折り紙の一刀切り問題～朝日新聞・ＧＬＯＢＥ「数学という力」

（☆追記：　１３年２月９日、２２日、３月７日、３年ぶりに続編を４本アップした。

　　　　　　　１４年１１月２９日、さらに１本アップ。

　　　　　　多角形の一刀切り・２～エリック・ディメインの折り紙数学　

　　　　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）３～ハートマーク＆熱帯魚

　　　　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）４～簡単な数字（０，１，２，５，７）

　　　　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）５～簡単な数字（３，４，６，８，９）　

　　　　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）６～アルファベットＡ、Ｂ

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

今夜は本当なら、久々に福山雅治主演のドラマ『ガリレオ』関連で、理数

系記事を追加するつもりだった。ところが、朝日新聞・朝刊（２月１日）の

マニアックな特集欄「グローブ（ＧＬＯＢＥ）」が、全面４ページにわたって

「数学という力」というテーマを追究してたので、つい読み耽ってしまって、

予定変更となった。

特に、１、２ページの「折って、１回はさみを入れるだけで・・・」と題した記

事における、「オリガミ数学」（mathematics of paperfolding　，ｏｒ　mathe-

matical origami）の話が面白かったのだ。

　（☆追記：　４ページ目にも白鳥の作り方の図があった）

折り紙というと子供の遊びのように思われがちだけど、実は本気で考える

とハイレベルな数学につながるという事は、昔から一応理解してたし、実

用性があるという話も耳にしてた。スペースシャトルの望遠鏡の収納とか、

車のエアバッグの折りたたみ方とか。ただ、実際に折り紙をやってたのは

小学校までだし、数学でも中学の図形とかでチョコッとやっただけ。今では

かなり縁遠い世界になってた。

ところが、この新聞記事の話はマニア心をそそるものだ。「紙を折りたた

み、一回切るだけで、どんな多角形でも無限に作れる」というのだ。ちなみ

に多角形とは、簡単に言うとカクカクした平面図形のこと。言いかえると、

短い直線（＝線分）で囲まれた形で、家とかロボットとか、相当色んな変

化が考えられるものだ。

で、どんな多角形でも作れることを数学的に証明したのが、若き天才・

エリック・ディメイン（Erik Demaine）、２８歳。２００１年、有名な米マサ

チューセッツ工科大（ＭＩＴ）に、史上最年少（２０歳）で招かれた数学者

で、証明の中身はともかく、やり方についてはこう書かれてる。

　　　「切り出したい形を紙に書いて、それぞれの角の二等分線と、

　　　　切り出す線に下ろした垂線を折っていく。どれだけ複雑な形

　　　　でも、多角形は最終的に三角形と四角形に分割できる。さ

　　　　らに折り目を追加すれば、三角形と四角形が一直線上に並

　　　　ぶようにおりたたむことができるという」。

この文末の「という」が問題であって、当然記者（佐藤武嗣、宮地ゆう、

田中郁也）も理解できない訳だ。その代わり、紙にでたらめな六角形を

書いてエリックに渡すと、鼻歌まじりで約２分かけて折りたたんだ後、

「Moment of truth」（真実の時）と言いながら、見事に六角形を切り離し

たそうだ。

これを読んだ私は、「たかが六角形なのに、専門家の天才数学者でも２

分かかるのか！」と驚き、やっぱり相当手強そうな問題だと思ってしまっ

た。でもおそらく、手でキレイに折る作業に時間がかかるだけなんだろう。

後で自分で折ってみて、その手間を実感できた。

さて、ほとんどの人はこの辺りで天才に感心して終わりだろうけど、マニ

アック・ブロガーたるもの、自分でやってみないと納得できない♪　そこ

で、簡単な切り離しをやりながら、自分で理屈を考察。初歩的理解には

一応成功した。最初は、ガリレオ＝福山雅治みたいに、「さっぱり分から

ない。実に面白い」って感じで笑うばかり。それでも、何枚か失敗する内

に、コツとか問題の意味が少しずつ見えて来た。。

　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まず、根本的な問題は、折り紙の「一刀切り」（fold-and-cut）のルールだ。

特に、「一刀」という意味が分からなくて、ウィキペディアの日本語版、英語

版、その他のサイトを探し回ったけど、言葉の意味さえなかなか出て来な

いし、具体的に解説してるサイトも全く見当たらない。実行したと報告して

るサイトは少数あるけど、どう折ってどう切ったらどんな形になるのか、具

体的に図示・解説したサイトが見つからないのだ。

　　　（追記：　朝日のグローブのサイトと、そこから飛べるエリックの

　　　　　　　　サイトを記事アップ直後に発見。参考になった。）

　その内、どうも「ハサミの向きを変

　えずに、一回だけチョキンと真っ

　直ぐ切る」らしいことが分かったの

　で、一番簡単な長方形で実験。こ

　れはすぐに成功した♪　要するに、

　各辺の線が重なるように折って、

　重なった部分にハサミを入れれば

　いいわけだ。

　具体的には、図の赤い長方形を切りだす

　操作で説明しよう。まず上下２つ折りにし

　て（図①）、左右２つ折りにする（図②）。更

　に、図③の斜め線（角の二等分線）に沿っ

　て折ることで、赤い長方形の４辺を縦一直

　線に重ね、最後に図④の矢印の箇所で、

　「一刀切り」。見事に長方形が出来た。

（☆追記：　下と同様、角の二等分線を４本引いて、交点２つを直線で結び、

　　　　　　　それらの線を山折りにする解き方の方が、統一感はある。）

　続いて、勝手に書いた三

　角形（不等辺三角形）に

　挑戦。これはかなり苦労

　した。この程度の図形で

　も、わりと大きめの紙で

　正確に折らないとやりに

　くいのだ。途中で止めそ

　うになりながら、試行錯

　誤してる内に、ようやく

「角の二等分線」と「垂線」の使い方が判明。三角形を紙の両面に書いと

くと、分かりやすいだろう。

三角形の角の二等分線は、３本が１点で交わるので（中学の図形の有

名問題）、２本だけ引いて交点を求める（図の①②）。そして、交点から

辺に垂線を２本下ろす（図の③④）。ここで、まず①②にそって紙を「山

折り」にする。つまり、①②が上に来るように折る。そうすると、③④の

側が盛り上がって立体的になるので、③④に沿って「谷折り」にした後、

尖った形に直立して来る部分（図の右下の頂点辺り）をどちらかにペタ

ンと倒せば、平面的に折り畳める（谷折りは③④の片方だけでも可）。

と言うより、平面的に折り畳もうとすると、自動的に③④の箇所が凹ん

で、垂線での谷折りになるのだ。同様に、実は角の二等分線も引く必要

はない。三角形の辺が重なるように折り畳めば、自動的に折り目が角

の二等分線になる。ただし、上手く折れない方は、３本目の角の二等分

線も含めてすべて線を書きこんだ後、それに沿って折るとラクだろう。

で、最後に、一直線上に重なった３辺の箇所を「一刀切り」すれば出来上

がり♪　見事に、勝手に書いた（任意の）三角形を切りだすことが出来る。

　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この後、台形にもチャレンジしたんだけど、不成功のまま時間切れ・・・と

書いて一旦記事をアップしたんだけど、やっぱり気になって寝れないから、

　解いてしまった（多分）♪

　これで安心して眠れそう

　だ。左図で、角の二等分

　線①②③④で山折り、垂

　線⑤⑥で谷折りすれば、

　四つの辺が一直線に重

　なるから、そこを切れば

　いい。

ただ、こんな折り方が常に可能かと言われると、正直よく分からない。お

そらく、同じやり方で台形以外の四角形でも成功すると思うけど、「幾つ

かの線に沿って必ず折り畳めることの証明」というのが厄介なのだ。ま

あ、その辺りの厳密な理屈は、天才エリックに任せとくべきかも♪　何か、

数学的な「武器」が必要だろう。

あと、しばらく上に５行で引用した文において、どうして「三角形と四角形」

に分割する話を出すのかが納得できない。四角形は、２つの三角形に分

けれるんだから、すべての多角形は三角形に分割して、つなぎ合わせれ

ばいいんじゃないのかね。それは無理なんだろうか。あるいは、四角形ま

で分割すれば、既に十分簡単だという意味か。

ちなみに、これまた証明抜きで直感的な思い付きを補足しとくと、おそらく

一般に、角の二等分線は山折り、垂線は谷折りにしていくんだと思う。た

だし、５角形以上で内側に凹んだ角がある場合は、逆に二等分線を谷折

りにして、垂線を山折りにしていくんじゃないかな。

　　（追記：　細部の理屈は曖昧ながら、内側に凹んだ角のある五角形

　　　　　　　の一刀切りにも一応成功。凹んだ角は谷折りにした。）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　

とにかく、当面はこれ以上こだわらないことにしよう。他にやる事が一杯

溜まってるのだ。自然数論、ポアンカレ、その他色々。新聞に載ってた

「リーマン予想」も記事を書きたいと思ってるし、複素数とか虚数単位 ｉ

（２乗して－１になる不思議な数、 imaginary number）も扱いたい。

折り紙遊びは、またヒマな時にでも延期するとしよう・・・とか言いつつ、こ

の後また考え込んで、眠れなくなるかも♪

ではまた。。☆彡　　

　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

Ｐ．Ｓ．朝日の記事に、エリックが「まず図形の中に円を描く」と書いてる

　　　　のは多分、内接円の中心が角の二等分線上にあるからだろう。

Ｐ．Ｓ．２　「一刀切り」を説明する英文は、「one complete straight cut」、

　　　　　　「a single straight cut」、「a cut along a line」、などと書かれてる

　　　　　　（エリックのサイト）。要するに、「一本の真っ直ぐな切断」だ。

Ｐ．Ｓ．３　同じ２月１日の朝日新聞・夕刊には、「凄腕つとめにん」という

　　　　　　連載企画で、段ボール箱の設計図のプロが紹介されていた（レ

　　　　　　ンゴー・東京包装技術センター・石川淳生氏）。平面に折り目や

　　　　　　切り口をつけて、複雑な立体を作る技は、エリックの折り紙数

　　　　　　学とも関係が深い職人芸だろう。エリックのお父さんの仕事（ガ

　　　　　　ラス細工職人）とも関係ありそうだ。

Ｐ．Ｓ．４　２０１２年１１月１２日のＮＨＫ・Ｅテレ２３５５で、ディメインの一刀

　　　　　　切りが軽く紹介されたらしい。今現在１３日の０時過ぎだが、続々

　　　　　　と検索アクセスを頂いてる。

Ｐ．Ｓ．５　１３年２月７日のＮＨＫ・Ｅテレでも、「マニアックスペシャル」と題し

　　　　　　て、またエリックが登場したようだ。

Ｐ．Ｓ．６　１３年２月１２日、テレビ朝日の『モーニングバード』では、折り紙

　　　　　　の「ワンカット」（ｏｎｅ　ｃｕｔ） として紹介されたらしい。愛知県の

　　　　　　園長さんが漢字などを切り抜いたようで、調べると、１２年５月

　　　　　　１９日の朝日新聞・朝刊・名古屋版で大きく紹介されていた。

ｃｆ．　多角形の一刀切り・２～エリック・ディメインの折り紙数学　（凸六角形まで）

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）３～ハートマーク＆熱帯魚

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）４～簡単な数字（０，１，２，５，７）

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）５～簡単な数字（３，４，６，８，９）

　　　折り紙の一刀切り（ワンカット）６～アルファベットＡ、Ｂ