自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

学問一般に言えることだが、偉大な古典とか難解な書物というものは、

自分で本当に読んでる人は意外なほど少ない。別に外国語の原書に限

らず、翻訳さえあまり読んでないことが多くて、大抵が何かの解説本の

請け売りとか、孫引き（元の著作からの引用の引用）に過ぎないのだ。

これは、専門家レベルでさえ珍しくないことだと思う。

日本の人文系の学者に限ると、欧米との言語の差が顕著だから、自分

の専門分野に限っては、それなりに原書は読んでるだろう。ところが理

系の学者の場合、古典的著作に関してはほとんど無頓着な人が多い

ように思われる。これは一応理解できることで、要するに理系は、最新

の動向とか一般的事実を知ってれば十分なことが多いわけだ。

しかし、理数系科目の中でも特殊な位置にある数学について、その根

本を考える時、すなわち、数学基礎論的な考察を行う時には、例えば

古代ギリシアのユークリッド（＝エウクレイデス）の『原論』などは、いまだ

に熟読に値する本だろう（いずれ扱う予定）。他にも幾らでも「必読文献」

はあるはずだ。

今回、私がこだわったのは、「ペアノの公理」とか「自然数の公理」という

自然数論の業績で有名な、イタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノ（ Giuseppe

Peano ）の論文「数の概念について」[ Sul concetto di numero，1891]だ。

関連論文「数学的論理学の公式」[ Formole di logica matematica ]と共

に、共立出版『数の概念について』に収められている（小野勝次，梅沢敏

郎訳）。

残念ながら、イタリア語の原論文はネット上で発見できてないし、国内の

所蔵図書館でさえ僅かだから、差し当たりは諦めよう。何しろ、「数の概

念について」のイタリア語の原題さえなかなか見つからず、翻訳本にさえ

書かれてないほどなのだ（単なるミスだろう）。

それでも、数式や記号の表記に関しては原書と翻訳で同じであって、重

要な公理・定義・定理などに関しては、ペアノ自身の記述に触れることが

出来た。論文自体は短いけれど、中身は深くて濃密だから、何回かに分

けて記事にしよう。。

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今回はまず、最も根本的な、自然数とは何かということについて扱う。以

前に書いたように、複素数に至るまで様々な数が、自然数から構成され

るのだ。現在の数学では、０も含めて考えることが少なくないようだが、

普通の扱いでは１から２、３、４・・・と続く数だし、ペアノでもそうなってる。

ところが現在、ペアノの自然数の公理を「紹介」する際には、０から始め

てることが多いようだ。実際、私が前に記事で使った『現代数学小事典』

（講談社）も『新版　現代論理学』（東海大学出版会）もそうだし、ウィキ

ペディアの英語版だけでなく、イタリア語版まで０から始めている（日本

版については後述）。

まず『小事典』から、わりと普通の形の「ペアノの公理」を引用してみよう。

以下、Ｎは自然数全体を想定した集合。「´」は以前のウチの記事でも使っ

てたもので、自然数に対して「次の数」（successor）を対応させる記号だ。

つまり下の「ｎ´」とは、日常的な書き方だと「ｎ＋１」のこと。先行する研究

者・デデキント（R.Dedekind）の表記法に従ったのだと思う。では、始めよう。

　　　Ⅰ　 ０ は Ｎ の要素である。

　　　Ⅱ　ｎ が Ｎ の要素ならば ｎ´ も Ｎ の要素である。

　　　Ⅲ　Ⅰ、Ⅱの過程で得られるものだけが、Ｎ の要素である。

　　　Ⅳ　Ｎ のどの要素についても、ｎ´ は ０ と等しくない。

　　　Ⅴ　Ｎの２つの要素 ｍ と ｎ とについて、ｍ と ｎ とが等しいとき、

　　　　　かつそのときに限って ｍ´ と ｎ´ とが等しい。

　　　これらの公理系がみたされるとき、Ｎ を自然数の集合といい、その

　　　要素を自然数という。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲだけから、自然数の集合Ｎは０，１，２，３・・・だと決定するよう

にも見えるし、特にⅣは不要にも感じられる。この点について『小事典』で

は、Ⅳ、Ⅴは「等しい」ということ（＝の使い方）に関する基準だと説明して

ある（それにしてもⅤは回りくどい）。また、Ⅲの形をした公理は、自然数

に限らず見られるもので、一般に「排他公理」と呼ばれるものだと補足し

てある。Ⅰ、Ⅱの過程で得られるものの他は排除するから、「排他」と呼

ばれるのだ。

ちなみにこのⅢは、日本版ウィキや『論理学』だと全く違う書き方になって

いる。比較的分かりやすいウィキを少し参考にして、Ⅲを書き直すなら、

「０がある性質を満たし、ａがある性質を満たせばａ´もその性質を満たす

とき、すべてのＮの要素はその性質を満たす」となる。この形なら、高校

数学でもお馴染みの「数学的帰納法」、あるいはその基礎だと、すぐ分か

るだろう。実はこの方が、ペアノ自身の表記に近い。『小事典』は、かなり

筆者独自の解釈が入ってるような気がする。

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では、いよいよペアノ自身の記述について。書き方が非常に独特なもの

になってるし、「公理」という言葉も使われてない。運よく、ハバート・ケネ

ディ（Hubert Kennedy）がネットで無料公開しているペアノ関連の論文集

『Twelve Articles on Giuseppe Peano』を発見できたので、そこからコピー

＆ペーストさせて頂こう。パソコンの普通の文字だと、感じが出ないのだ。

　　

訳本だとｐ．９３にある上の５つの文字式は、「原始命題」とされている。

つまり、他からは導けない、最初に位置する命題だから、現代では「公

理」と言い換えるのだ。この言い換えが可能かどうか、そもそも気にな

る所だけど、ここではとりあえず流しておこう。それよりも、この書き方自

体の解説が必要だ。

珍しく、日本版ウィキが「ペアノ自身による記述」としてキレイに訳してる

ので（「ペアノの公理」の項目ラスト）、番号だけ追加して引用してみよう。

　　　Ⅰ　 1 は自然数である

　　　Ⅱ　任意の自然数 ａ に対して、ａ＋ が自然数を与えるような右作用

　　　　　演算＋が存在する

　　　Ⅲ　もし ａ，ｂ を自然数とすると、 ａ＋ ＝ ｂ＋ ならば ａ＝ｂ である

  　　Ⅳ　ａ＋＝１ を満たすような自然数 ａ は存在しない

　　　Ⅴ　集合 ｓ が二条件「(i) 1 は ｓ に含まれる, (ii) 自然数 ａ が ｓ に

　　　　　含まれるならば ａ＋ も ｓ に含まれる」を満たすならば、あらゆ

　　　　　る自然数は s に含まれる。

これで大体、ペアノ自身が何を何番目に書いてるかは理解できる。注目

すべきは「＋」という記号の使い方で、日常的には「１＋２」のように、前

後に数を並べる記号なのに、ここではある１つの数の右側に付加されて

るだけなのだ。つまり、『小事典』だと「´」とだけ書いてたもので、厳密な

な言い回しだと「右作用演算」ということになる。

もう１つ、注目すべきはⅤで、集合「ｓに含まれる」という言い回し。これ

は前の「数学的帰納法」の表現だと、「ある性質を満たす」に相当する。

つまり、ｓ とはある性質を満たす数の集合のこと。また、『小事典』のⅢ

は、ペアノ自身では５番になってるのだ。

さらに細かく、ペアノ自身の書き方を見てみよう。「１εＮ」は、今の書き

方だと「１∈Ｎ」。つまり、「１は集合Ｎの要素である」。０ではなく、１から

スタートしてるのだ。続いて「＋εＮ／Ｎ」とは、「＋は、“Ｎの要素からＮの

要素への対応づけ（ｏｒ 演算）全体の集合”の要素である」と読む。＋とは

自然数の中での関数記号ということだ。集合の要素という話を多用して

るから、読みづらくなっている。

３番の右側は、今の書き方だと「（ａ＋＝ｂ＋）⊃（ａ＝ｂ）」。カッコの代わ

りに黒い点を使って、その数が１個、２個、３個と増えるほど、区切りが強

いことにしてある。４番は、今だと「『１∈｛ｘ＋１｜ｘ∈Ｎ｝』ではない」。この

「ではない」ことを示す記号をパソコンで打てないので、仕方なく日本語で

書いてる。要するに、１は、Ｎの各要素を＋１ずつずらした集合Ｎ＋には

入ってないということ。１が最初、または左端だと言ってるのだ。

ラストの５番が内容的には最も分かりにくい。前半は、ｓはＫ（集合）であっ

て、１はｓの要素だ（＝ある性質を満たす）と条件を付けてるにすぎない。

その後は、今の書き方に翻訳すると「（（ｓ＋）⊆ｓ）⊃（Ｎ⊆ｓ）」。つまり、

集合 ｓ をプラス１ずつズラした集合が ｓ に含まれる（＝ある性質を満た

す）なら、Ｎ全体も ｓ に含まれる（＝その性質を満たす）。要するに、数学

的帰納法だ。

今だと、部分集合の記号、つまり集合が別の集合に含まれることを表す

「⊆」と、論理的な「ならば」を表す「⊃」は似て非なる記号を使うけど、ペ

アノでは同じ記号（Ｃを左右逆転させたようなもの）なのだ。

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最後に、もっと本質的な問題を改めて書いとこう。それは、これら５つが

何なのかということだ。ペアノでは「原始命題」、つまり他から導けない最

も基礎的な話とされていた。これを現代では「公理」と受け取ってる訳だ

が、「原始命題」と「公理」が本当に同じかどうかはかなり気になる所だ。

今の所、少し違うような気がするものの、はっきりした事はまだ言えない。

あと、これら５つが何を行ってるのか、どのような意義を持つのかも問題

だ。日本版ウィキは、「自然数そのものを定義しようとはしなかった点に

は注意・・・」と書いているが、この点は微妙だ。

確かに「定義」とはされてないものの、実際には５つの性質で、我々は「１，

２，３，４・・・」みたいな集合しか思いつけない。ダッシュを使って「１，１´，

１´´・・・」と書こうが、集合論のカッコで「｛ ｛  ｝ ｝，　｛ ｛  ｝，｛ ｛ ｝ ｝ ｝，・・・」

と書こうが、本質的には何も変わらない。

したがって実際上、ペアノの５つの原始命題は、自然数の定義として機

能することになる。だからこそ、『小事典』は「定義」として扱ってるのだ。

ただし、そこで使われてる「１」とか「＋」は、明確な定義が与えられてい

ないから（いわゆる無定義語）、５つの命題も厳密な意味では定義と言

えないのだ。

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以上、今回は、ペアノの自然数論の原点とも言うべき「ペアノの公理」を、

原論文に即して考察してみた。次はいつになるか分からないが、最も初

歩的で基礎的な算術、足し算（加法）を考察する予定だ。今回、右作用

演算の記号であった「＋」が、左右作用演算の記号に拡張される。つま

り、我々が普通に「１＋２」などと書いてるように、２つの数に対する計算

（＝２変数関数）になるのだ。

なお、ペアノの公理の初出をこの「数の概念について」とする考えは、日

本版ウィキにもあるものだが、もしかすると翻訳者（とりわけ小野）を代表

とする一部の学者の見方にすぎない可能性はある。世界的には、多数

派でさえないかも知れない。

実際、欧米ではこの論文はあまり話題になってないし、そもそもなぜペア

ノの論文であって、デデキント（R. Dedekind）の「数とは何か、何であるべ

きか　数の本質と意義」（岩波書店『数について』所収）ではないのかとい

う問題もある。加法も含めて、先行者のデデキントの方がむしろ明晰に

感じてしまうのは事実だ。

ともあれ、今日はもう時間だ。ひとまず、この辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　約４年後の１３年１２月、足立恒雄『フレーゲ・デデキント・ペアノを

　　　　　読む』（日本評論社）に目を通してみた。ペアノの公理系（のような

　　　　　もの）は、先行論文『算術の諸原理』（１８８９）で既に一応登場して

　　　　　たが、より公理的な扱いになった論文が２年後の『数の概念につい

　　　　　て』のようだ。足立の記述を見ても、やはりペアノという数学者はな

　　　　　かなか評価が難しい大物なんだろう。。

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ｃｆ．「1＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　デデキントの「切断」による実数の構成～対角線論法２

　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書　

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４

　　原始リカーシヴ関数と足し算（加法）、掛け算（乗法）