平行線の公理とユークリッド『原論』第五公準（ｏｒ 要請）、同値性の証明

五輪も東京マラソンもスキー＆スノボ旅行も無事終了。プチ飲み会も昨

夜終えて、ようやく普通の生活に戻ることが出来そうだ。そこで早速、３

週間前に書いた非ユークリッド幾何学の記事の第２弾をアップしとこう。

前回の方が面白い話だけど、今回の方が価値があると思う。少なくとも

私自身は、モヤモヤ曖昧だった内容がようやくスッキリ解決した。

まず、前回の記事の引用から始めよう。

　　　結局、非ユークリッド幾何学とは、「一つの平面上で、直線上にな

　　　い１点を通って、その直線と交わらない直線は、０本あるいは２本

　　　以上引ける」ことを認める幾何学ということになる。

つまり、非ユークリッド幾何学とは、ユークリッド幾何学における「平行線

の定理」、つまり「一つの平面上で、直線上にない１点を通って、その直

線と交わらない直線（＝平行線）は、ただ１本引ける」という常識を否定

してるわけだ。

ただし、我々が常識的に認めてる「平行線の公理」と、ユークリッド（＝

エウクレイデス）の古典的名著『原論』の第５公準（ｏｒ 要請）が論理的に

同じだと証明するのは簡単ではない。私の手元には適当な文献がない

し、ネットでも十分なものは見当たらないから、自分で証明してみよう。

基本的に、『原論』第１巻を参考にした上で、補足的に、Ｇｏｏｇｌｅで部分

的に公開されている『ユークリッド幾何学を考える』（溝上武實）も少し

だけ参照した。　　　　

なお、現代の記号論理学とか、数学基礎論（の一部）のレベルで厳密に

書くと、書くのも読むのも大変だし、ユークリッド本人もそこまで厳密に書

いてるわけではない。以下、ある程度は省略してあるので、念のため。

そもそも、そこまで厳密にできるかどうかも、定かではないし、意見が分

かれる所だろう。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ではまず、『原論』における平行線の定義と第五公準を、『ギリシアの科

学』（中央公論社・世界の名著 ９，ｐ．２５６）から引用してみよう。読みや

すさのため、一部では漢数字をアラビア数字に変えておいた。

　　　　定義・・・（１～２２は略）・・・

　　　　２３　　平行線とは、同一の平面上にあって、両方向に限りなく

　　　　　　　　延長しても、いずれの方向においても互いに交わらない

　　　　　　　　直線である。　

　　　　公準（要請）

　　　　つぎのことが要請されているとせよ。・・・（１～４は略）・・・

　　　　５　　および、一直線が二直線に交わり、同じ側の内角の和を

　　　　　　　二直角より小さくするならば、この二直線は限りなく延長さ

　　　　　　　れると、二直角より小さい角のある側において交わること。

　初めて読むと、何のこ

　とだか分かりにくい文

　章だからこそ、今では

　「平行線の公理」で言

　い換えてるわけだ。

要するに、図の２つの角（同傍内角）の和が１８０度より小さければ、右

側で交わるという話で、常識的には当たり前。けれど、他の話から証明

できないから、読者全員が認めてくれるよう、あらかじめ「要請」するはめ

になってる。

これと平行線の公理が論理的に同値（互いに必要十分）であることを

示すには、どちらの一方からでも他方を導けることを示せばよい。ただ、

　その証明の前に、別の

　定理を補足的に示しと

　こう。それは、『原論』

　で証明されている命題

　十六だ。ここでは簡単

　に、「三角形の外角は

内対角より大きい」と書いとこう。これまた、常識的な数学では当たり前

で、外角は２つの内対角の和と等しいとされてるわけだ。その場合には

当然、「外角 ＞ （１つの）内対角」となる。

　これを証明するには、

　内対角を外角の位置ま

　で移動させて比較すれ

　ばよい。左図のように

　点Ｅ、Ｆを決めれば、

　三角形ＥＡＢ，ＥＣＦ

の合同より、∠ＥＡＢ ＝ ∠ＥＣＦ。一方、∠ＥＣＦ ＜ ∠ＥＣＤは明らか。

よって、∠ＥＡＢ ＜ ∠ＥＣＤ。つまり、（内角）∠ＣＡＢ ＜ （外角）∠ＡＣＤ。

全く同様にして、（内角）∠ＡＢＣ ＜ （外角）∠ＡＣＤ も示される。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．（証明終了）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　

では、第五公準と平行線の公理が同値であることの証明に入る。

まず、「第五公準 ⇒ 平行線公理」。つまり、第五公準を認めると、平行

線の公理が導けることを示そう。

　まず、「存在性」。つまり平行線が少

　なくとも１本存在することについて。

　点Ｂを通って直線ＣＥに平行な直線

　が欲しければ、左図の同傍内角の

　和が２直角になるように、直線ＢＤ

　を引けばよい。言い換えれば、

∠ＢＣＥとその同位角である∠ＡＢＤ（＝２∠Ｒ－∠ＤＢＣ）が等しくなるよ

うに直線ＢＤを引けば、平行線（＝ＣＥと交わらない直線）となる。

なぜなら、もしＢＤとＣＥが右側の点Ｆで交わるとすると、三角形ＢＣＦが

出来るから、∠ＡＢＤ ＞ ∠ＢＣＥ （外角は内対角より大きい）。これは

ＢＤの引き方に関する仮定に反する。よって、ＢＤとＣＥが右側で交わる

ことはない。また、左側で交わらないことも同様に証明できる。

したがってＢＤはＣＥと交わらない。すなわち、ＢＤはＣＥの平行線である。

続いて、「唯一性」。つまり、平行線は１本しか存在しないことについて。

いま仮に、ＣＥの平行線がＢＤ以外にも存在するとしよう。それをＢＦとす

る時、もしＢＦが∠ＤＢＣの中を通るのなら（つまりＢＦが右下がりなら）、

ＡＣとＢＦとＣＥで作られる同傍内角の和は２直角より小さいはず。すると

第五公準より、ＢＦとＣＥは右側で交わり、ＢＦが平行線だとする仮定と

矛盾する。

一方、ＢＦが∠ＤＢＣの中を通らないのなら（つまりＢＦが左下がりなら）、

直線ＡＣの左側において先程と同様の議論を行うことで、ＢＦとＣＥが左

側で交わることになり、再び矛盾を示せる。

したがって、ＣＥの平行線は、ＢＤただ一本しか存在しない。

以上、平行線の存在性と唯一性が示されたので、平行線はただ１本存

在することになる。よって、平行線の定理は示された。

　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

続いて、逆に「平行線公理 ⇒ 第五公準」。つまり、平行線の公理を認

めると、第五公準が導けることを示そう。これは、先程と同じ図で、似た

議論を行えばよい。

　平行線公理より、ＣＥ

　に対して平行線ＢＤを

　引くことが出来る。こ

　の時、図の赤い同傍

　内角の和が二直角で

　ある事は、以前の議

　論と同様。ここで更に直線ＢＦを考え、ＡＣとＢＦとＣＥが作る同傍内角

（右側）の和が二直角より小さい時、ＢＦはＢＤと一致しないから、ＢＦは

ＣＥの平行線ではない。よって、ＡＣの右側か左側でＢＦとＣＥは交わる。

ここで、もしＢＦとＣＥが左側の点Ｇで交わるとすると（イメージしにくい奇

妙な想定）、∠ＧＢＣ ＝ ２∠Ｒ－∠ＦＢＣ

　　　　　　　　　　　　　＞ （２∠Ｒより小さい角）－∠ＦＢＣ ＝ ∠ＢＣＥ。結

　局 ∠ＧＢＣ＞∠ＢＣＥ

　ということになる。こ

　れでは、三角形ＢＧＣ

　において、「内対角

　＞ 外角」ということ

　になってしまい、「外

角 ＞ 内対角」という定理と矛盾する。よって、ＢＦとＣＥは右側で交わる。

つまり、和が二直角より小さい同傍内角がある側において交わる。

したがって、第五公準は示された。

以上、「第五公準⇒平行線公理」と「平行線公理⇒第五公準」が共に示

されたので、第五公準と平行線の公理は同値（必要十分）。すなわち、

論理的に同じことである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．（証明終了）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、同傍内角の和が二直角（２∠Ｒ）の時、同位角が等しいことの証

明は、簡単すぎるから省略したが、念のために補足しとくと、左下図で

　∠ＡＢＤ＝２∠Ｒ－∠ＤＢＣ

　　　　　 ＝∠ＢＣＥ

　つまり、一直線ＡＢＣがなす角

　が２∠Ｒ（１８０度）であること

　を使えばすぐに証明できるわ

　けだ（∠ＡＢＤは∠ＤＢＣの補角）。

更に、対頂角が等しいことを示せば、錯角が等しいことも簡単に証明で

きる。その辺りの議論は、普通の図形の話と同じで、中学の教科書の

例題レベルにすぎない。

以上、ユークリッド『原論』第五公準と、平行線の定理が同じであることを

証明した。実は、まだ歴史的な問題が残ってる。つまり、平行線の定理

を示した（と言うより、世に広めた）プレイフェア（Ｊｏｈｎ　Ｐｌａｙｆａｉｒ）という

数学者の記述では、少し違う言い回しになってるのだ。

Ｇｏｏｇｌｅで全文表示される１７９５年の著書（『Elments of geometry』；原

論の注釈本）から引用しよう。

　　　　Two straight lines cannot be drawn through the same point,

　　　　parallel to the same straight line, without coinciding with one

        another.　（ｐ．７）

直訳すると、「同じ点を通って、同じ直線と平行な二本の直線は、それ

らが一致することなくしては、引くことが出来ない」。プレイフェアが、第

五公準の代わりに公理（ＡＸＩＯＭ）としたこの命題を、少し滑らかに訳し

直して、更に暗黙の前提である同一平面上という話を交えたのが、い

わゆる平行線の定理の表現ということだ。

これだけ書けば、ユークリッド幾何学の第五公準については十分だろ

う。今度は、非ユークリッド幾何学の方に戻って、前回より突っ込んだ

話をしてみたいと思ってる。

ではまた。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．ネットで検索すると、例えば「三角形の内角の和が２直角」である

　　　　ことを使った証明の一部分が一応ヒットする。「内角の和＝２直角」

　　　　も証明の大まかな流れも特に問題ないけど、「内角の和＝２直角」

　　　　は明らかではないから、先に示しておかなければいけない。

　　　　ユークリッド自身は、「外角＞内対角」→平行線関連→「内角の

　　　　和＝２直角」の順で書いている。私はこの流れを尊重したのだ。

ｃｆ．平行線の公理（ｏｒ 公準）を否定した、非ユークリッド幾何学のモデル

　　非ユークリッド幾何学のモデル・２～平面の鏡映変換