１０人とのお見合いで最高の相手にプロポーズする方法♪～鳩山の「ＯＲ」３

理系の首相、鳩山由紀夫の専攻であるＯＲ（オペレーションズ・リサーチ

＝作戦研究）について、就任直前に２本の記事を書いた所、どちらもな

かなかの好評だ♪　朝日新聞のＯＲ記事を解説した１本目、『ＡＥＲＡ』の

ＯＲ記事のお見合い戦略を解説した２本目の記事、いずれも４００人ほ

どの訪問を頂いてる（１０月３日現在）。

ドラマ記事に比べると人数は少ないけど、お堅い学問系の記事としては

クリーン・ヒットだろう。結婚情報関連、ゲーム関連など、あちこちのサイト

でリンクも貼って頂いた。ゲームというのは意外だったけど、要するに話

の本質は、複数のものを順に１つずつチェックしてベストの選択をする方

法だから、ＲＰＧ（＝ロールプレイングゲーム）などで登場する選択場面に

も応用できるわけだ。

流石に数は減ってるものの、まだ検索アクセスは続いてるし、Ｇｏｏｇｌｅで

はほぼトップランク、Ｙａｈｏｏ！でも１ページ目に入ったままだから、ここで

最後に決定版の記事を書くことにしよう。１０人とのお見合いで、ベストの

相手にプロポーズする確率を最大にする戦略の数学的説明だ。ネットを

ざっと見渡す限り、いまだにきちんと説明した記事は見当たらない。

私は前の記事で、２人や３人とのお見合いについては説明したけど、１０

人については説明しなかった。その後すぐ、式と考え方は分かったもの

の、あまりに計算が面倒だから今までパスしていた。今朝になってようや

く電卓を使って計算し終えたから、記事にまとめとこう。数学で電卓を使う

ことは滅多にないし、筆算でも可能な単純計算に過ぎない。でも、ちょっ

とやる気がしない面倒臭さだったのだ。。

ちなみに、私はいまだに鳩山の「見合いの数理」という論文は読んでない

し、ＯＲや確率の専門的知識も持ってない（下のＰ．Ｓ．参照）。単に高校

数学の基本的知識を地道に使って考えただけだから、多くの読者にとっ

て理解可能だろう。ただ、よほど実力がある人は別として、あらかじめ前

の記事で２人や３人の場合の説明を理解しとかないと、下の説明は難し

く感じると思う。その点はご了承頂きたい。もちろん、大まかに話の流れ

だけ見るのなら、そういった準備作業なしでも可能だ♪

　　　（追記　１１月６日の『たけしのコマネチ大学数学科』で、お見合い

　　　　　　　　問題が話題になったらしくて、番組放送中から検索が次々

　　　　　　　　と入って来た。検索ワードから考えると、どうも７人の場合

　　　　　　　　が出題されたようだ。番組では「法則」という言葉が使わ

　　　　　　　　れてたのかも知れない。

　　　　　　　　私は以下、１０人で解いてるので、７人の場合も同様にや

　　　　　　　　ればいい。一応、記事末尾のＰ．Ｓ．２で、２人見送って３

　　　　　　　　人目から選ぶのが正解だと示す略解を掲載しておいた。）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、１０人とお見合いする際の条件とかルールを確認する。前にお見

合いしてパスした人にはもうプロポーズできない。最初の何人かは必ず

パス。その次からは、その人が今までで最高だったらプロポーズする。

そうでなければ、その人もパスして次の人とお見合いしてみる。もし最後

まで、その人が最高にならなければ、プロポーズはしないままお見合い

終了。

さて、最高の相手にプロポーズする確率を最大にするには、何人見送

ればいいのか。『ＡＥＲＡ』によると、鳩山は３人見送るのが正解だと言っ

てるらしい。その作戦の成功確率は約４割とのこと。ちなみに、私の計

算でも同じ結果に到達してるから、下の解説は合ってると思う。

では、まず比較の対象として、最初の０人を見送る戦略、つまり誰もパ

スしないやり方を考える。すると、１人目は必ず「今までで最高」だから、

すぐプロポーズするとして、成功確率は当然１／１０＝１割。あるいは、

１０人からまったくでたらめに１人選ぶと考えても、同じ確率になる。

次に、最初の１人を見送る戦略。その１人が１番素晴らしい人なら失敗。

逆に、２番目に素晴らしい人（確率１／１０）なら、それ以降で「今までで

最高」なのは１番しかいないから、プロポーズは必ず大成功となる（確率

１／１）。さらに、最初が３番目に素晴らしい人（確率１／１０）なら、それ

以降、２番の人より１番の人が先に登場（確率１／２）すれば成功する。

したがって、１人見送る戦略の成功確率は次のように約０．２８、つまり

３割弱となる。たった１人見送るだけでも、かなり有効なのだ。

　　

続いて、２人見送る戦略については省略して、３人見送る戦略について

説明しよう。これが分かれば、２人見送る戦略も、同様の考えでより簡

単に求めることができる。また、４人以上見送る戦略についても理解で

きるだろう。ポイントは、高校数学の教科書に太字で載ってた「組合せ」

（記号Ｃ＝Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）を利用することだ。

最初の３人の中に、１番素晴らしい人が入ってたら当然失敗に終わる。

次に、最初の３人の中で最もいい人が、２番目に素晴らしい人だったと

する。その確率を計算すると、３人の選び方の組合せは全部で １０Ｃ ₃。

つまり、（１０×９×８）／（３×２×１）＝１２０通り。その内、最もいい人

が２番になるような選び方は、残りの２人を３番以降の８人から選ぶ方

法の数だから、 ₈ Ｃ ₂＝（８×７）／（２×１）＝２８通り。よって確率は、

２８／１２０。

さらにこの時、４人目以降で「今までで最高」の人は１番しかいないから、

必ず成功する（確率１／１）。結局、最初の３人の中で最もいい人が２番

の場合の成功確率は、（２８／１２０）×（１／１）。

以下、同様に考えて、最初の３人を見送る戦略の成功確率は、次のよ

ように約０．３９９、ほぼ４割となる。ちなみに小数第３位まで求めないと、

４人見送る戦略との優劣がつかないのだ。

　　

さらに、全く同様の考えで、最初の２人、４人、５人、６人を見送る戦略の

成功確率は次のように、それぞれ約０．３７、０．３９８、０．３７、０．３３と

なる。４人見送る戦略は、３人見送る戦略にほとんど劣らない確率だ。

式の分母にある４５は、１０Ｃ ₃。２１０は１０Ｃ ₄。２５２は１０Ｃ ₅ だ。

　　

　　

　　

　　

なお、最初の７人を見送る戦略は、その中に１番素晴らしい人が入ってし

まってる確率だけで７割もあるから、成功確率が３割以下になってしまう。

したがって、最善の戦略のはずはない。最初の８人、９人を見送る戦略

については、更に論外となる。１０人見送る戦略は、単なるギャグだ♪

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上より、最初の何人かを見送る戦略の中では、３人見送る戦略が最

善で、成功確率がほぼ４割（０．３９９）であることが示された。ただし、こ

れがあらゆる戦略の中でベストかどうかは、まだ議論の余地がある。お

そらく鳩山も、そこまでは論じてないだろう。一般に科学的な研究は、た

とえ明示してなくても、考える範囲をある程度絞り込んで行ってるわけで、

すべてを考察することは不可能だ。

数学的な研究なら一応可能だけど、ＯＲというのは科学と数学の間に位

置する学問だから、理論的にすべてを計算しなくても許されるだろう。と

もかく、鳩山由紀夫が面白いことを考えてる本格派の理系の首相である

ことは間違いない。

なお、おそらく一般に、複数の相手とお見合いする場合は、半分より少

し少ない程度の相手を最初にパスする戦略が最善なんだと思う。ただ、

その数学的証明は、私にはしばらく出来そうにない。ま、お見合いする

相手の数は多くても５０人だろうから、その程度の実用的範囲なら、電

卓ですべて計算することは可能だろう。

一般に ｎ 人とのお見合いで ｍ 人の見送る戦略の成功確率は、数列

の和を表す記号シグマ（Σ）使って、次のように表せる。

　　

どなたか、お試しあれ♪　パソコンでプログラミングできる人なら、簡単な

作業のはずだ。もちろん、５０人までなら人力でも可能だけど、丸１週間

くらいかかるかも知れないし、計算ミスする恐れが十分あるだろう。あっ、

結婚情報サイトの方、お仕事として頑張ってみては如何？　上の数式を

利用する場合は、参考サイトとしてウチを紹介してネ♪

それでは、この辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．『週刊文春』１０月１５日号でも、鳩山のお見合い論文が話題になっ

　　　　てた。宿敵・朝日の後追いをするなんて珍しいね♪　記事内容の

　　　　小見出しは、「助教授論文『何人目にプロポーズするべきか』数式

　　　　で分析」。

　　　　読んでみると、鳩山の論文の冒頭はこうなってるそうだ。「結婚にも

　　　　ルールがある。日本では、典型的な結婚のパターンは恋愛結婚と

　　　　見合い結婚である。恋愛に理屈をつけてこね回すのは野暮である

　　　　から、ここでは見合い結婚を取り上げる」。

　　　　う～ん、理系の中でもかなり堅苦しい文章だね。普通なら、例えば

　　　　「恋愛」と「見合い」の後の「結婚」という言葉はくどいから省略する

　　　　所だろう。ま、野暮って言い回しは可愛いけど♪

　　　　あと、この話には元ネタがあるという事も書いてあった。「secretary

　　　　 problem」（秘書を選ぶときの問題）と呼ばれてるそうで、英語のウィ

　　　　キペディアで調べると難しい一般的説明が載ってた。日本のウィキ

　　　　にも一応「秘書問題」という項目があるけど、内容がかなり似てるし、

　　　　参照とかが英語のものばかりだから、おそらく英語のウィキを参考

　　　　にして書いたものだろう。。　

Ｐ．Ｓ．２　上に掲載したΣ（シグマ）の式を用いると、『コマ大数学科』で出

　　　　　　たらしい、７人との見合いの最善策もすぐ計算できる。

　　　　　　有力候補だけ成功確率の計算結果を書いておくと、１人見送る

　　　　　　場合は０．３５、２人見送る場合は約０．４１４、３人見送る場合

　　　　　　は約０．４０７（他は省略）。よって、２人見送る戦略が最適解だ。

　　　　　　ちなみにこの答は、ウィキペディアの「秘書問題」の項目に書い

　　　　　　てある答の一覧表とも一致している。私よりも少しシンプルな

　　　　　　式を使ってるが、証明はない。英語版ウィキを引用＆翻訳した

　　　　　　だけだろう。そこでは、人数 ｎ が無限大へと増加するにつれて、

　　　　　　最初にスキップ（＝パス）する人数が ｎ／ｅ に近づくことが記さ

　　　　　　れている（ｎ＝ネイピア数＝自然対数の底＝２．７１８・・）。成功

　　　　　　確率は、１／ｅ （約３７％） に近づくそうだ。。

ｃｆ．　ＯＲ（オペレーションズ・リサーチ）～理系の鳩山新首相の専攻

　　　お見合いでベストの相手にプロポーズする方法♪

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鳩山新首相の専攻「ＯＲ」２

　　　ノーベル経済学賞に輝いた婚活（マッチング）理論～ＯＲ４