フレーゲ『算術の基本法則』における「概念記法」～記号論理の原点

数学の基本である自然数（０，１，２，３・・・）にこだわって記事を書く流れ

で、論理哲学者の大物・フレーゲの記事も書いてみたけど、予想通り、

読者は少ない。その一方で、数学者・ペアノの記事には予想以上の検

索アクセスが入り続けてる（ただし足し算記事が大半）。数学好きの私の

知人達に聞いても、フレーゲは名前しか知らない感じだ。

この極端な違いには、まず哲学と数学の人気や普及度の差が影響して

るだろう。算数や数学は誰でも相当な労力を費やして来たし、「１＋１は

なぜ２なのか？」という問題も、分かりやすくて有名だ。それに対して、哲

学に興味を持つ人はごく一部だし、その人達でさえ、厳密な話や難しい

理屈は苦手とすることが多い。

また、歴史的な事情もかなり影響してるだろう。フレーゲは、数学を論

理学へと完全に還元しようとした「論理主義」の代表だけど、その理想

は「ラッセルのパラドクス」によって阻止され、「ゲーデルの不完全性定

理」でとどめを刺された。こんな感じの大まかでネガティヴな歴史的評

価が、フレーゲには付きまとうのだ。これに対して、彼の理論を過去の

遺物にしないポジティヴな動きが、８０年代から徐々に増えてるようで

はあるけど、まだ研究者の中での話であって、大勢に影響を与えるほ

どにはなってない。

哲学と数学の人気の差や、歴史的事情以外にも、フレーゲがマイナー

なままである理由は考えられる。彼は、記号論理学の先駆者・開拓者

だったので、現在ではほとんど使われないような独自の書き方を考案

して、主著（Ⅰ巻１８９３，Ⅱ巻１９０３）の前半から大量に使用してるの

だ。折角、２０００年になって優れた翻訳が出たとはいえ、これでは、

多少の知識がある読者でさえ、一目でパスしたくなってしまうだろう。

そこで今回は、その主著『算術の基本法則』（フレーゲ著作集３，野本

和幸編，勁草書房）で使われてる独特の記号体系「概念記法」につい

て、非常に基本的な部分だけ取り上げて解説してみる。彼独特の深く

細かい考察は省略してあるし、説明の仕方を少し変えてる部分もある

ものの、普通の人にとって分かりやすくはなってるはずだ。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

普通の算数や数学では、数式や記号を書くだけで終わりにすることが

多い。例えば、「２＋３＝５」という式に対して、文末に「である」といった

言葉を付けることは滅多にないはずだ。ところがフレーゲの場合、２種

類の言葉が付け加えられることになる。次の図を見てみよう。画像がや

や見づらいのは悪しからずご了承を。データ量を減らして、強調のため

の色（赤や青）をハッキリ出すことを優先した結果だ。

　まず２本目の

　式では、左側

　に横線が入っ

　てる。これは

　「～は真だ」

ということ、つまり、その式（あるいは文）が本当だという新たな文を作る

記号だ。

逆に、「～は偽だ」、つまり、その式は本当でないという文を作るのなら、

横線の下に短い縦線を入れる。横線は「水平線」、縦線は「否定線」だ。

現在の記号論理では、真偽（＝真理値）を示す水平線は無いし、否定線

は ￢ という否定記号で書いたりする（文の上に横線を引くこともある）。

　続いて、さら

　に左端に長い

　縦線を入れる

　と、その文を

　語り手が承認

することを表す。肯定的承認を主張するこの縦線記号が、「判断線」

と呼ばれるものだ。　　

けれども、いちいち「～は真だと私は承認する」などと読むのは面倒だし、

普通そんな事は気にしない。フレーゲ自身でさえ、そこまでは徹底してな

　いから、以下

　では左のよう

　に、簡単に読

　むことにする。

また、判断線と水平線を合体させて、カタカナの「ト」に似た形を作る時に

は、水平線は短く書く（フレーゲ本人の書き方）。　

（☆追記：　この記事末尾のＰ．Ｓ．２も参照。）

次は、いわゆる「述語論理」の特徴である、「すべての・・・は～」（全称命

題）、「ある・・・は～」（存在命題）といった文の書き方だ。横線の途中で

　くぼみをつけて、

　アルファベットを

　入れる（フレーゲ

　ではドイツ文字）。

現在なら、全称記号 ∀ を使って、「∀ａ，２ａ＋３ａ＝５ａ」などと書く所だ。

否定する場合には、否定の仕方によって、否定線（縦の短い棒）を入れ

る場所が変わる。現在の記号論理を知ってる人なら、同じと感じるだろ

　う。要するに、

　否定したいも

　のの直前に否

　定線を入れる

　わけだ。くぼみの

　前に否定線を入れ

　ると、部分否定、

　くぼみの後（つま

り式の直前）に否定線を入れると、全否定になる。

　さらに、くぼ

　みの前後両方

　に否定線を入

　れると、左の

　ような流れを

　経て、結局は

「ある ａ について～」という命題を作れる。これを正確に言い直すと、

「ある ａ が存在して～」だから、存在命題というわけだ。数学だと、解の

存在を主張する時などによく使う。現在なら、存在記号 ∃ を使って、

「∃ａ，２ａ＝８」などと書く所だ。

さらに、条件線と呼ばれる別の縦線も導入される。元の水平線の途中

から下に縦線を引っ張り、その先からまた水平線を右に短く伸ばして、

　別の文を付け

　加えるのだ。

　フレーゲ自身

　の説明の流れ

は、上のようになっている。最初の定義は、「かつ」と「でない」を組み合

わせた少し複雑なものだけど、結果的に「・・・ならば」という条件を表す

線になるから、条件線と呼ばれるわけだ。

これを現在の記号論理で説明すると、条件線を ￢（Ｐ∧￢Ｑ） で定義

して、ド・モルガンの法則や条件（＝ならば）の定義を用いて、次のよう

に変形したことになる（∧ は「かつ」、⊃ は「ならば」）。

　　　￢（Ｐ∧￢Ｑ） ＝ ￢Ｐ∨￢￢Ｑ ＝ ￢Ｐ∨Ｑ ＝ Ｐ⊃Ｑ

条件線と否定線を組み合わせることで、「かつ」（＝ ａｎｄ）や「または」

　（＝ ｏｒ）も表現

　できる。説明は省

　略するので、左図

　を見て考えて頂き

　たい。どちらも、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　現在のド・モルガ

ンの法則と二重否定の法則、「または」は、二重否定法則を使うとイメー

ジしやすいだろう。「かつ」が、「￢￢（Ｐ∧￢￢Ｑ）＝Ｐ∧Ｑ」、「または」は、

「￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）＝Ｐ∨Ｑ」という感じの変形だ（∨ は「または」）。

これでも分かりにくい場合は、各部分の意味をノートに少しずつ書いてい

くと分かりやすくなると思う。記号論理の理解の大きなポイントは、実際

に手を動かして色々と書くことだ。頭だけだと、意味も分かりづらいし、実

際に問題を解くことも難しい。この辺り、数学の習得と同じだし、スポーツ

とか身体技術の訓練とも似た話だろう。まさに頭のトレーニングなのだ。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に「推論」についても見ておこう。推論とは、議「論」を「推」し進める

こと。つまり、いくつかの命題（文や式）から他の命題を導くプロセスだ。

最初にあった命題を「前提」、そこから導かれた命題を「結論」という。もっ

と普通に言うなら、論理的証明のことだ。

フレーゲが使う推論の方法は、基本的にはただ1つ（第一推論様式）。

普通の言い方にすると、

　　　「ＰならばＱであり、かつＰだから、（結論として）Ｑである」。

これは古代から非常に重要視されて来た推論の型式で、日本語だと

前件（「ＰならばＱ」のＰ）を肯定するから「前件肯定式」と言う。専門家

はラテン語で「ｍｏｄｕｓ　ｐｏｎｅｎｓ」（モドゥス・ポネーンス）と言うことが

多い。「肯定する様式」という意味だ。

フレーゲがこれを使う場合、長い横線とコロンを使って、次のように書く。

ただし、二重線、破線、二重コロンなど、他にもヴァリエーションがある。

　前提の片方の命題

　だけギリシャ文字

　にするのは、今の

　目線で見ると不自

　然だけど、理由の

　説明は見当たらな

　い。まあ、フレー

ゲが実際に問題としたのは難しい証明だから、置き換えを使わないと書

きづらかったのかも知れない。ちなみに、私がこの記事で「ａ＝３」とか書

いてる部分も、フレーゲは一文字に置き換えてることが多いのだ。

　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

以上、フレーゲの主著『算術の基本法則』における、記号表現の基本的

部分（Ⅰ巻前半）を簡単に見た。差し当たり、読者は非常に少ないだろう

けど、いずれはゲーデルとか、有名な話につないで行くつもりだから、多

少の読者は出て来るだろう。

何より、書いてる私自身が面白かったし、勉強になったからいいのだ♪

ではまた。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．推論様式を示すラテン語「ｍｏｄｕｓ　ｐｏｎｅｎｓ」は、日本語で発音

　　　　しづらいからか、長母音と短母音を変えて「モードゥス・ポーネンス」

　　　　などと言われることが多い。日本版ウィキペディアは「モーダス・ポ

　　　　ネンス」だ。まあ、ラテン語といっても歴史的変遷が色々あるし、本

　　　　来の発音にもブレは多少あるだろう。

　　　　このラテン語の名前、より正確には「ｍｏｄｕｓ　ｐｏｎｅｎｄｏ　ｐｏｎｅｎｓ」

　　　　で、英訳すると「ｔｈｅ　ｗａｙ　ｔｈａｔ　ａｆｆｉｒｍｓ　ｂｙ　ａｆｆｉｒｍｉｎｇ」（英語版

　　　　ウィキより）。更に邦訳すると、「肯定することによって肯定する方法」

　　　　となる。前件を肯定することによって、後件（「ＰならばＱ」のＱ）を肯

　　　　定するやり方という意味だろう。略語の「ＭＰ」も使われるし、「ＭＰＰ」

　　　　という略語もたまに使われてるようだ。

Ｐ．Ｓ．２　フレーゲ自身による「水平線」（縦棒の判断線の右横）の書き方に

　　　　　　ついてご質問を頂いたので、コメント欄で簡単に応答しておいた。

　　　　　　ドイツ語原著がＧｏｏｇｌｅ　ｂｏｏｋｓで無料公開されてたので、該当箇

　　　　　　所をコピペさせて頂こう。水平線は、判断線と結びついたシンプル

　　　　　　な形においては短く、単独の場合は長く書かれてる。邦訳も同様。

ｃｆ．０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』