ドーナツ（円環＝トーラス）の表面積＆パラメーター表示

ドーナツがなかなか好評だ♪　今年に入って理数系の記事をかなり書いてるけど、

ドーナツ型の立体（円環＝トーラス）に関する記事が一番人気がある。と言っても、

もちろんドラマや芸能関連の記事と比べると僅かな数にすぎない。でも逆に、理数

系の検索アクセスの方がマニアックな香りがするし、希少価値もあるわけだ☆

　という訳で、今回は追加

　として、ドーナツの表面

　積とパラメーター表示の

　話を書くことにしよう。

　どちらも実際に検索が入っ

　てるけど、ウチには今ま

　でその情報が無かった。

　考えてみれば、体積と面

積は古代ギリシャからペアになってた実用的な話だし、少し複雑な図形ならパラ

メーター表示も常識だ。上図はウィキメディアの借用＆アレンジで、大半径 Ｒ と

小半径 ｒ （太さの半分）が少し見づらくなっている。

ではまず、円環面（あるいは円環体）の表面積の求め方。これは、左図のような

　円を ｘ 軸の回りに回転させて、

　回転面の面積の公式：

　Ｓ ＝ ２π∫ｙ √（１＋ｙ´²）ｄｘ　

　を使えばよい（カッコ内はルート

　の中）。この公式は、本格的に

　証明するのはかなりハイレベル

　だけど、大雑把な話なら一応は

　高校レベルだ。要するに微小

　な曲線を直線で近似するわけ

　で、曲線の長さの公式と似た

流れになる（ここでは省略）。

では以下、計算の概略を示そう。何も参考にしてない私の考えだけど、正しいは

ずだ。見た目は難しそうでも高校レベルの計算で、ｘ＝ｒ ｓｉｎθの置換積分を使え

ば簡単。答は有名な式で、（ドーナツの切り口の円周）２πｒ ×（大円の円周）２πＲ

＝ ４π² ｒ Ｒ となる。非常に美しい結果だ☆　体積２π² ｒ² Ｒ を ｒ で微分した値

が表面積になるのは、球の場合と同様。半径を ｄｒ （デルタ ｒ ）変化させた時の

体積の変化量を ｄＶ とすると、ｄＶ ＝ 表面積×ｄｒ。よって ｄＶ／ｄｒ ＝ 表面積。

　　　

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　続いて、ドーナツの表面（＝円

　環面）のパラメーター表示の式

　について。ちなみに、普通の式

　については、以前の記事で既

　に求めてある。

　中心軸を含む平面でドーナツ

　を切断すると、切り口は半径 ｒ

　の円になる。ここで左図の角度

ｕ，ｖをパラメーター（媒介変数）として設定すると、ただちに

　　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（（Ｒ＋ｒ ｃｏｓ ｖ）cos ｕ，（Ｒ＋ｒ cos ｖ）sin ｕ，ｒ sin ｖ）

が分かるだろう。これが、英語版ウィキペディアに説明抜きで載ってる式だ。

ちなみに切断面の式は、ｘ sin θ－ｙ cos θ＝０ となる。これは ｙ ＝ ｘ tan θ

の両辺を cos θ 倍して移項した式だ（平面 ｘ ＝ ０ も表せるようにするため）。

という訳で、今日は終了。次は何にしようかな。理数系ネタだと、書くことがあり過

ぎて困っちゃうネ♪　ではまた。。☆彡

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ｃｆ．ドーナツ（３次元円環＝トーラス）の体積

　　ドーナツ型とボール型の区別～ポアンカレ予想の理解２