「運動の法則」再考３～運動方程式を使わずに問題を解く方法

今日はキレイな虹が大きく二重に出てた☆　たまたま携帯を持ってなかっ

たから写メを撮れなかったけど、色を数えたりしながら、しっかり目に焼

き付けておいた。虹と言えば、研究者として名高いのはニュートン。そこで

今夜は、ニュートン物理学の基礎を再考する記事の第３弾をアップする。

ちょっとコジツケに近いかも♪　ま、この１週間、キムタク＝木村拓哉の

『ＭＲ．ＢＲＡＩＮ』や山Ｐ＝山下智久の『ブザー・ビート』の記事でアクセスを

稼いでるから、地味な本格派の記事を書くにはいいタイミングなのだ。

既に、ニュートンの「運動の第二法則」（＝運動方程式：Ｆ＝ｍａ）は自然

法則ではなく、むしろ力の定義式だと書いて来た。自然の中で成り立って

る経験法則ではなく、人間の側の決め事、約束事という意味だ。という事

は、科学というより数学だということも出来る。

試しに今、ウィキペディアをチェックすると、これを「古典力学での法則」と

した上で、非常に短い説明の途中に、「この法則は、慣性質量を力によっ

て定義しているとも、逆に力を慣性質量によって定義しているとも考えるこ

とができる」とだけ書いてある。

しかし、ニュートン的な力よりも、質量の方が遥かに古い概念だという事だ

けを考えても、慣性質量を力によって定義しているという考えは実情に即

してない。逆に、力を質量で定義していると見るべきで、実際、先行記事

で見たように、今の教育システムでも先に質量が出てくるのだ。また、単

なる定義式なら、「法則」と呼ぶのはミスリーディングだろう。

こういった本質的な話は、今の物理学の教育の中ではほとんど無視され

ているので、大部分の人にはピンと来ない話だと思う。そこで今回は、実

際に力とか運動方程式を「使わずに」問題を解く方法を示すことにする。

今現在ほとんどどこにも無いと思われる具体的な内容だ。

「使わずに」と言っても、問題文の側で力を使ってしまってる場合には、言

葉を言い直す作業が当然必要で、その際には運動方程式と同じ形をした

「定義式」を使って変換することになる。本当なら今回は、質量について更

に突っ込んだ話をする予定だったんだけど、それは後回しにしよう。。

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以下、高校レベルの基本問題を３つ扱う。

まず第１問。質量ｍｋｇの物体を自然落下させる時の加速度を求めよ。

これは特に出典はないものの、どこにでも似た話はあるだろう。今、いわ

ゆる「重力加速度」を ｇ としよう。私の言い方だと「地表における万有向心

加速度」だけど、面倒だから通常の呼び名を用いておく。

まず、普通の解き方を示すと、重力が ｍｇ だから、加速度を ａ として、

運動方程式は ｍｇ ＝ ｍａ （力＝質量×加速度）。よって、ａ ＝ ｇ。

何となくムダがあるように感じる人は少なくないと思う。実際、私が高１の

時にはすごく奇妙に感じてた。

これに対して、「力」を使わない物理学では、何も式はない。自然落下と

は下向きの加速度 ｇ だけの運動だから、物体の加速度が ｇ なのは当

然だ。重「力」も運動方程式も関係ない。

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続いて第２問。２００１年発行の数研出版の高校教科書『物理ⅠＢ』から。

　水平面上に質量

　１ｋｇの台車Ａと

　質量１．５ｋｇの

　台車Ｂを接触さ

せ、図のようにＡを５Ｎの力で水平に押す。Ａ、Ｂの加速度の大きさは

何 ｍ／ｓ² になるか。なお、分かりやすさのため、僅かに表現を変更し

てある。以下も同様なので、念のため。

上の問題は、「力を及ぼし合う２物体の運動」という項目の例題だから、

ＡとＢは分けて考えなければならない。教科書の解答は次の通り。

「右向きを正の向きとする。ＡがＢを押す力を ｆ Ｎとすると、反作用として

ＢはＡを－ｆ Ｎの力で押しかえす。加速度を ａ ｍ／ｓ² とすると、

Ａの運動方程式は　５－ｆ ＝１ ａ

Ｂの運動方程式は　ｆ ＝ １．５ ａ

２式から、ａ ＝ ２。

一方、力無しの物理学だと、「作用・反作用の法則」（運動の第三法則）

を、質量と加速度だけで言い直すことになる。ＡがＢに与える加速度を

ｐ、逆にＢがＡに与える加速度を ｑ とすると、１ｑ＝－１．５ｐ。つまり、Ａ

の質量×加速度＝マイナス Ｂの質量×加速度）。

また、質量１ｋｇの物体Ａを５Ｎの力で押すとは、５／１（５割る１）の加速

度を与えるということだ。これは、こっそり自然法則としての運動方程式

を使ってるのではなくて、問題の表現を、力の定義式を用いて言い直し

てるにすぎない。そもそも力無しの立場では、「５Ｎの力で」という問題文

自体が不適切だから、適切な表現に翻訳しただけなのだ。

では、数式を示そう。要するに、加速度の和（ｏｒ 差）の計算だけでいい。

Ａの加速度：ａ ＝ ５／１＋ｑ

Ｂの加速度：ａ ＝ ｐ

作用・反作用の法則より、１ｑ＝－１．５ｐ。

これらより、ａ ＝ ２。

少しだけ面倒になったように見えるのは、きっちり書いたためで、Ｂの最終

的な加速度がＡから与えられる加速度に等しいのは当然だから、実は ｐ

は不要。 ａ＝５／１＋ｑ、１ｑ＝－１．５ａ から ａ を求めればいい。これなら、

元々の解答と手間も変わらないはずだ。

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最後の第３問は、ほんの少し複雑な話にしよう。前掲の教科書で、例題

の少し下に載ってる練習問題だ。

　摩擦が無視できる定滑車

　に糸をかけ、その両端に

　質量がそれぞれａ ｋｇ、ｂ

　ｋｇ （ａ ＞ ｂ）のおもりＡ、Ｂ

　をつけて静かに手を放す。

　このとき、おもりの加速度

　の大きさは何 ｍ／ｓ² か。

まず、普通の解答。糸の張力をＴ、答の加速度を ｘ 、下向きを正として、

Ａの運動方程式は　ａ ｇ －Ｔ ＝ ａ ｘ　

Ｂの運動方程式は　ｂｇ－ Ｔ ＝ －ｂ ｘ

これらよりＴを消去して、ｘ ＝ （ａ－ｂ）ｇ ／ （ａ＋ｂ）。

一方、力無しの物理学の解答。糸を通じてＡがＢに与える加速度を ｐ、

ＢがＡに与える加速度を ｑ とすると、下向きを正として、

Ａの加速度 ： ｘ ＝ ｇ－ｑ

Ｂの加速度 ： －ｘ ＝ ｇ－ｐ

作用・反作用の法則より ａ ｑ ＝ ｂ ｐ

　　（注．　滑車によって、ｐ と ｑ は同じ向きになり、マイナス記号が消える）

これらより ｐ と ｑ を消去して、ｘ ＝ （ａ－ｂ）ｇ ／ （ａ＋ｂ）。

基本的に、作用・反作用の法則を言い換える時点で文字数が１つ増えて

しまうのだけど、毎回同じ作業をするのだから、慣れれば ｑ と書く代わり

に －ｂｐ／ａ　とすればいいわけだ（この問題ではマイナスは消える）。ち

なみに普通の解答でも、作用・反作用の法則は暗黙の内に使われている。

張力の大きさＴが一定という考えに表れてるのだ。。

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以上、３つの問題を２通りのやり方で解いて比較した。当然、力無しの物

理学はほとんどの人にとって全く目新しいものだから、分かりにくく感じる

だろう。ただ、ほとんどの問題を普段とほぼ同じ手間で解けそうだというこ

とも感じとれるはずだ。と言う事は、やっぱり、力とか自然法則としての運

動方程式は不要なのだ。使ってもいいけど、使わなくてもいい。その点だ

けからも、本質的な自然法則ではない。むしろ、計算や思考を手助けする

人間の工夫なのだ。

こうしてみると、第二法則は不要。また、運動の第一法則（外力の和が

ゼロのとき、加速度はゼロ）というのは無意味だ。というのも、加速度が

ゼロのとき、力は定義（質量×加速度）からゼロだから。したがって残る

運動の法則は、第三法則を質量と加速度で言い換えたものだけになる。

けれども、実はこれさえ不要なのだ。私も自分で気付いてたし、その遥か

以前には数学でお馴染み、天才ポアンカレが気付いてた。問題はやはり、

質量という概念なのだ。

その辺りの事情は、また今後の記事で示すとしよう。ニュートンが築いた

とされる古典力学の見え方が全体的に大きく変わって来るだろう。主とし

て教育制度によって、我々は固定観念を植え付けられてただけなのだ。

ではまた。。☆彡

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ｃｆ．ニュートン物理学の基礎、「運動の法則」再考～その１

　　ニュートン物理学の基礎、「運動の法則」再考２～質量と重さ

　　「運動の法則」再考４～質量の単位と測定