完全数、三角数、素数の関係～小川洋子『博士の愛した数式』

先日、小川洋子のベストセラー『博士の愛した数式』（新潮社）のレビューをアップしたので、話の中に出て来た数学的コネタに関して記事を書いてみよう。今日はまず、博士の愛した３種類の数、三角数、素数、完全数の関係について考えてみる。　　　　

　まず、一番親しみ

　やすい三角数につ

　いて。ルートと呼

　ばれる少年がケガ

　をした時、診療所

　の廊下で不安を鎮

　めるために博士が

　持ち出した「エレ

　ガントな数字」だ。

　左図（文庫では

　p.108）のよう

　に、黒丸を１コ、

　２コと上から三角

　形に並べた時の合

　計の数であって、

　小さい方から１，

　３，６，１０，１５，２１，２８，・・・と続いていく。

ｎ番目の三角数は、１＋２＋・・・＋ｎ、つまり１からｎまで連続した自然数の和だから、ｎ（ｎ＋１）／２となる。これは基本的なことだし、小説でも簡単に説明してあった。厳密には、高校数学における等差数列の和の項目で習う話だ（初項１、公差１、項数ｎ）。

念のため、簡単に証明しとくと、和をＳとして、

　Ｓ＝１＋２＋・・・＋ｎ 　　の下に、逆順の

 Ｓ＝ ｎ＋・・・＋２＋１ 　 を書き、上下足すと、ｎ＋１がｎ組出来るから、

　２Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）

　∴　Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２

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一方、完全数とは、約数の和がそれ自身になるような自然数のこと（ただし、それ自身は約数から除く）。主人公の「私」が発見して博士に話し、気持ちを通じ合わせた数で（文庫 p.69）、一番小さいのが６（＝１＋２＋３）、次が２８（＝１＋２＋４＋７＋１４）。この２８は、博士の愛した投手・江夏豊の背番号でもあった。

さて、博士は小説で、「完全数は連続した自然数の和で表すことができる」と語ってるが（p.71）、先日のレビューに書いたように、これはまだ証明されてないことだから、不正確だ。厳密には、「これまでに発見された完全数は・・・自然数の和で表すことができる」とか、「偶数の完全数は・・・」と言う必要がある（奇数の存在は現在不明）。この場合の自然数の和とは、１から順に足し合わせた和だから、要するに三角数なのだ。

ところで、これまでに発見された完全数はすべて、メルセンヌ素数と呼ばれる素数から作られるものだ。素数とは、１とそれ自身のみを約数とする自然数（ただし１は素数としない）。メルセンヌ素数とは、（２のｐ乗）－１と書ける素数で、小さい順に３（＝２の２乗－１）、７（＝２の３乗－１）、３１（＝２の５乗－１）と続いて行く。ちなみにメルセンヌとは、１７世紀前半に活躍したフランスの学者の名前（Marin Mersenne）だ。

メルセンヌ素数（２のｐ乗－１）に、２のｐ－１乗を掛け合わせると、完全数が出来ることは、古代ギリシアの数学のバイブル、ユークリッド『原論』で既に証明されている。第９巻・命題３６で、手元にある抄訳（『ギリシアの科学』所収，中央公論社）から引用してみよう。

　もし単位からはじまり順次に一対二の比をなす任意個の数が

　定められ、それらの総和が素数になるようにされ、そして全体

　を最後の数に掛けてある数を作るならば、その数は完全数で

　あろう。　（p.340）

「単位」とは１のことだから、「任意個の数」とは、１，２，４，８，・・・のこと。「最後の数」が２のｐ－１乗なら、「それらの総和」は初項１、公比２、項数ｐの等比数列の和だから、２のｐ乗－１となる（高校数学）。これが「素数になるようにされ」るなら、要するにメルセンヌ素数が出来る。これに「最後の数」、つまり２のｐ－１乗を掛けると、（２のｐ－１乗）×（２のｐ乗－１）となる。

　　これがメルセンヌ素数から作られる完全数の式だ

　実際、ｐ＝２なら完全数６、ｐ＝３なら完全数２８、ｐ＝５なら完全数４９６となる。

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この式が一般になぜ完全数になるのか、ユークリッドの証明は今のやり方と全く違うので分かりにくい。手元の訳書では証明が省略されてるし、英語版ウィキの Euclid の項目に付けられたリンクから、英訳の『原論』に飛んでも、その「幾何的」証明の解読作業に手間がかかってしまう。

そこで以下、私が現在の数学を使って簡単に証明してみよう。まず、

　　左の式は既にそのまま、素因数

　　分解の形になってるのが分かる。

つまり、素因数（＝素数である約数）２と、２のｐ乗－１との積に分解されている。２８＝２²×７ という例を考えれば分かるだろう。

ところで一般に、素因数分解が分かれば、約数すべての和は簡単な式になる。２８＝２²×７の場合、（１＋２＋２²）（１＋７）。これを展開すると、約数（＝素因数の積）すべてがズラッと並ぶのが分かるだろう。上の ｐを使った完全数の場合なら、

　　（２のべき乗の和）×｛ （２のｐ乗－１）のべき乗の和 ｝

である。ちなみに、「べき乗」とは、ある数を何乗かしたもの（０乗も含む）。

より具体的には、次の式で表される。

　　

左のカッコでは、等比数列の和の公式（初項１、公比２、項数ｐ）を使い、右の中カッコでは、＋１と－１を消すと、上の式はさらにこうなる。

左右を入れ替え、先頭を２倍（つまり ２×）の形にすると、右側に元の数が出て来る。

よって、約数すべての和は、元の数の２倍。したがって、約数すべての和からそれ自身を除いたものは、この半分。つまり、元の数と一致する。

　　　　

　　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了。

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最後に、この完全数が三角数であることの証明。これは簡単だ。　　　　　　　　　　

ｎ番目の三角数 ｎ（ｎ＋１）／２ の形に合わせて変形すると、

（２のｐ乗－１）｛（２のｐ乗－１）＋１｝ ／２。

よって、この完全数は、「２のｐ乗－１」番目の三角数である。

なお、素因数分解と約数の関係がピンと来ない場合は、大昔の勉強を思い出すのが近道だろう。今の教育カリキュラムだと、中学３年の数学

で扱われる内容のようだ。ただし、上のように ｐ乗 などと一般化すると、高校数学のレベルになる。 いずれにせよ、高校卒業程度で十分対応できる内容だから、小説の主人公「私」でも分かるはずだ♪

以上、今回は三角数、完全数、素数の関係を考察したので、次回はいよいよハイレベルな「オイラーの公式」（ｏｒ 等式）を扱うことにしよう。と言っても、先延ばしにしてる話が沢山あるので、いつになるかは分からない♪

ではまた。。☆彡

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ｃｆ．孤高の星＋ｉ （愛）＝一筋の流星～小川洋子『博士の愛した数式』