イプシロン・デルタ（ε－δ）論法の問題の解き方

メインで使ってるパソコンが故障して以来、なかなか思うように記事をアッ

プ出来なくなってる。今日は久々に理数系の記事を書こうと思ったんだけ

ど、一時しのぎで今使ってるのは古いパソコンだから、これまで使ってた

数式エディター「数式 ３．０」がワードに入ってないのだ。それどころか、

日本語入力システムが古いせいで、記号の右上や右下に小さく数字を

入れることもできない。仕方ないから、昔の記事の入力を部分的にコピー

&ペーストすることにしよう。

とにかく、非常に不自由な環境でのアップなので、悪しからずご了承を。

内容は、またイプシロン・デルタ （ε - δ） 論法について。前の２本の記

事が、ドーナツ（＝トーラス）関連に続く地味なヒットになってるから、最

後に問題の解法を載せとこう。これは、最低限の知識のある人を対象

にしてるので、この論法を全く知らない人は、まず先行記事（特に１本目）

を読んで頂きたい。この記事自体も含めて、高校生が読んでも理解可

能だと思うけど、それなりの実力と努力は必要だろう。

　　　　イプシロン・デルタ （ε - δ） 論法による極限の定義

　　　　ε - δ 論法による極限の定理 （線型性） の証明　　　

　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

さて、厳密さが売りのロングセラー『解析入門Ⅰ』（杉浦光夫，東京大

学出版会）を見ると、この論法を用いた極限の証明として最初に出てく

る問題は、ｘ → ａ の時の ｌｉｍ ｘ ² だ。ｘ が限りなく ａ に近づく時、ｘ ²

は何に限りなく近づくか。高校レベル、あるいは一般レベルなら、明ら

かに ａ ²  と答えを出してすぐ終わりだけど、そこを ε－δ 論法で厳密に

示すことになる。つまり、次のことを証明するわけだ。

　　すべての正の ε に対して、ある正の δ が存在し、

　　すべての ｘ について、０ ＜｜ｘ－ａ｜＜ δ ならば ｜ｘ ²－ａ ²｜＜ ε

要するに、自分である δ を見つけて、この条件を満たすことを示すの

だけど、テキストでは最初からいきなり難しい δ を持ち出して、簡単に

証明して終わってる。どこからその δ を見つけ出したのか、その説明

はないのだ。現代のフツーの感覚だと、非常に不親切な参考書だけ

ど、逆に言うと、自分の頭で考えることを促してるとも見れるだろう。そ

こで、私が自分で考えて解説してみよう。

まず、この δ は当然 ε と ａ で表されるはずだ。また、ε に応じて小さ

くなるはずだから、とりあえず δ ＝ ｋ ε とおいてみる。ただし、ｋ は

正で、ａ の関数だ （定数の場合も含む） 。単純な関数の極限は、こ

れで上手く行くことが多いと思う（ｋ ε とおかずに δ のままでも解ける）。

｜ｘ－ａ｜＜ δ の時に、｜ｘ ²－ａ ²｜＝｜ｘ－ａ｜｜ｘ＋ａ｜＜ ε を示したい

のだから、δ ｜ｘ＋ａ｜≦ ε であればよい。つまり、ｋ ε ｜ｘ＋ａ｜≦ ε 、

すなわち、ｋ｜ｘ＋ａ｜≦ １ ・・・① であればよい。

ここで、よく使う「三角不等式」より、次のことはすぐ言える。

｜ｘ＋ａ｜＝｜（ｘ－ａ）＋２ａ｜≦｜ｘ－ａ｜＋２｜ａ｜＜ δ ＋２｜ａ｜

よって、ｋ｜ｘ＋ａ｜＜ ｋ（δ＋２｜ａ｜）

①と見比べると、ｋ（δ ＋２｜ａ｜）≦ １ ・・・② であればよいことが分かる。

この不等式に δ ＝ ｋ ε を代入して ｋ を見つけてもいいんだけど、

δ は適当に一つ見つければいいのだから、もう一工夫してみる。

つまり、δ ≦１という条件を加えるのだ。この「１」は、要するに小さく

て簡単な正の数という意味で、別に２でも１／３でもいい。ここでは

テキストに合わせて１を選んでおく。すると直ちに、次の式を導ける。

　　　ｋ（δ ＋２｜ａ｜）≦ ｋ（１＋２｜ａ｜）

これと②を見比べると、ｋ（１＋２｜ａ｜）≦ １ であればよいことになる。

よって、ｋ≦１ ／ （１＋２｜ａ｜）。

したがって、δ ＝ｋ ε ≦ ε ／ （１＋２｜ａ｜）。

最後に δ ≦１という条件を考え合わせると、δ は ε ／ （１＋２｜ａ｜）

と１の小さい方に決めればよい（同じならその値）。

結局、２つの数の小さい方を表す記号「Ｍｉｎ（　，　）」を用いれば、

　　δ ＝ Ｍｉｎ （ ε ／ （１＋２｜ａ｜） ， １ ）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

テキストでは、この値をいきなり書いて、そこから次のように証明

している。ここまでの話が分かれば、理解できるだろう。この記事

に合わせて、ほんの少しだけ形を変えて引用してみよう（ｐ．６２）。

　　　任意の ε ＞０ に対して δ ＝ Ｍｉｎ（ ε ／（１＋ ２｜ａ｜） ， １ ）　

　　　とおけば　０＜ δ ≦１であって、

　　　｜ｘ－ａ｜＜δ  ならば｜ｘ｜＜｜ａ｜＋δ だから、

　　　｜ｘ｜＋｜ａ｜＜δ ＋２｜ａ｜≦ １＋２｜ａ｜≦ ε／δ

　　　となる。従って｜ｘ－ａ｜＜ δ ならば

　　　｜ｘ ²－ａ ²｜＝｜ｘ＋ａ｜｜ｘ－ａ｜

　　　　　　　　　　≦（｜ｘ｜＋｜ａ｜）｜ｘ－ａ｜＜ （ε ／ δ） ・δ ＝ε

　　　が成立つ。───

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

似た考えで、３次関数の極限までなら上手くいくことは確認した。また、

テキストの演習問題（ｐ．６３）の１／ｘ 、ｓｉｎ ｘ 、ｅのｘ乗、ｌｏｇ ｘ も解く

ことが出来た。１／ｘ の場合は定義域 ｘ≠０ に注意して工夫する。

ｓｉｎ は「和積の公式」で変形。ｌｏｇ は定義域 ｘ＞０ に注意すればよい。

テキスト巻末の解答にはデルタの値（の一例）しか書いてないけど、す

べて自力で求めることが出来た。ただし、１／ｘ 以外はグラフを少し使っ

てラクをした。数式だけだと、面倒だし長くなってしまう。

一番苦労したのは １／ｘ 。これは、定義域が ｘ＜０ と ｘ＞０に分かれ

て不連続だから、その扱いに工夫が必要だったのだ。ちなみに ｓｉｎ

（三角関数）はともかく、ｅ （指数関数）とｌｏｇ （対数関数）は δ ＝ｋε

の形で求めることは出来ない。

一般的に言うと、最大のポイントは、｜ｘ－ａ｜＜δ という条件の使い方。

「ｘ－ａ」 が非常に小さいことを使って、「・・・＜ ε 」という不等式を示すわ

けだ。当然、不等式や絶対値記号にも習熟しておく必要がある。あと、

δ を一つ見つけるだけという事情もあるから、適当な条件を加えて工夫

するのもポイントだ。その意味では、やっぱりケースバイケースだろう。

という訳で、今日はこの辺で。それでは、また。。☆

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ｃｆ．イプシロン・デルタ （ε - δ） 論法による極限の定義

　　ε - δ 論法による極限の定理 （線型性） の証明

　　ε－δ論法による基本定理の証明～関数の積の極限

　　ε－δ論法における、∞（無限大）や発散の扱い方

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　　ε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法～数列の極限の定義と解き方

　　ε－Ｎ論法による基本定理の証明～数列の商の極限