有理数の切断、無理数＆連続性の創造～デデキント『数について』

先日の記事「デデキントの『切断』による実数の構成～対角線論法２」では、

有理数全体を大小２つの組へと「切断」する分割点が実数である、というデ

デキントの議論を援用しながら、カントールの対角線論法を見た。今回は、

デデキントの「切断」自体をメインにして、無理数の定義と存在証明につい

て考えてみよう。前回同様、参照するのはデデキントの論文「連続性と無

理数」（1872）。邦訳論文集『数について　連続性と数の本質』（河野伊三郎

訳，岩波書店）に収められた二篇の内の第一篇だ。

有理数（整数÷整数で表される数）の全体は、任意の１つの有理数を用い

ると、大小２つの組への切断（＝組分け）が可能になる。例えば０．５（＝

１／２）という有理数なら、「０．５以下の有理数全体と、０．５より大きい有

理数全体」という切断がひき起こされるし、「０．５より小さい有理数全体と

０．５以上の有理数全体」という僅かに異なる切断もひき起こされる。前者

の切断では０．５がいわゆる「上限」、後者の切断では０．５が「下限」だ。

以下では、小さい有理数の組を「小組」、大きい有理数の組を「大組」と呼

ぶことにしよう。また、デデキント自身は「切断する」という動詞形の表現

を使ってないけど、簡単のため、切断（＝組分け）を引き起こすことを「切

断する」などと呼ぶことにしよう。動詞表現も認めるということだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、有理数全体を２組に切断する数は、有理数だけではない。今、正の

整数であって、整数の平方ではない、Ｄという数を考えてみる。例えば、２，

３，５などだ。このＤを使えば、「２乗するとＤより大きくなる正の有理数全

体」（大組）と、「それ以外の有理数全体」（小組）とに切断できる。

ここでもし、２乗するとＤに等しい正の有理数が存在するなら、その数は

小組の上限であって、上のような切断を引き起こすことが出来る。要す

るに、もし√２（ルート２）が正の有理数ならそれで切断できるという話だ。

しかし、２乗するとＤに等しい有理数は、実際には正負に関わらず存在し

ない。この証明は、高校数学レベルだから省略してもいいのだけど、なぜ

かデデキントがやや珍しい証明をしてるから、一応見ておこう。原文はか

なり省略されてるので、ここでは大幅に補足しておく。文字や式の書き方

は変えてないので、訳書のｐ．２２～ｐ．２３と照らし合わせることも出来る。

「√Ｄ」（ルートＤ）という書き方は、最初から無理数をイメージさせてしまう

ので、デデキントの論文でもここでも避けてある。

今、仮に２乗するとＤになる有理数が存在するとしよう。その内、正のも

のを ｔ／ｕ （ｔ，ｕは正の整数，ｕはできる限り小さい数）と表せば、

　　　ｔ²／ｕ² ＝ Ｄ　　　∴ ｔ²－Ｄｕ² ＝ ０

ところで前提より、Ｄは正の整数であって、整数の平方ではないから、

　　　λ² ＜ Ｄ ＜ （λ＋１）²

となる正の整数λが存在する。Ｄ＝２なら、１²＜２＜（１＋１）²という事だ。

この不等式より、λ² ＜ ｔ²／ｕ² ＜ （λ＋１）²

文字は全て正だから、λ ＜ ｔ／ｕ ＜ λ＋１

　　　　　　　　　　 ∴ λｕ ＜ ｔ ＜ （λ＋１）ｕ

　　　　　　　　　　 ∴ ０ ＜ ｔ－λｕ ＜ ｕ

よって、ｕ´＝ ｔ－λｕ とおけば、ｕ´はｕより小さい正の整数となる。

一方、λ ＜ ｔ／ｕ の両辺に ｔ／ｕ をかけて、λｔ／ｕ ＜ ｔ²／ｕ²

　　　　　　　　　　　∴ λｔ／ｕ ＜ Ｄ

　　　　　　　　　　　∴ Ｄｕ－λｔ ＞ ０

ここで、ｔ´＝Ｄｕ－λｔ とおくと、このｔ´も正の整数で、

　　　ｔ´²－Ｄｕ´² ＝ （Ｄｕ－λｔ）²－Ｄ（ｔ－λｕ）²

　　　　　　　　 ＝ ・・・

　　　　　　　　 ＝ （λ²－Ｄ）（ｔ²－Ｄｕ²）

　　　　　　　　 ＝ ０

　　∴ ｔ´²／ｕ´² ＝ Ｄ

よって、ｔ´／ｕ´ も二乗してＤになる有理数であり、ｔ´もｕ´も正の整数で、

しかもｕ´はｕより小さい。これは、ｔ／ｕに関する条件、「ｕはできる限り小

さい数」と矛盾する。

したがって、２乗するとＤになる有理数は存在しない。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

という事は、どの有理数の平方も、Ｄより大きいか小さいか、どちらかとな

る。すると、「小組」には最大数がないし、「大組」には最小数がないことに

なる。例えば、小組の最大数の候補として、正の数 ｘ を選んだとしよう。

　　　　　　　ｙ ＝ ｘ（ｘ²＋３Ｄ）／（３ｘ²＋Ｄ）　とおくと、

　　　　 ｙ－ｘ ＝ ２ｘ（Ｄ－ｘ²）／（３ｘ²＋Ｄ）＞０　　（∵ ｘ²＜Ｄ）

　　∴ ｙ ＞ ｘ

さらに、 ｙ²－Ｄ ＝ （ｘ²－Ｄ）³／ （３ｘ²＋Ｄ）² ＜ ０　　（∵ ｘ²＜Ｄ）

　　　∴ ｙ² ＜ Ｄ

よって ｙ は ｘ よりさらに大きい小組の有理数となる。結局、小組の最大

数は存在しない。

また、大組の最小数の候補として正の数ｘを選んだとしても、上と同じｙ

を用いれば、同様の流れで、ｙがｘより小さい大組の有理数であることが

分かる。結局、大組の最小数も存在しない。

したがって、この小組・大組を切断（＝組分け）した数は、有理数ではな

いから、「無理数」と名付け、この切断によってただ一つ定義する。。

　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

残念ながら今現在、上の ｙ の式をどう考えて導いたか、理解できてない。

天才的な直感で思い付いたのかも知れないけど、おそらく近似式とか有

理解に関する理論を使えば導けるのだと思う。いずれその辺りも勉強し

て、なるべくロジカル（＝論理的）に導出したいものだ。おそらく、符号が

確定してる数 Ｄ－ｘ² を用いて、先に ｙ－ｘ の分数式を作り、そこから ｙ

を出すんだろう。

ともかくこうして、例えば「２乗すると５より大きい正の有理数全体の集合」

と「それ以外の有理数全体の集合」という切断を引き起こす数として、√５

（ルート５）という無理数が定義される。

普通なら、ここは次のような流れで考える所だろう。

　　　　　　　　２乗して５になる正の数は「有理数」ではない

　　　　　　　　　→　「有限小数か循環する無限小数」ではない

　　　　　　　　　→　「循環しない無限小数」である

　　　　　　　　　→　「無理数」である

そして、有理数と無理数を合わせた「実数」は連続性を持つ、ということに

したりする。実際、有理数（有限小数＋循環する無限小数）と無理数（循

環しない無限小数）を合わせると、連続的な図形である「数直線」全体が

埋め尽くされるような気がするから、それ以上はみんな気にとめない。

それに対して、デデキントの発想は全然違うのだ。まず、全体を２つに切

断（＝組分け）する時の分割点がただ一つ存在する、ということを、数の

連続性の本質として、有理数だけでは連続性が保てないことを示し、そ

の隙間を埋め合わせする数として無理数を定義する。

無理数を、循環しない無限小数として考えるのと、デデキント切断で考え

るのと、比べてみると、それぞれ長所・短所はあるだろう。何と言っても、

前者の方が単純明快だ。けれども何らかの事情で、無理数かどうか、あ

るいは実数かどうかが微妙な時（例えば前に対角線論法で作った数 ａ）、

切断が役立つことはあるだろう。

また、私の手元にある厳密な『解析入門Ⅰ』（杉浦光夫，東京大学出版

会）は、明らかにデデキントの発想を最初からとり入れて、実数その他を

体系づけている。そしてその方法だと、対角線論法に関する奇妙な疑問

（前に作った数ｂが自然数かどうか）が鮮やかに解決したわけなのだ。　　　　　　

デデキント切断については、また触れると思うし、彼の自然数に関する考

察（論文集の第二篇）も扱いたいと思ってる。ただ、マニアックな話が続い

てるので、もう少し普通の話や、誰でも分かる簡単な話を、しばらく優先す

るかも知れない。例えば、小学校の算数や中学校の数学には、以前から

興味を持ってて、教科書も買ってるのだ。

とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

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ｃｆ．デデキントの『切断』による実数の構成～対角線論法２

　　カントールの対角線論法と集合～無限、濃度、可付番（可算）