カントールの対角線論法と集合～無限、濃度、可付番（可算）

雨で走れないから、手頃な数学ネタでも見つけて記事を書くことに決定。

ハイレベルだけど、差し当たりの記事なら簡単に書けるものとして思い

ついたのが、有名な天才数学者・カントール（Georg Cantor）の「対角線

論法」（diagonal argument）だ。

名前だけは先にどこかで聞いてたけど、内容を知ったのは、高校数学

の定番参考書「モノグラフ」シリーズ（科学振興社）の２４巻『公式集』だっ

た。お馴染みの矢野健太郎が監修を務めたこの本の終盤（p.307-309）

に、集合の「濃度」の話が簡単に書いてあって、話の最後に対角線論法

も出てたのだ。

まず、集合の濃度と「可付番集合」（ｏｒ 可算集合）について、簡単にまと

めとこう。２つの集合の要素の間に、１対１の対応（ｏｒ 全単射）が存在す

る時、それらの集合は「対等」であり、濃度が等しいという。さらに、自然

数全体の集合Ｎ＝｛１，２，３，・・・｝と対等な集合を、可付番集合とか可

算集合という（countable set）。つまり、１番、２番、３番と、自然数の番号

を付けられるということだ。

　たとえば偶数全体の集合

　は、自然数全体の集合よ

　り小さいはずだけど、左図

　のように１対１の対応づけ

　が出来る。したがって、２

　つの集合は対等で濃度は

　等しく、偶数全体の集合は

　可付番ということにもある。

　他に簡単なものだと、整数

全体の集合Ｚ＝｛・・・，－２，－１，０，１，２，・・・｝も可付番集合と言える。

要素を、０，１，－１，２，－２，・・・と並べ変えて、先頭から順に１番、２番

としていけばよい。

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こうした話に続いて、可付番でない集合（＝非可算集合）の代表例として

出て来るのが、実数全体の集合Ｒだ。その証明には、まずＲの一部分

（＝部分集合）である、０～１の実数全体の集合でさえ、可付番でないこ

とを示す。ましてや、実数全体は可付番でないという流れだ。０～１とは、

両端の０と１を含まない集合だから、区間（０，１）に含まれる実数全体

の集合とも言える（両端は丸カッコ）。

さて、０～１の実数の集合が可付番でないことを証明するには、可付番

だと仮定して、矛盾を導けばよい（背理法 ｏｒ 帰謬法）。今、仮にその集

合が可付番だとすると、要素を上から１番、２番と並べることが出来るは

ずだ。その際、０～１の要素はすべて、「０．・・・」という形の無限小数で

表しておく。例えば１／４、つまり０．２５なら、０．２４９９９・・・とする。

　ここで、「０．・・・」と

　いう形の無限小数

　で表される、ａ とい

　う数を考えてみる。

　ただし ａ は、小数

　第一位が１番目の

　小数の数字（図の

　２）と異なり、小数

　第二位が２番目の

小数の数字（図の９）と異なり、小数第三位が３番目の小数の数字（図の

１）と異なり・・・・、という条件をみたすものとする。一般に ａ は、小数第

ｎ 位の数字が、ｎ番目の小数と異なる。

この時 ａ は、１番、２番の順に並べておいた各小数と比べると、左上か

ら右下へと対角線上に続く数字の箇所だけ異なってることになる。これ

が「対角線論法」という名前の由来だ。

この時、ａ は０～１の間の実数であるにも関わらず、何番目の小数とも

一致しないことになる。つまり、ａ には自然数（の番号）が対応してない。

これは矛盾である。したがって、０～１の実数全体が可付番であるという

仮定は誤りであり、実は可付番ではない。　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．証明終了。。

２点補足しておこう。まず、なぜ０．２５＝０．２４９９９・・・なのかについて。

０．２４９９９・・・＝ｘ とおくと、２．４９９９９・・・＝ １０ ｘ 。

よって、１０ ｘ － ｘ ＝ ２．２５。つまり ９ ｘ ＝ ２．２５だから、ｘ ＝ ０．２５。

また、ａ に自然数が対応してないという点は、新たな背理法を導入して

示すことも出来る。つまり、 ａ に自然数 ｎ を対応づけることが出来たと

仮定すると、ａ は上から ｎ 番目の小数と等しいことになる。しかし、ａ と

ｎ 番目の小数とは、小数第 ｎ 位が異なってるはず。これは矛盾だから、

仮定は誤り。したがって、ａ に自然数 ｎ を対応づけることは出来ない。

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こうして、自然数全体の集合Ｎの濃度（ℵ ₀： アレフゼロ）と、０～１の実数

全体の濃度とは、異なることになる。当然、実数全体の集合Ｒも可付番

ではなく、Ｎよりも濃度が大きい（＝無限の度合いが高い）。より正確に

は、Ｒの一部分（真部分集合）である有理数全体の集合が可付番である

ことを示して、そこにさらに無理数全体が加わったのがＲだから、Ｒの方

がＮよりも濃度が大きい（ｏｒ 高い）という話になるが、省略しておく。更に

厳密な証明のやり方もあるはずだけど、まだ分からない。

なお、「０～１の実数全体」と実数全体とは、等しい濃度をもつ。なぜなら、

関数 ｙ ＝ ｅ＾ｘ ／ （１＋ｅ＾ｘ） によって、１対１の対応づけが可能だから

である（ｅ＾ｘ とは ｅ の ｘ 乗を表す書き方）。その実数全体の集合の濃

度は ℵ （アレフ）と呼ばれる。。

さて、ここまでなら、あちこちに似たような話が書いてあることだろう。で

も、私は面白いことを思いついた。どうも対角線論法というのは、騙され

たような気がするから、その違和感を具体的な形にする、奇妙な証明を

考えたのだ。そこで対角線論法を用いて示されるのは、「自然数全体の

集合Ｎ自体は、可付番ではない」という、明らかにおかしい命題だ♪

　今、Ｎが可付番だと

　仮定して、上から１

　番、２番、・・・と並べ

　てみる。ただし、各

　自然数の左には無

　限に０を並べておく。

　そして、ｎ 番目の自

　然数とは ｎ ケタ目

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が異なってる自然

数 ｂ を考えてみるのだ。すると、０～１の実数全体の時と同様に、ｂを

自然数と対応づけることは出来ない（何番目とも言えない）。これは矛

盾である。したがって、自然数全体は可付番ではない。。

ちなみに、並べ方は、上から小さい順に、・・・００１、・・・００２、・・・００３

となっていても構わない。左上から右下という本来の向きとは反対に、

右上から左下に向かう数字の列に注目した対角線論法によって、自然

数と自然数が１対１対応でないという妙な結論が証明できてしまうのだ。

私は念のため、数学が専門の友人に電話で話してみた。すると、左側

に０を並べるというのが気になるけど、なぜいけないのかは差し当たり

分からない、という応答だった。もちろん、私も同じなのだ。何かマズイ

事が起きそうな気がするし、自然数の定義や表記の問題もある。ただ、

差し当たり、ここがこうゆう理由でおかしい、と指摘することが出来ない。

やはり、無限の問題は厄介で奇妙ということか♪　対角線論法は、他の

色んな話とも関わるテクニックだから、いずれまた扱うと思う。

とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡　　

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Ｐ．Ｓ．上で提示した奇妙な話は、少なくとも現代数学の一つの体系にお

　　　　いては鮮やかに解決できることが分かった。

　　　　下のリンクの後続記事（特にＰ．Ｓ．２）を参照。

ｃｆ．デデキントの「切断」による実数の構成～対角線論法２