「１＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

１と１を足すとなぜ２なのか。あるいは、数式を使うなら、なぜ１＋１＝２

なのか。これは考え始めるとズブズブにハマる深い問題だが、幸か不幸

か、ほとんどの生徒はそこにハマることなく先に進んで行く。小学校の先

生も、さほど困ることなく算数の授業ができるわけだ。

私はしばらく前、小学校の算数の教え方が気になって、教科書を買い揃

えたんだけど、今たまたま手元に見当たらない。でも、自分のおぼろげ

な記憶をたどっても、ネットの情報を見ても、おそらくは具体的な物事の

量（個数、回数、体積など）を足し合わせる話で入って、後は計算ドリル

とかの反復練習で頭に叩き込んだと思う。

例えば「えんぴつ１本と１本、合わせて２本でしょ」と教えられたり、１＋１

の計算の答えを３と書くと赤ペンでバツされたりしたんだろう。それを２と

書き直せば、今度は褒めてもらえたり、先生や親の笑顔が見れたりする。

主として、そうした社会的サンクション（sanction ＝ 賞罰）が強く働くこと

によって、人は基本的な足し算を「学ぶ」ことになるわけだ。

　　（☆追記：　その後、小学校の算数の記事をアップ。

　　　　　　　　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書　）　

けれども、１＋１＝２である理由が周囲の人の反応にすぎないというの

はおかしな話だし、反復練習したからというのも学問的な理由にはなっ

てない。また、具体的な物事の量を足す話なら、いくらでも反例らしきも

のを見つけることが出来る。

砂の山を１つと１つ合わせると大きな砂山１つになるだけだし、テストで

１問解ける生徒と１問解ける別の生徒が一緒になっても２問解けるとは

限らない。大きさ１のベクトルと大きさ１のベクトルを足しても、ほとんど

の場合は大きさ２にはならないし、２進法なら１＋１＝１０だ。男で１番

速い生徒と女で１番速い生徒が組んで二人三脚をしても、２番になると

は限らない。相対性理論や素粒子論などという高級な話を持ち出さな

くても、簡単な反例が数多く存在するのだ。

もちろん、多少の知恵のある大人なら、すべて「間違い」を示すことが

可能だろう。それは足し算のやり方がおかしいのであって、この場合は

こんな具合に、あの場合ならあんな具合に足すんだと「教える」わけだ。

しかし、その教えが正しいことの論理的保証はないし、すべての場合を

網羅したマニュアルというものも現存せず、今後もあり得ない。

ここで人は２種類に分かれる。そこまで妙なこだわりをもたない大多数

の人と、徹底的にこだわるごく一部の人だ。そして、数学の歴史上、後

者を代表する厳密な学者が、イタリアのジュゼッペ・ペアノ（Ｇｉｕｓｅｐｐｅ

　Peano）だ。現代数学の体系を築き上げた天才数学者の１人である彼

がこだわったのが、数の基本である「自然数」（０，１，２，３・・・）だった

（０を入れるのが普通だが入れなくても構わない）。

　　（追記：　先行するデデキントやフレーゲとの関係は、後で扱う予定）　

自然数に正（＋）と負（－）の符号を付ければ整数になり、さらに割り算

を作れば有理数になる。その極限を取れば無理数になって、有理数と

合わせれば実数全体。そして、実数２つの組合せで複素数になるわけ

だ（虚数単位 ｉ は必要ない）。したがって、高校数学までに登場する数

のすべてを、自然数から構成していくことが出来る。

この自然数というものについて、ペアノは根本的にとらえ直してるのだけ

ど（いわゆる「公理化」）、最初から書くと話が長くなり過ぎる。ここでは、

足し算だけに焦点を絞って解説してみよう。講談社の『現代数学小辞典』

（寺阪英孝編）を参考にしながら、自分で考えた結果だ。ネットも多少は

目を通したけど、単純な知識レベル以外ではほとんど使ってない。

　　（☆追記：　ペアノ自身の論文に即した記事を追加。

　　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ペアノの根本的なアイデアは、現実世界の足し算を証明するのではなく、

人工的な数学の世界で足し算を作るということだ。それでは現実と関係

ないのかというと、そんな事はない。普通の足し算はすべて完全に導き

出せるし、現実離れしたおかしな話が出てくることもない。

ただ、彼の自然数論の説明は、現実の鉛筆とも関係ないし、社会的なホ

メ言葉やバツ印とも無縁のもの。純粋な数学理論であって、それが不思

議なことに、現実にも使えるわけだ。　　　

まず、自然数 ｍ，ｎ に関する足し算を、次のように一般的に定義する☆

　　　①　ｍ ＋ ０ ＝ ｍ

　　　②　ｍ ＋ ｎ´ ＝ （ ｍ ＋ ｎ ）´

ここで、数や文字の右上の「´」（ダッシュ または プライム）は、「次の数」

（successor）を表す記号。例えば、０´＝１、１´＝２、２´＝３。「´」を重複

して付けた例だと、３´´＝（３´）´＝４´＝５ などとなる。一般に、０に「´」

が ｎ コついたものは、自然数 ｎ を表しており、０´´´´´´なら ６ のことだ。

この時、「１＋１＝２」は次のように証明される。

　　　１ ＋ １ ＝ ０´＋ ０´

　　　　 　　   ＝ （０´＋ ０）´　　・・・・・・ （②より）　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　＝ ０´´　　　　  ・・・・・・ （①より）

　　　　　　　　＝ １´

　　　　　　　　＝ ２

また、「３＋２＝５」の証明なら、以下の通りだ。

　　　３ ＋ ２ ＝ ０´´´＋ ０´´

　　　　　　    ＝ （０´´´＋ ０´）´　　　 ・・・・・・ （②より）

　　　　　　    ＝ （（０´´´＋ ０）´）´　　・・・・・・ （②より）　

　　　　　　    ＝ （（０´´´）´）´　　　　　・・・・・・ （①より）

　　　　　　    ＝ ３´´

　　　　　　    ＝ ４´

　　　　　　　　＝ ５

　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さらに進んで、一般的な加法（＝足し算）の法則を証明してみよう。

まず、結合法則「（ｋ＋ｍ）＋ｎ＝ｋ＋（ｍ＋ｎ）」の証明。ｎに関する数学

的帰納法を用いる。

　　　　（１）　ｎ＝０の時、（左辺）＝（ｋ＋ｍ）＋０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ ｋ＋ｍ　　　　・・・・・・ （①より）　

　　　　　　　　　　　　　　　（右辺）＝ｋ＋（ｍ＋０）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ＋ｍ　　　　・・・・・・ （①より）

　　　　　　　　　　　　　∴ （左辺）＝（右辺）

　　　　（２）　ｎ＝ｐの時に与式が成立すると仮定すると、

　　　　　　　　　　（ｋ＋ｍ）＋ｐ＝ｋ＋（ｍ＋ｐ）　　・・・・・・③

　　　　　　　これを利用して、ｎ＝ｐ´（つまりｐ＋１）の場合を考えると、

　　　　　　　　　　（与式左辺）＝（ｋ＋ｍ）＋ｐ´

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（（ｋ＋ｍ）＋ｐ）´　　　・・・・・・（②より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｋ＋（ｍ＋ｐ））´　　　・・・・・・（③より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ＋（ｍ＋ｐ）´　　　　 ・・・・・・（②より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ＋（ｍ＋ｐ´）　　　　 ・・・・・・（②より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（与式右辺）

　　　　　　　つまり、ｎ＝ｐ´の時にも与式は成立する。

　　　　　以上、（１）（２）より、すべての自然数 ｎ について与式は成立する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

続いて、簡約法則（ｏｒ 簡約律）「ｋ＋ｎ＝ｍ＋ｎ ならば　ｋ＝ｍ」も同様に

証明できる（『小事典』では「容易」なものとして省略）。

ただし、「ａ´＝ｂ´ならばａ＝ｂ」という自然数の性質を用いる。

　　　　　（１）　ｎ＝０の時、法則は「ｋ＋０＝ｍ＋０ ならば ｋ ＝ ｍ」となる。

　　　　　　　　　これは①より明らかである。

　　　　　（２）　ｎ＝ｐの時、法則が成り立つと仮定すると、

　　　　　　　　「ｋ＋ｐ＝ｍ＋ｐ ならば ｋ＝ｍ」・・・・・・④

　　　　　　　　これを利用して、ｎ＝ｐ´の時を考えてみると、

　　　　　　　　ｋ＋ｐ´＝ｍ＋ｐ´ならば、（ｋ＋ｐ）´＝（ｍ＋ｐ）´・・・（②より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　ｋ＋ｐ＝ｍ＋ｐ・・・（自然数の性質）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　ｋ＝ｍ　　　・・・・・・（④より）

　　　　　　　　よって、ｎ＝ｐ´の時にも与式は成立する。

　　　　　以上、（１）（２）より、すべての自然数 ｎ について与式は成立する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）　

　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

最後に、交換法則「ｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍ」の証明について。これは『現代数学

小事典』だと省略して、次のように読者を挑発している。「・・・ちょっと一

筋縄ではいかない。しかし数学自慢の人にはちょうど手ごろな力だめし

の問題であろう」（p.90)。この本は建前上、高校卒業レベルで一応読め

ることになってるので、私もあえて書かないことにしよう♪　

もちろん、私自身は解いているから、その証拠にヒントを書いておく。すぐ

には証明できないから、まず「０＋ｍ＝ｍ」を、ｍに関する帰納法で証明

しておく。その上で、「ｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍ」を、ｎに関する帰納法で証明する。

ただし、その途中でもう１回、別の帰納法を用いることになる。

もっと上手い方法があるのかも知れないけど、私はこうして、３回の帰納

法を組み合わせることで簡単に証明した。分量的には大した事ないし、

特殊な知識や技も必要ないので、安心してチャレンジして頂きたい。明ら

かに高校レベルで、受験問題としても難問というほどではないだろう。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　☆

ちなみに、掛け算（＝乗法）についても、足し算を利用して厳密に組み立

てることが出来る。もしこの記事にそこそこのアクセスが入るようなら、

いずれ別記事で掛け算も解説するつもりだ。（追記：　既にアップ）

ま、そんな話より、半年以上も中断してるポアンカレ予想の解読を再開

すべきかも♪　そちらはロングセラーになってて、既に熱心な読者が大

勢いらっしゃるのだ。

ではまた。。☆彡

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ｃｆ．「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４

　　原始リカーシヴ関数と足し算（加法）、掛け算（乗法）