パラメーター付き曲線の通過領域と包絡線

大切な週末、他にいくらでもやる事はあるのに、なぜか数学のブログ記事を書い

てしまうのが、マニアの哀しい性（さが）ってもんだ♪　最近ずっと「包絡線」（ほうら

くせん）について考えてたので、とりあえず第一弾の記事を書いとかないと気が済

まないわけ。先日インストールした、関数グラフのフリーソフト「ＧＲＡＰＥＳ」を使う

練習にもなるし、偏微分と関連するから、遥か遠くで福山雅治『ガリレオ』の数式

（物理学の偏微分方程式）ともつながることになる。

包絡線は、ギリギリで高校数学の範囲なんだけど、文系はもちろん、理系でも知

らない人が少なくないかも知れない。パラメーター（媒介変数）付きの曲線（直線

も含む）が、パラメーターの値に応じて変化する時、その通過領域全体の境界と

なる線のことで、通過領域を「包むもの」だから、英語で「ｅｎｖｅｌｏｐｅ」（＝封筒）と

呼ばれている。　（注．　「接する」という意味については記事の終盤に触れる）

本来は大学で偏微分の応用例として学ぶものだから、高校では名前を出さずに、

こっそり登場していた。高校数学のちょっと変わった問題というのは、一般に大学

レベルの内容をこっそり使ってるものが少なくないのだ。論より証拠、早速、高校

数学の代表的問題を考えてみよう（包絡線関連だと最も簡単なレベル）。

　　　「ａ の値が実数全体を変化する時、直線 ｙ＝ａｘ－ａ² の通過領域を求めよ」。

数学好きなら、暗算ですぐに答を出す所だけど、ここでは基本に戻って、実際に

ａ の値を少しずつ変化させることにしよう。ａ＝２なら、直線は ｙ＝２ｘ－４。同様に、

ａ＝１，０，－１，－２の時も考えて、実際にグラフを書いてみると、次のようになる。

ａ＝０の時は、直線は ｙ＝０。つまり、水平方向に伸びる ｘ 軸と重なる。

　　　　

以前は、手書きで５本くらい直線を書いて、イメージをつかんでた。ところが今だと、

パソコンで数十本の直線を簡単に描くことができる。下図を見ると、ほぼ答の領域

がつかめるだろう。

　　　　　　

ｘ 軸の上側、ｙ 軸の左右辺りだけが、直線の通らない領域で、境界線はＵ字型

の曲線になってるのが分かる。この境界線が、包絡線と呼ばれるものだ。先の

問題を解けば、包絡線の式も分かるので、以下３通りの方法で解いてみよう。

最後に別扱いで追加する１通りを加えるなら、４通りとも言える。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

（１）　パラメーター ａ の２次方程式と見て、判別式Ｄを用いる方法　（高校では標準）

　　　（解答）　直線の式を ａ についてまとめると、ａ²－ｘａ＋ｙ＝０。

　　　　　　　　これを ａ の２次方程式と見て、判別式 Ｄ≧０より、ｘ²－４ｙ≧０。

　　　　　　　　したがって、求める領域は、ｙ ≦ 1/4 ｘ²　。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了♪）

　　　（説明）　最後の答の不等号「≧」を等号に変えれば、包絡線（つまり境界線）

　　　　　　　　の式 ｙ＝ 1/4 ｘ² になる。

　　　　　　　　この方法が理解できない人は少なくないようだけど、直線の式の ｘ

　　　　　　　　と ｙ に具体的な数字を入れてみればいい。例えばｘ＝０，ｙ＝－１を

　　　　　　　　代入すると、－１＝０ａ－ａ²。つまり、ａ² －１＝０（２次方程式）だから、

　　　　　　　　結局 ａ＝±１。つまり、ａ＝１の時とａ＝－１の時、直線は点（０，－１）

　　　　　　　　を通ることが分かる。実際、最初のグラフを見れば、そうなってる。

　　　　　　　　同様に、直線がある点（ｘ，ｙ）を通るかどうか調べるには、直線の式

　　　　　　　　を ａ の２次方程式と見て、実数解 ａ が求まるかどうか調べればよい。

　　　　　　　　だから解の判別式Ｄを使えばいいのだ。ｘ と ｙ だと引っ掛かる人は、

　　　　　　　　代わりに点（Ｘ，Ｙ）とか点（ｐ，ｑ）にして、最後の答だけ ｘ と ｙ に直せ

　　　　　　　　ばいい。普通に ａ から点（ｘ，ｙ）を決めるのではなく、逆に点（ｘ，ｙ）

　　　　　　　　から ａ を求めようとする発想だから、「逆像法」とも呼ばれる。

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

（２）　パラメーター ａ の２次関数と見て、平方完成を用いる方法

　　　（解答）　直線の式を、ａ の２次関数と見て平方完成すると、

　　　　　　　　　ｙ＝－（ａ－1/2 x）²＋ 1/4 ｘ²

　　　　　　　　よって求める領域は、ｙ≦ 1/4 ｘ²。

　　　（説明）　これは、例えば ｘ ＝２とか、ｘ の値を固定した時、ａに応じて ｙ が

　　　　　　　　どれだけ変化するかを調べる方法だ。図形的には、通過領域全体

　　　　　　　　を ｙ 軸に並行な垂直線（ ｘ＝２とか）で切った時にできる、「半直線」

　　　　　　　　の ｙ 座標の範囲を求めてることになる（ａ の２次関数を利用）。普通、

　　　　　　　　「直線」とは両側にずっと伸びる線だけど、この場合は上側に「端点」

　　　　　　　　（端っこ）があって下側にずっと伸びるだけだから、半直線だ。上側

　　　　　　　　の端点（ｘ＝２ならｙ＝１）を集めたものが包絡線というわけだ。

  　　　

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

（３）　ａ についての偏微分を用いて、ａ を消去する方法　（記述試験だと不完全！）

　　　（解答）　直線の式を整理して、ａ²－ｘａ＋ｙ＝０。

　　　　　　　　両辺をａで偏微分して、２ａ－ｘ＝０。

　　　　　　　　ａについて解いて、ａ＝1/2 ｘ。

　　　　　　　　直線の式に代入して ａ を消すと、ｙ＝（1/2 x）ｘ－（1/2 x）²。

　　　　　　　　つまり ｙ＝1/4 ｘ² で、これが包絡線。　

　　　　　　　　通過領域はその下側全体（境界含む）だから、 ｙ≦ 1/4 ｘ²。

　　　（説明）　「偏微分」とは大学レベルの言葉だけど、要するに他のものを固定

　　　　　　　　して特定の文字について微分することだから、実質的には高校レベ

　　　　　　　　ルの操作と言ってもおかしくない。例えばｘ＝２、ｙ＝１と固定して、定

　　　　　　　　数扱いすると、直線の式は １＝２ａ－ａ²。つまり、ａ²－２ａ＋１＝０。

　　　　　　　　この両辺を ａ で微分するだけなら、高校２年の教科書・例題レベル

　　　　　　　　にすぎない。ただ、ｘ と ｙ を文字のままでやるのは、ちょっとした慣

　　　　　　　　れが必要だろう。

　　　　　　　　この記事の最初に、包絡線を「包むもの」として説明したけど、大学

　　　　　　　　レベルの本だと「接するもの」とされている。つまり、パラメーター付

　　　　　　　　きの曲線（直線も含む）が常に接する、別の特定の曲線ということだ。

　　　　　　　　実際、先の問題での直線 ｙ＝ａｘ－ａ² は、ａ が変化しても常に包絡

　　　　　　　　線 ｙ＝1/4 ｘ² に接している。

　　　　　　　　接するから、微分 dy/dx （接線の傾き）が関係するのは何となく分

　　　　　　　　かるとして、どうしてａによる偏微分が関係するのかというと、やや

　　　　　　　　難しい証明が必要になる。それについては、しばらく後で別の記事

　　　　　　　　を書くことにしよう。ネットで検索すると、いくつかの証明が出て来る

　　　　　　　　けど、私の記事はちょっと違う内容になる予定だ。

　　　　　　　　ともかく、元の式と、パラメーターについて偏微分した式とを連立して

　　　　　　　　パラメーターを消去すれば、包絡線は求まる。ただ、問われたのは

　　　　　　　　包絡線ではなく、通過領域だった。包絡線の下側全体がなぜ通過領

　　　　　　　　域になるのかは説明されてないから、不完全なのだ。少なくとも、「明

　　　　　　　　らかに下側全体を通過する」という文くらいは必要となる。他にも、高

　　　　　　　　校レベルだと、なぜ求めた曲線が包絡線と言えるのかが分からない

　　　　　　　　という理由で減点される可能性もある。その意味でもやはり不完全だ。

　　　　　　　　したがって、高校生が偏微分で包絡線を求めるのは、かなり高度な

　　　　　　　　記述問題、あるいは答だけでいい問題（穴埋めやマークシートなど）

　　　　　　　　に限るべきだろう。大学の経済学なら、問題ないと思う。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に一言。上の３通りが代表的な解法だけど、「もう１通りあるんじゃないか？」

と疑問に思う人は、数学的センスに恵まれてる。つまり、（２）で ｘ だけ固定したん

だから、逆に ｙ だけ固定する方法も可能じゃないかという発想だ。実はそれでも

高校レベルで解けるんだけど、かなり面倒だから避けたのだ。元の問題は高校

１年レベルなのに、ｙ だけ固定する方法だと高校２年以上のレベルになってしまう

し、偏微分ほどの鮮やかさもない。

少しだけやってみると、まずａ＝０の時を考えれば、直線 ｙ＝０（ｘ軸）は通過領域

の一部。次に ａ≠０の時、ｘ＝ａ＋（ｙ／ａ）。この式で、ｙ だけ固定してａを変化させ、

ｘの範囲を求めようとすると、分数関数ａ＋（ｙ／ａ）の動きを探ることになる。その

ためには、 ｙ の符号による場合分けと、「相加平均」「相乗平均」の関係を表す

不等式と、極限（ｌｉｍ）が必要（高２レベル）。あるいは分数関数の微分（高３レベ

ル）が必要で、いずれにせよ前の３つの方法より劣るのだ。

これはほとんど触れられてない話だと思う。実際、「パラメータ　通過領域　分数

関数」で、検索オプション（フレーズとか、ゆれを含めないとか）を用いて検索す

ると、Ｙａｈｏｏ！もＧｏｏｇｌｅも実質的には全くヒットしない。私自身も今初めて考え

たことだから、センスが無かったわけネ♪

という訳で、題材としては平凡だけど、それなりに独自性のある記事が書けたと

思う。次は、包絡線の証明より先に、偏微分の話をキッチリしようかな。本当は

ガラッと話を変えてトポロジー（位相幾何）について書きたいんだけどね。目指せ、

ポアンカレ予想の正確な数学的理解！

ではまた。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．「ＧＲＡＰＥＳ」でグラフを書く時、「ステッカー」（ａ＝１とか、直線ごとの名前）

　　　　の付け方がなかなか分からなかった。マニュアルだと、入力欄で２行以上

　　　　の空白行を作るように書かれてるんだけど、私は普段のブログ執筆のク

　　　　セで、改行と共に空白（スペース）を打ち込んでたから失敗した。

　　　　逆にココログの管理ページの場合は、改行に空白を付け加えないと、１行

　　　　とか２行の空欄が作れないのだ。これも最初はなかなか分からなかった。

　　　　他には半直線の書き方も悩んだ。一応書けたけど、まだ納得してない。

Ｐ．Ｓ．２　色々と変化するパラメーター付き曲線の全体は、「曲線群」と呼ぶのが

　　　　　　普通だけど、大学レベルの数学では「曲線族」という妙な呼び方を使う。

　　　　　　パラメーター（あるいは添字＝ｉｎｄｅｘ）に応じて変化するものの全体を

　　　　　　「族」と呼ぶんだけど、これは英語の「ｆａｍｉｌｙ」の訳語。暴走族ではなく

　　　　　　て、「家族」の略と考えればよい。

Ｐ．Ｓ．３　２次方程式の判別式Ｄを取る方法は、実は偏微分による方法と関連

　　　　　　している。通過領域ではなく包絡線をめぐって、大まかなつながりだけ、

　　　　　　波線「～」で示しとこう。一通り理解してる人向けの、突っ込んだ話だ。

　　　　　　（ａ の２次方程式 ａ²－ｘ ａ＋ｙ＝０ の判別式Ｄ）＝ｘ²－４ｙ＝０

　　　　　　～　{ ａ の２次関数 ｚ＝ａ²－ｘ ａ＋ｙ の最小値 －1/4 （ｘ²－４ｙ）} ＝ ０

　　　　　　～　（ ａ の２次関数 ｚ の極小値）＝０　（同上）

　　　　　　～　（ ａ による微分 ｄｚ／ｄａ が０の時の、２次関数 ｚ の値）＝０　（同上）

　　　　　　～　直線の式の変形 ａ²－ｘａ＋ｙ＝０ に対して、ａ で偏微分した方程式

　　　　　　　　２ａ－ｘ＝０（つまりａ＝ 1/2 ｘ）を用いて、ａ を消した方程式：

　　　　　　　　　（1/2 ｘ）²－ｘ（1/2 ｘ）＋ｙ＝０　（すなわち ｙ －1/4 ｘ²＝０）

ｃｆ．　フリーソフト「ＧＲＡＰＥＳ」で関数グラフを作成