デデキントの「切断」による実数の構成～対角線論法２

この春、カントールの対角線論法に関する短い記事をアップ。地味ながら、

予想以上のアクセスを頂いてる。私はその記事で、ある奇妙な疑問を提

示して、それ以降もずっと考え続けて来た。未だにほとんど解決はしてな

いけれど、ほんの少し前進した気もするので、今日はそれを形にしとこう。

以下の話では、対角線論法に関する基礎知識と、前の記事に書いたこと

は、すべて前提にする。・・・とだけ書くと不親切かも知れないから、最低

限の復習だけしとこう。

　まず、０～１の実

　数全体（０～１と

　簡単に表す）が可

　付番（ｏｒ 可算）集

　合ではないことの

　証明。

　仮に可付番とする

　と、左図の右側の

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ように、上から順

にすべてを並べられる。ところがここで、左上から右下にかけて対角線上

に並ぶ数字を別の数字に変えて作ったａ（０～１の数）を考えると、これは

番号付けできない。これは矛盾だから、０～１は可付番ではない。。

対角線論法を使った、この有名な証明に続いて、私は次のように書いて

おいた。これはどこにも見当たらない議論なので、そのまま引用しておく。

（引用開始）

・・・対角線論法というのは、騙されたような気がするから、その違和感を

具体的な形にする、奇妙な証明を考えたのだ。そこで対角線論法を用い

て示されるのは、「自然数全体の集合Ｎ自体は、可付番ではない」という、

明らかにおかしい命題だ♪

　今、Ｎが可付番だと

　仮定して、上から１

　番、２番、・・・と並べ

　てみる。ただし、各

　自然数の左には無

　限に０を並べておく。

　そして、ｎ 番目の自

　然数とは ｎ ケタ目

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が異なってる自然

数 ｂ を考えてみるのだ。すると、０～１の実数全体の時と同様に、ｂを

自然数と対応づけること（＝何番目と言うこと）はできない。これは矛盾

である。したがって、自然数全体は可付番ではない。。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（引用終了）

改めて、何が「矛盾」なのかハッキリさせておこう。「この証明では」、ｂは

自然数だから、ｂは右側に並べられた自然数全体の集合に含まれる。と

ころが、ｂの作り方から、ｂはその集合のどの要素とも異なっている。要素

が無限にある（＝無限集合である）こと、ｂが無限に大きくなることなどは

関係ない。したがって、ｂはその集合に含まれない。これは明白な矛盾だ。

全く同じ論法で、本来は可付番であるはずの０以上の偶数全体も、可付

番でない（＝非可算である）ことになってしまうが、以下では簡単のため、

もっとも単純で奇妙な場合である、自然数全体に絞って考えよう。

もちろん、自然数全体が可付番でない（＝非可算である）などと本気で信

じてるわけではないし、少なくとも差し当たり、対角線論法に問題があるな

どと言いたいわけでもない。ただ、どこかに本質的な問題点があるのに、

正確な論証がどこにも見当たらないし、ほとんど問題に気付かれてもいな

い、ということが気になるのだ。

最初から書いてたように、左側に無限に数字が並ぶ不確定な「ｂ」が本当

に自然数なのかどうかが、まず怪しい。ただ、自然数論で決まり文句のよ

うに引用される数学者ペアノの議論を、原論文『数の概念について』まで

遡って調べた時、自然数でないと論証するのも難しい。ペアノでなくても、

今現在このｂが自然数ではないことを論証する文章を発見できてない。

　　（☆注：　翌日追記。ペアノ以外で、ｂが自然数ではない根拠を発見

　　　　　　　した！　末尾のＰ．Ｓ．２参照）

簡単に言うと、０に１を順次加えて行って作れるのが自然数だが、その方

法でｂが作れないことの証明がなかなか出来ないのだ。無限回加えては

ならないという話は、原論文にも、手元の杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東京大

学出版会）や『現代数学小事典』（講談社）などを見ても、書いてない。

そこで逆に、なぜ０～１から作ったａは実数と言えるのかを考えてみよう。

お馴染みのこのａも、私が考案したｂと同じく、無限に数字を並べて構成

される奇妙な数だけど、左側に続くｂとは違って、右側に続いてる無限小

数の１つである。もちろん、無限小数というものは通常、実数の表現とし

て広く認められてるが、このａのように作り上げた無限小数が本当に実数

かどうかは別問題だ。順番に並べられた無限個の無限小数から作られ

た、「新たな」無限小数なのだから。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

という訳で、ａが実数かどうかを考えるのなら、以前から名前を出しておい

た、デデキント『数について』（副題：連続性と数の本質； 岩波書店）が有

力な参考文献になる。デデキント（デーデキント：Richard Dedekind）はカン

トールと親しかった大物で、特に２つの収録論文の前者、『連続性と無理

数』（Stetigkeit und irrationale Zahlen，1872）がポイントだ。

この中で、有名な「切断」（ドイツ語 Schnitt；英語 cut）という概念が提示

される。流れを簡単にまとめると、こうゆう話だ。有理数（整数÷整数）

全体の集合と、直線（左右に無限に並んだ点の列）を比べた時、有理数

は不連続で隙間があるが、直線（実数のイメージ）は連続で隙間がない。

ところで、連続性とはどうゆうことか。デデキントは言う。

　　　「直線のあらゆる点を二た組に分けて、第一の組の一つ一つ

　　　　の点は第二の組の一つ一つの点の左にあるようにするとき、

　　　　このあらゆる点の二つの組への組分け、直線の二つの半直

　　　　線への分割を引き起こすような点は一つそうしてただ一つだ

　　　　け存在する」　（p.20）

大雑把にイメージだけまとめれば、直線を適当に右側と左側に分ける時、

切れ目は1ヶ所だけだという話だ（切れ目自体は、左右いずれかに適当に

入れる）。当たり前過ぎて、実数の連続性とのつながりが分かりにくいかも

知れないが、整数や有理数では話が違って来る。

例えば数直線上に並ぶ「整数」を右側と左側に分ける時には、切れ目は

無数に存在するし、それらのほとんどは整数ではない。。例えば｛・・・－２，

－１，０｝と｛１，２，３・・・｝に分ける時の切れ目は、０や１でもいいが、０．１

や０．５でもいい。だから、整数は連続ではない。有理数についても、切れ

目が有理数でないこと、したがって連続ではないことが示されるが、ここで

は省略して、肝心の実数に向かうとしよう。

古典的な数論の大きな流れに立ち戻ると、まず自然数を考え、それに＋

－（プラス・マイナス）の符号をつけて整数を作り、整数÷整数で有理数を

作る。では有理数から無理数を作って、合わせて実数とするにはどうす

ればいいかという流れだ。

有理数全体の集合を、大小２つの組Ａ₁，Ａ₂に分ける。ただし、Ａ₁の

中の数はどれも、Ａ₂の中の数より小さい。こうした組分けを「切断」と呼

び、（Ａ₁，Ａ₂）と表すことにした後、結局デデキントは次のように語る。

　　　「一つの切断（Ａ₁，Ａ₂）が存在して、それが有理数によっ

　　　　て引き起こされたものでないとすると、そのたびごとにわ

　　　　れわれは一つの新たな数、一つの「無理数」αを創造し、

　　　　われわれはこれをこの切断（Ａ₁，Ａ₂）によって余すとこ

　　　　ろなく定義されるとみなすのである。・・・・・・今後は、確定

　　　　した切断の一つ一つには、一つのそうしてただ一つの確

　　　　定した有理数または無理数が対応する・・・」　（p.25）

有理数ならともかく、無理数αをただ一つとみなしていいかどうか（公理

ｏｒ 定義としてよいかどうか）、あるいは以前からある無理数概念と整合

してるのかどうか、気になる部分はある。また、ここでの「確定」という言葉

に定義がないことも指摘しとこう。解釈によっては、対角線論法における

あのａと同様、問題のｂでさえ「確定」してることになるだろう。

ただ、今はごく普通にこの「切断」を受け止めて、例の奇妙な数ａが実数

であることを簡単に示してみよう。非常に大まかな略証だが、イメージは

つかめるはずだ。

上では仮に、ａ＝０．１７２３・・・と書いておいた。まず、このａについて、小

数第３位まで（０．１７２）分かってたとしよう。すると、ａによって、有理数全

体は、小さい数の組｛・・・０．１，０．１７，０．１７１・・・｝と、大きい数の組

｛・・・０．１７３，０．１８，０．２，・・・｝へと分割されることが、暫定的かつ大

まかに分かる。ここに書き記したのはどれも有限小数だから、当然有理

数だ。例えば ０．１７１＝１７１／１０００。整数÷整数で表すことが出来る。

さらにａについて、小数第４位まで（０．１７２３）分かったとしよう。すると、

小さい組には０．１７２２以下の数が加わり、大きい組には０．１７２４以上

の数が加わる。こうして、ａの値を小数第ｎ位まで無限に決めていく（確定

していく）に連れて、有理数全体の切断が決まっていく。したがってａは、

実数である。。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（略証終了）

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

正確に示すには、まずａの決め方を確定する必要がある。例えば、元の

数字が０なら１へと変更、元の数字が０以外なら０へと変更し、０と１だけ

並んだ数（形式的には２進数）にするとか。ただ、上で示したかったのは、

ａが有理数全体を切り分けていくこと、それゆえ実数と呼べることなのだ。

とはいえ、新たな問題も生じる。前に書いたことに加えて、デデキントの

切断を用いた実数論と、ペアノの自然数論との整合性。非常に大まかな

印象を語るなら、デデキントは１８８７年の論文『数とは何か、何であるべ

きか？』（前掲訳書の第二論文）において、ペアノの論文（１８９１）を先取

りするような自然数論を語ってるから、問題は無さそうに思われる。ただ、

もちろんそれは漠然とした印象に過ぎない。

ペアノだけでも、正確に論じた文章はネット上にごく僅かしか見当たらな

いので、ましてやデデキントとの正確な比較分析は非常に厄介な問題だ。

もちろん、この２人以外の議論も見る必要があるし、英語版ウィキペディ

アに短く載っていた、実数を「準可算」（subcountable）として扱う構成主義

（constructivism）の理論も興味をそそられる。とはいえ、一番先に片付け

たい作業は、例のｂが自然数でないことの明確かつ妥当な根拠を見つけ

て、厳密な証明を作ることだ。

特に急ぐ理由もないので、回り道しながらじっくり考えて行こうと思ってる。

小数や集合に関する話も含めて、やはり「無限」という概念がポイントだ

ろう。この辺りを考え過ぎると、天才カントールの哀しい運命をたどるこ

とになりかねないので、あくまで気楽にお遊び気分で進みたい♪

とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

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Ｐ．Ｓ．前掲『解析入門Ⅰ』冒頭においては、デデキント切断に対応する議

　　　　論は、実数に関する「連続の公理」と実数列の極限を中心に再構

　　　　成されている。

　　　　　　　「連続の公理　

　　　　　　　　（Ｒ１７）　実数体Ｒの、上に有界な任意の部分集合Ａ≠∅

　　　　　　　　に対して、Ａの上限（最小上界）ｓ＝ｓｕｐＡがＲの中に存在

　　　　　　　　する」　（p.7）

　　　　ここではデデキントと違い、切断される対象は有理数に限らず、実

　　　　数全体へと拡大されている。

　　　　なお、「切断」そのものは、ｐ．３１の問題６で扱われている。

Ｐ．Ｓ．２　『解析入門Ⅰ』をよく読むと、例のｂが自然数でないことが簡単

　　　　　　に示せることが分かった。

　　　　　　この書ではまず、加法、乗法、不等式の諸性質と、上の「連続の

　　　　　　公理」、合わせて１７個を満たすという条件で、「実数」を定める

　　　　　　（定義という言葉は微妙に避けてるが、実質的には定義）。

　　　　　　続いて、実数全体の集合Ｒの部分集合に対し、「継承的」と呼べ

　　　　　　るものを、次の２点で定義する。

　　　　　　　（１）　０が含まれる。

　　　　　　　（２）　ある数ｎが含まれるなら、ｎ＋１も含まれる。

　　　　　　そして、すべての継承的集合に含まれる実数を、「自然数」と定

　　　　　　義する。自然数全体の集合Ｎは、最小の継承的集合である（証

　　　　　　明は簡単だが省略）。　　　（cf. 同書 p.10）

　　　　　　この時、例のｂは「自然数」ではないことになる。というのも、右

　　　　　　側に並んだ「自然数全体の集合」は当然「継承的」だが、そこに

　　　　　　ｂは含まれてないのだから。見た目が自然数に似てるものの、

　　　　　　「すべての継承的集合に含まれる」という条件を満たしてないか

　　　　　　ら、ｂは自然数ではないのだ。

　　　　　　これで、少なくとも現代数学の１つの数論体系（集合論的）にお

　　　　　　いては、対角線論法をめぐる違和感も差し当たり消えることに

　　　　　　なる。ただし、この体系と、ペアノその他の関係、あるいはこの

　　　　　　体系自体の妥当性などは別問題として残るわけだ。。

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ｃｆ．カントールの対角線論法と集合～無限、濃度、可付番（可算）

　　有理数の切断、無理数＆連続性の創造～デデキント『数について』

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　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　「1＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』