平行線の公理（ｏｒ 公準）を否定した、非ユークリッド幾何学のモデル

ここ最近、数の基本である自然数について、相当こだわって来たので、

流石に理数系の読者でさえ、あまり付いて来てないようだ♪　一般に、話

のレベルが上がると読者は急激に減るのは当然だろうけど、私自身も

ちょっと気分転換してみたい。

そこで今夜は、数ではなく図形の話題として、「非ユークリッド幾何学」に

軽く触れてみよう。しばらくお休みしてるポアンカレ予想とか宇宙論、ある

いは曲がった時空などと関係してくる、常識離れした真面目な話だ。今

回は一番分かりやすい部分だけにする。

まず、「非ユークリッド幾何学」とは何かが大問題であって、色々調べる

と、少なくとも表面的には少しずつ違ってるように見えてしまう。この記事

ではとりあえず普通の定義として、ユークリッド幾何学の「平行線の公準」

を否定した幾何学としておこう。

ユークリッド幾何学とは何かという問題も、実は深く考えると厄介な話に

なるんだけど、ここでは我々が高校までの算数・数学で習って来た図形

の学問と思っておけばいい。違う側面から見ると、ごく常識的な図形の

理論体系だ。

そこでは例えば、「１つの平面上で、直線 ａ 上にない１点Ｐを通って ａ

　と交わらない直線はただ１本引

　ける」という命題が（暗黙の内に）

　認められている。この命題が、

　いわゆる「平行線の公理」（平行

　線が１本引けるから）であって、

古代ギリシャの数学者・ユークリッド（ｏｒ エウクレイデス）の『原論』に

書かれた「平行線の公準」を分かりやすく言い換えたものとされている。

よって結局、非ユークリッド幾何学とは、「一つの平面上で、直線上にな

い１点を通って、その直線と交わらない直線は、０本あるいは２本以上

引ける」ことを認める幾何学ということになる。

ただし、我々が常識的に認めてる「平行線の公理」と、ユークリッドの

「平行線の公準」とが本当に同じなのか、これまた実は相当難しい話に

なる。そこも今回は、流しておこう。別に私に限らず、あっさり流すことが

多いし、たまに「証明」と称するものもあるけど、いまだに本格的な納得

できる証明（ｏｒ 説明）は見たことないのだ。。

（追記：　その証明の記事をアップした。

　　　　　平行性の公理とユークリッド『原論』第五公準、同値性の証明　）

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さて、ではその、「平行線の公理」を否定した非ユークリッド幾何学という

のは、具体的にどんなモデルを想定してるのか、ここでは１つだけ紹介

しておこう。例によって、『現代数学小事典』（講談社）に載ってるもので、

クラインという数学者のモデルを改良したものらしい。以下、図形に関す

る常識を揺るがす話なので、柔軟な頭で受け止めて頂きたい♪

まず、ある円の内部だけを「平面」と定義する。正確に言うと、ユークリッ

ド幾何学的な円の内部だけを、非ユークリッド幾何学の平面と定義する

という話だけど、ややこしいので省略してるわけだ（小事典でも同様）。

そして、円の周上の点は、「平面」にギリギリ入らない「無限遠点」とする。

　　

更に、周上の２点Ａ、Ｂを結ぶ線分（円の弦）から、両端の２点を除いた

部分を「直線」とし、「無限遠点」を共有する２つの「直線」を「平行」と定

義する。この時、１つの「平面」上で、「直線」（ＡＢ）上にない１点（Ｐ）を

通って、その「直線」と交わらない「直線」は、無数に引ける（ＡＣとＢＤの

なす鋭角内）。また、「平行」な直線だけなら２本引ける（ＡＣとＢＤ）。

上の図は、あくまで普通のユークリッド平面において描かれたものであっ

て、非ユークリッド平面自体には円も外部も存在しない（円の内部だけが

　平面だから）。よって、上図

　に対応する非ユークリッド平

　面における図を書くなら、左

　のような「イメージ」になる。

　前の図で、円の内側だけを

切り出したと考えればいい。　　　　　　　

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なお、「平面」「直線」「平行」といった言葉を勝手に新しいやり方で定義し

ていいのか、という疑問はもっともなものだ。当然、自由に定義していい

のではなく、おそらく二種類の制約がある。まず重要なのは、ユークリッ

ド幾何学の『原論』の定義を一応満たしてるかどうか。もう１つは、新た

な定義に基づく理論展開で豊かな内容を生み出せるかどうか。

前者の制約を考える手始めは、『原論』第一巻冒頭にある定義だ。

　　２　　線とは、幅のない長さである。

　　４　　直線とは、その上にある点について、一様に横たわる線である。

　　５　　面とは、長さと幅のみをもつものである。

　　７　　平面とは、その上にある直線について、一様に横たわる面である。

　２３　　平行線とは、同一の平面上にあって、両方向に限りなく延長しても、

　　　　　いずれの方向においても互いに交わらない直線である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　（中央公論社『ギリシアの科学』所収，p.255）

少なくとも、意外なほど漠然としたこれらの定義のみを見た時に、上の非

ユークリッド幾何学のモデルが間違ってるというのは難しいことが分かる

だろう。５つの定義を見るだけでは不十分だけど、とにかく例のモデルは、

ギリギリで「平面」「直線」「平行」の定義に合うように、あるいは矛盾しな

いように、作られてるのだ。

特に定義２３の「平行」線の説明で、「限りなく延長しても」という言葉の

意味を考えてみると、モデルの巧みさと斬新さがよく分かるだろう。普通

の意味で、右左にずっと伸ばして行くのではない。あくまで「平面」の上

で、つまり円の内部で、限りなく円周（無限遠点）へと近づけると解釈＝

改釈してることになる。

それなら、交わらない直線が無数にあるのは当然で、その中の２本に

絞って平行線とみなしてるわけだ。ただし、どうして２本に絞っていいの

かまでは、今の所、分からない。

一方、そのモデルからどんな数学的内容が展開されるのかについては、

また別の機会に譲るとしよう。高校数学レベルの知識で一応理解できる

ものの、かなり面倒な話になる。とりあえず、「平面」、「直線」、「平行」と

いった常識的な言葉を、大胆にとらえ直す感覚は伝わると思う。創造的

知性とは、こうゆうものを指すわけだ。

この先、非ユークリッド幾何学に関しては、少なくとも２本の記事を書く

予定。「平行線公準」（ｏｒ 第五の要請）に関するものと、もう１つはリー

マン幾何か何かで書きたいと思ってる。

とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

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ｃｆ．平行性の公理とユークリッド『原論』第五公準、同値性の証明

　　非ユークリッド幾何学のモデル・２～平面の鏡映変換