集合論における自然数の表記と計算

昨年の暮れにかけて、「１＋１＝２」、「１×１＝１」といった、自然数（０，

１，２，・・・）の基本的計算を再考してみた。要するに、理数系の学問の

一番根本的な話、数学のスタート地点に立ち返ろうということだけど、こ

れが本当にスタート地点かどうかについては、考え直す余地がある。

例えば、理数系の記事に時々使ってる講談社のロングセラー『現代数学

小事典』を見ると、「第１章　数学基礎論」の内容は、「１　論理」「２　集合

論」「３　自然数論」の順になっている。１の論理は別格としても、自然数論

より先に集合論があるのだ。これは現代数学の標準的な発想であって、

自然数という基本的な存在でさえも、集合論の中に組み込んでしまうのだ

（１９世紀後半に確立）。

つまり、自然数は集合の一種と考えられている（別の考えも存在）。一般

人の素朴な発想では、自然数というのは集合の要素になり得るとしても、

集合そのものではないだろう。その辺りの納得できる説明というのはなか

なか見当たらなくて、上の『小事典』にもないし、ウィキペディアの日本語

版や英語版にも「結果」しか書かれてない。

そのうち、『新版　現代論理学』（東海大学出版会）に簡単な説明がある

のを発見したものの、最小限の説明だから正直言って分かりにくかった。

まあ、読者に自分で考えさせるという意味では、良書なのかも知れない♪

だからここでも、最小限の説明に留めよう・・・などとは言うまい。逆にこ

こで丁寧な説明を行っておけば、記事に独自の価値が生まれるだろう。

真面目な読者が何人いるかは別として♪　と言う訳で、以下では、自然

数を集合で表す方法について説明してみよう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

まず、集合の初歩から復習しておく。集合とは、差し当たりは、何らかの

個物（要素）の集まりだと考えればいい。例えば、ａ と ｂ を要素とする集

合を Ｘ とすると、Ｘ＝｛ ａ，ｂ ｝。つまり、要素全体を ｛　｝ に入れてまとめ

たものが集合だ。また、ｂ と ｃ が要素の集合を Ｙ とすると、Ｙ＝｛ ｂ，ｃ ｝

だ。更に、「ａ は Ｘ の要素だ」ということは「 ａ ∈ Ｘ 」と表し、何も要素が

ない集合（「空集合」）は ∅ などと表す（丸印に斜め線）。

この時、（ Ｘ と Ｙ の和集合）：Ｘ∪Ｙ＝｛ ａ，ｂ，ｃ ｝。つまり、２つの集合

の要素を合わせて、重複（この場合はｂ）を除いたのが和集合で、「結

び」とか「合併」とも言う。また、空集合 ∅ には何も要素が無いから、

∅ ∪Ｘ＝Ｘ 。つまり、∅ との和集合は、元の集合のままとなる。

集合について、この程度に理解していれば、もう自然数についても大丈

夫だ。イメージをもってもらうために、先に説明抜きで答を書いておこう。

自然数を集合で表す標準的な方法はこんな感じだ（他のやり方もある）。

　　　　　０＝ ∅

　　　　　１＝｛ ∅ ｝

　　　　　２＝｛ ∅ ，｛ ∅ ｝ ｝

かなり奇妙な表現で、０以外は「集合の集合」、つまり、集合を要素とす

る集合になってる。１はともかく、２の表し方には違和感があるだろう。

簡単に言うと、まず一番「小さい」集合、つまり要素が何もない空集合 ∅

を０として、それ以降は、「１＝０∪｛ ０ ｝」、「２＝１∪｛ １ ｝」という具合に

表して行く。つまり、「次の数＝（ 前の数 ）∪｛ 前の数 ｝」という風にして、

順に構成していくのだ。この時、式の後ろ側にある ｛　｝ は集合を表す

記号であって、普通の丸カッコ（計算上のまとまりを付ける記号）ではな

いことに注意しよう。（　） と ｛　｝ は、集合論においては全く別物だ。

０を空集合とするのはわりと自然だろうけど、それ以降の奇妙な構成

の仕方は、様々な自然数の間に大きさの順序を付けるため、つまり、

不等式を導入するためだ。例えば、「 １ ＜ ２ 」（１は２より小さい）と書

く代わりに、「 １ ∈ ２ 」（１は２の要素）書く。こういった式が、集合の話

として全体的に上手く簡潔に成立するよう定めてるのが、上の奇妙な

構成法なのだ。

話を戻すと、なぜ １ ＝ ｛ ∅ ｝ になるのか。それは次の変形による。

　　　　１ ＝ ０∪｛ ０ ｝ ＝ ∅ ∪｛ ∅ ｝ ＝ ｛ ∅ ｝

右端の変形は、∅ との和集合は元通りという話を思い出せば納得でき

るだろう。続いて、２ ＝ ｛ ∅ ，｛ ∅ ｝ ｝ は、次のような変形による。

　　　２ ＝ １∪｛ １ ｝ ＝ ｛ ∅ ｝ ∪ ｛ ｛ ∅ ｝ ｝ ＝｛ ∅ ，｛ ∅ ｝ ｝

これも右端の変形が引っ掛かる箇所だけど、要するに「∪」という記号

で和集合を作る時には、一番外側の｛　｝の中身を併せるのだ。内側辺

りにある｛　｝と混同しないように、上では色を付けておいた。

ちなみに、３の場合は次のようになる。

　　　３ ＝ ２ ∪ ｛ ２ ｝ ＝ ｛ ∅ ， ｛ ∅ ｝ ｝ ∪ ｛ ｛ ∅ ， ｛ ∅ ｝ ｝ ｝

　　　　 ＝ ｛ ∅  ， ｛ ∅ ｝ ， ｛ ∅ ， ｛ ∅ ｝ ｝ ｝　

ここから、０＜３、１＜３、２＜３が成り立ってるのがよく分かるだろう。つ

まり、集合論的に見て、０∈３、１∈３、２∈３が成り立っている。ちなみに

３以降、４とか５とか、単純なのにわずらわしい計算は、パソコンでコピー

＆ペーストを使うと便利だ♪　手書きだと、カッコの数を間違えやすい。

右端には ｝ がズラッと並ぶことになる。４なら、４コの ｝ が並ぶわけだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では最後に、足し算についても少しだけ書いておこう。基本は、以前の記

事に書いた、ペアノ的な考えと同じで、次のように決めておけばよい（広い

意味では、足し算の公理）。

　　　　　　ｍ ＋ ∅ ＝ ｍ

　　　　　　ｍ ＋ （ ｎ ∪ ｛ ｎ ｝ ） ＝ （ ｍ ＋ ｎ ） ∪ ｛ ｍ ＋ ｎ ｝

上の ｍ，ｎ は、自然数を表す集合のこと。２番目の式が分かり辛いだろ

うが、要するに

　  　　　　（ 「ｎ の次の数」との足し算 ）＝（ 「ｎ との足し算」の次の数 ）

という意味で、普通の数式で表現するなら

　　　　　　ｍ ＋ （ ｎ＋１ ） ＝ （ ｍ ＋ ｎ ） ＋ １

ということだ。以前のペアノ的な書き方では、

　　　　　　ｍ ＋ ｎ´ ＝ （ ｍ ＋ ｎ ）´

となってた。ちなみにペアノ本人の書き方は、時代的制約もあって、遥か

にややこしいので、いずれまた記事にしたいと思ってる。

　　　（追記：　ペアノ自身の記述に関する記事を追加。

　　　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して ）

話を戻すと、結局、１＋１＝２の集合論的な証明は以下のようになる。

　　　１＋１ ＝ ｛ ∅ ｝ ＋ ｛ ∅ ｝

　　　　　　  ＝ ｛ ∅ ｝ ＋ （ ∅ ∪ ｛ ∅ ｝ ）

　　　　　　  ＝ （ ｛ ∅ ｝ ＋ ∅ ） ∪ ｛ ｛ ∅ ｝ ＋ ∅ ｝

　　　　　　  ＝ ｛ ∅ ｝ ∪ ｛ ｛ ∅ ｝ ｝

　　　　　　  ＝ ｛ ∅ ， ｛ ∅ ｝ ｝

　　　　　　  ＝ ２

もちろん、こういった計算は実用的ではないけど、足し算とは何かという

問題や、数学全体における集合論の位置付けを考える際には重要なの

だ。ただし、集合論には独自の弱点（ｏｒ 注意点）もあるので、それにつ

いてもまた別扱いで論じることにしよう。

以前書いた記事だと、足し算の読者は結構いたけど、掛け算の読者は

少なかった。果たして、集合論だとどの程度の人が読むのか、と言うよ

り、どの程度の少なさなのか、屈折した興味が湧く所だ♪

ではまた。。☆彡

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ｃｆ．「1＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書　

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４