお楽しみに。。☆彡

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ｃｆ．　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法による極限の定義

　　　イプシロン・デルタ（ε－δ）論法の問題の解き方

　　　ε－δ論法による基本定理の証明～関数の積の極限

　　　ε－δ論法における、∞（無限大）や発散の扱い方

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　　ε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法～数列の極限の定義と解き方

　　ε－Ｎ論法による基本定理の証明～数列の商の極限