天才オイラーも苦戦したラテン方陣～ニコリ「数独」の源流

先週、ニコリが世界に誇る数字パズル「数独」の記事を書いた所、地味に

アクセスが入ってる♪　私自身が初体験でちゃんと難しめの問題を解き切っ

たことに意味があるわけで、別にヒット記事を狙ったわけじゃないからいい

んだけど、普段の理数系記事と比べても、マニアックさが全く物足りないの

は確かだろう。

そこで今夜は、もっとマニアックな話題で、「数独」関連記事・第二弾をアッ

プしよう。実は今日の早朝アップの予定だったのに、ズブズブとはまり込ん

で、帰宅後の夜になってしまったのだ。それにしても、英語版ウィキペディア

の学問系記事は、マニアックなものが多いね☆　あらためて、日本版との

差を思い知らされた。本や雑誌記事より情報量が多いことも珍しくないん

じゃないかな。信頼性は問題だけど、数学の場合は自分で考えるだけでも

かなりチェックできるから、わりと安心なのだ。

さて、私は先週の記事をアップした直後、本屋で一冊の本が平積みされ

てるのを見かけた。『別冊日経サイエンス１６９　数学は楽しい』（日経サ

イエンス社）。何気なく表紙を見ると、「数独の科学」と書いてある。数年

前に既に翻訳されてた論文だし、内容的にも、私の感覚だと、「数学的」

と言うより「雑誌的」。それでも予想通り、数独というパズルがかなり深く

数学と関わってるのは感じ取れた。単なる数合わせのお遊びではない。

そこでまず、日本版ウィキを見ると、例によって説明が物足りないから、英

語版に飛んでみると、今度は情報が多過ぎる♪　時間もないことだし、以

下では天才数学者オイラーの研究の簡単な紹介に留めよう。数独と似て

非なるパズルを深く研究してたとは知らなかった。しかも、彼でさえ苦戦し

てたとは。。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　話の導入として、再

　びニコリの数独を見

　ておこう。７月２４

　日の朝日新聞・朝刊

　別刷ｂｅに載ってた

　のは、左の問題。応

　募に必要なのは、青

　い四角のマスに入る

　数の和で、青い☆印

　は私が記入したもの。

　前回同様、すぐに数字が分かるマスを表してる。例えば、左上の☆印

は、３しか入れられない（先週の記事の説明参照）。

縦、横、各ブロック（３×３）のそれぞれに、１～９の数字を１つずつ入れる

という、簡単なルールだけど、解くにはコツと根気が必要。初挑戦の前回

は、難易度４の問題に１時間ほどもかかってしまったが、２度目の今回は、

難易度３の問題を３０分ほどで解くことができた。来週は１５分だろう♪　

脳トレだけじゃなく眼球トレって感じもある。目の動きの速さが問題なのだ。

この数独、名前はニコリが流行らせたものだけど、やり方自体はしばらく

前からあるようで、更に源流や元祖をたどって行くと、ラテン方陣とかラテ

ン方格（latin square）と呼ばれるパズルにたどりつく。昔から数字ゲーム

として一応知ってたものの、天才オイラーに由来する名とは知らなかった。

　左の例題１が、ラテン方

　陣。それぞれの「行」（＝

　横の並び）と「列」（＝縦

　の並び）に、１、２、３の文

　字を１つずつ入れるルール

だ。３×３なら、小学生でもすぐに解けるだろうし、問題を自分で作るのも

難しくはない。数独との違いは、たとえ９マス×９マスのラテン方陣でも、

ブロック（３×３）は考えない点だ。縦と横だけが問題で、斜めも関係ない。

　数独にせよラテン方陣に

　せよ、別に数字自体には

　意味がないので、左の例

　題２のように、黒、青、赤

　の色分けで問題を作って

も同じことだ。ちなみに私がこれを書く時、まず１、２、３で問題を作って、

そこから「1→黒、２→青、３→赤」と変換した。もちろん、逆に色分けで問

題を作って、そこから数字へと変換してもいい。

以上、２つの例題は、どちらも「ラテン方陣」で、１８世紀の大数学者レオ

ンハルト・オイラー（Leonhard Euler）が、ラテン文字（普通のアルファベッ

ト）を使って書いたことに由来する。ところが、更に英語版ウィキで調べて

みると、オイラーの研究の中心は、もう少し難しい「ギリシャ・ラテン方陣」

（またはグレコ・ラテン方陣： Graeco-Latin square）だったようだ。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この名前で検索しても、めぼしい記事は少ないから、多くの人はラテン

方陣（あるいは縦・横・斜めの和が等しい魔方陣）に留まるんだろう。私

も今日まで、全く知らなかった。細かい話を後回しにすると、これは２種

類のラテン方陣を組み合わせたものなのだ。

　さきほどの例題１（数字）

　と例題２（色）を組み合

　わせれば、左の例題３が

　作れることになる。つま

　り、数字と色、２種類の

ものに関してラテン方陣が出来てるのだ。ただし、同じ数字と色の組合

せ（pair）は一つ限りとする。

これをギリシャ・ラテン方陣と呼ぶのは、オイラーが、ギリシャ文字（α、

β、γ）とラテン文字（Ａ、Ｂ、Ｃ）で書いてたから。例題３の答で、「１、

　２、３」→「Ａ、Ｂ、Ｃ」と変換し、続

　いて「黒、青、赤」→「α、β、γ」

　と変換すれば、左のように、文字

　通りのギリシャ・ラテン方陣が完

　成する。

ところで、上では３×３＝９マスのものを扱ったけど、２×２＝４マスだと、

ギリシャ・ラテン方陣は作れない。これは、試してみればすぐに分かるこ

とで、証明というほどのものでもない。数字と色なら、それぞれ２種類の

　配置しかないから、２×２＝４通り調

　べれば証明終了だ。一方、４×４＝

　１６マスなら、左図のように作れる。

　オイラーは、奇数×奇数のものと、

（４の倍数）×（４の倍数）（つまり４，８，１２・・・）のものを作る方法を一般

的に示したらしい。ところが、他の場合が上手く行かなかった。そこで、（４

で割って２余る数）×（４で割って２余る数）のものは一般に作れないだろ

うと推測したそうだ。

２×２はすぐにダメだと示せる。６×６は、証明ができないけど、作れなかっ

た。６つの軍隊と６つの階級の組合せで、「thirty-six officers problem」

（３６人の将校の問題）とか呼ばれてるとのこと。それ以上の数の話はウィ

キに書いてないけど、試行錯誤の跡くらいはどこかに残ってるんだろう。

オイラーの推測は１７８０年代のものだけど、１９０１年になってようやく、６

×６が出来ないことが示された。ガストン・タリー（Gaston Tarry）の業績だ。

さらに１９５９年～６０年の一連の研究で、オイラーの推測が１０×１０以上

ですべて間違いだと分かった。

結局、大抵の場合は作れるわけで、ギリシャ・ラテン方陣が出来ないのは

２×２と６×６だけ。ちょっと奇妙な感じはある。天才数学者といえども推

測を間違えたほど、難しくて変則的な問題だということだろう。。

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この先、もうちょっと調べてあるんだけど、もう書く時間がないから、この

辺で終わりにしよう。そもそも、最初に私が自分で確かめたのは、４×４

の単純なラテン方陣が５７６種類あることなんだけど、その話はまた後

で、行列とか線形代数の記事を書く時に話題にしたいと思ってる。

要するに、一番上の「行」（横の並び）を「１、２、３、４」、一番左の「列」

（縦の並び）も「１、２、３、４」にして調べると、４種類のラテン方陣が出来

る。一番上の行の並べ替えが、４×３×２×１＝２４通り。そのそれぞれ

に対して、一番左の列の並べ替え（一番上は既に決定済）が、３×２×１

＝６通り。トータルで、４×２４×６＝５７６通りとなるのだ。ただし、この考

えが正しいことをきっちり示すなら、行列の理論（置換など）が重要となる。

とりあえず、もう毎日更新のタイムリミットだ。なお、オイラー以前のギリ

シャ・ラテン方陣の研究は、トランプの「Ａ、Ｊ、Ｑ、Ｋ」と「スペード、クロー

バー、ダイヤ、ハート」を使ったものだったそうだ。やっぱり、「場合の数」

とか確率の話は、賭け事との関係が深いってことか♪

今日の所はこの辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．コメント欄で面白い情報を頂いたので、別記事にしてみた。

　　　スイス職人の遊び心～オイラー生誕３００年腕時計の「数独」文字盤

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ｃｆ．ニコリの数字パズル、「数独」に初挑戦（難易度４、朝日新聞）