０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

ここ最近、算数や数学の基礎となる「自然数」に興味を持って、イタリアの

数学者ペアノや集合論に関して、記事を４本書いて来た。次は、またペア

ノにするか、先行者のデデキントにするか、あるいは学校の教科書にす

るか、迷ってた時、何気なく熊野純彦『西洋哲学史　－近代から現代へ』

（岩波書店）をパラパラ流し読みしてみた。一般には馴染みがないだろう

が、熊野は本格派の哲学者として、知る人ぞ知る実力者なのだ。

その岩波新書の終盤で、ふと「ペアノ」、「デデキント」という名前を発見。

どうやら、ドイツの著名な論理学者＆哲学者フレーゲが、その２人より

先に、代表作の一つ『算術の基礎』において、「０」（ゼロ）とか「次の数」

（＋１だけ変化した数）に関する完全な記述を行ったという話らしい。

ところが、僅か２ページほどにまとめられた内容を繰り返し読んでも、ど

うもいま一つピンと来ない。「０」に関する話はそこそこ理解できたものの、

「次の数」に関する話が非常に分かりにくいし、具体的に０から後に続く

数１，２，３・・・をどうやって作っていくのかが読み取れないのだ。

そこで、順番的にはデデキントを飛ばしてしまうことになるけど、そのフ

レーゲ（Gottlob Ｆｒｅｇｅ）の論文「算術の基礎　数概念についての論理数

学的探求」（１８８４）をチェックしてみた。野本和幸・土屋俊編『フレーゲ

著作集２　算術の基礎』（勁草書房）に収められてる論文で、三平正明・

土屋俊・野本和幸訳となっている。編者あとがきを読むと、実際には三

平が中心となって訳したようだ。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

とりあえず今回は、熊野の記述にあった部分に焦点を絞って、記事を

書くことにしよう。まず、第７５節の冒頭。「ゼロは、その下に何も属さ

ない概念に帰属する基数である」（訳書 p.138）。ちなみに「基数」とは

ものの個数を表す数で、物事の順序を表す「序数」としばしば区別され

るけど、差し当たりは自然数（０，１，２，・・・）だと考えて問題なかろう。

さて、上の文だけいきなり読むと不可解だろうが、まず翻訳の問題を

指摘しよう。「属さ」ないと「帰属する」は、日本語的にはほぼ同じ動詞

のように感じられるだろうけど、それだと意味がとりにくい。実は、元の

ドイツ語論文『Die Grundlagen der Arithmetik』をネットで入手すると、

全く違う原語が使われてる（ナンシー・メッツ・アカデミーのサイトより）。

「属さ」ない、という訳に対応するドイツ語には動詞が無くて、単に前置

詞の「ｕｎｔｅｒ」（英語のｕｎｄｅｒ）があるだけなのに対し、「帰属する」と訳

されてるのは動詞の「ｚｕｋｏｍｍｅｎ」。熊野は、「ぞくする」と「帰属する」

で区別してるが、この箇所の分かりやすさだけ考えるなら、むしろこう訳

せばいい。「ゼロは『その下に何もない概念』に与えられる個数である」。

「その下に何もない概念」とは、例えば「自己自身と等しくないという概

念」（７４節）のことだ。「自己自身と等しくない」ものの数は、ゼロ個の

はず（つまり存在しない）。７５節の冒頭は、そうゆう話で「ゼロ」を説明

してるわけだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

一方、「次の数」に関するフレーゲの記述は、第７６節の冒頭にある。

７５節と同様に、一部改訳して引用してみよう。

　　　　命題「ある概念 Ｆ と、その下のある対象 ｘ が存在して、概念Ｆ

　　　　に与えられる個数は ｎ であり、かつ、『 Ｆ の下にあるが、ｘ とは

　　　　等しくない』という概念にふさわしい個数は ｍ である」、

　　　　が、

　　　　「 ｎ は自然数列において ｍ に続く」

　　　　と同じ意味であるとする。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（訳書 p.139）

ｎ＝１、ｍ＝０とすると、後者の命題は要するに、「１は０に続く自然数」

ということになる。一方、前者の命題は、Ｆを「０と等しい」とすれば、要

するにこうゆう事になる。

　　　　「０と等しい」という概念の下には、０自身だけがあり、「０と等し

　　　　い」という概念に与えられる個数が１であり、かつ、「０と等しい

　　　　が、０とは等しくない」という概念に与えられる個数は０である。

もう少し噛み砕くなら、０と等しいのは０だけで、その個数は「１」。また、

「０と等しいが、０と等しくない」という矛盾したものの個数は「０」という話

だ。この奇妙な命題で「 ｎ は ｍ の次の数」という関係を表せるのは、元

の記述の「 ｘ とは等しくない」という部分がポイントになる。ある１つの対

象 ｘ の分だけ ｍ は小さい、すなわち逆に、＋１だけ ｎ が大きい、とな

るのだ。

では、「２は１の次の数」という関係なら、概念Ｆはどうするのかというと、

第７９節で説明されている（熊野の著作には無い）。これまた一部改訳、

さらに具体的な数を入れて、大まかに引用するなら、「１で終わる自然

数列に所属する」と考えるのだ。つまり、「０，１という数列に所属する

（ａｎｇｅｈöｒｅｎ）」と考える。

この場合、「０，１という数列に所属する」ものの個数は「２」（０と１の２個

だから）。一方、その内で例えば０（対象 ｘ ）と等しくないものは１だけだ

から、個数は「１」。こうして以下、連続する２つの自然数の関係すべて

について、第７６節の説明が当てはまる「ように感じられる」わけだ。

この関係を使えば、０から１、１から２と、順に自然数を「構成」していくこ

とも出来るように感じられる。言い換えると、自然数の「定義」になりそう

な感じも一応ある。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

しかしながら、第７５節もそうだけど、第７６節が本当に「完全な」記述に

なってるかどうか、私には今の所かなり怪しく感じられる。むしろ、「興味

深い１つの」記述と言う方がしっくりする。

少なくとも、現代的な自然数論を構築した学者として、フレーゲよりペアノ

の名前が遥かに有名であることの理由が、初めて分かったような気がし

た。ペアノ自身の記述も独特の分かり辛さがあるものの、フレーゲと比べ

ると遥かに簡潔で洗練されてるし、記号表現の仕方が数学的なのだ。そ

の印象は、フレーゲのより本格的な著作『算術の基本法則』（著作集３）

を流し見しても、同じことだ。

ペアノは「数学基礎論」、フレーゲは「数学の哲学」と区別すると、両者の

違いが鮮明になるかも知れない。ペアノにおいて、「次の数」という関係

に関する説明は、普通の形では無い。それは哲学的には不十分な考察

かも知れないけど、数学としては特に困らないわけだ。

ともあれ、ペアノにせよ、フレーゲにせよ、まだまだ勉強不足だし、デデ

キントと比べる必要もある。また機会を改めて、自然数とか算術の問題

に取り組みたいと思う。

ではまた。。☆彡

　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｃｆ．フレーゲ『算術の基本法則』における「概念記法」～記号論理の原点

　　　　・・・・・・・・・・

　　「1＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書　

　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３