「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

先日扱った「１＋１＝２」、つまり自然数の足し算（加法）に続いて、今日

は「１×１＝１」、つまり自然数の掛け算（乗法）について考えてみよう。

今回も、現代数学の先駆者の１人、ペアノの自然数論の話だ。分野的

には数学基礎論であって、集合論や論理学と共に数学全体の土台に位

置している。参考書は『現代数学小事典』（寺阪英孝編，講談社）のみで、

非常に省略されてる記述だから、かなりの部分を自分で考えて補ってる。

　　　（☆追記：　ペアノ自身の論文に即した記事を追加。

　　　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して）

まず、普通の素朴な考え方から始めよう。書店で小学生用の算数の参

考書を見ると、「３×２＝６」というようなかけ算は、「みかんが３個入った

袋が２つあると、全部でみかんは６個」というような話で説明されている。

非常に分かりやすいし、数千年くらいの数学の歴史を遡っても、おそらく

そんな具体的かつ日常的な話からスタートしたんだろう。

ただ、前回の足し算の時も触れたように、そうゆう具体例での説明をい

くつ並べても、すべての場合をカバーすることは出来ないし、反例のよう

なものもいくらでも見つけられるだろう。そこで、人工的に完全な自然数

の掛け算を作ったのがペアノというわけだ。人工的に作るといっても、普

通の掛け算はキレイに説明できるし、現代数学というものはそもそも全

体的に、人工的な構成になってるのだ。

既に、足し算は説明してあるけど、最低限の内容を復習しておこう。あ

る１つの自然数（０，１，２，・・・）に対して、その次の自然数を表す記号

「´」を導入する。つまり、０´＝１、０´´＝２、０´´´＝３。

その上で、今度は足し算を次の２式で定義する。

　　　①　ｍ＋０＝ｍ

　　　②　ｍ＋ｎ´＝（ｍ＋ｎ）´

この時、「１＋１＝２」のような個別の計算はすべて証明できたし、以下

の３つの基本法則も証明できた。

　　　③　（ｋ＋ｍ）＋ｎ ＝ ｋ＋（ｍ＋ｎ） ・・・和の結合法則（または結合律）

　　　④　ｍ＋ｎ ＝ ｎ＋ｍ 　　　・・・・・・・・・和の交換法則（または可換律）

　　　⑤　ｋ＋ｎ ＝ ｍ＋ｎ ならば ｋ＝ｍ・・・和の簡約法則（または簡約律）

以下では、こうした性質を持つ足し算を用いて、掛け算を定義し、様々な

計算や一般法則を証明する。なお、④の証明の途中で、次の式も証明し

てある。便利で簡単なので、これも使うことにしよう。

　　　⑥　０＋ｍ ＝ ｍ

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、掛け算（乗法）の定義は次の２式で与えられる。

　　　⑦　ｍ×０ ＝ ０

　　　⑧　ｍ×ｎ´ ＝ ｍ×ｎ＋ｍ

　　　　　　　　　　　　　（注．×と＋が混在する時は、×を先に計算する）

ちなみに⑧は、普通の数学だと 「ｍ×（ｎ＋１）＝ｍ×ｎ＋ｍ」と書ける性

質で、分配法則を用いた簡単な例になっている。ただし、ペアノの自然数

論では、逆にここから始めて、分配法則などを証明することになる。単純

な話から始めて複雑な話を導くのだから、高度で有意義な作業なのだ。

ではまず、「１×１＝１」を証明しよう。

　　　　１×１ ＝ ０´×０´

　　　　　　　  ＝ （０´×０）＋０´　・・・・・・（⑧より）　　

　　　　　　　　＝ ０＋０´　　　　 　・・・・・・（⑦より）

　　　　　　　　＝ ０´　　　　　　  　・・・・・・（⑥より）

　　　　　　　　＝ １

同様にして、「３×２＝６」も証明しよう。

　　　　３×２ ＝ ０´´´×０´´

　　　　　　　　＝ （０´´´×０´）＋０´´´　・・・・・・（⑧より）

　　　　　　　　＝ （（０´´´×０）＋０´´´）＋０´´´　・・・・・・（⑧より）

　　　　　　　　＝ （０＋０´´´）＋０´´´　　・・・・・・（⑦より）

　　　　　　　　＝ ０´´´＋０´´´　　　　 　・・・・・・（⑥より）

　　　　　　　　＝ （０´´´＋０´´）´　　　　・・・・・・（②より）

　　　　　　　　＝ （（０´´´＋０´）´）´　　 ・・・・・・（②より）

　　　　　　　　＝ （（（０´´´＋０）´）´）´　・・・・・・（②より）

　　　　　　　　＝ （（（０´´´）´）´）´　　　 ・・・・・・（①より）

　　　　　　　　＝ ０´´´´´´

　　　　　　　　＝ ６

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では最後に、一般法則。『小事典』では、以下の順に４つ挙げている。

　　　（ｋ×ｍ）×ｎ＝（ｋ×ｍ）×ｎ　・・・・・・結合法則

　　　ｍ×ｎ＝ｎ×ｍ　　　　　　　　 ・・・・・・交換法則

　　　ｎ ≠ ０のとき、ｋ×ｎ＝ｍ×ｎ ならば ｋ＝ｍ ・・・・・・簡約法則

　　　ｋ×（ｍ＋ｎ）＝ｋ×ｍ＋ｋ×ｎ ・・・・・・分配法則

これらについて、『小事典』では、いずれもｎについての数学的帰納法で

証明できて、交換法則以外は簡単だと書いている。私が実際に解いてみ

た所、最初に分配法則を証明して、次に結合法則を証明するのが好都合

だった。

交換法則については、足し算の時と同様、帰納法を３回使うことになった。

あらかじめ「０×ｍ＝０」と、「ｐ×ｍ＋ｍ＝ｐ´×ｍ」を帰納法で証明してお

くとスマートな解答になると思う。いずれにせよ、分配や結合よりは面倒だ

けど、さほど難しくない高校レベル（中の上 ｏｒ 上の下）の証明にすぎない。

ただ、簡約法則だけはどうしても帰納法では証明出来なかったので、背

理法を用いた。つまり、ｋ＝ｍでないとすると矛盾する、という論法で証明

するしかなかった（例えば、ｋ＝ｍ＋ｐ かつ ｐ≠０ だと矛盾）。『小事典』

の筆者に勘違いがあるのではなかろうか。ちなみに、ネット上にはこの辺

りの証明はまったく見当たらない。いずれ図書館で、ペアノの著作とか、

専門書を確認したいと思ってる。

既に長くなったので、ここでは分配法則「ｋ×（ｍ＋ｎ）＝ｋ×ｍ＋ｋ×ｎ」

だけ証明しておこう。

　　　　（１）　ｎ＝０の時、（与式左辺）＝ｋ×（ｍ＋０）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×ｍ　・・・・・・（①より）

　　　　　　　　　　　　　　 （与式右辺）＝ｋ×ｍ＋ｋ×０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×ｍ＋０　・・・・・・（⑦より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×ｍ　・・・・・・（①より）

　　　　　　　　　　　　　∴（与式左辺）＝（与式右辺）

　　　　　（２）　ｎ＝ｐの時、与式が成立すると仮定すると、

　　　　　　　　　　ｋ×（ｍ＋ｐ）＝ｋ×ｍ＋ｋ×ｐ　・・・・・・⑨

　　　　　　　　これを用いて、ｎ＝ｐ´ （つまりｐ＋１）の時を考えると、

　　　　　　　　　　（与式左辺）＝ｋ×（ｍ＋ｐ´）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×（ｍ＋ｐ）´ ・・・・・・（②より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×（ｍ＋ｐ）＋ｋ　・・・・・・（⑧より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｋ×ｍ＋ｋ×ｐ）＋ｋ　・・・・・・（⑨より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×ｍ＋（ｋ×ｐ＋ｋ）　・・・・・・（③より）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ×ｍ＋ｋ×ｐ´

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（与式右辺）

　　　　　　　　　よって、ｎ＝ｐ´の時にも与式は成立する。

　　　　　以上、（１）（２）より、すべての自然数ｎに対して与式は成立する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

という訳で、掛け算の基礎を説明した。残念ながら、『小事典』には引き算

や割り算の話が載ってない。自然数の範囲で収まらない（マイナスや分数

が出て来る）から、ペアノが考えてないのか、それとも小事典の筆者が省

いただけなのかは分からない。いずれにせよ、ペアノの自然数論につい

てこれ以上の事を書くには、専門書を調べた方が良さそうだ。あるいは、

英語のサイトを検索すれば何とかなるのかも知れない。

（☆追記：　１２年２月、ペアノの引き算の記事をアップ、下にリンクを追加。）

ともあれ、今日の所はこの辺で。。☆彡

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ｃｆ．「１＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）　

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算　　

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して　

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書　

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４

　　原始リカーシヴ関数と足し算（加法）、掛け算（乗法）