「１＋１＝２」はなぜか～小学１年生の算数の教科書

昨年末から、数学の原点を再考する試みとして、自然数（０，１，２，３・・・）

の足し算や掛け算に関する記事を色々とアップ。「１＋１＝２に関する数学

者ペアノの説明」を解説したものを中心に、予想よりかなり多くのアクセス

を頂いてる。ただ、アクセスの仕方（読んだ記事、時間、回数など）を見る

限り、ペアノや集合論の理解に苦しんでる方が多いような気がする。

そこで今夜は、遥かに分かりやすい方向から、数学の原点を再考してみよ

う。それは、学校教育における出発点、小学１年生の算数だ。昔から興味

は持ってて、教科書も手元にあったけど、なかなか記事にする余裕がなかっ

たのだ。読者の関心をどの程度集めるか、いま一つ読めないけど、私自身

が非常に面白かったから、記事にまとめることにする。おそらく、あと何本

か、のんびり書き続けるだろう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　私の手元にあるのは、代表的

　な教科書出版社の１つである

　東京書籍の『新編　あたらしい

　さんすう　１』だ。表紙の写真か

　らも分かるように、全体が可愛

　い絵や写真で溢れてて、数字

　以外はすべて、ひらがな。オール

　カラー１１２ページだから、昔よ

　り遥かにとっつきやすくなって

る。これに限らず、今の教科書は、高校に至るまで非常に読みやすく工夫

されてるのに、学力向上には反映されてない。学習とか教育は、本当に難

しいもんだと思う。

全１３章の構成だが、第１章の前、つまり一番最初に、特別扱いで「なかま

づくり」（仲間作り）という項目が置かれてる。１つの公園の中で、じゃがいも、

イチゴ、チューリップなど、同じ仲間を同じ場所に集めることがスタートなの

だ。これはある意味、日常レベルでの数の原点だし、遥か遠くに集合論を

見据えた出発点と見れなくもない。　　　　　　　

（追記：　出版社や教師は、完全に集合を意識してるようだ）

続いて、第１章が「かずのなまえ」（数の名前）。ここでは、一気にハイレベ

ルな思考が要求されてて、子供の頭の柔らかさに感心すると共に、付い

て行けなくなる子が出るのは当たり前だなとも思う。内容部分の写メの掲

載は、著作権法的にやや問題だろうから、私が手書きの図を用意した。

　「数の名前」、

　つまり「２」と

　か「に」を教え

　る際、まず同種

　の物の絵が書かれてる。実際の教科書は、赤いリンゴで、顔付きだ♪

その右横に、抽象的な赤い丸印が並んだ長方形がある。これは、さんすう

教材とか教具の世界で、「すうずかあど」（数図カード）と呼ばれてるもの

で、そのまた右横にある「２」と書かれた「すうじかあど」（数字カード）と共

に使われる。「に」という数字の読み方（言葉）は、カードとは別に、先生が

口にするか、黒板・ホワイトボードなどに書くんだろう。

さらにその右側、少し離れた位置（次のページ）には、２個のブロックが

示されてる。これは「りょうめんぶろっく」（両面ブロック）と呼ばれるもので、

両面が黄色と白になってる。私が感心したのは、真っ直ぐなケースを利用

して、ブロックを横（または縦）１列に並べられるようになってることだ。こ

れがやがて、物差し（直線定規）や数直線へとつながっていく。

前から、実数を横に並べた数直線というものは妙な存在だなと思ってたけ

ど、直方体のブロックを１個ずつ左右に並べたものからスタートするのな

ら、直感的に分かりやすいだろう。

次の第２章は、「なんばんめ」（何番目）。つまり、物事の順序を数えるも

のとしての数、「序数」を導入する。ここでは、異なる種類の物が並べられ

てるのが特徴的だ。顔つきのパイン、リンゴ、オレンジ、バナナ・・・が並べ

られ、「まえから３にん」なら、パインとリンゴとオレンジが一括りにされ、

「まえから３ばんめ」ならオレンジだけが丸く囲まれる。「３ばんめ」（３番目）

というのが序数だ。

「３にん」（３人）の「３」は、物がいくつあるか（個数）を示す基本的な数とし

て、「基数」と呼ばれるもの。この最初の理解には、明らかに同種の物の

「なかま」を作ることが便利だろうけど、「序数」、つまり順序の数の場合

は、異種のもの（たとえばクラスの生徒達）の中で数える練習が有益だ

ろう。その意味で、非常に巧みに教科書が構成されている。

（追記：　東京書籍や啓林舘のＨＰの指導者向け解説を見ると、基数は

　　　　　「集合数」、序数は「順序数」と呼ばれてる。集合数という言葉は、

　　　　　おそらく単純な有限基数を指すものだろう。）

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

こうして、最初の２章で「数」というものを直感的かつ多角的に教えた上で、

いよいよ広義の「たしざん」（足し算）が登場する。第３章は「いくつといくつ」。

中が見えない袋に、赤と青のおはじきが４個ずつ入ってて、そこから５個

取り出す。この時、その５個は、例えば赤１個と青４個になる。５個は、１

個と４個。つまり、足し算の原点は、足し合わせることと言うより、むしろ

逆に分けることなのだ。統合よりも分解が先。

これがどうゆう根拠や考えに基づくものか、よく分からないけど、意表を突

かれる事実ではある。我々、大人にとっては、５個を１個と４個に分けるの

も、１個と４個を合わせて５個にするのも、一瞬で済む同じことのように感

じられるけど、改めて考えてみれば、既にある複数の物を分ける操作の方

が、簡単で基本的なことかも知れない。ともかくこの教科書では、２を１＋１

とする方が、１＋１を２とするよりも先なのだ。ただし、まだ「＋」という記号

も「たしざん」という言葉も登場してない。

分解の練習を繰り返した後、いよいよ第４章「あわせていくつ　ふえるとい

くつ」で、普通の「たしざん」（足し算）が数式と共に登場する。

最初に理解するのは、２つのグループを「あわせる」こと。「みんなでなん

びきになりますか」という問題では、金魚３匹と２匹を大きな水槽に入れる

絵の下に、例の両面ブロック３個と２個を合わせる絵がある。ブロックを

１列につなぐと５個。ここで、次のように説明される。

　　　「３と２をあわせると、５になります。

　　　　しき　３＋２＝５

　　　　　　　３たす２は５　　　　　　　こたえ　５ひき　」　

何とも「巧みな」説明に、思わず苦笑してしまう♪　「３匹と２匹で５匹、だか

ら、３＋２＝５」とは書かない。金魚３匹と２匹で５匹という当たり前の話の

中に、抽象的ブロックの足し合わせ（３個と２個で５個）と、数式３＋２＝５

を混ぜ合わせて、何となく自然に教え込んでるのだ。

今の私なら、手品みたいな教育テクニックに苦笑するけど、当時は素直に

そのまま習得してたんだろう。正しい答えを素早く出せば、丸印や褒め言

葉を貰えて嬉しいし、間違った答えを出したり遅かったりすれば、ネガティ

ブな反応が返って来るのだから。賞罰＝社会的サンクションの影響は、子

供でも大人でも非常に重要なのだ。

一方、理論的に考えると、第４章の前半では、２つの数を足し合わせるこ

とを教えてる。この場合、足し算を２変数関数とか２項演算として考えてる

わけだ。「 ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ 」に、様々な自然数ｘ、ｙを代入して、関数値 ｆ を

求める。最も自然な足し算だろう。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

こうした「あわせていくつ」という話に続いて導入されるのが、「ふえるとい

くつ」という話だ。問題は同じく「みんなで　なんびきになりますか」だけど、

今度は大きな水槽に金魚が最初から５匹いて、そこに３匹入れる。それ

に続いて、ブロック５個に３個を右から足し合わせて８個にする図。そし

て、こう説明される。

　　　「５に３をたすと、８になります。

　　　　５＋３＝８　　　　　こたえ　８ひき」

手品的な説明テクニックは、先ほどと同じだけど、理論的な内容が違って

る。教科書のその後の記述はさておき、この場合は、与えられた数に３を

足して変化させる、１変数関数とか１項演算のようなものとして、足し算を

とらえてるわけだ。「 ｆ（ｘ）＝ｘ＋３ 」の ｘ に５などを代入して ｆ の値を求め

る。「・・・＋３」という「右作用演算」の習得といってもよい。

もちろん、２変数関数「 ｆ（ｘ，ｙ） ＝ ｘ＋ｙ 」の ｙ を３に固定して、ｘに５など

を代入すると考えてもよいが、焦点が曖昧になるだろう。いずれにせよ、

元々あった数（ここでは５）を、別の数（ここでは３）だけ増やすと、いくつへ

と変化するのか。その意味での足し算が問われている。ちなみにペアノ

算術でも、「５＋３」を、「５に１を足すことを３回連続する」と考えていた。つ

まり「＋３」とは、「＋１」という右作用演算３回のこととされてたのだ。

その後、我々は少なくとも高校卒業まで、足し算に少なくとも２種類の意

味（あわせていくつ　ふえるといくつ）があることを、ほとんど意識しなくなる

けど、驚いたことに、小学１年生の算数の序盤で教えられてるのだ。。

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足し算教育の原点に関しては、これで既に終了と言っていい。あとは、反

復練習とひきざん（引き算）の導入に続いて、「３＋２＋４」のように３つ足

し合わせる計算が出てくるけど、既に習った計算を２回行うだけだ。

（追記：　出版社ＨＰなどでは、３項のことを３口と書いてる。「くち」と読む

　　　　　のだろうか。なぜ「項」と言わないのかも不明。）

結局、「１＋１＝２」の説明は、根本的には、２個の物を１個と１個に分け

たり、１個と１個足し合わせたり、１個に１個増やしたりすることを通じて行

われてる。砂山１つと１つ、合わせると大きな１つとか、上手くいかない場

合（反例）には触れず、上手くいく普通の場合のみを考察。それだけでは

なく、抽象的ブロックへの置きかえを媒介に、極度に抽象的な「１＋１＝２」

という「数式」まで持っていくわけだ。理屈よりも、視覚や身体的操作を通

じた直感的理解によって、抽象的思考を導入する。

自分の過去も含めて、思わず、「小学生の皆さん、お疲れ様♪　君たち、

凄いね☆」と声をかけたくなってしまった。もちろん、巧みな教材の作製

者達も見事なプロフェッショナルだ。いずれまた、ひきざんその他、小学

校の算数を再考してみたい。（追記：　既にアップした。下のｃｆを参照。）

とりあえず、今日の所はこの辺で。。☆彡

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ｃｆ．「１＋１＝２」はなぜか？～ペアノの自然数論（足し算）

　　「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算）

　　引き算の証明、負の数～ペアノの整数論（減算＝減法）

　　集合論における自然数の表記と計算

　　自然数に関するペアノの公理～論文『数の概念について』に即して

　　０、１、「次の数」に関する哲学的考察～フレーゲ『算術の基礎』

　　原始リカーシヴ関数と足し算（加法）、掛け算（乗法）

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　　引き算、足し引き連続、０（ゼロ）～小学１年生の算数２

　　掛け算（乗法）の導入、足し算・引き算との関係～小学校の算数３

　　同じ数ずつ分ける計算、割り算（除法）～小学校の算数４